Punctele $$M\in(BC)$$, $$N\in(CA)$$, $$P\in(AB)$$ verifică $$\dfrac{AP}{PB}\cdot\dfrac{BM}{MC}\cdot\dfrac{CN}{NA}=1$$. Ce poți conclude?

cevienele $$AM$$, $$BN$$, $$CP$$ sunt concurente

punctele $$M$$, $$N$$, $$P$$ sunt coliniare

Pe laturi se iau $$M$$, $$N$$, $$P$$ cu $$BM:MC=4:3$$, $$CN:NA=1:6$$ și $$AP:PB=9:2$$. Ce se întâmplă cu cevienele $$AM$$, $$BN$$, $$CP$$?

sunt concurente, produsul fiind $$1$$

nu sunt concurente, produsul fiind $$2$$

nu sunt concurente, produsul fiind $$\dfrac{9}{2}$$

Cum demonstrez teorema lui Ceva cu vectori?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Teorema lui Ceva

Scrii vectorul $A O$ în două feluri: $A O = λ A M$ , pe ceviana din $A$ , și ca punct al cevienei din $B$ . Descompui ambele scrieri după $A B$ și $A C$ , apoi egalezi coeficienții. Exemplu cu mediane: $A M = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C$ și $A O = (1 - κ) A B + \frac{κ}{2} A C$ dau $\frac{λ}{2} = 1 - κ$ și $\frac{λ}{2} = \frac{κ}{2}$ , deci $λ = \frac{2}{3}$ . Cu punctul găsit, a treia ceviană duce la produsul rapoartelor egal cu $1$ .

Numim ceviană orice segment tras dintr-un vârf până pe dreapta laturii din față. Când cevienele $A M$ , $B N$ și $C P$ , cu punctele pe laturi, trec prin același punct, produsul rapoartelor citit pe ocolul triunghiului este $1$ : $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{C N}{N A} = 1$ . E aceeași scriere ca la Menelaus, dar configurația e alta.

Reciproca oferă un test: dacă toate cele trei puncte stau pe laturi și produsul iese $1$ , dreptele se întâlnesc. Ca să nu confunzi cele două teoreme, numeri punctele din interiorul laturilor: trei sau unul înseamnă drepte concurente, zero sau două înseamnă puncte coliniare.

La științe ale naturii, demonstrația se face cu vectori. Scrii $A O$ o dată pe ceviana din $A$ , cu un coeficient $λ$ , și o dată pe ceviana din $B$ , cu alt coeficient, apoi identifici coeficienții după $A B$ și $A C$ . Același calcul spune și unde se află punctul comun: din $A O = λ A M$ rezultă $A O : O M = λ : (1 - λ)$ . Raportul $2 : 1$ pe fiecare ceviană este al medianelor, nu o regulă valabilă pentru orice ceviene concurente.

De reținut

ceviene concurente: $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{C N}{N A} = 1$
reciproca: puncte pe laturi și produs $1$ dau concurența
$A O = λ A M$ înseamnă $A O : O M = λ : (1 - λ)$

Greșeala tipică

Se confundă teorema lui Ceva cu cea a lui Menelaus, pentru că produsul are aceeași formă; la Ceva punctele sunt pe laturi și dreptele se întâlnesc, la Menelaus punctele sunt pe o dreaptă.

Exerciții din această mini-lecție

Punctele $M \in (B C)$ , $N \in (C A)$ , $P \in (A B)$ verifică $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{C N}{N A} = 1$ . Ce poți conclude?
- a) cevienele $A M$ , $B N$ , $C P$ sunt concurente
- b) punctele $M$ , $N$ , $P$ sunt coliniare
- c) triunghiul este echilateral
- d) nimic, fără alte date
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) cevienele $A M$ , $B N$ , $C P$ sunt concurente

Toate trei punctele sunt pe laturi și produsul este $1$ : exact ipotezele reciprocei teoremei lui Ceva.
Cevienele $A M$ , $B N$ , $C P$ sunt concurente, cu punctele pe laturi, $B M : M C = 2 : 5$ și $C N : N A = 3 : 2$ . Cât este $A P : P B$ ?
- a) $3 : 5$
- b) $3 : 2$
- c) $2 : 3$
- d) $5 : 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $5 : 3$

$\frac{A P}{P B} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2} = 1$ , adică $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{3}{5} = 1$ , deci $A P : P B = 5 : 3$ .
Pe laturi se iau $M$ , $N$ , $P$ cu $B M : M C = 4 : 3$ , $C N : N A = 1 : 6$ și $A P : P B = 9 : 2$ . Ce se întâmplă cu cevienele $A M$ , $B N$ , $C P$ ?
- a) nu sunt concurente, produsul fiind $2$
- b) sunt paralele
- c) sunt concurente, produsul fiind $1$
- d) nu sunt concurente, produsul fiind $\frac{9}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) sunt concurente, produsul fiind $1$

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{6} = 1$ , iar toate punctele sunt pe laturi, deci cevienele au un punct comun.

Întrebări conexe

De ce bisectoarele unui triunghi sunt concurente, după teorema lui Ceva?

Teorema bisectoarei dă $\frac{B M}{M C} = \frac{c}{b}$ , $\frac{C N}{N A} = \frac{a}{c}$ și $\frac{A P}{P B} = \frac{b}{a}$ . Produsul este $\frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} = 1$ , iar toate punctele sunt pe laturi, deci reciproca lui Ceva arată că bisectoarele au un punct comun.

Cum arăt cu teorema lui Ceva că înălțimile unui triunghi ascuțitunghic sunt concurente?

Picioarele înălțimilor împart laturile în bucăți scrise cu cosinusuri: $B M = c cos B$ , $M C = b cos C$ , $C N = a cos C$ , $N A = c cos A$ , $A P = b cos A$ , $P B = a cos B$ . Produsul rapoartelor se simplifică la $1$ , iar punctele sunt pe laturi.

Unde pun punctul $N$ pe $C A$ ca trei ceviene să fie concurente?

Dacă $A P : P B = 1 : 2$ și $B M : M C = 3 : 1$ , condiția $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{C N}{N A} = 1$ dă $\frac{C N}{N A} = \frac{2}{3}$ . Împarți latura $C A$ în cinci părți egale și iei $N$ la două părți de $C$ . Cu acest $N$ , cevienele $A M$ , $B N$ , $C P$ trec prin același punct.

De ce medianele unui triunghi sunt concurente, după teorema lui Ceva?

Fiecare mediană cade în mijlocul laturii opuse, deci toate cele trei rapoarte sunt egale cu $1$ . Produsul este $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ , iar punctele sunt pe laturi, deci reciproca lui Ceva dă concurența. Punctul comun este centrul de greutate.

Ce arată un produs al rapoartelor egal cu $2$ despre trei ceviene?

Dacă punctele $M$ , $N$ , $P$ sunt pe laturi și produsul $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{C N}{N A}$ iese $2$ , cevienele nu trec prin același punct. Două dintre ele se taie într-un punct, iar a treia trece pe lângă el. Condiția lui Ceva cere exact valoarea $1$ .

Unde este centrul de masă al unui triunghi cu mase diferite în vârfuri?

Cu masele $1$ , $2$ , $3$ în $A$ , $B$ , $C$ , centrul de masă este pe ceviana din $A$ care taie $B C$ în raportul invers maselor, $B M : M C = 3 : 2$ . La fel, $C N : N A = 1 : 3$ și $A P : P B = 2 : 1$ . Produsul $2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1$ confirmă că cele trei ceviene se întâlnesc chiar în centrul de masă.

Oamenii mai întreabă și: demonstrația vectorială a teoremei lui Ceva · teorema lui Ceva cu vectori · vectorul AO pe două ceviene · identificarea coeficienților la Ceva