Teorema lui Ceva: trei ceviene concurente (M2, științe ale naturii)

Într-o sală de concerte cu plan triunghiular, trei reflectoare sunt fixate în colțuri, fiecare îndreptat spre un punct al peretelui din față. Tehnicianul vrea ca cele trei fascicule să se încrucișeze într-un singur punct, acolo unde va sta solistul. Primele două reflectoare sunt deja reglate; spre ce punct al celui de-al treilea perete trebuie îndreptat ultimul, ca toate trei direcțiile să se întâlnească? Răspunsul îl dă o teoremă a matematicianului italian Giovanni Ceva, din secolul al XVII-lea. Lecția de față, din traseul clasei a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2), o enunță, o demonstrează cu vectori și o deosebește de teorema lui Menelaus. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, tema nu apare în programa probei MAT_P2 din 2030. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține teorema lui Ceva la capitolul de calcul vectorial al clasei a IX-a; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu ea.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: teorema lui Ceva e cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28). Ea vine imediat după teorema lui Menelaus, cu care împarte aceeași formulă, și folosește aceeași unealtă: descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari, cu unicitatea ei.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este o ceviană și de ce trei drepte alese la întâmplare nu trec, în general, prin același punct.
• Vei ști să scrii relația lui Ceva pe ocolul triunghiului, $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}=1$, și să afli al treilea raport când cunoști două.
• Vei ști să demonstrezi vectorial teorema: găsești punctul comun a două ceviene prin unicitatea descompunerii, apoi urmărești a treia.
• Vei ști să folosești reciproca pentru a arăta că trei ceviene sunt concurente.
• Vei ști să calculezi în ce raport împarte punctul comun o ceviană, fără nicio formulă nouă de memorat.
• Vei ști să decizi, numărând punctele interioare, dacă un produs egal cu $1$ înseamnă ceviene concurente sau puncte coliniare.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o ceviană?

Ceviana unui triunghi este segmentul care unește un vârf cu un punct al dreptei laturii opuse, diferit de celelalte două vârfuri. Medianele, înălțimile și bisectoarele din gimnaziu sunt ceviene, dar noțiunea e mult mai largă: pe latura $(BC)$ poți alege orice punct $M$, iar $AM$ este o ceviană.

În lecție, cevienele vor fi $AM$, $BN$ și $CP$, cu $M$ pe dreapta $BC$, $N$ pe dreapta $CA$ și $P$ pe dreapta $AB$ — aceleași litere ca la Menelaus. Două ceviene care pornesc din vârfuri diferite și merg spre laturi se taie într-un punct $O$ din interior. A treia ceviană trece însă prin $O$ numai dacă punctul ei de pe latură e ales cu grijă: trei drepte oarecare formează un mic triunghi, nu un punct.

2. Ce spune teorema lui Ceva?

Teorema lui Ceva. Fie punctele $M\in (BC)$, $N\in (CA)$ și $P\in (AB)$. Dacă cevienele $AM$, $BN$ și $CP$ sunt concurente, atunci

$$\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}=1.$$

Formula este aceeași ca la Menelaus și se citește pe același ocol: $A$, $P$, $B$, $M$, $C$, $N$, înapoi la $A$. Diferă configurația. Acolo cele trei puncte erau pe o dreaptă și numai zero sau două dintre ele erau în interiorul laturilor; aici toate trei sunt pe laturi, iar segmentele duse din vârfuri spre ele se întâlnesc. Același produs poate descrie, așadar, două situații opuse, iar poziția punctelor le deosebește.

3. De ce este produsul egal cu 1? Demonstrația vectorială

Lucrăm după vectorii necoliniari $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ și $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$. Punctul $M$ este pe latura $(BC)$, cu $\overrightarrow{BM}=t\overrightarrow{BC}$, $0<t<1$, deci $\overrightarrow{AM}=(1-t)\vec{u}+t\vec{v}$; punctul $N$ este pe latura $(AC)$, cu $\overrightarrow{AN}=y\vec{v}$, $0<y<1$.

Pasul 1: punctul comun al lui $AM$ și $BN$. Căutăm $O$ pe ambele ceviene. Pe $AM$: $\overrightarrow{AO}=\lambda \overrightarrow{AM}=\lambda (1-t)\vec{u}+\lambda t\vec{v}$. Pe $BN$: $\overrightarrow{BO}=\kappa \overrightarrow{BN}$, deci $\overrightarrow{AO}=\vec{u}+\kappa (y\vec{v}-\vec{u})=(1-\kappa )\vec{u}+\kappa y\vec{v}$. Folosim două litere diferite, $\lambda$ și $\kappa$, pentru că $O$ poate împărți cele două ceviene în rapoarte diferite. Unicitatea descompunerii dă $\lambda (1-t)=1-\kappa$ și $\lambda t=\kappa y$, de unde

$$\lambda =\frac{y}{y+t-ty}.$$

Pasul 2: unde taie $CO$ latura $AB$. Fie $P$ pe $AB$ cu $\overrightarrow{AP}=x\vec{u}$. Punctele $C$, $O$, $P$ sunt coliniare, deci $\overrightarrow{CO}$ și $\overrightarrow{CP}$ sunt coliniari. Cum $\overrightarrow{CP}=x\vec{u}-\vec{v}$ și $\overrightarrow{CO}=\lambda (1-t)\vec{u}+(\lambda t-1)\vec{v}$, identificarea coeficienților dă $x=\frac{\lambda (1-t)}{1-\lambda t}$. Înlocuind $\lambda$ și calculând $1-x$, obținem

$$\frac{AP}{PB}=\frac{x}{1-x}=\frac{y(1-t)}{t(1-y)}.$$

Pasul 3: produsul. Din $\overrightarrow{BM}=t\overrightarrow{BC}$ avem $\frac{BM}{MC}=\frac{t}{1-t}$, iar din $\overrightarrow{AN}=y\vec{v}$ avem $\frac{CN}{NA}=\frac{1-y}{y}$. Înmulțind,

$$\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}=\frac{y(1-t)}{t(1-y)}\cdot \frac{t}{1-t}\cdot \frac{1-y}{y}=1.$$

Demonstrația are aceeași structură ca la Menelaus: două descompuneri după $\vec{u}$ și $\vec{v}$, identificarea coeficienților, simplificarea în lanț. Diferența e că aici necunoscuta principală este un punct din interior, $O$.

4. Cum arăți că trei ceviene sunt concurente?

Reciproca teoremei lui Ceva. Dacă $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $P\in (AB)$ și $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}=1$, atunci cevienele $AM$, $BN$ și $CP$ sunt concurente.

Justificarea urmează drumul demonstrației. Cevienele $AM$ și $BN$ se taie într-un punct $O$ din interior; dreapta $CO$ taie latura $(AB)$ într-un punct $P^{\prime }$. Pentru $P^{\prime }$ teorema directă dă produsul $1$, deci $\frac{A{P}^{\prime }}{P^{\prime }B}=\frac{AP}{PB}$. Pe segmentul $(AB)$ există un singur punct cu un raport dat, deci $P^{\prime }=P$ și $CP$ trece prin $O$.

Reciproca este instrumentul de lucru pentru „arătați că dreptele … sunt concurente”: calculezi cele trei rapoarte, verifici că punctele sunt pe laturi și că produsul e $1$. Pentru mediane ai și o demonstrație vectorială directă, în lecția despre centrul de greutate; teorema lui Ceva acoperă orice alegere a punctelor de pe laturi.

5. În ce raport împarte punctul comun o ceviană?

Pasul 1 al demonstrației dă mai mult decât concurența: numărul $\lambda$ spune unde e $O$ pe ceviana $AM$. Din $\overrightarrow{AO}=\lambda \overrightarrow{AM}$ rezultă $AO=\lambda \cdot AM$ și $OM=(1-\lambda )\cdot AM$, deci $AO:OM=\lambda :(1-\lambda )$.

În probleme nu memorezi formula lui $\lambda$: scrii pe loc cele două descompuneri ale lui $\overrightarrow{AO}$, una prin ceviana din $A$, alta prin ceviana din $B$, și rezolvi sistemul de două ecuații. Atenție la o capcană: la mediane $O$ este centrul de greutate și $AO:OM=2:1$, dar pentru alte ceviene raportul poate fi oricare, și el diferă, în general, de la o ceviană la alta. Mai mult, poți ajunge la $AO:OM=2:1$ pe o ceviană fără ca celelalte două să aibă același raport.

6. Unde ajunge punctul comun când unele puncte sunt pe prelungiri?

Cevienele pot merge și spre puncte de pe prelungirile laturilor. Atunci punctul comun poate ieși din triunghi, iar poziția lui o afli tot din sistemul vectorial.

Teorema rămâne adevărată cu lungimi, dar poziția punctelor trebuie să respecte o regulă: pentru trei drepte duse din vârfuri care trec prin același punct, numărul punctelor aflate în interiorul laturilor este $3$ sau $1$. Compară cu transversala, unde era $0$ sau $2$. Reciproca are aceeași precizare: produs $1$ și unul sau trei puncte interioare înseamnă drepte concurente sau, într-un caz de excepție, paralele. În exercițiile lecției punctele sunt pe laturi, cu o singură excepție, exercițiul 7.

7. Ceva sau Menelaus?

Ai în față trei puncte pe dreptele laturilor și produsul lor egal cu $1$. Ce concluzie tragi? Numeri punctele interioare. Dacă sunt $3$ sau $1$, cevienele sunt concurente (teorema lui Ceva); dacă sunt $0$ sau $2$, punctele sunt coliniare (teorema lui Menelaus). Nicio altă informație nu îți trebuie, iar fără ea produsul singur nu decide nimic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — A treia ceviană, din primele două

Punctele $M\in (BC)$, $N\in (CA)$ și $P\in (AB)$ au proprietatea că cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente. Pe primele două laturi, $BM:MC=2:7$ și $CN:NA=3:1$. Aflați $AP:PB$ și spuneți de care vârf este mai aproape $P$.

Rezolvare. Pe ocolul din $A$:

$$\frac{AP}{PB}\cdot \frac{2}{7}\cdot 3=1⟹\frac{AP}{PB}=\frac{7}{6}.$$

Deci $AP:PB=7:6$. Cum $AP>PB$, punctul $P$ este mai aproape de $B$, puțin dincolo de mijlocul laturii. Controlul: $\frac{7}{6}\cdot \frac{2}{7}\cdot 3=1$.

Exemplul 2 — Punctul comun, găsit cu vectori

În triunghiul $ABC$, $M\in (BC)$ cu $BM:MC=1:4$ și $N\in (CA)$ cu $CN:NA=5:3$. Cevienele $AM$ și $BN$ se intersectează în $O$. a) Exprimați $\overrightarrow{AO}$ în funcție de $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$. b) Calculați $AO:OM$. c) Dreapta $CO$ intersectează latura $(AB)$ în $P$; calculați $AP:PB$.

Rezolvare. a) Din date, $\overrightarrow{AM}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$. Pe $AM$: $\overrightarrow{AO}=\frac{4\lambda }{5}\overrightarrow{AB}+\frac{\lambda }{5}\overrightarrow{AC}$. Pe $BN$: $\overrightarrow{AO}=(1-\kappa )\overrightarrow{AB}+\frac{3\kappa }{8}\overrightarrow{AC}$. Identificăm: $\frac{4\lambda }{5}=1-\kappa$ și $\frac{\lambda }{5}=\frac{3\kappa }{8}$. Din a doua, $\kappa =\frac{8\lambda }{15}$; înlocuind în prima, $\frac{20\lambda }{15}=1$, deci $\lambda =\frac{3}{4}$ și

$$\overrightarrow{AO}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{20}\overrightarrow{AC}.$$

b) $\overrightarrow{AO}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AM}$, deci $AO:OM=3:1$.

c) Cevienele $AM$, $BN$, $CP$ trec prin $O$, deci teorema lui Ceva dă $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{5}{3}=1$, adică $AP:PB=12:5$. Poți verifica și vectorial: $P$ este pe $AB$, cu $\overrightarrow{AP}=\frac{12}{17}\overrightarrow{AB}$, iar $\overrightarrow{CO}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}-\frac{17}{20}\overrightarrow{AC}$ este coliniar cu $\overrightarrow{CP}=\frac{12}{17}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.

Exemplul 3 — Reflectoarele din sala de concerte

Sala are forma triunghiului $ABC$, cu $BC=60$ m, $CA=55$ m și $AB=58$ m. Reflectorul din $A$ este îndreptat spre punctul $M$ al peretelui $BC$, cu $BM=24$ m, iar cel din $B$ spre punctul $N$ al peretelui $CA$, cu $CN=20$ m. Spre ce punct $P$ al peretelui $AB$ trebuie îndreptat reflectorul din $C$, pentru ca direcțiile $AM$, $BN$ și $CP$ să treacă prin același punct?

Rezolvare. Pe peretele $BC$: $MC=36$ m, deci $\frac{BM}{MC}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$. Pe peretele $CA$: $NA=35$ m, deci $\frac{CN}{NA}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$. Condiția de concurență, din reciproca teoremei lui Ceva:

$$\frac{AP}{PB}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{7}=1⟹\frac{AP}{PB}=\frac{21}{8}.$$

Latura $AB$ are $58$ m, iar $21+8=29$ părți, deci o parte are $2$ m: $AP=42$ m și $PB=16$ m. Reflectorul din $C$ se îndreaptă spre punctul aflat la $42$ m de colțul $A$. Solistul stă în $O=AM\cap BN$, unde se încrucișează cele trei fascicule.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: Ceva în loc de Menelaus

Pe latura $(AB)$ se ia $P$ cu $AP:PB=3:2$, pe latura $(CA)$ se ia $N$ cu $CN:NA=2:5$, iar $M$ se află pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$, cu $BM:MC=5:3$. Un elev calculează produsul $\frac{3}{2}\cdot \frac{5}{3}\cdot \frac{2}{5}=1$ și scrie: „deci cevienele $AM$, $BN$ și $CP$ au un punct comun”. Găsiți greșeala.

Rezolvare. Produsul este corect, dar concluzia nu decurge din el. Punctele interioare sunt $P$ și $N$, adică două, iar un număr par de puncte interioare trimite la teorema lui Menelaus: $M$, $N$, $P$ sunt coliniare. Cevienele nu trec toate prin același punct. Într-adevăr, dacă $O$ este punctul comun al lui $BN$ și $CP$, dreapta $AO$ taie latura $(BC)$ într-un punct interior $M^{\prime }$ cu $\frac{3}{2}\cdot \frac{B{M}^{\prime }}{M^{\prime }C}\cdot \frac{2}{5}=1$, adică $B{M}^{\prime }:M^{\prime }C=5:3$. Punctul $M^{\prime }$ are același raport ca $M$, dar este între $B$ și $C$, pe când $M$ este dincolo de $C$; deci $AM$ nu trece prin $O$, iar cevienele $AM$, $BN$, $CP$ nu sunt concurente.

Exemplul 5 — Concurente sau nu?

Pe laturile triunghiului $ABC$ sunt marcate $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $P\in (AB)$, astfel încât $BM:MC=3:7$, $CN:NA=5:3$ și $AP:PB=7:5$. Au cevienele $AM$, $BN$, $CP$ un punct comun?

Rezolvare. Produsul pe ocol este

$$\frac{7}{5}\cdot \frac{3}{7}\cdot \frac{5}{3}=1,$$

iar toate cele trei puncte sunt în interiorul laturilor. Din reciproca teoremei lui Ceva, cele trei ceviene sunt concurente. Dacă $AP:PB$ ar fi fost $7:4$, produsul ar fi ieșit $\frac{5}{4}$, iar a treia ceviană ar fi ratat punctul comun al primelor două.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$, punctul $M\in (BC)$ cu $BM:MC=3:2$ și punctul $N\in (CA)$ cu $CN:NA=5:6$. Cevienele $AM$ și $BN$ se intersectează în $O$, iar dreapta $CO$ intersectează latura $(AB)$ în $P$. a) Arătați că $AP:PB=4:5$. b) Arătați că $\overrightarrow{AO}=\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$. c) Arătați că $AO:OM=2:1$.

Rezolvare. a) Cevienele sunt concurente în $O$, deci $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{6}=1$, adică $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{5}{4}=1$ și $AP:PB=4:5$.

b) Avem $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{6}{11}\overrightarrow{AC}$. Din $\overrightarrow{AO}=\lambda \overrightarrow{AM}$ și $\overrightarrow{AO}=(1-\kappa )\overrightarrow{AB}+\frac{6\kappa }{11}\overrightarrow{AC}$ rezultă $\frac{2\lambda }{5}=1-\kappa$ și $\frac{3\lambda }{5}=\frac{6\kappa }{11}$. A doua dă $\kappa =\frac{11\lambda }{10}$, iar prima devine $\frac{2\lambda }{5}+\frac{11\lambda }{10}=1$, deci $\lambda =\frac{2}{3}$. Atunci $\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$.

c) Din $\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ rezultă $AO=\frac{2}{3}AM$ și $OM=\frac{1}{3}AM$, deci $AO:OM=2:1$. Observă că $O$ nu este centrul de greutate: nici $M$, nici $N$ nu sunt mijloace, iar pe ceviana din $B$ raportul este altul.

Să exersăm

Pentru fiecare exercițiu, scrie ocolul din $A$, verifică dacă datele sunt date în ordinea ocolului și numără punctele interioare înainte de a trage o concluzie.

1. Cevienele $AM$, $BN$, $CP$ ale triunghiului $ABC$ sunt concurente, cu $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $P\in (AB)$, $BM:MC=1:7$ și $CN:NA=4:1$. Calculează $AP:PB$.

2. Cevienele $AM$, $BN$, $CP$ ale triunghiului $ABC$ sunt concurente, cu punctele pe laturi, $AP:PB=5:4$ și $BM:MC=1:5$. Calculează $CN:NA$.

3. Cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente, cu punctele pe laturi, $BM:MC=3:7$ și $AN:NC=3:2$. Calculează $AP:PB$.

4. Punctele $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $P\in (AB)$ împart laturile în rapoartele $BM:MC=2:5$, $CN:NA=5:4$ și $AP:PB=3:1$. Trec cevienele $AM$, $BN$, $CP$ prin același punct? Dacă nu, ce raport pe latura $AB$ le-ar face concurente?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $BM:MC=7:4$ și $CN:NA=4:7$, atunci punctul $O=AM\cap BN$ împarte cevienele $AM$ și $BN$ în același raport.”

6. În triunghiul $ABC$, $M\in (BC)$ cu $BM:MC=1:6$ și $N\in (CA)$ cu $CN:NA=5:1$, iar $O=AM\cap BN$. Arată vectorial că $O$ este mijlocul segmentului $[BN]$ și calculează $AO:OM$.

7. Punctul $M$ se află pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$, cu $BM:MC=5:2$, iar $N$ se află pe prelungirea lui $[CA]$, dincolo de $A$, cu $CN:NA=4:1$. Dreptele $AM$ și $BN$ se intersectează în $O$, iar dreapta $CO$ intersectează dreapta $AB$ în $P$. Calculează $AP:PB$, spune dacă $P$ este pe latura $(AB)$ și dacă $O$ este în interiorul triunghiului.

8. (Problemă aplicată.) Ferma triunghiulară a unui acoperiș are barele $BC=16$ m și $CA=11$ m. Contrafișa din $A$ se prinde de bara $BC$ în $M$, cu $BM=7$ m, iar contrafișa din $B$ se prinde de bara $CA$ în $N$, cu $CN=4$ m. Cele două contrafișe se îmbină într-o placă $O$. În ce raport împarte placa contrafișa $AM$ și ce fracție din lungimea contrafișei se află între $A$ și placă?

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$, $M\in (BC)$ cu $BM:MC=1:2$ și $N\in (CA)$ cu $CN:NA=4:5$. Notăm $O=AM\cap BN$, iar dreapta $CO$ intersectează latura $(AB)$ în $P$. a) Calculați $AP:PB$. b) Arătați că $BO:ON=9:10$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ și punctele $M$, $N$, $P$ definite prin $\overrightarrow{BM}=\frac{3}{8}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CN}=\frac{7}{10}\overrightarrow{CA}$ și $\overrightarrow{AP}=\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}$. Arătați că dreptele $AM$, $BN$ și $CP$ sunt concurente.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ și punctul $O$ definit prin $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Dreptele $AO$, $BO$ și $CO$ intersectează laturile $(BC)$, $(CA)$ și $(AB)$ în $M$, $N$, respectiv $P$. a) Arătați că $BM:MC=5:2$. b) Calculați $CN:NA$ și $AP:PB$. c) Verificați relația lui Ceva pentru cele trei rapoarte.

12. Un triunghi $ABC$ are $BC=22$ cm, $CA=21$ cm și $AB=19$ cm. Pe laturi se marchează $M\in (BC)$ cu $BM=10$ cm, $N\in (CA)$ cu $CN=12$ cm și $P\in (AB)$ cu $AP=9$ cm. Sunt cevienele $AM$, $BN$, $CP$ concurente?

13. Cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente, cu punctele pe laturi, $AP:PB=2:3$ și $CN:NA=7:4$. Determină raportul $BM:MC$.

14. În triunghiul $ABC$, $M\in (BC)$ cu $BM:MC=1:3$, $N\in (CA)$ cu $CN:NA=5:3$, $O=AM\cap BN$, iar dreapta $CO$ taie latura $(AB)$ în $P$. Calculează raportul $CO:OP$ în care punctul comun împarte a treia ceviană.

15. Cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente, cu punctele pe laturi, $AP:PB=2:7$ și $BM:MC=7:2$. Ce poți spune despre punctul $N$?

16. Arată că, dacă punctele $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $P\in (AB)$ verifică $AP>PB$, $BM>MC$ și $CN>NA$, cevienele $AM$, $BN$, $CP$ nu pot fi concurente.

17. Se dau $M\in (BC)$ cu $BM:MC=3:5$, $N\in (CA)$ cu $CN:NA=4:1$ și $P\in (AB)$ cu $AP:PB=5:12$. a) Arată că cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente. b) Arată, cu vectori, că punctul lor comun $O$ este mai aproape de $A$ decât de $M$, dar mai aproape de $N$ decât de $B$.

18. (Provocare.) Cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente, cu punctele pe laturi. Demonstrează că $M$ este mijlocul laturii $[BC]$ dacă și numai dacă dreapta $NP$ este paralelă cu $BC$.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{1}{7}\cdot 4=1$, deci $AP:PB=7:4$.

2. $\frac{5}{4}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{CN}{NA}=1$, deci $\frac{CN}{NA}=4$ și $CN:NA=4:1$.

3. Ocolul cere $\frac{CN}{NA}=\frac{2}{3}$, inversul datelor. Atunci $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{3}{7}\cdot \frac{2}{3}=1$, deci $AP:PB=7:2$.

4. Produsul este $3\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{5}{4}=\frac{3}{2}\ne 1$, deci cevienele nu sunt concurente: dacă ar fi, teorema directă ar da produsul $1$. Pentru concurență, raportul de pe $AB$ ar trebui să verifice $\frac{1}{2}$ înmulțit cu el egal cu $1$, adică să fie $2:1$.

5. Adevărat. $\overrightarrow{AM}=\frac{4}{11}\overrightarrow{AB}+\frac{7}{11}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{7}{11}\overrightarrow{AC}$. Sistemul $\frac{4\lambda }{11}=1-\kappa$, $\frac{7\lambda }{11}=\frac{7\kappa }{11}$ dă $\kappa =\lambda =\frac{11}{15}$, deci $AO:OM=BO:ON=11:4$, deși cevienele nu sunt mediane. Egalitatea apare ori de câte ori $BM:MC=AN:NC$; Greșeala 2 spune doar că ea nu este garantată.

6. $\overrightarrow{AM}=\frac{6}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{7}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$. Din $\frac{6\lambda }{7}=1-\kappa$ și $\frac{\lambda }{7}=\frac{\kappa }{6}$ rezultă $\lambda =\frac{7}{12}$ și $\kappa =\frac{1}{2}$. Cum $\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BN}$, punctul $O$ este mijlocul lui $[BN]$, iar $\overrightarrow{AO}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AM}$ dă $AO:OM=7:5$.

7. Punctele interioare trebuie să fie $3$ sau $1$; $M$ și $N$ sunt pe prelungiri, deci $P$ este pe latura $(AB)$. Relația $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{5}{2}\cdot 4=1$ dă $AP:PB=1:10$. Punctul comun nu e în interior: sistemul vectorial dă $\overrightarrow{AO}=\frac{2}{17}\overrightarrow{AB}-\frac{5}{17}\overrightarrow{AC}$, iar cum $\overrightarrow{AM}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{3}\overrightarrow{AC}$, rezultă $\overrightarrow{AO}=-\frac{3}{17}\overrightarrow{AM}$. Coeficientul negativ arată că $O$ se află pe prelungirea lui $[MA]$, dincolo de $A$, în afara triunghiului.

8. $MC=9$ m și $NA=7$ m, deci $\overrightarrow{AM}=\frac{9}{16}\overrightarrow{AB}+\frac{7}{16}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{7}{11}\overrightarrow{AC}$. Sistemul $\frac{9\lambda }{16}=1-\kappa$, $\frac{7\lambda }{16}=\frac{7\kappa }{11}$ dă $\kappa =\frac{11\lambda }{16}$ și $\lambda =\frac{4}{5}$. Placa împarte contrafișa în raportul $AO:OM=4:1$: patru cincimi din lungimea ei sunt între $A$ și placă.

9. a) $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}=1$, deci $AP:PB=5:2$. b) Cu $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{5}{9}\overrightarrow{AC}$, sistemul $\frac{2\lambda }{3}=1-\kappa$, $\frac{\lambda }{3}=\frac{5\kappa }{9}$ dă $\kappa =\frac{9}{19}$. Așadar $\overrightarrow{BO}=\frac{9}{19}\overrightarrow{BN}$, adică $BO:ON=9:10$. Același rezultat îl dă teorema lui Menelaus în triunghiul $BNC$, cu transversala $A$–$O$–$M$.

10. $\overrightarrow{BM}=\frac{3}{8}\overrightarrow{BC}$ dă $M\in (BC)$ cu $BM:MC=3:5$; $\overrightarrow{CN}=\frac{7}{10}\overrightarrow{CA}$ dă $N\in (CA)$ cu $CN:NA=7:3$; $\overrightarrow{AP}=\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}$ dă $P\in (AB)$ cu $AP:PB=5:7$. Produsul este $\frac{5}{7}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{7}{3}=1$, toate punctele sunt pe laturi, deci din reciproca teoremei lui Ceva dreptele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente.

11. a) $M$ este pe dreapta $AO$, deci $\overrightarrow{AM}=s\overrightarrow{AO}=\frac{s}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{s}{2}\overrightarrow{AC}$, și pe $BC$, deci suma coeficienților este $1$: $\frac{s}{5}+\frac{s}{2}=1$, $s=\frac{10}{7}$. Atunci $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{7}\overrightarrow{AC}$, adică $\overrightarrow{BM}=\frac{5}{7}\overrightarrow{BC}$ și $BM:MC=5:2$. b) Pe dreapta $BO$: $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+s\left(\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}\right)$, iar $N\in AC$ cere coeficientul lui $\overrightarrow{AB}$ nul: $1-\frac{4s}{5}=0$, $s=\frac{5}{4}$, deci $\overrightarrow{AN}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AC}$ și $CN:NA=3:5$. La fel, pe dreapta $CO$ se obține $\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$, deci $AP:PB=2:3$. c) $\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{5}=1$, cum cere teorema lui Ceva pentru cevienele concurente în $O$.

12. $MC=12$ cm, $NA=9$ cm și $PB=10$ cm, deci $\frac{BM}{MC}=\frac{5}{6}$, $\frac{CN}{NA}=\frac{4}{3}$ și $\frac{AP}{PB}=\frac{9}{10}$. Produsul pe ocol este $\frac{9}{10}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{4}{3}=1$, iar toate punctele sunt pe laturi: din reciproca teoremei lui Ceva, cevienele sunt concurente.

13. $\frac{2}{3}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{7}{4}=1$, deci $BM:MC=6:7$.

14. Cu $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$, sistemul $\frac{3\lambda }{4}=1-\kappa$, $\frac{\lambda }{4}=\frac{3\kappa }{8}$ dă $\lambda =\frac{12}{17}$, deci $\overrightarrow{AO}=\frac{9}{17}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{17}\overrightarrow{AC}$. Din teorema lui Ceva, $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{5}{3}=1$, deci $AP:PB=9:5$ și $\overrightarrow{AP}=\frac{9}{14}\overrightarrow{AB}$. Atunci $\overrightarrow{CO}=\frac{9}{17}\overrightarrow{AB}-\frac{14}{17}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{CP}=\frac{9}{14}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$, iar $\overrightarrow{CO}=\frac{14}{17}\overrightarrow{CP}$. Prin urmare $CO:OP=14:3$.

15. $\frac{2}{7}\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{CN}{NA}=1$, deci $CN=NA$: punctul $N$ este mijlocul laturii $[CA]$.

16. Fiecare dintre cele trei rapoarte ar fi mai mare decât $1$, deci și produsul lor ar fi mai mare decât $1$. Dacă cevienele ar fi concurente, teorema lui Ceva ar cere produsul egal cu $1$ — contradicție. Pe scurt, cele trei puncte nu pot fi toate „împinse” spre al doilea vârf al ocolului.

17. a) $\frac{5}{12}\cdot \frac{3}{5}\cdot 4=1$, iar toate punctele sunt pe laturi, deci cevienele sunt concurente. b) $\overrightarrow{AM}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$. Din $\frac{5\lambda }{8}=1-\kappa$ și $\frac{3\lambda }{8}=\frac{\kappa }{5}$ rezultă $\kappa =\frac{15\lambda }{8}$, $\lambda =\frac{2}{5}$ și $\kappa =\frac{3}{4}$. Deci $AO:OM=2:3$, iar $O$ este mai aproape de $A$; $BO:ON=3:1$, iar $O$ este mai aproape de $N$.

18. Din teorema lui Ceva, $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}=1$. Dacă $M$ e mijloc, $\frac{BM}{MC}=1$, deci $\frac{AP}{PB}=\frac{NA}{CN}=\frac{AN}{NC}$. Atunci $P$ și $N$ împart laturile $AB$ și $AC$ în același raport: $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$, iar $\overrightarrow{PN}=k\overrightarrow{BC}$, deci $NP\parallel BC$. Reciproc, dacă $NP\parallel BC$, atunci $\frac{AP}{PB}=\frac{AN}{NC}$ (Thales), iar relația lui Ceva dă $\frac{BM}{MC}=1$, adică $M$ este mijlocul lui $[BC]$.

De reținut

• O ceviană unește un vârf cu un punct al dreptei laturii opuse; dacă $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $P\in (AB)$ și cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente, atunci $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}=1$, pe același ocol ca la Menelaus.
• Reciproca este testul de concurență: trei puncte pe laturi și produsul egal cu $1$ garantează că cele trei ceviene trec prin același punct.
• Același produs, două teoreme: $3$ sau $1$ puncte interioare înseamnă drepte concurente (Ceva), $0$ sau $2$ înseamnă puncte coliniare (Menelaus).
• Demonstrația vectorială găsește punctul comun $O=AM\cap BN$ din două descompuneri după $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$, cu două litere diferite, $\lambda$ și $\kappa$, apoi urmărește dreapta $CO$.
• Din $\overrightarrow{AO}=\lambda \overrightarrow{AM}$ rezultă $AO:OM=\lambda :(1-\lambda )$; raportul $2:1$ pe toate cevienele este al medianelor, nu o regulă generală.

Greșeli frecvente

• Punctul comun luat drept centru de greutate. După lecția despre mediane, se scrie din reflex $AO:OM=2:1$ pentru orice ceviene concurente. Raportul depinde de pozițiile lui $M$ și $N$ și se calculează de fiecare dată; poate ieși $2:1$ pe o ceviană și cu totul altceva pe celelalte.
• O singură literă pentru doi coeficienți. În sistemul pentru $O=AM\cap BN$ se scrie $\overrightarrow{AO}=\lambda \overrightarrow{AM}$ și $\overrightarrow{BO}=\lambda \overrightarrow{BN}$, cu același $\lambda$. Asta ar însemna că $O$ împarte ambele ceviene în același raport, ceea ce, în general, e fals; sistemul corect are două necunoscute.
• Coeficientul confundat cu raportul. Din $\overrightarrow{AO}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AM}$ se scrie $AO:OM=3:4$. Coeficientul compară $AO$ cu toată ceviana; raportul cerut este $3:1$.
• Vectorul citit de la vârful greșit. Din $\overrightarrow{CN}=\frac{5}{9}\overrightarrow{CA}$ se deduce $AN:NC=5:4$. Vectorul pornește din $C$, deci $CN=\frac{5}{9}CA$ și $CN:NA=5:4$; ordinea literelor contează.
• Punctul așezat pe latură la capătul greșit. După ce obține $AP:PB=7:6$, elevul desenează $P$ mai aproape de $A$. Segmentul mai lung este $AP$, deci $P$ este mai aproape de $B$; un desen greșit în acest punct strică apoi orice citire a figurii.

Aplică acasă

1. Cevienele pe glisoare. Într-un program de geometrie dinamică, construiește un triunghi, punctele $M$ pe $BC$ și $N$ pe $CA$ cu glisoare pentru rapoarte, intersecția $O$ a cevienelor $AM$ și $BN$ și punctul $P$ în care $CO$ taie $AB$. Afișează cele trei rapoarte și produsul lor. Mută apoi $N$ dincolo de $A$ și urmărește cum iese $O$ din triunghi.

2. Verificarea cu ecuațiile dreptelor. Pe hârtie cu pătrățele, în reperul $A(0,0)$, $B(15,0)$, $C(0,15)$, alege punctele $M$ și $N$ după două rapoarte la alegere, scrie ecuațiile dreptelor $AM$ și $BN$ ca în lecțiile de geometrie analitică și află coordonatele lui $O$. Compară raportul $AO:OM$ obținut din coordonate cu cel dat de sistemul vectorial.

3. Nodurile unei structuri. Fotografiază o structură metalică triunghiulară, de exemplu o fermă de acoperiș sau un braț de macara, în care trei bare pornesc din colțuri și se prind în același nod. Măsoară pe fotografie segmentele de pe laturi, calculează produsul celor trei rapoarte și comentează abaterea față de $1$.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie capitolul de calcul vectorial din supliment. Pentru elevul de științe ale naturii, teorema lui Ceva e prilejul de a rezolva un sistem vectorial cu două necunoscute, $\lambda$ și $\kappa$, într-o situație geometrică pe care o vede: punctul comun a două ceviene. Același calcul dă, pe lângă concurență, raportul în care punctul comun împarte o ceviană, fără nicio formulă suplimentară. Distincția față de teorema lui Menelaus nu se face prin memorare, ci prin numărarea punctelor aflate în interiorul laturilor, iar exemplul cu greșeala arată exact unde se rupe raționamentul.

De urmărit în caiet: două litere diferite pentru cei doi coeficienți din sistem; coeficientul transformat în raport; punctele interioare numărate înainte de concluzie; desenul făcut după rapoartele calculate, nu după impresie. Întrebări de control: „De ce nu pot fi trei rapoarte, toate mai mari decât $1$, rapoartele unor ceviene concurente?”; „Ce înseamnă $\overrightarrow{AO}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AM}$ pentru raportul $AO:OM$?”; „Când un produs egal cu $1$ înseamnă coliniaritate și când concurență?”. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: teorema lui Ceva și concurența cevienelor demonstrează teorema prin arii și o aplică liniilor importante din triunghi. Pe traseul M2 urmează unitatea despre produsul scalar a doi vectori, iar capitolul de vectori se verifică cu testul de supliment despre vectori și calcul vectorial. Legătura cu gimnaziul este concurența liniilor importante din triunghi.

Programa și examenul. Teorema lui Ceva nu se află în programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, și nu apare nici în programa probei MAT_P2 de la bacalaureatul 2030. Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: elevii aflați acum în clasele X–XII învață după programa veche și dau proba M_șt-nat pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), care trece „Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva” la clasa a IX-a, în capitolul „Coliniaritate, concurență, paralelism — calcul vectorial în geometria plană”; de aceea demonstrația din lecție este cea vectorială. Modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu are o cerință cu teorema lui Ceva și nici una cu vectori; exercițiile marcate aici sunt construite după rândul din programa de examen, nu preluate dintr-un subiect oficial. Programa de examen din 2014 prevedea patru ore de matematică pe săptămână la clasa a IX-a, iar planurile-cadru actuale (OMEC 4350/2025) prevăd trei. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă la teorema lui Ceva între M2 și mate-info (M1)? Enunțul și reciproca sunt aceleași. La mate-info (M1), teorema se demonstrează prin rapoarte de arii și se aplică liniilor importante din triunghi. La științe ale naturii (M2), programa de examen o pune la calcul vectorial, așa că demonstrația și multe exerciții trec prin descompunerea vectorilor și prin sisteme de două ecuații.

La ce subiect poate apărea teorema lui Ceva la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 o cere la clasa a IX-a, în capitolul de calcul vectorial, iar subiectul I are cerințe scurte de geometrie plană. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință cu teorema lui Ceva și nici una cu vectori; exercițiile marcate în lecție sunt construite după programă, nu copiate dintr-un subiect oficial.

Ce este o ceviană și care sunt cevienele cunoscute din gimnaziu? O ceviană este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu un punct al dreptei laturii opuse. Medianele, bisectoarele și înălțimile sunt ceviene particulare, iar concurența fiecărei familii se învață în gimnaziu. Teorema lui Ceva spune, pentru orice alegere a punctelor de pe laturi, când trei ceviene trec prin același punct.

Cum afli în ce raport împarte punctul comun o ceviană? Scrii vectorul $\overrightarrow{AO}$ în două feluri: o dată ca multiplu $\lambda \overrightarrow{AM}$, o dată pornind din $B$, de-a lungul cevianei $BN$, cu alt coeficient $\kappa$. Identifici coeficienții după $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ și rezolvi sistemul de două ecuații. Raportul cerut este $AO:OM=\lambda :(1-\lambda )$, iar $\kappa$ îți dă, la fel, raportul de pe ceviana din $B$.

Cum afli unde se află punctul comun pe o ceviană, când unele puncte sunt pe prelungiri? Tot din sistemul vectorial. Scrii $\overrightarrow{AO}=\lambda \overrightarrow{AM}$ și calculezi $\lambda$. Pentru $0<\lambda <1$, punctul $O$ este între $A$ și $M$; pentru $\lambda >1$, este dincolo de $M$; pentru $\lambda <0$, este dincolo de $A$. Regula punctelor interioare, $3$ sau $1$, îți spune doar ce teoremă se aplică, nu unde se află $O$.

De ce nu este punctul de concurență mereu la două treimi pe fiecare ceviană? Pentru că regula „două treimi de la vârf” aparține centrului de greutate, adică medianelor. Pentru alte puncte de pe laturi, raportul $AO:OM$ se schimbă odată cu pozițiile lui $M$ și $N$, iar pe cevienele din vârfuri diferite ies, în general, rapoarte diferite. Îl calculezi de fiecare dată, cu vectori.