O transversală a triunghiului $$ABC$$ taie dreptele $$AB$$, $$BC$$, $$CA$$ în $$P$$, $$M$$, $$N$$. Ce relație este adevărată?

$$\dfrac{AP}{PB}\cdot\dfrac{BM}{MC}\cdot\dfrac{CN}{NA}=1$$

$$\dfrac{AP}{PB}\cdot\dfrac{MC}{BM}\cdot\dfrac{CN}{NA}=1$$

$$\dfrac{AP}{PB}+\dfrac{BM}{MC}+\dfrac{CN}{NA}=1$$

Punctele $$P\in(AB)$$ și $$N\in(CA)$$ verifică $$AP:PB=6:1$$ și $$CN:NA=1:4$$. Unde întâlnește dreapta $$PN$$ dreapta $$BC$$?

în interiorul segmentului $$[BC]$$

nicăieri, dreptele sunt paralele

Ce raport dă AP= 2/5 AB în teorema lui Menelaus?

Coeficientul compară AP cu toată latura, nu cu bucata rămasă. Avem AP= 2/5AB și PB= 3/5AB, deci AP/PB= 2/3. În general, din AP=x AB, cu 0<x<1, rezultă raportul x/(1-x).

Cum demonstrez coliniaritatea cu Menelaus?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Teorema lui Menelaus

Folosești reciproca teoremei lui Menelaus, cu $P$ pe dreapta $A B$ , $M$ pe $B C$ și $N$ pe $C A$ . Calculezi produsul $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{C N}{N A}$ și verifici că este $1$ , cu zero sau două puncte în interiorul laturilor. Exemplu: $P$ mijlocul lui $A B$ , $N$ pe latura $C A$ cu $\frac{C N}{N A} = \frac{1}{2}$ și $M$ pe prelungirea lui $B C$ dincolo de $C$ , cu $\frac{B M}{M C} = 2$ . Produsul este $1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ , iar două puncte sunt interioare, deci $P$ , $M$ , $N$ sunt coliniare.

O dreaptă care nu trece prin vârfurile triunghiului $A B C$ și care taie toate cele trei drepte ale laturilor se numește transversală. Dacă o notezi cu punctele $P$ pe $A B$ , $M$ pe $B C$ și $N$ pe $C A$ , produsul celor trei rapoarte scrise pe drumul din jurul triunghiului este $1$ : $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{C N}{N A} = 1$ . Fiecare raport continuă exact din punctul în care s-a încheiat cel dinainte.

Din raport nu reiese singur locul punctului. Te ajută o regulă de numărare: o transversală lasă în interiorul laturilor fie două puncte, fie niciunul. Pentru punctul de pe prelungirea lui $[B C]$ compari apoi bucățile: dacă $B M$ e mai lung, punctul e dincolo de $C$ , altfel dincolo de $B$ .

La științe ale naturii, programa de examen pune teorema în capitolul de calcul vectorial, așa că ea se demonstrează scriind vectorii după $A B$ și $A C$ și identificând coeficienții. Reciproca servește la coliniaritate: produsul $1$ , împreună cu zero sau două puncte interioare, garantează că cele trei puncte stau pe aceeași dreaptă. Atenție la datele vectoriale: din $A P = x A B$ raportul este $\frac{x}{1 - x}$ , nu $x$ .

De reținut

$\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{C N}{N A} = 1$ pentru o transversală
reciproca: produsul $1$ și zero sau două puncte interioare dau coliniaritatea
$A P = x A B$ înseamnă $\frac{A P}{P B} = \frac{x}{1 - x}$

Greșeala tipică

Se ia raportul $\frac{A P}{P B}$ egal cu coeficientul $x$ din $A P = x A B$ ; pentru $x = \frac{2}{5}$ raportul corect este $\frac{2}{3}$ , nu $\frac{2}{5}$ .

Exerciții din această mini-lecție

O transversală a triunghiului $A B C$ taie dreptele $A B$ , $B C$ , $C A$ în $P$ , $M$ , $N$ . Ce relație este adevărată?
- a) $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{C N}{N A} = 1$
- b) $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{M C}{B M} \cdot \frac{C N}{N A} = 1$
- c) $\frac{A P}{P B} + \frac{B M}{M C} + \frac{C N}{N A} = 1$
- d) $A P \cdot B M \cdot C N = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{A P}{P B} \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{C N}{N A} = 1$

Pe ocolul $A$ , $P$ , $B$ , $M$ , $C$ , $N$ fiecare fracție începe unde s-a oprit precedenta, iar produsul rapoartelor este $1$ .
Punctele $P \in (A B)$ și $N \in (C A)$ verifică $A P : P B = 7 : 2$ și $C N : N A = 1 : 5$ , iar dreapta $P N$ taie dreapta $B C$ în $M$ . Cât este $B M : M C$ ?
- a) $10 : 7$
- b) $7 : 10$
- c) $2 : 35$
- d) $35 : 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $10 : 7$

$\frac{7}{2} \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{1}{5} = 1$ , deci $\frac{B M}{M C} = \frac{10}{7}$ ; $M$ este dincolo de $C$ .
Punctele $P \in (A B)$ și $N \in (C A)$ verifică $A P : P B = 6 : 1$ și $C N : N A = 1 : 4$ . Unde întâlnește dreapta $P N$ dreapta $B C$ ?
- a) în interiorul segmentului $[B C]$
- b) pe prelungirea lui $[B C]$ , dincolo de $C$
- c) pe prelungirea lui $[B C]$ , dincolo de $B$
- d) nicăieri, dreptele sunt paralele
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) pe prelungirea lui $[B C]$ , dincolo de $B$

$6 \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{1}{4} = 1$ dă $B M : M C = 2 : 3$ . Punctele $P$ și $N$ sunt interioare, deci $M$ e pe prelungire, iar $B M < M C$ îl pune dincolo de $B$ .

Întrebări conexe

Ce raport dă $A P = \frac{2}{5} A B$ în teorema lui Menelaus?

Coeficientul compară $A P$ cu toată latura, nu cu bucata rămasă. Avem $A P = \frac{2}{5} A B$ și $P B = \frac{3}{5} A B$ , deci $\frac{A P}{P B} = \frac{2}{3}$ . În general, din $A P = x A B$ , cu $0 < x < 1$ , rezultă raportul $\frac{x}{1 - x}$ .

Cum verific teorema lui Menelaus pe o dreaptă desenată în reper?

Pentru $A (0, 0)$ , $B (4, 0)$ , $C (0, 4)$ și dreapta $x + 2 y = 2$ , punctele sunt $P (2, 0)$ , $N (0, 1)$ și $M (6, - 2)$ , pe prelungirea lui $B C$ dincolo de $B$ . Rapoartele sunt $\frac{A P}{P B} = 1$ , $\frac{B M}{M C} = \frac{1}{3}$ și $\frac{C N}{N A} = 3$ , iar produsul lor este $1$ .

Ce raport $C N : N A$ rezultă dacă $A P : P B = 2 : 3$ și $B M : M C = 5 : 2$ ?

Din $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{C N}{N A} = 1$ rezultă $\frac{C N}{N A} = \frac{3}{5}$ . Punctul $M$ este pe prelungire, dincolo de $C$ , fiindcă $B M > M C$ , iar $P$ este interior. Cum transversala lasă două puncte interioare sau niciunul, $N$ se află pe latura $C A$ .

Cum aflu lungimea $M B$ când $M$ este pe prelungirea lui $B C$ dincolo de $B$ ?

Dacă $\frac{B M}{M C} = \frac{1}{3}$ și $B C = 12$ , scrii $M C = M B + 12$ , fiindcă $B$ stă între $M$ și $C$ . Din $3 M B = M B + 12$ rezultă $M B = 6$ și $M C = 18$ . Raportul se verifică: $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ . Punctul $B$ împarte segmentul $M C$ în bucăți de $6$ și $12$ .

De ce contează ordinea literelor în rapoartele teoremei lui Menelaus?

Rapoartele se scriu pe un ocol al triunghiului, fiecare pornind din punctul unde s-a oprit precedentul. Dacă inversezi un raport, produsul nu mai este $1$ : în exemplul cu $1$ , $\frac{1}{3}$ și $3$ , scriind $\frac{M C}{B M} = 3$ în loc de $\frac{1}{3}$ , produsul devine $9$ .

Unde pune un topograf al treilea jalon ca să fie aliniat cu primele două?

Pe laturile unei parcele $A B C$ , jalonul $P$ împarte $A B$ în raportul $2 : 1$ , iar $N$ împarte $C A$ în raportul $1 : 4$ . Menelaus cere $2 \cdot \frac{B M}{M C} \cdot \frac{1}{4} = 1$ , deci $\frac{B M}{M C} = 2$ . Punctul $M$ este pe prelungirea lui $B C$ , dincolo de $C$ , la distanța $B C$ de $C$ .

Oamenii mai întreabă și: reciproca teoremei lui Menelaus · coliniaritate cu teorema lui Menelaus · cum arăt că trei puncte sunt coliniare · trei puncte pe laturile unui triunghi coliniare