Teorema lui Menelaus: transversala unui triunghi (M2, științe ale naturii)

Un agronom numără buruienile dintr-o parcelă experimentală triunghiulară, mărginită de trei garduri drepte, de-a lungul unei benzi de măsurare întinse în linie dreaptă, numite transect. Banda intră în parcelă printr-un gard, iese prin altul, iar prelungită pe hartă întâlnește și dreapta celui de-al treilea gard, în afara parcelei. Între rapoartele în care aceste trei puncte împart laturile există o legătură fixă, descoperită de Menelaus din Alexandria. Lecția de față, din traseul clasei a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2), o enunță, o demonstrează cu vectori și o folosește la calcul și la coliniaritate. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, tema nu apare în programa probei MAT_P2 din 2030. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține teorema lui Menelaus la capitolul de calcul vectorial al clasei a IX-a; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu ea.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: teorema lui Menelaus e cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28). Folosești trei unelte construite deja: descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari, vectorul de poziție și raportul pe un segment, cu convenția $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{MB}$, și ideea din centrul de greutate demonstrat vectorial: un calcul cu vectori înlocuiește o construcție ajutătoare.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este o transversală a unui triunghi și de ce ea lasă întotdeauna zero sau două puncte în interiorul laturilor.
• Vei ști să scrii relația lui Menelaus în forma „ocolului” triunghiului, $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}=1$, forma folosită în testul unității.
• Vei ști să o demonstrezi vectorial, descompunând după $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$, exact cum cere programa de examen la capitolul de calcul vectorial.
• Vei ști să afli un raport necunoscut și să spui, din el, de ce parte a laturii cade punctul de pe prelungire.
• Vei ști să folosești reciproca ca test de coliniaritate și să recunoști situația în care produsul egal cu $1$ nu mai înseamnă puncte coliniare.
• Vei ști să treci de la datele vectoriale ale unui enunț la rapoartele din teoremă și înapoi, fără să confunzi coeficientul unui vector cu un raport de segmente.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o transversală a unui triunghi?

Transversala unui triunghi $ABC$ este o dreaptă care nu conține niciun vârf și care întâlnește fiecare dintre dreptele $AB$, $BC$ și $CA$. Notăm punctele de întâlnire cu $P$ pe dreapta $AB$, $M$ pe dreapta $BC$ și $N$ pe dreapta $CA$. O paralelă la o latură nu e transversală: ea nu întâlnește dreapta acelei laturi, iar situația ei e descrisă de teorema lui Thales.

Oricum ai trasa o transversală, vârfurile nu pot sta toate trei de părți diferite ale ei: sunt doar două părți, deci două vârfuri ajung împreună, iar latura dintre ele nu e traversată. Rămân două posibilități: dreapta trece prin interiorul a două laturi și întâlnește a treia pe prelungire, sau le întâlnește pe toate trei pe prelungiri. Forma de lucru: numărul punctelor aflate în interiorul laturilor este $0$ sau $2$.

2. Cum se scrie relația lui Menelaus?

Pornește din $A$ și ocolește triunghiul, trecând prin punctul transversalei de pe fiecare latură: $A$, $P$, $B$, $M$, $C$, $N$ și înapoi la $A$. Cele șase segmente ale ocolului se grupează în trei fracții:

$$\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}=1.$$

Teorema lui Menelaus. Dacă o transversală a triunghiului $ABC$ intersectează dreptele $AB$, $BC$ și $CA$ în punctele $P$, $M$, respectiv $N$, atunci produsul celor trei rapoarte de lungimi de mai sus este egal cu $1$.

Segmentele sunt lungimi, deci numere pozitive, chiar și pentru un punct de pe prelungire. Regula ocolului: fiecare fracție începe cu litera la care s-a oprit precedenta, iar ultima se închide în $A$. O fracție scrisă de altcineva o verifici citind-o cu voce tare, „de la $C$ la $N$, apoi de la $N$ la $A$”.

3. De ce este produsul egal cu 1? Demonstrația vectorială

Programa de examen așază teorema la calcul vectorial, deci o demonstrăm cu vectori, în situația din figură: $P\in (AB)$, $N\in (AC)$, $M$ pe dreapta $BC$. Cu $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ și $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$, necoliniari, orice vector se scrie în mod unic ca $\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}$.

Scriem $\overrightarrow{AP}=x\vec{u}$ și $\overrightarrow{AN}=y\vec{v}$, cu $x,y\in (0,1)$ și $x\ne y$ (pentru $x=y$, $PN\parallel BC$). Cum $M$ e pe dreapta $BC$, există un real $t$ cu $\overrightarrow{BM}=t\overrightarrow{BC}$, deci

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}=(1-t)\vec{u}+t\vec{v}.$$

Cum $M$ e și pe dreapta $PN$, avem $\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PN}$ pentru un real $\lambda$, iar

$$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AP}=(1-t-x)\vec{u}+t\vec{v},\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AP}=-x\vec{u}+y\vec{v}.$$

Din unicitatea descompunerii, coeficienții se identifică: $1-t-x=-\lambda x$ și $t=\lambda y$. Înlocuind al doilea în primul, obținem $\lambda (y-x)=1-x$, deci

$$\lambda =\frac{1-x}{y-x},t=\frac{y(1-x)}{y-x},1-t=\frac{-x(1-y)}{y-x}.$$

Numerele $t$ și $1-t$ au semne contrare, deci $M$ e pe o prelungire, cum ceruse regula de mai sus. Citim rapoartele: $AP=x\cdot AB$ și $PB=(1-x)\cdot AB$, la fel pentru $N$, iar $BM=|t|\cdot BC$ și $MC=|1-t|\cdot BC$. Prin urmare

$$\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}=\frac{x}{1-x}\cdot \frac{y(1-x)}{x(1-y)}\cdot \frac{1-y}{y}=1.$$

Fiecare factor se simplifică cu perechea lui. N-am folosit nicio construcție ajutătoare și nicio măsură de unghi, doar descompunerea și unicitatea ei. Celelalte poziții ale transversalei se tratează la fel, cu $x$ sau $y$ în afara intervalului $(0,1)$.

4. Unde cade al treilea punct?

Un raport de lungimi nu spune singur de ce parte e punctul: $2:1$ se potrivește și unui punct interior, și unuia de pe prelungire. Hotărăști în doi pași. Întâi numeri punctele interioare: dacă două sunt pe laturi, al treilea e pe o prelungire; dacă unul singur e pe latură, încă unul trebuie să fie pe latură. Apoi, pentru un punct $M$ de pe prelungirea lui $[BC]$, compari: dacă $BM>MC$, el e dincolo de $C$; dacă $BM<MC$, e dincolo de $B$.

Raportul $1$ pe o prelungire nu există, fiindcă singurul punct cu $BM=MC$ este mijlocul, care e interior; un asemenea rezultat semnalează o paralelă. În limbajul convenției $\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{MC}$, teorema îți dă $|k|$, iar regula punctelor interioare îți dă semnul: $k>0$ pentru un punct interior, $k<0$ pentru unul de pe prelungire.

5. Cum arăți că trei puncte sunt coliniare?

Reciproca transformă teorema într-un test de coliniaritate.

Reciproca teoremei lui Menelaus. Fie punctele $P$, $M$, $N$ pe dreptele $AB$, $BC$, respectiv $CA$, diferite de vârfuri, astfel încât numărul celor situate în interiorul laturilor să fie $0$ sau $2$. Dacă $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}=1$, atunci punctele $P$, $M$, $N$ sunt coliniare.

Ideea: dreapta $PN$ întâlnește dreapta $BC$ într-un punct $M^{\prime }$, pentru care teorema directă dă $B{M}^{\prime }:M^{\prime }C=BM:MC$, iar regula punctelor interioare îi dă același tip de poziție ca lui $M$. Un raport cu semnul lui fixează un singur punct, deoarece $\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{MC}$ are o singură soluție, deci $M^{\prime }=M$.

Condiția despre punctele interioare nu se poate scoate. Cu $P$, $M$, $N$ pe laturi și $AP:PB=3:1$, $BM:MC=1:5$, $CN:NA=5:3$, produsul este $3\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{5}{3}=1$, dar punctele nu pot fi coliniare. Aici segmentele duse din vârfuri spre ele sunt concurente, situația din lecția despre teorema lui Ceva.

6. Ce triunghi alegi când apare o ceviană?

Adesea triunghiul și transversala nu sunt date. Tipic, ai segmentul $AM$, cu $M$ pe latura $BC$, tăiat de dreapta $BN$ în $O$, și ți se cere $AO:OM$; triunghiul $ABC$ nu ajută, fiindcă $O$ nu e pe laturile lui. Alegi trei drepte din desen ca laturi, astfel încât a patra să fie transversala. Pentru raportul de pe $AM$ iei triunghiul $AMC$, iar transversala $B$–$O$–$N$ trece prin $O$ pe $AM$, prin $B$ pe prelungirea lui $MC$ și prin $N$ pe $CA$. Ocolul din $A$ dă

$$\frac{AO}{OM}\cdot \frac{MB}{BC}\cdot \frac{CN}{NA}=1.$$

Fracția din mijloc are latura $MC$ a triunghiului ales, pe care $B$ o împarte în $MB$ și $BC$. Pentru raportul de pe $BN$ alegi triunghiul $BNC$, cu transversala $A$–$O$–$M$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Raportul de pe a treia dreaptă

În triunghiul $ABC$, punctele $P\in (AB)$ și $N\in (AC)$ verifică $AP:PB=3:4$ și $CN:NA=5:6$. Dreapta $PN$ intersectează dreapta $BC$ în $M$. Calculați $BM:MC$ și precizați poziția punctului $M$.

Rezolvare. Scriem relația lui Menelaus pe ocolul $A$, $P$, $B$, $M$, $C$, $N$:

$$\frac{3}{4}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{5}{6}=1⟹\frac{BM}{MC}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}.$$

Așadar $BM:MC=8:5$. $P$ și $N$ sunt interioare, deci $M$ e pe o prelungire, iar din $BM>MC$ el se află pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$. Controlul: $\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{5}\cdot \frac{5}{6}=1$. Din $BM=BC+CM=\frac{8}{5}MC$ rezultă și $MC=\frac{5}{3}BC$.

Exemplul 2 — Găsește greșeala: ocolul întrerupt

În triunghiul $ABC$, $P\in (AB)$ cu $AP:PB=2:9$ și $N\in (AC)$ cu $AN:NC=4:5$. Dreapta $PN$ intersectează dreapta $BC$ în $M$. Un elev scrie: „$\frac{2}{9}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{4}{5}=1$, deci $BM:MC$ este $45$ la $8$.” Găsiți greșeala și dați rezultatul corect.

Rezolvare. Enunțul dă raportul de pe $CA$ în ordinea $A$, $N$, $C$, iar elevul l-a copiat așa. Ocolul ajunge însă la această latură venind din $C$, deci după $\frac{BM}{MC}$ urmează $\frac{CN}{NA}=\frac{5}{4}$, inversul datelor:

$$\frac{2}{9}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{5}{4}=1⟹\frac{BM}{MC}=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}.$$

Deci $BM:MC=18:5$, cu $M$ pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$. Aritmetica elevului era corectă, relația nu: citit cu voce tare, ocolul lui sărea de la $C$ direct la $A$.

Exemplul 3 — Același punct, găsit cu vectori

În triunghiul $ABC$ se consideră $P\in (AB)$ și $N\in (AC)$ cu $AP:PB=1:4$ și $AN:NC=2:3$. Dreapta $PN$ intersectează dreapta $BC$ în $M$. a) Exprimați $\overrightarrow{AM}$ în funcție de $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$. b) Verificați rezultatul cu teorema lui Menelaus.

Rezolvare. a) Din rapoarte, $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$. Căutăm $M$ sub forma $\overrightarrow{AM}=(1-t)\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$. Atunci

$$\overrightarrow{PM}=\left(\frac{4}{5}-t\right)\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC},\overrightarrow{PN}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}.$$

Din $\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PN}$ și unicitatea descompunerii: $\frac{4}{5}-t=-\frac{\lambda }{5}$ și $t=\frac{2\lambda }{5}$. Înlocuind, $\frac{4}{5}=\frac{\lambda }{5}$, deci $\lambda =4$ și $t=\frac{8}{5}$. Rezultă

$$\overrightarrow{AM}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{8}{5}\overrightarrow{AC}.$$

b) Din $t=\frac{8}{5}$ avem $\overrightarrow{BM}=\frac{8}{5}\overrightarrow{BC}$: $M$ e pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$, cu $BM=\frac{8}{5}BC$ și $MC=\frac{3}{5}BC$, deci $BM:MC=8:3$. Teorema lui Menelaus confirmă: $\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{3}\cdot \frac{3}{2}=1$. Vectorii dau punctul complet, teorema dă raportul mai repede.

Exemplul 4 — Transectul din parcela experimentală

Parcela experimentală a unui agronom are forma triunghiului $ABC$, mărginit de trei garduri drepte, cu $AB=72$ m, $AC=55$ m și $BC=50$ m. Banda transectului, întinsă în linie dreaptă, intră în parcelă prin punctul $P$ al gardului $AB$, cu $AP=16$ m, și iese prin punctul $N$ al gardului $AC$, cu $AN=20$ m. Prelungită, banda întâlnește dreapta gardului $BC$ în punctul $M$. La ce distanță de colțul $C$ se află $M$?

Rezolvare. Pe gardul $AB$: $PB=72-16=56$ m, deci $\frac{AP}{PB}=\frac{16}{56}=\frac{2}{7}$. Pe gardul $AC$: $NC=55-20=35$ m, deci $\frac{CN}{NA}=\frac{35}{20}=\frac{7}{4}$. Menelaus:

$$\frac{2}{7}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{7}{4}=1⟹\frac{BM}{MC}=2.$$

Banda trece prin interiorul a două garduri, deci $M$ e pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$, fiindcă $BM>MC$. Din $BM=BC+CM=2MC$ rezultă $MC=BC=50$ m. Modelul presupune garduri drepte și o bandă bine întinsă.

Exemplul 5 — Citește figura: par aliniate, dar sunt?

În figura de mai jos, triunghiul $ABC$ are $AB=7$, $BC=6$ și $CA=8$. Pe latura $(AB)$ este marcat $P$ cu $AP=2$, pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$, este marcat $M$ cu $CM=4$, iar pe latura $(CA)$ este marcat $N$ cu $CN=3$. Sunt $P$, $M$ și $N$ coliniare? Dacă nu, unde ar trebui așezat pe latura $(CA)$ un punct $N^{\prime }$ pentru ca $P$, $M$ și $N^{\prime }$ să fie coliniare?

Rezolvare. Citim din figură: $PB=5$, deci $\frac{AP}{PB}=\frac{2}{5}$; $BM=BC+CM=10$, deci $\frac{BM}{MC}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$; $NA=5$, deci $\frac{CN}{NA}=\frac{3}{5}$. Produsul este

$$\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{5}\ne 1.$$

Dacă ar fi coliniare, dreapta lor ar fi o transversală, iar produsul ar fi $1$. Deci $P$, $M$, $N$ nu sunt coliniare, oricât de aliniate ar părea. Pentru $N^{\prime }$ cerem $\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{C{N}^{\prime }}{N^{\prime }A}=1$, adică $C{N}^{\prime }=N^{\prime }A$: $N^{\prime }$ este mijlocul laturii $[CA]$, la $4$ unități de $C$, iar reciproca se aplică, având două puncte interioare. Ochiul nu vede o abatere de o unitate pe o latură de opt; calculul o vede.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ și punctele $P$, $N$ definite prin $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$. Dreapta $PN$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $M$. a) Arătați că $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{CN}{NA}=\frac{9}{4}$. b) Arătați că $BM:MC=4:9$ și precizați poziția punctului $M$ pe dreapta $BC$. c) Arătați că $\overrightarrow{BM}=-\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$.

Rezolvare. a) Din $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AB}$, punctul $P$ este pe latura $(AB)$, cu $AP=\frac{3}{7}AB$ și $PB=\frac{4}{7}AB$, deci $\frac{AP}{PB}=\frac{3}{4}$. La fel, $AN=\frac{1}{4}AC$ și $NC=\frac{3}{4}AC$, deci $\frac{CN}{NA}=3$. Produsul este $\frac{3}{4}\cdot 3=\frac{9}{4}$.

b) Relația lui Menelaus devine $\frac{3}{4}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot 3=1$, adică $\frac{BM}{MC}=\frac{4}{9}$. Punctele $P$ și $N$ sunt în interiorul laturilor, deci $M$ e pe prelungirea lui $[BC]$; cum $BM<MC$, el se află dincolo de $B$.

c) $B$ este între $M$ și $C$, deci $MC=MB+BC$, iar din $9MB=4MB+4BC$ obținem $MB=\frac{4}{5}BC$. Cum $\overrightarrow{BM}$ are sensul opus lui $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BM}=-\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$. Control vectorial: $\overrightarrow{AM}=\frac{9}{5}\overrightarrow{AB}-\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{PM}=-\frac{16}{5}\overrightarrow{PN}$.

Să exersăm

Scrie ocolul din $A$, întoarce datele date „pe dos” și numără punctele interioare. Poziția unui punct de pe prelungire se spune cu vârful dincolo de care se află.

1. În triunghiul $ABC$, $P\in (AB)$ cu $AP:PB=2:5$ și $N\in (AC)$ cu $CN:NA=3:7$. Dreapta $PN$ intersectează dreapta $BC$ în $M$. Calculează $BM:MC$ și precizează poziția lui $M$.

2. În triunghiul $ABC$, $P\in (AB)$ cu $AP:PB=5:4$, iar $M$ este pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$, cu $BM:MC=8:3$. Dreapta $PM$ intersectează dreapta $CA$ în $N$. Calculează $CN:NA$ și spune dacă $N$ este pe latura $(CA)$.

3. În triunghiul $ABC$, $P\in (AB)$ cu $AP:PB=4:5$ și $N\in (AC)$ cu $AN:NC=8:3$. Dreapta $PN$ intersectează dreapta $BC$ în $M$. Calculează $BM:MC$.

4. În triunghiul $ABC$, $P\in (AB)$ cu $AP:PB=5:1$ și $N\in (AC)$ cu $CN:NA=3:1$. Dreapta $PN$ intersectează dreapta $BC$ în $M$. Arată că $M$ se află pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $B$, și exprimă $BM$ în funcție de $BC$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\overrightarrow{AP}=\frac{10}{13}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}$, iar dreapta $PN$ intersectează dreapta $BC$ în $M$, atunci $C$ este mijlocul segmentului $[BM]$.”

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În triunghiul $ABC$, punctul $P\in (AB)$ verifică $AP:PB=2:1$, iar punctul $M$ se află pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $B$, cu $BM:MC=1:8$. Dreapta $PM$ intersectează dreapta $AC$ în $N$. a) Arătați că $AN:NC=1:4$. b) Arătați că $N$ se află pe latura $(AC)$.

7. În triunghiul $ABC$ se iau $P\in (AB)$ cu $AP:PB=3:4$, punctul $M$ pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$, cu $BM:MC=7:3$, și $N\in (CA)$ cu $CN:NA=4:7$. Sunt punctele $P$, $M$, $N$ coliniare? Justifică.

8. Punctul $P$ se află pe prelungirea lui $[AB]$, dincolo de $B$, cu $AP:PB=3:2$, iar $N$ se află pe prelungirea lui $[CA]$, dincolo de $A$, cu $CN:NA=5:2$. Dreapta $PN$ intersectează dreapta $BC$ în $M$. Calculează $BM:MC$ și arată că dreapta $PN$ nu trece prin interiorul niciunei laturi.

9. Punctele $M\in (BC)$ și $N\in (CA)$ împart laturile în rapoartele $BM:MC=5:3$ și $CN:NA=3:4$, iar $O=AM\cap BN$. Află $BO:ON$, spunând ce triunghi și ce transversală ai ales.

10. (Problemă aplicată.) O incintă de laborator are secțiunea triunghiul $ABC$, cu $AB=28$ cm și $BC=25$ cm. O sursă laser fixată pe peretele $AB$, în punctul $P$ aflat la $8$ cm de $A$, trimite o rază care iese prin fanta $N$ a peretelui $CA$ și lovește un detector așezat în $M$, pe prelungirea peretelui $BC$, la $15$ cm dincolo de $C$. De la sursă la fantă raza parcurge $PN=10$ cm. Ce distanță parcurge de la fantă până la detector? Alege un triunghi potrivit.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$, punctul $P\in (AB)$ cu $AP:PB=4:9$ și punctul $M$ pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$, astfel încât $CM=\frac{1}{5}BC$. Dreapta $PM$ intersectează dreapta $AC$ în $N$. a) Arătați că $BM:MC=6:1$. b) Calculați $CN:NA$. c) Arătați că $\overrightarrow{AN}=\frac{8}{11}\overrightarrow{AC}$.

12. Punctele $P$, $N$, $M$ sunt date prin $\overrightarrow{AP}=\frac{5}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{BM}=-\frac{3}{17}\overrightarrow{BC}$. a) Arată vectorial că $M$, $N$, $P$ sunt coliniare, scriind $\overrightarrow{PM}$ și $\overrightarrow{PN}$ după $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$. b) Verifică rezultatul cu reciproca teoremei lui Menelaus.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ și punctele $M$, $N$, $P$ definite prin $\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MC}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{AB}=9\overrightarrow{AP}$. Arătați că punctele $M$, $N$, $P$ sunt coliniare.

14. Pe latura $(BC)$ se ia $D$ cu $BD:DC=4:1$, pe segmentul $(AD)$ se ia $E$ cu $AE:ED=3:4$, iar $F=BE\cap AC$. Află $AF:FC$ scriind relația lui Menelaus pentru triunghiul $ADC$.

15. Triunghiul $ABC$ are $AB=16$ cm, $BC=18$ cm și $CA=21$ cm. Punctul $P$ este pe prelungirea lui $[BA]$, dincolo de $A$, cu $AP=4$ cm, iar $M\in (BC)$ are $BM=12$ cm. Dreapta $PM$ intersectează dreapta $CA$ în $N$. Află lungimea $CN$.

16. În triunghiul $ABC$, $P\in (AB)$ cu $AP:PB=7:2$, iar $M$ este pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$, cu $BM:MC=8:7$. Dreapta $PM$ taie latura $(CA)$ în $N$. Ce fracție din aria triunghiului $ABC$ reprezintă aria triunghiului $APN$?

17. În triunghiul $ABC$, punctul $N\in (CA)$ verifică $CN:NA=4:7$. Pe latura $(AB)$ se caută un punct $P$ astfel încât dreapta $PN$ să întâlnească dreapta $BC$ într-un punct $M$ situat dincolo de $C$, cu $CM=\frac{1}{2}BC$. Calculează $AP:PB$.

18. (Provocare.) Fie $P\in (AB)$ și $N\in (AC)$ cu $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=y\overrightarrow{AC}$, unde $0<x<1$, $0<y<1$ și $x\ne y$. Dreapta $PN$ intersectează dreapta $BC$ în $M$. Demonstrează că $M$ se află dincolo de $C$ dacă și numai dacă $x<y$ și interpretează rezultatul: ce se întâmplă cu punctul $M$ când $x$ se apropie de $y$?

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{2}{5}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{3}{7}=1$, deci $\frac{BM}{MC}=\frac{35}{6}$ și $BM:MC=35:6$. $P$ și $N$ sunt interioare, deci $M$ este pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$, fiindcă $BM>MC$.

2. $\frac{5}{4}\cdot \frac{8}{3}\cdot \frac{CN}{NA}=1$, deci $\frac{CN}{NA}=\frac{3}{10}$ și $CN:NA=3:10$. Numai $P$ este interior dintre punctele date, iar regula cere $0$ sau $2$ puncte interioare, deci $N$ este pe latura $(CA)$.

3. Ocolul cere $\frac{CN}{NA}=\frac{3}{8}$, inversul datelor. Atunci $\frac{4}{5}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{3}{8}=1$, deci $BM:MC=10:3$, cu $M$ pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$.

4. $5\cdot \frac{BM}{MC}\cdot 3=1$, deci $BM:MC=1:15$. Cum $P$ și $N$ sunt interioare, $M$ e pe prelungire, iar din $BM<MC$ el se află dincolo de $B$. Atunci $MC=MB+BC$ și $15MB=MB+BC$, deci $BM=\frac{1}{14}BC$.

5. Fals. $\frac{AP}{PB}=\frac{10}{3}$ și $\frac{CN}{NA}=\frac{1}{5}$, deci $\frac{10}{3}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{1}{5}=1$ și $BM:MC=3:2$. $P$ și $N$ sunt interioare, deci $M$ este dincolo de $C$, iar din $BC+CM=\frac{3}{2}MC$ rezultă $MC=2BC$. $C$ ar fi mijlocul lui $[BM]$ numai dacă $BM:MC=2:1$.

6. a) Relația lui Menelaus, $2\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{CN}{NA}=1$, dă $\frac{CN}{NA}=4$, deci $AN:NC=1:4$. b) Punctul $P$ este pe latură, iar $M$ pe prelungire; numărul punctelor interioare trebuie să fie par, deci și $N$ este în interiorul laturii $(AC)$.

7. Produsul este $\frac{3}{4}\cdot \frac{7}{3}\cdot \frac{4}{7}=1$, iar punctele interioare sunt $P$ și $N$, adică două. Ambele condiții ale reciprocei sunt îndeplinite, deci $P$, $M$, $N$ sunt coliniare.

8. $\frac{3}{2}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{5}{2}=1$, deci $BM:MC=4:15$. Punctele $P$ și $N$ sunt amândouă pe prelungiri, adică $0$ puncte interioare până acum; dacă $M$ ar fi interior, am avea un singur punct interior, ceea ce regula interzice. Deci $M$ e pe prelungirea lui $[BC]$, iar din $BM<MC$ el este dincolo de $B$. Dreapta $PN$ nu trece prin interiorul niciunei laturi: triunghiul rămâne întreg de aceeași parte a ei.

9. Pentru raportul de pe $BN$ luăm triunghiul $BNC$; transversala $A$–$O$–$M$ trece prin $O$ pe $BN$, prin $A$ pe prelungirea lui $NC$ și prin $M$ pe $CB$. Ocolul din $B$: $\frac{BO}{ON}\cdot \frac{NA}{AC}\cdot \frac{CM}{MB}=1$. Cu $CN:NA=3:4$ avem $\frac{NA}{AC}=\frac{4}{7}$, iar $\frac{CM}{MB}=\frac{3}{5}$. Rezultă $\frac{BO}{ON}\cdot \frac{12}{35}=1$, deci $BO:ON=35:12$.

10. În triunghiul $PBM$, dreapta $A$–$N$–$C$ este transversală: trece prin $A$ pe prelungirea lui $[BP]$, prin $C$ pe latura $BM$ și prin $N$ pe latura $MP$. Ocolul din $P$: $\frac{PA}{AB}\cdot \frac{BC}{CM}\cdot \frac{MN}{NP}=1$, adică $\frac{8}{28}\cdot \frac{25}{15}\cdot \frac{MN}{NP}=1$, deci $\frac{MN}{NP}=\frac{21}{10}$ și $NM=21$ cm. Modelul presupune pereți plani și o rază rectilinie.

11. a) $M$ e dincolo de $C$, deci $BM=BC+CM=\frac{6}{5}BC$ și $MC=\frac{1}{5}BC$, adică $BM:MC=6:1$. b) Menelaus: $\frac{4}{9}\cdot 6\cdot \frac{CN}{NA}=1$, deci $\frac{CN}{NA}=\frac{3}{8}$ și $CN:NA=3:8$; $P$ e interior, $M$ exterior, deci $N$ e pe latura $(CA)$. c) $AN=\frac{8}{11}AC$, iar $N$ e între $A$ și $C$, deci $\overrightarrow{AN}=\frac{8}{11}\overrightarrow{AC}$.

12. a) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\frac{20}{17}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{17}\overrightarrow{AC}$, deci $\overrightarrow{PM}=-\frac{45}{34}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{17}\overrightarrow{AC}$, iar $\overrightarrow{PN}=-\frac{5}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Coeficienții sunt proporționali, $\overrightarrow{PM}=\frac{9}{17}\overrightarrow{PN}$, deci punctele sunt coliniare. b) $P$ e dincolo de $B$, cu $AP:PB=5:3$; $N$ e dincolo de $A$, cu $CN:NA=4:1$; $M$ e dincolo de $B$, cu $BM:MC=3:20$. Produsul $\frac{5}{3}\cdot \frac{3}{20}\cdot 4=1$, cu $0$ puncte interioare: reciproca confirmă.

13. Din $\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MC}$, vectorii au același sens, deci $M$ este pe prelungirea lui $[BC]$, dincolo de $C$, cu $BM:MC=4:1$. Din $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$: $N\in (AC)$ și $\frac{CN}{NA}=2$. Din $\overrightarrow{AB}=9\overrightarrow{AP}$: $P\in (AB)$, cu $AP=\frac{1}{9}AB$, deci $\frac{AP}{PB}=\frac{1}{8}$. Produsul $\frac{1}{8}\cdot 4\cdot 2=1$, iar punctele interioare sunt două ($P$ și $N$); din reciproca teoremei lui Menelaus, $M$, $N$, $P$ sunt coliniare.

14. Transversala $B$–$E$–$F$ a triunghiului $ADC$ trece prin $E$ pe $AD$, prin $B$ pe prelungirea lui $DC$ și prin $F$ pe $CA$. Ocolul din $A$: $\frac{AE}{ED}\cdot \frac{DB}{BC}\cdot \frac{CF}{FA}=1$. Cu $\frac{AE}{ED}=\frac{3}{4}$ și $\frac{DB}{BC}=\frac{4}{5}$ rezultă $\frac{3}{5}\cdot \frac{CF}{FA}=1$, deci $\frac{CF}{FA}=\frac{5}{3}$ și $AF:FC=3:5$.

15. $PB=20$ cm, deci $\frac{AP}{PB}=\frac{1}{5}$; $MC=6$ cm, deci $\frac{BM}{MC}=2$. Din $\frac{1}{5}\cdot 2\cdot \frac{CN}{NA}=1$ rezultă $\frac{CN}{NA}=\frac{5}{2}$. $P$ e pe prelungire și $M$ pe latură, deci $N$ e pe latura $(CA)$, iar $CN=\frac{5}{7}\cdot 21=15$ cm.

16. Menelaus: $\frac{7}{2}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{CN}{NA}=1$, deci $\frac{CN}{NA}=\frac{1}{4}$ și $AN=\frac{4}{5}AC$. Cu aria cu sinus, $\frac{{\mathcal{S}}_{APN}}{{\mathcal{S}}_{ABC}}=\frac{AP\cdot AN\cdot \sin A}{AB\cdot AC\cdot \sin A}=\frac{7}{9}\cdot \frac{4}{5}=\frac{28}{45}$.

17. $M$ e dincolo de $C$, deci $BM=\frac{3}{2}BC$, $MC=\frac{1}{2}BC$ și $\frac{BM}{MC}=3$. Condiția $\frac{AP}{PB}\cdot 3\cdot \frac{4}{7}=1$ dă $\frac{AP}{PB}=\frac{7}{12}$, adică $AP:PB=7:12$. Punctul $P$ e interior, $N$ interior, $M$ exterior — configurația cerută.

18. Din demonstrația lecției, $\overrightarrow{BM}=t\overrightarrow{BC}$ cu $t=\frac{y(1-x)}{y-x}$. Numărătorul este pozitiv, deci semnul lui $t$ este semnul lui $y-x$. Dacă $x<y$, atunci $t>0$ și, fiindcă $M$ e pe o prelungire, $t>1$: punctul e dincolo de $C$. Dacă $x>y$, atunci $t<0$ și $M$ e dincolo de $B$. Când $x$ se apropie de $y$, numitorul tinde spre $0$, iar $M$ se îndepărtează oricât de mult pe dreapta $BC$: la limită, pentru $x=y$, dreapta $PN$ devine paralelă cu $BC$.

De reținut

• O transversală a triunghiului $ABC$ intersectează dreptele $AB$, $BC$, $CA$ în $P$, $M$, $N$, și atunci $\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}=1$; fracțiile urmează ocolul $A$, $P$, $B$, $M$, $C$, $N$, fiecare pornind de unde s-a oprit precedenta.
• Numărul punctelor situate în interiorul laturilor este $0$ sau $2$; un punct de pe prelungirea lui $[BC]$ este dincolo de $C$ când $BM>MC$ și dincolo de $B$ când $BM<MC$, iar raportul $1$ pe o prelungire înseamnă, de fapt, o paralelă.
• Demonstrația cerută de programa de examen este vectorială: descompui $\overrightarrow{PM}$ și $\overrightarrow{PN}$ după $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$, identifici coeficienții, iar produsul rapoartelor se simplifică la $1$.
• Reciproca este testul de coliniaritate: produsul egal cu $1$ și $0$ sau $2$ puncte interioare garantează că $P$, $M$, $N$ sunt pe aceeași dreaptă; cu trei puncte interioare, produsul $1$ înseamnă ceviene concurente, nu coliniaritate.
• Datele vectoriale se traduc cu grijă: din $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}$ rezultă $\frac{AP}{PB}=\frac{x}{1-x}$, nu $x$; iar când în figură apare o ceviană, alegi alt triunghi, astfel încât a patra dreaptă să fie transversala.

Greșeli frecvente

• Coeficientul vectorului luat drept raport. Din $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AB}$ se scrie $\frac{AP}{PB}=\frac{3}{7}$. Coeficientul compară $AP$ cu toată latura $AB$; raportul din teoremă compară $AP$ cu restul, $PB=\frac{4}{7}AB$, deci valoarea corectă este $\frac{3}{4}$.
• Semnul pierdut la punctul de pe prelungire. Pentru un punct $M$ dincolo de $C$ se scrie $\overrightarrow{BM}=\frac{8}{5}\overrightarrow{MC}$. Cei doi vectori au, de fapt, sensuri opuse, așa că relația corectă are semnul minus; lungimile din teoremă sunt pozitive, dar vectorii poartă și sensul.
• Teorema aplicată unei paralele. O dreaptă prin mijloacele a două laturi e tratată ca transversală și se ajunge la „punctul de pe prelungire cu raportul $1$”. Un asemenea punct nu există; dreapta este paralelă cu a treia latură, iar situația se rezolvă cu Thales, nu cu Menelaus.
• Coeficienți identificați în baze diferite. Într-o egalitate se scrie o parte după $\overrightarrow{AP}$ și $\overrightarrow{AN}$, iar cealaltă după $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$, apoi se egalează „coeficientul din față”. Unicitatea descompunerii funcționează numai după aceeași pereche de vectori necoliniari; întâi aduci totul la $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$.
• Coliniaritatea citită din desen. Trei puncte care par aliniate sunt declarate coliniare fără calcul. Un desen făcut de mână ascunde ușor o abatere de o unitate; decide produsul rapoartelor, nu impresia vizuală.

Aplică acasă

1. Punctul care fuge. Într-un program de geometrie dinamică (GeoGebra sau Desmos) construiește triunghiul $A(0,0)$, $B(8,0)$, $C(0,8)$, punctele $P=A+x(B-A)$ și $N=A+y(C-A)$ cu două glisoare pentru $x$ și $y$, apoi intersecția $M$ a dreptei $PN$ cu dreapta $BC$. Fixează $y=0,5$ și mișcă $x$ de la $0,1$ la $0,9$. Notează când sare $M$ de la o parte a segmentului la cealaltă și ce se întâmplă chiar la $x=0,5$.

2. Verificarea cu ecuația dreptei. Pe o foaie de matematică, cu reperul de mai sus, alege tu rapoartele $AP:PB$ și $CN:NA$, calculează coordonatele lui $P$ și $N$, scrie ecuația dreptei $PN$ ca în lecțiile de geometrie analitică și intersectează-o cu dreapta $x+y=8$. Compară raportul $BM:MC$ obținut din coordonate cu cel dat de teorema lui Menelaus.

3. Dosarul de coliniarități. Caută în culegere sau în testul unității trei probleme în care se cere „arătați că punctele … sunt coliniare”. Pentru fiecare, scrie pe o fișă: ce triunghi ai ales, care sunt cele trei puncte, câte sunt în interiorul laturilor și ce produs trebuie calculat. Păstrează fișa pentru recapitularea dinaintea examenului.

Pentru părinți și profesori

La științe ale naturii, teorema lui Menelaus vine după capitolul de vectori, iar lecția profită: demonstrația este un calcul de descompunere, cu uneltele exersate deja. Elevul nu memorează o construcție ajutătoare, iar aceeași tehnică — doi vectori scriși după o bază, coeficienți identificați — rezolvă și intersecțiile în care teorema nu se vede imediat. Forma relației pe ocolul triunghiului este cea din testul unității.

De urmărit în caiet: ocolul pornit din $A$, datele întoarse înainte de înmulțire, punctele interioare numărate înainte de a spune unde cade punctul, coeficienții vectoriali transformați în rapoarte. Întrebări de control: „De ce nu poate o transversală să treacă prin interiorul tuturor laturilor?”; „Ce îți spune raportul $BM:MC=1:4$ despre poziția lui $M$, dacă știi că e pe prelungire?”; „Din $\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$, cât este $\frac{AP}{PB}$?”; „Ce triunghi alegi ca să afli $AO:OM$ când $O$ este intersecția a două ceviene?”. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: teorema lui Menelaus o demonstrează prin asemănare, fără vectori. Pe traseul M2 urmează teorema lui Ceva, situația complementară a trei ceviene concurente; capitolul se verifică cu testul de supliment despre vectori și calcul vectorial. Din gimnaziu contează teorema lui Thales, cazul dreptei paralele cu o latură.

Programa și examenul. Teorema lui Menelaus nu se află în programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, și nu apare nici în programa probei MAT_P2 de la bacalaureatul 2030. Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: elevii aflați acum în clasele X–XII învață după programa veche și dau proba M_șt-nat pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), care trece „Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva” la clasa a IX-a, în capitolul „Coliniaritate, concurență, paralelism — calcul vectorial în geometria plană”; de aceea demonstrația din lecție este cea vectorială. Modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu are o cerință cu teorema lui Menelaus și nici una cu vectori; exercițiile marcate aici sunt construite după rândul din programa de examen, nu preluate dintr-un subiect oficial. Programa de examen din 2014 prevedea patru ore de matematică pe săptămână la clasa a IX-a, iar planurile-cadru actuale (OMEC 4350/2025) prevăd trei. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Teorema lui Menelaus se învață altfel la M2 decât la mate-info (M1)? Enunțul este același, dar drumul diferă. La mate-info (M1), teorema vine după asemănarea triunghiurilor și se demonstrează sintetic, cu construcții ajutătoare. La științe ale naturii (M2), programa de examen o așază în capitolul de calcul vectorial, așa că demonstrația se face prin descompunerea după doi vectori necoliniari, iar exercițiile amestecă rapoartele cu scrierea vectorială a punctelor.

La ce subiect poate apărea teorema lui Menelaus la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 o cere la clasa a IX-a, în capitolul de calcul vectorial, iar subiectul I are șase cerințe scurte, printre care cele de geometrie plană. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință cu această teoremă și nici una cu vectori, așa că exercițiile marcate în lecție sunt construite după programă, în stilul cerințelor scurte.

Ce înseamnă că punctul M se află „dincolo de C”? Înseamnă că $M$ este pe dreapta $BC$, în afara segmentului $[BC]$, de partea vârfului $C$, adică $C$ se află între $B$ și $M$. Poziția se deduce din teoremă în doi pași: numeri punctele interioare, apoi compari $BM$ cu $MC$. Dacă $BM$ e mai mare, punctul este dincolo de $C$; dacă e mai mic, dincolo de $B$.

Ce legătură are teorema lui Menelaus cu descompunerea unui vector? Demonstrația din lecție este, de fapt, o descompunere. Scrii vectorii $\overrightarrow{PM}$ și $\overrightarrow{PN}$ după $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$, ceri ca ei să fie coliniari și identifici coeficienții, lucru permis de unicitatea descompunerii. Din sistemul obținut rezultă poziția lui $M$ pe dreapta $BC$, iar produsul celor trei rapoarte se simplifică la $1$.

Ce se întâmplă dacă dreapta PN este paralelă cu BC? Atunci dreapta nu mai întâlnește dreapta $BC$, deci nu este o transversală și teorema nu se aplică. Situația apare exact când $P$ și $N$ împart laturile $AB$ și $AC$ în același raport, adică atunci când $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ cu același $k$. Este teorema lui Thales, citită vectorial.

Ce se întâmplă dacă dreapta trece printr-un vârf al triunghiului? Atunci ea nu mai este o transversală, iar teorema nu se aplică. Dacă dreapta trece, de exemplu, prin $A$, punctele $P$ și $N$ coincid cu $A$: raportul $\frac{AP}{PB}$ devine $0$, iar $\frac{CN}{NA}$ nu mai are sens, fiindcă numitorul este $0$. O asemenea dreaptă este o ceviană, iar cevienele sunt tema teoremei lui Ceva.