Cum se scrie $$\overrightarrow{AB}$$ cu vectorii de poziție $$\vec{r}_A$$ și $$\vec{r}_B$$?

$$\dfrac{\vec{r}_A+\vec{r}_B}{2}$$

Care este vectorul de poziție al mijlocului $$M$$ al segmentului $$[AB]$$?

$$\dfrac{\vec{r}_A+\vec{r}_B}{2}$$

$$\dfrac{\vec{r}_B-\vec{r}_A}{2}$$

Unde este centrul de masă a două corpuri?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Vectorul de poziție

Pe segmentul care le unește, dat de vectorul de poziție $r_{C} = \frac{m _{1} r _{A} + m _{2} r _{B}}{m _{1} + m _{2}}$ : fiecare capăt primește ca pondere masa lui. Pentru $2$ kg în $A$ și $4$ kg în $B$ , pe o tijă de $60$ cm, $r_{C} = \frac{1}{3} r_{A} + \frac{2}{3} r_{B}$ , deci $A C = \frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ cm. Punctul este mai aproape de corpul mai greu: $A C : C B = 4 : 2$ , adică raportul invers al maselor.

Vectorul de poziție al unui punct pornește dintr-o origine pe care o alegi liber. Schimbând originea se schimbă și el, însă diferențele rămân: vectorii dintre puncte nu depind de alegere. De aceea originea se trece pe primul rând al rezolvării și nu se mai clintește pe parcurs.

Traducerea se face după $A B = r_{B} - r_{A}$ , adică scazi vectorul punctului din care pleci. Verifici rapid: luând chiar pe $A$ drept origine, $r_{A} = 0$ și trebuie să-ți rămână $A B = r_{B}$ .

Mijlocul primește media capetelor, $r_{M} = \frac{r _{A} + r _{B}}{2}$ , și e singurul punct care îndeplinește $M A + M B = 0$ .

Raportul dat. Din $A M : M B = m : n$ iese $r_{M} = \frac{n r _{A} + m r _{B}}{m + n}$ : fiecare capăt primește drept pondere numărul bucății opuse, iar coeficienții se adună la $1$ . Raportul pune bucățile față în față, nu bucata față de întreg — la $A M : M B = 1 : 3$ ai patru părți, deci $A M$ este un sfert din $A B$ .

Thales, în limbaj vectorial: din $A M = t A B$ și $A N = t A C$ , cu același $t$ , urmează $M N = t B C$ , deci $M N ∥ B C$ . Coeficienți diferiți nu aduc paralelism, ci dimpotrivă — dreptele se taie.

În fizică, aceeași formulă dă centrul de masă pentru două corpuri prinse la capetele unei tije: ponderile sunt masele, iar punctul stă mai aproape de corpul greu.

De reținut

$A B = r_{B} - r_{A}$
$A M : M B = m : n$ dă $r_{M} = \frac{n r _{A} + m r _{B}}{m + n}$
centrul de masă: $r_{C} = \frac{m _{1} r _{A} + m _{2} r _{B}}{m _{1} + m _{2}}$ , mai aproape de masa mare

Greșeala tipică

Se așază centrul de masă mai aproape de corpul ușor, punând fiecărui capăt masa celuilalt; în formulă fiecare vector de poziție se înmulțește cu propria masă.

Exerciții din această mini-lecție

Cum se scrie $A B$ cu vectorii de poziție $r_{A}$ și $r_{B}$ ?
- a) $r_{A} - r_{B}$
- b) $r_{B} - r_{A}$
- c) $r_{A} + r_{B}$
- d) $\frac{r _{A} + r _{B}}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $r_{B} - r_{A}$

Se scade vectorul punctului de plecare. Verificare: dacă $A$ este originea, $r_{A} = 0$ și rămâne $A B = r_{B}$ , cum trebuie. Varianta a) dă vectorul opus.
Care este vectorul de poziție al mijlocului $M$ al segmentului $[A B]$ ?
- a) $\frac{r _{A} + r _{B}}{2}$
- b) $r_{B} - r_{A}$
- c) $\frac{r _{B} - r _{A}}{2}$
- d) $r_{A} + r_{B}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{r _{A} + r _{B}}{2}$

Mijlocul are ca vector de poziție media capetelor — cazul $m = n$ al formulei raportului. Varianta c) este jumătate din $A B$ , adică un vector, nu poziția unui punct.
Dacă $A M : M B = 1 : 3$ , ce fracțiune din $A B$ reprezintă $A M$ ?
- a) $\frac{1}{3}$
- b) $\frac{1}{4}$
- c) $\frac{3}{4}$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1}{4}$

Raportul compară cele două bucăți între ele: sunt $1 + 3 = 4$ părți în tot segmentul, deci $A M$ este un sfert din $A B$ . Varianta a) e greșeala de a citi raportul ca fracțiune din întreg.

Întrebări conexe

Cum aflu vectorul de poziție al lui $B$ dacă știu $A$ și mijlocul $M$ ?

Din $r_{M} = \frac{r _{A} + r _{B}}{2}$ obții $r_{B} = 2 r_{M} - r_{A}$ . Geometric, $B$ este simetricul lui $A$ față de $M$ . Verificare: dacă originea este chiar $M$ , atunci $r_{B} = - r_{A}$ , adică $A$ și $B$ sunt de o parte și de alta a lui $M$ , la aceeași distanță.

Ce înseamnă raportul $A M : M B = 3 : 1$ pentru vectorul $A M$ ?

Segmentul are $3 + 1 = 4$ părți egale, iar $A M$ ocupă trei dintre ele, deci $A M = \frac{3}{4} A B$ . Vectorul de poziție este $r_{M} = \frac{1 \cdot r _{A} + 3 r _{B}}{4}$ . Punctul $M$ este mai aproape de $B$ .

Ce vector de poziție are punctul $M$ dacă aleg originea chiar în $A$ ?

Atunci $r_{A} = 0$ și formula raportului se scurtează. Pentru $A M : M B = 1 : 2$ obții $r_{M} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot r _{B}}{3} = \frac{1}{3} r_{B}$ . Alegerea unei extremități ca origine este comodă când toate punctele sunt pe laturile care pleacă din ea.

Cum împart un segment în trei părți egale folosind vectori de poziție?

Punctele de diviziune sunt $P$ , cu $A P : P B = 1 : 2$ , și $Q$ , cu $A Q : QB = 2 : 1$ . Formula raportului dă $r_{P} = \frac{2 r _{A} + r _{B}}{3}$ și $r_{Q} = \frac{r _{A} + 2 r _{B}}{3}$ . Coeficienții se adună la $1$ în ambele scrieri.

Unde este centrul de masă al sistemului Pământ–Lună?

Masa Pământului este de aproximativ $81$ de ori masa Lunii, iar centrele lor sunt la circa $384000$ km. Centrul de masă împarte distanța în raportul $1 : 81$ față de Pământ, adică la $384000 : 82 \approx 4680$ km de centrul Pământului, deci încă sub suprafața lui.

Oamenii mai întreabă și: centrul de masă a două corpuri · unde se află centrul de masă al unei tije cu două greutăți · centrul de masă cu vectori de poziție · punctul de echilibru între două mase