Vectorul de poziție și raportul pe un segment (M2, științe ale naturii)

Un satelit meteorologic transmite poziția a două stații de măsurare de pe sol. Ca să descrii unde se află ele, nu spui „stația se află undeva" — spui de cât te-ai deplasat de la un punct de reper ales dinainte. Tot ce ai nevoie e reperul și săgeata care duce de la el la stație. Ideea aceasta, simplă și veche, se numește în matematică vector de poziție, iar lecția de față, de clasa a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2), arată cât de mult se simplifică problemele de geometrie când o folosești. La Bacalaureatul M2 2027–2029, calculul vectorial este în programa de examen, iar Subiectul I are șase cerințe scurte de câte cinci puncte, din materia claselor a IX-a și a X-a; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerințele $5$ și $6$ de la acest subiect sunt de geometrie — una cu coordonate și mijlocul unui segment, alta cu un triunghi dreptunghic — iar relațiile vectoriale intră în aceeași familie de cerințe scurte.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: vectorul de poziție al unui punct și al punctului care împarte un segment într-un raport dat sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar în programa nouă a clasei a IX-a. Punctul de plecare e lecția anterioară, despre descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari; acolo pleci mereu dintr-un vârf al figurii, aici alegi un punct de reper oarecare, care nu are nicio legătură cu figura — iar tocmai libertatea asta face metoda atât de puternică.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești corect vectorul de poziție al unui punct față de o origine aleasă și să explici de ce alegerea originii nu schimbă niciun rezultat geometric.
• Vei ști să scrii orice vector din figură ca diferență de vectori de poziție, cu formula $\overrightarrow{AB}={\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A$.
• Vei ști să calculezi vectorul de poziție al mijlocului unui segment și să-l recunoști ca pe un caz particular al formulei generale.
• Vei ști ce înseamnă că un punct împarte un segment într-un raport dat și să treci, în ambele sensuri, de la raport la coeficienți.
• Vei ști să citești teorema lui Thales în limbaj vectorial și să decizi din coeficienți dacă două drepte sunt paralele.
• Vei ști să folosești aceeași formulă la fizică, pentru a găsi centrul de masă al două corpuri legate printr-o tijă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este vectorul de poziție al unui punct?

Vectorul de poziție al unui punct $A$ este vectorul $\overrightarrow{OA}$, unde $O$ este un punct fix ales dinainte și numit origine (sau pol); el se notează pe scurt ${\vec{r}}_A$ și determină punctul $A$ în mod unic, pentru că, odată fixată originea, fiecărui punct din plan îi corespunde exact un vector de poziție, iar fiecărui vector, exact un punct.

Punctul $O$ poate fi oriunde: un vârf al figurii, mijlocul unei laturi sau un punct din afara desenului. Singura regulă e că, într-o problemă, originea se alege o singură dată și rămâne neschimbată până la capăt. Vectorul de poziție al originii însăși este vectorul nul, fiindcă $\overrightarrow{OO}=\vec{0}$.

2. Cum se scrie un vector oarecare cu vectori de poziție?

Aici stă toată economia metodei. Fie $A$ și $B$ două puncte, cu vectorii de poziție ${\vec{r}}_A$ și ${\vec{r}}_B$. Mergând din $A$ înapoi în $O$ și apoi din $O$ în $B$, obținem

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B={\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A.$$

Reține ordinea: se scade vectorul de poziție al punctului din care pleci. Dacă inversezi, obții vectorul opus, adică exact drumul în sens invers. Formula aceasta transformă orice figură într-un calcul cu litere: în loc să urmărești pe desen drumuri din vârf în vârf, scrii fiecare vector ca diferență și lucrezi mai departe algebric.

Observă și un lucru important: în expresia ${\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A$ originea a dispărut. Orice mărime geometrică — un vector, un paralelism, un raport de segmente — se exprimă prin diferențe de vectori de poziție, iar diferențele nu depind de $O$. De aceea originea poate fi aleasă cum îți convine, fără teama că schimbi rezultatul.

3. Care este vectorul de poziție al mijlocului unui segment?

Fie $M$ mijlocul segmentului $[AB]$. Din definiția mijlocului, $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Trecem totul în vectori de poziție: ${\vec{r}}_M-{\vec{r}}_A=\frac{1}{2}({\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A)$, de unde

$${\vec{r}}_M={\vec{r}}_A+\frac{1}{2}{\vec{r}}_B-\frac{1}{2}{\vec{r}}_A=\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B}{2}.$$

Rezultatul e ușor de ținut minte, pentru că e media celor doi vectori de poziție, exact cum coordonata mijlocului e media coordonatelor. O a doua formă, la fel de folositoare, se obține trecând totul în membrul stâng: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$. Citită invers, ea spune că mijlocul este singurul punct din care cele două drumuri, spre $A$ și spre $B$, se anulează reciproc.

4. Ce înseamnă că un punct împarte un segment într-un raport dat?

Un punct $M$ împarte segmentul $[AB]$ în raportul $k$ dacă $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{MB}$, unde $k$ este un număr real diferit de $-1$ (valoare exclusă pentru că ar duce la $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}$, adică la $A=B$); pentru $k>0$ punctul $M$ se află între $A$ și $B$, iar raportul lungimilor este $\frac{AM}{MB}=k$.

În exerciții, raportul se dă de obicei sub forma $AM:MB=m:n$, cu $m$ și $n$ numere pozitive, ceea ce înseamnă $k=\frac{m}{n}$. Cazul $k=1$, adică $m=n$, este chiar mijlocul segmentului, despre care tocmai am vorbit. Valorile negative ale lui $k$ descriu puncte situate pe dreapta $AB$, dar în afara segmentului — ele apar rar la clasa a IX-a și trebuie citite cu grijă.

Merită observat de ce definiția se dă cu vectori și nu cu lungimi. O egalitate între lungimi, precum $AM=2\cdot MB$, e mulțumită de două puncte diferite: unul între $A$ și $B$, celălalt în afara segmentului, de partea cealaltă a lui $B$. Egalitatea între vectori le deosebește, pentru că ea cere și același sens, nu doar același raport de lungimi. Așa se explică de ce, în enunțurile de examen, apare mai des egalitatea între vectori decât cea între lungimi.

⚠️ În unele manuale, același cuvânt „raport" se folosește pentru relația $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$, care dă alte numere. De aceea, la un exercițiu, citește mereu ce relație e scrisă în enunț și nu te lua după litera $k$ singură. În lecția aceasta convenția e cea de mai sus, iar toate exercițiile o respectă.

5. Cum se calculează vectorul de poziție al acestui punct?

Pornim de la definiție și trecem în vectori de poziție: ${\vec{r}}_M-{\vec{r}}_A=k({\vec{r}}_B-{\vec{r}}_M)$. Aducem termenii cu ${\vec{r}}_M$ în stânga: ${\vec{r}}_M+k{\vec{r}}_M={\vec{r}}_A+k{\vec{r}}_B$, adică $(1+k){\vec{r}}_M={\vec{r}}_A+k{\vec{r}}_B$. Împărțind la $1+k$, care e nenul tocmai fiindcă am exclus $k=-1$, obținem formula capitolului:

$${\vec{r}}_M=\frac{{\vec{r}}_A+k{\vec{r}}_B}{1+k},\text{iar pentru }AM:MB=m:n,{\vec{r}}_M=\frac{n{\vec{r}}_A+m{\vec{r}}_B}{m+n}.$$

A doua formă se obține punând $k=\frac{m}{n}$ și amplificând cu $n$, și e cea pe care o vei folosi cel mai des. Merită citită în cuvinte, pentru că așa nu o mai încurci niciodată: ponderea fiecărui capăt este numărul din bucata opusă. Punctul $M$ e mai aproape de capătul cu ponderea mai mare, ceea ce îți dă un control instantaneu al răspunsului.

6. Cum se citește teorema lui Thales în limbaj vectorial?

Din gimnaziu știi teorema lui Thales: o paralelă la o latură taie celelalte două laturi în segmente proporționale. În limbaj vectorial, enunțul devine o singură egalitate. Fie triunghiul $ABC$, punctul $M$ pe latura $[AB]$ și punctul $N$ pe latura $[AC]$, cu $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=t\overrightarrow{AC}$, unde $t$ este același număr pentru amândouă. Atunci

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AC}-t\overrightarrow{AB}=t(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=t\overrightarrow{BC}.$$

Vectorul $\overrightarrow{MN}$ fiind un multiplu al lui $\overrightarrow{BC}$, dreptele $MN$ și $BC$ sunt paralele, iar lungimile respectă raportul $t$. Cuvântul-cheie al enunțului este „același $t$": dacă cele două puncte se iau cu coeficienți diferiți, calculul de mai sus nu mai dă un multiplu al lui $\overrightarrow{BC}$ și paralelismul dispare. Reciproc, dacă $\overrightarrow{MN}$ iese multiplu al lui $\overrightarrow{BC}$, cele două drepte sunt paralele — testul de paralelism se reduce, așadar, la o simplă verificare de coliniaritate.

7. Unde apare vectorul de poziție în științe?

La fizică, exact aceeași formulă dă centrul de masă. Dacă două corpuri, de mase $m_1$ și $m_2$, sunt fixate în punctele $A$ și $B$, legate printr-o tijă rigidă de masă neglijabilă, atunci centrul lor de masă $G$ are vectorul de poziție

$${\vec{r}}_G=\frac{m_1{\vec{r}}_A+m_2{\vec{r}}_B}{m_1+m_2}.$$

Compară cu formula raportului: ponderile sunt masele, iar $G$ se apropie de corpul mai greu, exact cum $M$ se apropie de capătul cu ponderea mai mare. Comparând cele două expresii termen cu termen, obții $AG:GB=m_2:m_1$ — proporție pe care fizicianul o numește legea pârghiei, iar matematicianul, raport pe un segment. Este unul dintre locurile în care limbajul vectorial arată că două capitole diferite de manual spun, de fapt, același lucru.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Mijlocul, scris cu o origine oarecare

Fie $M$ mijlocul segmentului $[AB]$ și $P$ un punct oarecare din plan. Arătați că $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PM}$ și deduceți că $\Vert \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\Vert =2PM$.

Rezolvare. Scriem cei doi vectori față de $P$: $\overrightarrow{PA}={\vec{r}}_A-{\vec{r}}_P$ și $\overrightarrow{PB}={\vec{r}}_B-{\vec{r}}_P$. Adunându-i și folosind ${\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B=2{\vec{r}}_M$, obținem $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2{\vec{r}}_M-2{\vec{r}}_P=2\overrightarrow{PM}$. Trecând la module, factorul $2$ iese cu valoarea lui absolută, deci $\Vert \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\Vert =2PM$.

Este o formulă de conversie: o sumă de doi vectori duși spre capetele unui segment se strânge într-un singur vector, dus spre mijloc. Observă că $P$ nu a fost folosit niciodată ca punct concret — demonstrația merge la fel dacă $P$ e un vârf al figurii sau un punct oarecare din plan.

Exemplul 2 — Un raport de patru la cinci

Punctul $M$ se află pe segmentul $[AB]$, între $A$ și $B$, și $AM:MB=4:5$. Determinați ${\vec{r}}_M$ în funcție de ${\vec{r}}_A$ și ${\vec{r}}_B$.

Rezolvare. Din raport avem $k=\frac{4}{5}$, deci ponderea lui $A$ este $5$, iar ponderea lui $B$ este $4$ — numerele din bucata opusă. Aplicăm formula:

$${\vec{r}}_M=\frac{5{\vec{r}}_A+4{\vec{r}}_B}{9}.$$

Control, fără calcule noi: suma coeficienților, $\frac{5}{9}+\frac{4}{9}$, este $1$, cum trebuie pentru un punct de pe dreapta $AB$; iar coeficientul mai mare stă lângă ${\vec{r}}_A$, ceea ce se potrivește cu $AM<MB$, adică $M$ mai aproape de $A$.

Exemplul 3 — Din formulă înapoi în figură

Despre un punct $P$ se știe că ${\vec{r}}_P=\frac{5{\vec{r}}_A+2{\vec{r}}_B}{7}$. Stabiliți unde se află $P$ față de $A$ și $B$.

Rezolvare. Comparăm cu forma generală $\frac{n{\vec{r}}_A+m{\vec{r}}_B}{m+n}$ și citim $n=5$, $m=2$, deci $AP:PB=2:5$. Verificăm direct, calculând cei doi vectori:

$$\overrightarrow{AP}={\vec{r}}_P-{\vec{r}}_A=\frac{2{\vec{r}}_B-2{\vec{r}}_A}{7}=\frac{2}{7}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{PB}={\vec{r}}_B-{\vec{r}}_P=\frac{5{\vec{r}}_B-5{\vec{r}}_A}{7}=\frac{5}{7}\overrightarrow{AB}.$$

Cei doi vectori au același sens, iar al doilea e de două ori și jumătate mai lung decât primul, deci $P$ este între $A$ și $B$, la două șeptimi de drum, mai aproape de $A$. Ambele rezultate se potrivesc cu ponderile citite din formulă.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

La un exercițiu cu $AM:MB=1:3$, un elev a scris ${\vec{r}}_M=\frac{{\vec{r}}_A+3{\vec{r}}_B}{4}$. Arătați că răspunsul e greșit și scrieți-l corect.

Rezolvare. Elevul a pus ponderile în ordinea în care apar în raport, deși regula cere ordinea inversată. Cu $AM:MB=1:3$, punctul $M$ e mult mai aproape de $A$ decât de $B$, deci coeficientul lui ${\vec{r}}_A$ trebuie să fie cel mare. Răspunsul corect este

$${\vec{r}}_M=\frac{3{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B}{4}.$$

Verificare: $\overrightarrow{AM}={\vec{r}}_M-{\vec{r}}_A=\frac{{\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A}{4}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$, adică un sfert de segment, exact cât cere raportul $1:3$. Scrierea elevului ar fi dat trei sferturi, adică tocmai punctul simetric față de mijloc.

Exemplul 5 — Centrul de masă a două corpuri

Pe o tijă rigidă, de masă neglijabilă, sunt fixate două bile: una de $200$ g în punctul $A$ și una de $300$ g în punctul $B$. Determinați vectorul de poziție al centrului de masă și poziția lui pe tijă.

Rezolvare. Aplicăm formula centrului de masă, cu $m_1=200$ g și $m_2=300$ g, și simplificăm prin $100$:

$${\vec{r}}_G=\frac{200{\vec{r}}_A+300{\vec{r}}_B}{500}=\frac{2{\vec{r}}_A+3{\vec{r}}_B}{5}.$$

Citind ponderile invers, obținem $AG:GB=3:2$. Așadar centrul de masă împarte tija în raportul $3:2$, măsurat de la bila ușoară spre cea grea, și se află mai aproape de bila de $300$ g — ceea ce se potrivește cu experiența: ca să echilibrezi tija pe deget, sprijinul se pune mai aproape de capătul greu. Dacă tija ar avea $50$ cm, punctul de sprijin ar fi la $30$ cm de $A$ și la $20$ cm de $B$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ și punctul $M$ situat pe latura $[BC]$, astfel încât $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MC}$. Arătați că $3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$.

Rezolvare. Ipoteza spune că $M$ împarte segmentul $[BC]$ în raportul $2$, deci putem folosi formula cu originea aleasă chiar în $A$: vectorii de poziție devin $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$, iar $k=2$ dă

$$\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{1+2}=\frac{\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{3},$$

de unde, înmulțind cu $3$, se obține egalitatea cerută. Cerința e scrisă în stilul Subiectului I de la Bacalaureatul M2: o singură afirmație de demonstrat, în două-trei rânduri, cu formula aplicată direct.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, notează întâi ce ai ales ca origine și scrie toți vectorii de poziție față de ea. Când apare un raport, transformă-l imediat în ponderi, inversate față de ordinea din enunț, și verifică dacă suma coeficienților este $1$. Dacă problema cere un paralelism, caută un multiplu.

1. Vectorii $\vec{p}$ și $\vec{q}$ sunt necoliniari, iar punctele $A$ și $B$ au vectorii de poziție ${\vec{r}}_A=3\vec{p}$ și ${\vec{r}}_B=\vec{p}+4\vec{q}$. Determină ${\vec{r}}_M$, unde $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$.

2. Punctul $M$ se află între $A$ și $B$, cu $AM:MB=1:4$. Determină ${\vec{r}}_M$.

3. Punctul $M$ se află între $A$ și $B$, cu $AM:MB=5:3$. Determină ${\vec{r}}_M$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Vectorul de poziție al unui punct nu se schimbă dacă alegem altă origine."

5. Se știe că ${\vec{r}}_P=\frac{{\vec{r}}_A+4{\vec{r}}_B}{5}$. Determină raportul $AP:PB$.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră punctele $A$ și $B$ și punctul $M$ pentru care $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$. Arătați că $5\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$, oricare ar fi punctul $O$.

7. Punctul $N$ este simetricul lui $B$ față de $A$. Exprimă ${\vec{r}}_N$ în funcție de ${\vec{r}}_A$ și ${\vec{r}}_B$.

8. În triunghiul $ABC$, punctele $M$ și $N$ verifică $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$. Arată că dreptele $MN$ și $BC$ sunt paralele.

9. În triunghiul $ABC$, punctele $M$ și $N$ verifică $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Sunt dreptele $MN$ și $BC$ paralele? Justifică.

10. (Problemă aplicată.) Pe o axă gradată se marchează punctul $A$, pentru concentrația de $10\%$, și punctul $B$, pentru concentrația de $20\%$. Se amestecă $300$ g de soluție de $10\%$ cu $200$ g de soluție de $20\%$, iar punctul $G$ marchează concentrația amestecului, care se calculează ca o medie ponderată cu masele. Determină ${\vec{r}}_G$, raportul $AG:GB$ și concentrația amestecului.

11. Punctul $M$ verifică $\overrightarrow{AM}=\frac{7}{4}\overrightarrow{AB}$. Determină ${\vec{r}}_M$ și spune unde se află $M$ față de segmentul $[AB]$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră punctele $A$, $B$ și punctul $M$ pentru care $3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\vec{0}$. Arătați că $5\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$, oricare ar fi punctul $O$.

13. Punctul $C$ verifică $3\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{CB}=\vec{0}$. Determină ${\vec{r}}_C$ în funcție de ${\vec{r}}_A$ și ${\vec{r}}_B$, apoi raportul $AC:CB$.

14. Se știe că $3{\vec{r}}_M={\vec{r}}_A+2{\vec{r}}_B$. Determină raportul $AM:MB$ și spune de care capăt e mai aproape punctul $M$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ și punctul $D$ situat între $A$ și $B$, cu $AD=\frac{1}{4}AB$. Arătați că $4\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$.

16. În triunghiul $ABC$ se iau $M$ pe $[AB]$ și $N$ pe $[AC]$, cu $AM:MB=3:4$ și $AN:NC=3:4$. Determină numărul real $t$ pentru care $\overrightarrow{MN}=t\overrightarrow{BC}$ și precizează ce fracțiune din latura $BC$ este segmentul $MN$.

17. Explică, în două-trei fraze, de ce valoarea $k=-1$ este exclusă din definiția punctului care împarte un segment într-un raport dat.

18. (Provocare.) Fie $ABCD$ un patrulater, $M$ mijlocul laturii $[AB]$, $N$ mijlocul laturii $[CD]$ și $P$ mijlocul segmentului $[MN]$. Arată că $4{\vec{r}}_P={\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B+{\vec{r}}_C+{\vec{r}}_D$ și deduce că $P$ este și mijlocul segmentului care unește mijloacele laturilor $[BC]$ și $[AD]$.

Răspunsuri și explicații

1. Mijlocul are vectorul de poziție egal cu media celor două: ${\vec{r}}_M=\frac{3\vec{p}+\vec{p}+4\vec{q}}{2}=\frac{4\vec{p}+4\vec{q}}{2}=2\vec{p}+2\vec{q}$. Scrierea în funcție de $\vec{p}$ și $\vec{q}$ este unică, fiindcă cei doi vectori sunt necoliniari.

2. Raportul $1:4$ dă ponderile inversate, adică $4$ pentru $A$ și $1$ pentru $B$: ${\vec{r}}_M=\frac{4{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B}{5}$. Coeficientul mare stă lângă $A$, cum trebuie, fiindcă $M$ e aproape de $A$.

3. Ponderile sunt $3$ pentru $A$ și $5$ pentru $B$, deci ${\vec{r}}_M=\frac{3{\vec{r}}_A+5{\vec{r}}_B}{8}$. De data aceasta punctul e mai aproape de $B$, fiindcă bucata $AM$ e cea mai lungă.

4. Fals. Vectorul de poziție se măsoară de la origine, deci se schimbă odată cu ea: dacă originea se mută din $O$ în $O^{\prime }$, fiecare vector de poziție scade cu $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$. Ce nu se schimbă sunt diferențele ${\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A$, adică vectorii dintre puncte — și de aceea rezultatele geometrice rămân aceleași.

5. Ponderile din formulă sunt $1$ pentru $A$ și $4$ pentru $B$, deci se inversează la citire: $AP:PB=4:1$. Verificare rapidă: $\overrightarrow{AP}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$, adică patru cincimi de segment, iar $\overrightarrow{PB}$ rămâne o cincime.

6. Din ipoteză, ${\vec{r}}_M-{\vec{r}}_A=\frac{3}{5}({\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A)$, deci ${\vec{r}}_M=\frac{2}{5}{\vec{r}}_A+\frac{3}{5}{\vec{r}}_B$. Înmulțind cu $5$ obținem egalitatea cerută. Cum calculul a folosit numai diferențe, rezultatul rămâne valabil pentru orice origine $O$.

7. Dacă $N$ este simetricul lui $B$ față de $A$, atunci $A$ este mijlocul segmentului $[BN]$, deci ${\vec{r}}_A=\frac{{\vec{r}}_B+{\vec{r}}_N}{2}$. Scoțând ${\vec{r}}_N$ rezultă ${\vec{r}}_N=2{\vec{r}}_A-{\vec{r}}_B$; suma coeficienților este tot $1$, semn că $N$ e pe dreapta $AB$.

8. Calculăm $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{2}{5}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$. Fiind multiplu al lui $\overrightarrow{BC}$, vectorul $\overrightarrow{MN}$ arată că dreptele sunt paralele, iar segmentul $MN$ e două cincimi din $BC$.

9. Nu. Aici coeficienții sunt diferiți, deci $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. Dacă ar exista un număr $s$ cu $\overrightarrow{MN}=s\overrightarrow{BC}=s\overrightarrow{AC}-s\overrightarrow{AB}$, identificarea coeficienților ar cere simultan $s=\frac{1}{2}$ și $s=\frac{1}{3}$, ceea ce e imposibil.

10. Media ponderată se scrie cu aceleași ponderi ca formula raportului: ${\vec{r}}_G=\frac{300{\vec{r}}_A+200{\vec{r}}_B}{500}=\frac{3{\vec{r}}_A+2{\vec{r}}_B}{5}$. Citind ponderile invers, $AG:GB=2:3$, deci $G$ e mai aproape de $A$ — normal, fiindcă soluția slabă e în cantitate mai mare. Concentrația amestecului se citește pe aceeași axă: $10+\frac{2}{5}\cdot 10=14$, adică $14\%$; controlul direct dă aceeași valoare, $\frac{300\cdot 10+200\cdot 20}{500}=14$.

11. Din ${\vec{r}}_M-{\vec{r}}_A=\frac{7}{4}({\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A)$ rezultă ${\vec{r}}_M=-\frac{3}{4}{\vec{r}}_A+\frac{7}{4}{\vec{r}}_B$. Coeficientul negativ arată că $M$ nu e între $A$ și $B$: el se află pe dreapta $AB$, dincolo de $B$, la trei sferturi de segment după $B$.

12. Scriem ambii vectori față de $O$: $3({\vec{r}}_A-{\vec{r}}_M)+2({\vec{r}}_B-{\vec{r}}_M)=\vec{0}$, deci $3{\vec{r}}_A+2{\vec{r}}_B=5{\vec{r}}_M$, adică tocmai egalitatea cerută. Rezultatul spune, în plus, că $M$ împarte segmentul în raportul $AM:MB=2:3$.

13. Trecem în vectori de poziție: $3({\vec{r}}_A-{\vec{r}}_C)+4({\vec{r}}_B-{\vec{r}}_C)=\vec{0}$, deci $7{\vec{r}}_C=3{\vec{r}}_A+4{\vec{r}}_B$ și ${\vec{r}}_C=\frac{3{\vec{r}}_A+4{\vec{r}}_B}{7}$. Ponderile citite invers dau $AC:CB=4:3$, iar amândouă fiind pozitive, $C$ se află între $A$ și $B$, mai aproape de $B$.

14. Împărțind la $3$ obținem ${\vec{r}}_M=\frac{{\vec{r}}_A+2{\vec{r}}_B}{3}$, cu ponderile $1$ pentru $A$ și $2$ pentru $B$. Inversându-le, $AM:MB=2:1$, deci $M$ e mai aproape de $B$, la două treimi de drum.

15. Alegem originea în $C$. Din $AD=\frac{1}{4}AB$, cu $D$ între $A$ și $B$, avem $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$, deci $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}$. Înmulțind cu $4$ se obține egalitatea cerută.

16. Din raportul $3:4$ obținem $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AB}$ și, la fel, $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AC}$. Atunci $\overrightarrow{MN}=\frac{3}{7}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{3}{7}\overrightarrow{BC}$, deci $t=\frac{3}{7}$, iar $MN$ reprezintă trei șeptimi din $BC$.

17. Din $\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{MB}$ rezultă $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}$, adică cele două puncte $A$ și $B$ ar avea același drum până la $M$, deci ar coincide. Cum enunțul cere $A$ și $B$ distincte, valoarea $k=-1$ nu poate apărea; algebric, ea ar anula și numitorul $1+k$ din formulă.

18. Din formula mijlocului, ${\vec{r}}_M=\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B}{2}$ și ${\vec{r}}_N=\frac{{\vec{r}}_C+{\vec{r}}_D}{2}$, iar ${\vec{r}}_P=\frac{{\vec{r}}_M+{\vec{r}}_N}{2}=\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B+{\vec{r}}_C+{\vec{r}}_D}{4}$, de unde egalitatea cerută. Expresia obținută e simetrică în cele patru puncte, deci nu se schimbă dacă grupăm altfel: mijlocul lui $[BC]$ are vectorul de poziție $\frac{{\vec{r}}_B+{\vec{r}}_C}{2}$, mijlocul lui $[AD]$ pe $\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_D}{2}$, iar media lor este aceeași expresie. Prin urmare cele două segmente au același mijloc, $P$.

De reținut

• Vectorul de poziție al unui punct se măsoară de la o origine fixată prin alegere liberă; el se schimbă odată cu originea, dar diferențele ${\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A$, adică vectorii dintre puncte, nu depind de ea.
• Orice vector din figură se scrie ca diferență de vectori de poziție, după regula $\overrightarrow{AB}={\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A$, în care se scade întotdeauna vectorul punctului de plecare.
• Mijlocul unui segment are drept vector de poziție media celor două capete, ${\vec{r}}_M=\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B}{2}$, și este singurul punct pentru care $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$.
• Pentru un punct care împarte segmentul în raportul $AM:MB=m:n$, vectorul de poziție este ${\vec{r}}_M=\frac{n{\vec{r}}_A+m{\vec{r}}_B}{m+n}$: ponderea fiecărui capăt este numărul din bucata opusă, iar suma coeficienților rămâne $1$.
• Teorema lui Thales se citește vectorial astfel: dacă $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=t\overrightarrow{AC}$ cu același $t$, atunci $\overrightarrow{MN}=t\overrightarrow{BC}$, deci dreptele $MN$ și $BC$ sunt paralele.

Greșeli frecvente

• Raportul citit ca fracțiune din segment. Din $AM:MB=1:3$ mulți deduc că $AM$ e o treime din $AB$. Raportul compară însă cele două bucăți între ele, nu bucata cu segmentul întreg: sunt $1+3=4$ părți, deci $AM$ e un sfert din $AB$. Desenează segmentul împărțit în patru părți egale înainte de a scrie orice fracție.
• Originea schimbată în mijlocul rezolvării. Se începe cu vectori măsurați dintr-un vârf și se continuă cu vectori măsurați din alt punct, fără ca cineva să observe. Rezultatul pare curat, dar amestecă două sisteme. Scrie originea aleasă pe prima linie a rezolvării și nu o mai atinge.
• Confuzia dintre cele două convenții ale raportului. Relațiile $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{MB}$ și $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$ dau numere diferite pentru același punct. Citește ce relație e scrisă în enunțul tău și, dacă nu e scrisă niciuna, traduci raportul de lungimi în forma din lecție.
• Scăderea făcută invers. Scrierea $\overrightarrow{AB}={\vec{r}}_A-{\vec{r}}_B$ produce vectorul opus, deci toate semnele care urmează se răstoarnă. Verifică pe un caz simplu: dacă $A$ este chiar originea, atunci ${\vec{r}}_A=\vec{0}$ și trebuie să rămână $\overrightarrow{AB}={\vec{r}}_B$.
• Thales aplicat cu doi coeficienți diferiți. Din $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nu rezultă niciun paralelism. Teorema cere același număr pe ambele laturi, iar dacă el nu e același, concluzia e chiar opusă: dreptele se taie.

Aplică acasă

1. Aceeași figură, trei origini. Desenează un triunghi și alege pe rând trei origini: un vârf, mijlocul unei laturi și un punct din afara triunghiului. Pentru fiecare, scrie vectorii de poziție ai celor trei vârfuri și calculează $\overrightarrow{AB}$ ca diferență. Vei obține de fiecare dată aceeași săgeată, deși numerele de pe hârtie diferă — o demonstrație practică a faptului că originea se alege, nu se descoperă.

2. Pârghia de pe masă. Ia o riglă ușoară și două obiecte de mase diferite, cântărite cu o balanță de bucătărie. Fixează-le la capete și caută, prin încercări, punctul în care rigla stă în echilibru pe muchia unui creion. Măsoară distanțele de la punctul de sprijin la fiecare capăt și compară raportul lor cu raportul invers al maselor, prezis de formula centrului de masă. Notează abaterea și explică de unde poate veni.

3. Thales verificat prin desen. Într-un triunghi desenat pe hârtie milimetrică, marchează pe două laturi puncte cu același coeficient $t$, luând pe rând valorile $0,25$, $0,5$ și $0,75$. Măsoară de fiecare dată segmentul obținut și latura a treia, apoi calculează raportul lungimilor. Repetă cu doi coeficienți diferiți și observă, cu rigla, că segmentul nu mai este paralel cu latura a treia.

Pentru părinți și profesori

Lecția e locul în care geometria începe să se rezolve prin calcul. Elevul care se obișnuiește să scrie totul față de o origine aleasă de el capătă o metodă care nu depinde de inspirația de moment: transformă ipoteza în egalități, le combină și citește concluzia. La profilul științe ale naturii, sprijinul vine din fizică — centrul de masă, pârghia și echilibrul sunt aceeași formulă, iar elevii care au făcut la laborator experimentul cu rigla și cele două greutăți recunosc imediat de ce ponderile apar inversate.

De urmărit în caiet: dacă originea aleasă e scrisă pe prima linie; dacă fiecare vector din figură a fost transformat în diferență de vectori de poziție; dacă, la un raport dat, ponderile au fost inversate; dacă suma coeficienților iese $1$; dacă la un paralelism s-a arătat efectiv că un vector e multiplu al celuilalt. Întrebări de control: „Ce se schimbă dacă mut originea în celălalt vârf?"; „De ce ponderea lui $A$ este numărul de lângă $B$?"; „Cum arăți că două drepte sunt paralele fără să măsori unghiuri?"; „Ce înseamnă un coeficient negativ în răspuns?". Semn că elevul a înțeles: își verifică singur poziția punctului comparând coeficienții, înainte de a scrie rezultatul final.

Programa și examenul. Temele din această lecție nu se regăsesc în programa școlară nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din anul școlar 2026–2027, și nici în programa probei MAT_P2 de la Bacalaureatul 2030. Ele rămân însă obligatorii pentru generația care învață după programa veche — elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a — și care susține Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la capitolul de coliniaritate, concurență și paralelism, vectorul de poziție al unui punct, vectorul de poziție al punctului care împarte un segment într-un raport dat și teorema lui Thales cu condițiile de paralelism. Subiectul I al probei are șase cerințe scurte de câte cinci puncte, din materia claselor a IX-a și a X-a; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerințele $5$ și $6$ sunt de geometrie — una cu coordonate și mijlocul unui segment, alta cu un triunghi dreptunghic — iar relațiile vectoriale intră în aceeași familie de cerințe scurte. Programa veche de examen prevedea patru ore de matematică pe săptămână la clasa a IX-a, față de cele trei ore din planurile-cadru în vigoare (OMEC 4350/2025).

Întrebări frecvente

Ce este, mai exact, vectorul de poziție al unui punct? Este săgeata care duce de la o origine fixată prin alegere până la punctul respectiv. Odată aleasă originea, fiecare punct are un singur vector de poziție și fiecare vector indică un singur punct. Originea poate fi oriunde în plan, dar rămâne aceeași pe tot parcursul unei probleme.

Cum se calculează vectorul de poziție al mijlocului unui segment? Se face media vectorilor de poziție ai capetelor: ${\vec{r}}_M=\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B}{2}$. Formula se obține din $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, scriind ambii vectori ca diferențe față de origine. Este cazul particular al formulei raportului, pentru ponderi egale, și singurul în care ordinea capetelor nu mai contează. O a doua formă, la fel de folositoare în probleme, spune că mijlocul e singurul punct pentru care suma drumurilor spre cele două capete se anulează.

Care e formula pentru punctul care împarte un segment într-un raport dat? Dacă $AM:MB=m:n$, cu $M$ între $A$ și $B$, atunci ${\vec{r}}_M=\frac{n{\vec{r}}_A+m{\vec{r}}_B}{m+n}$. Ponderea fiecărui capăt este numărul din bucata opusă, iar suma coeficienților este mereu $1$. Punctul se află mai aproape de capătul cu ponderea mai mare, ceea ce îți dă un control rapid al rezultatului, înainte de orice altă verificare.

Se învață vectorii de poziție și la mate-info (M1)? Pe Matepolis nu există o lecție de vectori pe traseul de mate-info, pentru că programa nouă a mutat capitolul. Ideea „un punct se descrie prin două numere față de un reper" apare însă acolo sub formă analitică. Acolo mijlocul se calculează prin medii de coordonate, exact ca în lecția din traseul tău despre coordonatele mijlocului unui segment; aici aceeași medie apare ca medie a vectorilor de poziție.

La ce subiect apare calculul vectorial la bacalaureatul M2? La Subiectul I, care are șase cerințe scurte de câte cinci puncte, din materia claselor a IX-a și a X-a. În modelul oficial pentru sesiunea 2026, cerințele $5$ și $6$ sunt de geometrie: una cu coordonate și mijlocul unui segment, alta cu un triunghi dreptunghic. Relațiile vectoriale intră în aceeași familie de cerințe scurte, fiindcă programa de examen din 2014 le trece la materia clasei a IX-a. Din 2030, la proba MAT_P2, tema nu mai apare.

Contează ce origine aleg? Nu pentru rezultat, dar foarte mult pentru cantitatea de calcule. Alege ca origine un punct care apare des în ipoteze — de obicei un vârf al triunghiului — și vectorii de poziție ai celorlalte puncte devin chiar laturile figurii. Orice altă alegere dă același răspuns final, doar cu mai mulți termeni pe drum.

Cum arăt cu vectori că două drepte sunt paralele? Arăți că un vector de pe prima dreaptă este multiplu al unui vector de pe a doua. Într-un triunghi, dacă $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=t\overrightarrow{AC}$ cu același $t$, obții $\overrightarrow{MN}=t\overrightarrow{BC}$, deci paralelismul e imediat. Aceeași idee se folosește mai departe în lecția despre centrul de greutate demonstrat vectorial.