Formula $$\mathcal{S}=\dfrac12 ab\sin C$$ pentru aria unui triunghi $$ABC$$ se aplică atunci când se cunosc:

cele trei laturi ale triunghiului

o latură și înălțimea corespunzătoare

raza cercului circumscris și o latură

Formula lui Heron calculează aria unui triunghi $$ABC$$ folosind:

cele trei laturi, prin semiperimetrul $$p=\dfrac{a+b+c}{2}$$

o latură și înălțimea corespunzătoare

Dacă unghiul $$C$$ dintre laturile $$a$$ și $$b$$ este obtuz, formula $$\mathcal{S}=\dfrac12 ab\sin C$$:

rămâne valabilă, deoarece $$\sin(180^\circ-C)=\sin C$$

nu mai este valabilă, trebuie folosită alta

trebuie înlocuită cu $$\dfrac12 ab\cos C$$

dă întotdeauna un rezultat negativ

Cum calculez aria unui triunghi oarecare?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Aria triunghiului: sinus și formula Heron

Alegi formula după datele pe care le ai. Cu o latură și înălțimea ei, iei jumătate din produsul lor. Cu două laturi și unghiul dintre ele, iei jumătate din produsul laturilor înmulțit cu sinusul unghiului. Cu cele trei laturi, folosești formula lui Heron, în care apare semiperimetrul. Pentru laturile $13$ , $14$ și $15$ rezultă aria $84$ .

Aria din gimnaziu, $S = \frac{a \cdot h _{a}}{2}$ , e corectă dar incomodă: înălțimea nu e o dată naturală a triunghiului. Trigonometria o înlocuiește prin date ușor de măsurat. Cu două laturi și unghiul dintre ele: $S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} c a sin B,$ formulă valabilă și la unghi obtuz, pentru că $sin (18 0^{\circ} - C) = sin C$ . Cu doar cele trei laturi, fără niciun unghi, se folosește formula lui Heron: $S = p (p - a) (p - b) (p - c), p = \frac{a + b + c}{2}$ ( $p$ = semiperimetrul), obținută prin ridicarea la pătrat a formulei cu sinus, combinată cu teorema cosinusului și cu formula fundamentală a trigonometriei; expresia de sub radical e strict pozitivă exact când triunghiul există.

Mai există, doar menționate aici, alte două forme: $S = p r$ (cu $r$ raza cercului înscris) și $S = \frac{ab c}{4 R}$ (cu $R$ raza cercului circumscris), demonstrate în lecția următoare.

Alegerea formulei depinde de datele disponibile: latură+înălțime, două laturi+unghiul dintre ele (LUL), trei laturi (LLL, Heron), sau o latură+două unghiuri (ULU/LUU, unde întâi se află o a doua latură cu teorema sinusurilor). Din $sin C = \frac{2 S}{ab}$ rezultă că, pentru două laturi fixate, aria e maximă la unghi drept, iar un triunghi „ascuțit" și unul „turtit" pot avea aceeași arie — încă o manifestare a ambiguității sinusului. Poligoanele se rezolvă prin descompunere în triunghiuri.

De reținut

$S = \frac{1}{2} ab sin C$ , cu unghiul dintre cele două laturi
Heron: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , cu $p$ semiperimetrul
$S = p r$ și $S = \frac{ab c}{4 R}$

Greșeala tipică

În formula cu sinus se ia un unghi care nu este cuprins între cele două laturi alese; sinusul trebuie luat pentru unghiul dintre ele, nu pentru unul opus.

Exerciții din această mini-lecție

Formula $S = \frac{1}{2} ab sin C$ pentru aria unui triunghi $A B C$ se aplică atunci când se cunosc:
- a) cele trei laturi ale triunghiului
- b) două laturi și unghiul dintre ele
- c) o latură și înălțimea corespunzătoare
- d) raza cercului circumscris și o latură
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) două laturi și unghiul dintre ele

Formula folosește două laturi și unghiul cuprins între ele — spre deosebire de teorema cosinusului, unde unghiul este opus laturii calculate. Cu trei laturi se folosește formula lui Heron, iar cu latură și înălțime, formula de gimnaziu $\frac{a \cdot h _{a}}{2}$ .
Formula lui Heron calculează aria unui triunghi $A B C$ folosind:
- a) două laturi și unghiul dintre ele
- b) o latură și înălțimea corespunzătoare
- c) cele trei laturi, prin semiperimetrul $p = \frac{a + b + c}{2}$
- d) raza cercului circumscris $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) cele trei laturi, prin semiperimetrul $p = \frac{a + b + c}{2}$

Formula lui Heron, $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , se obține doar din cele trei laturi, prin semiperimetrul $p = \frac{a + b + c}{2}$ , fără să fie nevoie de niciun unghi.
Dacă unghiul $C$ dintre laturile $a$ și $b$ este obtuz, formula $S = \frac{1}{2} ab sin C$ :
- a) nu mai este valabilă, trebuie folosită alta
- b) rămâne valabilă, deoarece $sin (18 0^{\circ} - C) = sin C$
- c) trebuie înlocuită cu $\frac{1}{2} ab cos C$
- d) dă întotdeauna un rezultat negativ
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) rămâne valabilă, deoarece $sin (18 0^{\circ} - C) = sin C$

Când $C$ este obtuz, piciorul înălțimii cade în afara laturii, dar în calcul apare $sin (18 0^{\circ} - C)$ , care este egal cu $sin C$ . Formula rămâne identică, iar aria rezultă tot pozitivă.

Întrebări conexe

Cum calculez aria cu două laturi și unghiul dintre ele?

Înmulțești cele două laturi, apoi rezultatul cu sinusul unghiului cuprins între ele, și iei jumătate. Formula merge și când unghiul este obtuz, fiindcă sinusul unui unghi și al suplementarului său sunt egali. Pentru laturi $6$ și $8$ cu unghi de $3 0^{\circ}$ aria este $12$ .

Cum aflu aria unui triunghi echilateral cu latura a?

Aplici formula cu sinus pentru două laturi egale și unghiul de $6 0^{\circ}$ , iar rezultatul este pătratul laturii înmulțit cu $\frac{3}{4}$ . Pentru latura $4$ obții $43$ . Aceeași valoare iese și din formula lui Heron.

Cum leg aria triunghiului de raza cercului circumscris?

Produsul celor trei laturi împărțit la de patru ori aria dă raza cercului circumscris. Relația se obține înlocuind sinusul din formula ariei cu raportul din teorema sinusurilor. De aici afli raza fără să cauți centrul cercului.

Ce arie are un triunghi dreptunghic cu catetele 6 și 8?

Este $24$ , adică jumătate din produsul catetelor, fiindcă ele sunt în același timp latură și înălțime. Rezultatul se potrivește și cu formula cu sinus, unde unghiul dintre catete are sinusul egal cu unu. Ipotenuza iese $10$ .

Cum aleg formula potrivită pentru arie în funcție de date?

Te uiți ce ai: latură cu înălțime, două laturi cu unghiul dintre ele, sau trei laturi. Dacă ai o latură și două unghiuri, afli întâi o a doua latură cu teorema sinusurilor și abia apoi aplici formula cu sinus. Poligoanele se taie în triunghiuri.

Oamenii mai întreabă și: formule pentru aria triunghiului · cum aflu aria unui triunghi · aria cu sinus și formula lui Heron · aria triunghiului din trei laturi