Câtul a două funcții: domeniu și comportament

Clasa voastră organizează o excursie. Autocarul costă $1800$ de lei, indiferent câți plecați, iar masa costă $12$ lei de persoană. Dacă merg $x$ elevi, costul total este $1800+12x$ lei, iar suma pe care o scoate din buzunar fiecare este

$$C(x)=\frac{1800+12x}{x}.$$

Numărătorul și numitorul sunt două funcții afine banale. Câtul lor, în schimb, se comportă spectaculos: la $100$ de elevi ies $30$ de lei de persoană, la $300$ de elevi doar $18$ lei, iar la $600$ de elevi $15$ lei. Costul scade — dar nu la nesfârșit: oricât de mulți ați fi, cei $12$ lei de masă rămân de plătit. Iar dacă cineva ar întreba „cât plătește fiecare dacă merg zero elevi?", întrebarea nu are răspuns: nu se poate împărți la zero.

Așa arată, în miniatură, toată lecția: câtul a două funcții are un domeniu mai mic decât factorii lui, are zerouri date numai de numărător și are, lângă valorile interzise, un comportament pe care nicio funcție afină sau de gradul al doilea nu îl are.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi câtul a două funcții și să-i determini domeniul de definiție.
• Vei ști să găsești valorile interzise, rezolvând ecuația „numitor egal cu zero".
• Vei ști să determini zerourile câtului și să explici de ce numai numărătorul contează.
• Vei ști să faci tabelul de semn al unui cât, cu bară dublă în dreptul valorii interzise.
• Vei ști să descrii, cu ajutorul unui tabel de valori, ce se întâmplă cu graficul lângă valoarea interzisă.
• Vei ști să recunoști situația în care numărătorul și numitorul se anulează în același punct și să explici de ce apare o „gaură" în grafic.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția câtului și domeniul lui

Definiție. Fie $f$ și $g$ două funcții definite pe o mulțime $D$. Funcția cât $\frac{f}{g}$ este dată de $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ și este definită pe mulțimea

$$D_{f/g}=\{x\in D\mid g(x)\ne 0\}.$$

Comparată cu suma, diferența și produsul — care se definesc pe tot domeniul comun, ca în lecția despre produsul a două funcții afine — împărțirea este singura operație care strică domeniul. Motivul e cel pe care îl știi din clasa a V-a: împărțirea la zero nu are rezultat.

Valorile lui $x$ pentru care $g(x)=0$ se numesc valori interzise. Ele se scot din domeniu, iar domeniul devine, în general, o reuniune de intervale.

Exemplu. Pentru $f(x)=x-3$ și $g(x)=x+1$, câtul este $h(x)=\frac{x-3}{x+1}$. Rezolvăm $x+1=0$ și obținem valoarea interzisă $x=-1$, deci

$$D_h=\mathbb{R}\setminus \{-1\}=(-\infty ,-1)\cup (-1,\infty ).$$

2. Cum găsești valorile interzise

Rețeta are un singur pas: egalezi numitorul cu zero și rezolvi. Ce iese la rezolvare se scoate din mulțimea numerelor reale.

• Numitor de gradul întâi, $cx+d$: o singură valoare interzisă, $x=-\frac{d}{c}$.
• Numitor de gradul al doilea: zero, una sau două valori interzise, după cum arată discriminantul.

Exemplu. La $h(x)=\frac{3}{x^2-25}$, din $x^2-25=0$ obținem $x=5$ și $x=-5$, deci $D_h=\mathbb{R}\setminus \{-5,5\}$, adică $(-\infty ,-5)\cup (-5,5)\cup (5,\infty )$.

Observă că numărătorul nu are absolut niciun cuvânt de spus la stabilirea domeniului. El decide altceva — zerourile.

3. Zerourile câtului: numai numărătorul contează

O fracție este egală cu zero exact atunci când numărătorul este zero, iar numitorul nu este. Deci:

$$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=0⟺f(x)=0\text{ și }g(x)\ne 0.$$

A doua condiție nu e o formalitate: dacă numărătorul și numitorul s-ar anula în același punct, acel punct nu este în domeniu, deci nu poate fi zero al funcției.

Exemplu. $h(x)=\frac{2x+6}{x-4}$ se anulează unde $2x+6=0$, adică în $x=-3$. Cum $-3\ne 4$, valoarea este în domeniu, deci $x=-3$ este singurul zero al lui $h$. Graficul taie axa $Ox$ în $(-3,0)$.

4. Semnul câtului: aceeași regulă a semnelor

Aici vine vestea bună: semnul unui cât se stabilește exact ca semnul unui produs. Plus împărțit la plus dă plus, minus împărțit la minus dă tot plus, iar semne diferite dau minus. Prin urmare, tabelul are aceeași structură ca la produs, cu o singură deosebire de notație: în dreptul valorii interzise se pune o bară dublă ‖, iar pe linia câtului se scrie că funcția nu există acolo.

Pentru $h(x)=\frac{x-3}{x+1}$, punctele care contează sunt $-1$ (valoare interzisă) și $3$ (zero):

Citire: $h(x)>0$ pe $(-\infty ,-1)\cup (3,\infty )$, $h(x)<0$ pe $(-1,3)$, $h(3)=0$, iar în $-1$ funcția nu este definită. Verificare cu trei valori de probă: $h(-2)=\frac{-5}{-1}=5>0$ ✓, $h(0)=\frac{-3}{1}=-3<0$ ✓, $h(4)=\frac{1}{5}>0$ ✓.

Diferența esențială față de produs: la produs, funcția trece prin zero și își schimbă semnul lin; la cât, în dreptul valorii interzise funcția își poate schimba semnul fără să treacă prin zero — pentru că acolo pur și simplu nu există.

5. Ce se întâmplă lângă valoarea interzisă

Ca să înțelegi cum arată graficul lângă o valoare interzisă, cel mai bun instrument nu e o formulă, ci un tabel de valori. Luăm $h(x)=\frac{1}{x-2}$, cu valoarea interzisă $2$, și ne apropiem de ea din ambele părți:

Ce citim din tabel? Cu cât $x$ se apropie mai mult de $2$, cu atât numitorul devine mai mic, iar fracția devine, în valoare absolută, mai mare. Valorile cresc peste orice prag ți-ai propune: dacă vrei ca $h(x)$ să depășească un milion, e destul să iei $x$ mai apropiat de $2$ decât o milionime. Din stânga valorile coboară fără margine, din dreapta urcă fără margine.

Grafic, asta înseamnă că cele două ramuri ale curbei se „lipesc" de dreapta verticală $x=2$, fără să o atingă vreodată. Este primul comportament de acest tip pe care îl întâlnești la funcții, iar el are un nume și un studiu propriu — îl vei face în lecția despre comportamentul asimptotic citit pe grafic.

6. Cum arată graficul unui cât de funcții afine

Graficul funcției $h(x)=\frac{x+1}{x-2}$ nu este nici dreaptă, nici parabolă: este o curbă formată din două ramuri separate, câte una de fiecare parte a valorii interzise $x=2$. Curba se numește hiperbolă.

Ce se citește pe el, la clasa a IX-a:

• intersecția cu $Ox$ — în zeroul numărătorului, aici $(-1,0)$;
• intersecția cu $Oy$ — la $x=0$, aici $h(0)=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$, deci punctul $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$;
• semnul, deci pe ce intervale curba e deasupra sau sub axa $Ox$;
• ruptura din dreptul valorii interzise, unde graficul se întrerupe.

7. Când numărătorul și numitorul au un zero comun

Un caz care derutează mereu: funcția $h(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$.

Domeniul se stabilește pe forma dată: din $x-3=0$ rezultă valoarea interzisă $3$, deci $D_h=\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Abia după aceea simplificăm, folosind $x^2-9=(x-3)(x+3)$:

$$h(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3,\text{pentru orice }x\ne 3.$$

Deci graficul lui $h$ este dreapta $y=x+3$, din care lipsește un singur punct: cel de abscisă $3$, unde ar fi trebuit să fie $(3,6)$. Spunem că graficul are o „gaură" acolo.

Lecția de reținut: simplificarea nu schimbă domeniul. Funcția $h$ și funcția $u(x)=x+3$, definită pe tot $\mathbb{R}$, sunt funcții diferite, chiar dacă au aceeași formulă pe domeniul mai mic — exact distincția pe care ai făcut-o când ai studiat noțiunea de funcție.

8. Rețeta completă

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Domeniu, zero, semn

Se consideră $h(x)=\frac{x-3}{x+1}$. Determinați domeniul, zeroul și semnul funcției.

Rezolvare. Numitorul se anulează pentru $x=-1$, deci $D=(-\infty ,-1)\cup (-1,\infty )$.

Numărătorul se anulează pentru $x=3$, valoare care aparține domeniului, deci $x=3$ este singurul zero.

Semnul, cu regula semnelor: pe $(-\infty ,-1)$ ambele expresii sunt negative, deci câtul e pozitiv; pe $(-1,3)$ numărătorul e negativ și numitorul pozitiv, deci câtul e negativ; pe $(3,\infty )$ ambele sunt pozitive, deci câtul e pozitiv. Probe: $h(-2)=5$, $h(0)=-3$, $h(4)=\frac{1}{5}$ ✓.

Exemplul 2 — O inecuație cu fracție

Rezolvați inecuația $\frac{x+1}{x-4}\le 0$.

Rezolvare. Valoarea interzisă este $4$; zeroul numărătorului este $-1$.

Pe $(-\infty ,-1)$: ambele negative, cât pozitiv. Pe $(-1,4)$: numărător pozitiv, numitor negativ, cât negativ. Pe $(4,\infty )$: ambele pozitive, cât pozitiv.

Cerem cât negativ sau zero. Intervalul $(-1,4)$ convine; adăugăm $x=-1$, unde fracția este exact zero; nu putem adăuga $x=4$, unde funcția nu există. Soluția este $x\in [-1,4)$.

Probe: $h(-1)=0$ ✓, $h(0)=-\frac{1}{4}<0$ ✓, $h(5)=6>0$ (deci $5$ nu convine) ✓.

Exemplul 3 — Comportamentul lângă valoarea interzisă

Completați un tabel de valori pentru $h(x)=\frac{1}{x-3}$ în apropierea lui $3$ și descrieți ce observați.

Rezolvare. Calculăm: $h(2,9)=\frac{1}{-0,1}=-10$; $h(2,99)=-100$; $h(3,01)=100$; $h(3,1)=10$.

Observație: apropiindu-ne de $3$ din stânga, valorile coboară fără margine; din dreapta, urcă fără margine. Funcția nu are valoare în $3$, iar graficul se rupe în două ramuri, care se apropie oricât de mult de dreapta verticală $x=3$ fără să o atingă.

Exemplul 4 — Costul pe persoană

Excursia costă $1800$ de lei autocarul plus $12$ lei de persoană masa. a) Scrieți costul pe elev, $C(x)$. b) Calculați $C(100)$, $C(300)$, $C(600)$, $C(1800)$. c) Sub ce valoare nu poate coborî costul?

Rezolvare. a) $C(x)=\frac{1800+12x}{x}$, definită pentru $x\ne 0$; practic, pentru $x$ număr natural nenul.

b) $C(100)=\frac{1800+1200}{100}=30$ lei; $C(300)=\frac{5400}{300}=18$ lei; $C(600)=\frac{9000}{600}=15$ lei; $C(1800)=\frac{23400}{1800}=13$ lei.

c) Împărțim termen cu termen: $C(x)=\frac{1800}{x}+12$. Primul termen este strict pozitiv pentru orice $x>0$, deci $C(x)>12$ întotdeauna. Costul se apropie oricât de mult de $12$ lei dacă numărul de participanți crește, dar nu îl atinge niciodată: cei $12$ lei de masă nu se pot împărți între mai mulți.

Exemplul 5 — Fracție care se simplifică

Determinați domeniul funcției $h(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ și descrieți graficul ei.

Rezolvare. Valoarea interzisă este $1$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ — stabilit înainte de orice simplificare.

Pentru $x\ne 1$: $h(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$. Graficul este dreapta $y=x+1$ din care lipsește punctul $(1,2)$. Nu există nicio ruptură spectaculoasă lângă $1$: valorile se apropie liniștit de $2$, doar că funcția nu are voie să ia acea valoare. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $h(x)=\frac{3x-6}{x+2}$. a) Determinați domeniul maxim de definiție. b) Rezolvați ecuația $h(x)=0$. c) Rezolvați inecuația $h(x)\ge 0$.

Rezolvare. a) Din $x+2=0$ rezultă valoarea interzisă $-2$, deci $D=(-\infty ,-2)\cup (-2,\infty )$.

b) $h(x)=0$ cere $3x-6=0$ și $x\ne -2$; obținem $x=2$, care aparține domeniului. Soluție: $x=2$.

c) Tabel de semn cu punctele $-2$ (interzis) și $2$ (zero): pe $(-\infty ,-2)$ numărătorul și numitorul sunt ambele negative, deci câtul e pozitiv; pe $(-2,2)$ numărătorul e negativ, numitorul pozitiv, deci câtul e negativ; pe $(2,\infty )$ ambele sunt pozitive, deci câtul e pozitiv.

Cum cerem „mai mare sau egal cu zero", adăugăm $x=2$ și excludem $x=-2$:

$$x\in (-\infty ,-2)\cup [2,\infty ).$$

Probe: $h(-3)=\frac{-15}{-1}=15\ge 0$ ✓, $h(0)=-3<0$ ✓, $h(3)=\frac{3}{5}\ge 0$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Ordinea de lucru, obligatorie: întâi domeniul, apoi zerourile, apoi semnul — și abia la final concluzia cerută.

1. Determină domeniul și zeroul funcției $h(x)=\frac{x-5}{x+3}$.

2. Determină domeniul și zeroul funcției $h(x)=\frac{2x+1}{x-7}$.

3. Determină domeniul și zeroul funcției $h(x)=\frac{x+4}{3x-9}$.

4. Fă tabelul de semn al funcției $h(x)=\frac{x-1}{x+2}$.

5. Fă tabelul de semn al funcției $h(x)=\frac{5-x}{x+1}$.

6. Rezolvă inecuația $\frac{x-2}{x+3}>0$.

7. Rezolvă inecuația $\frac{x+1}{x-4}\le 0$ și explică de ce un capăt se include, iar celălalt nu.

8. Completează un tabel de valori pentru $h(x)=\frac{1}{x-3}$ în punctele $2,9$; $2,99$; $3,01$; $3,1$ și descrie ce observi.

9. Determină domeniul funcției $h(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ și scrie forma ei simplificată, precizând ce punct lipsește din grafic.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Domeniul funcției $h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ este $\mathbb{R}$, pentru că fracția se simplifică."

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Câtul a două funcții se anulează în valorile care anulează numitorul."

12. (Problemă aplicată.) Un club plătește $900$ de lei chiria sălii și $8$ lei de participant pentru materiale. a) Scrie costul pe participant. b) Calculează costul la $50$, la $300$ și la $900$ de participanți. c) Sub ce valoare nu poate coborî costul?

13. (Problemă aplicată.) Într-un vas sunt $20$ de grame de sare dizolvate în $100$ de grame de soluție. Se adaugă $x$ grame de apă. Concentrația, în procente, devine $c(x)=\frac{2000}{100+x}$. Calculează $c(0)$, $c(100)$, $c(300)$ și explică spre ce valoare se îndreaptă concentrația.

14. (Problemă aplicată.) Timpul necesar parcurgerii a $240$ de kilometri cu viteza medie $v$ este $t(v)=\frac{240}{v}$. Calculează $t(60)$, $t(80)$, $t(120)$ și precizează domeniul practic al funcției.

15. Determină valoarea reală a lui $m$ pentru care funcția $h(x)=\frac{x+m}{x-3}$ se anulează în $x=5$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $h(x)=\frac{2x-8}{x+1}$. a) Determină domeniul. b) Rezolvă ecuația $h(x)=0$. c) Fă tabelul de semn.

17. Determină domeniul funcției $h(x)=\frac{x-1}{x-1}$ și precizează ce funcție se obține. Este ea egală cu funcția constantă $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $u(x)=1$?

18. (Provocare.) Determină numerele reale $a$ și $b$ astfel încât funcția $h(x)=\frac{ax+b}{x-1}$ să verifice $h(0)=3$ și $h(2)=5$. Pentru valorile găsite, determină domeniul și zeroul funcției.

Răspunsuri și explicații

1. Din $x+3=0$ rezultă valoarea interzisă $-3$, deci $D=(-\infty ,-3)\cup (-3,\infty )$. Zeroul: $x-5=0$, deci $x=5$, valoare aflată în domeniu.

2. Valoarea interzisă este $7$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{7\}$. Zeroul: $2x+1=0$, deci $x=-\frac{1}{2}$.

3. Din $3x-9=0$ rezultă $x=3$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Zeroul: $x+4=0$, deci $x=-4$.

4. Puncte importante: $-2$ (interzis) și $1$ (zero). Pe $(-\infty ,-2)$: numărător negativ, numitor negativ, cât pozitiv. Pe $(-2,1)$: numărător negativ, numitor pozitiv, cât negativ. Pe $(1,\infty )$: ambele pozitive, cât pozitiv. Probe: $h(-3)=4$, $h(0)=-\frac{1}{2}$, $h(2)=\frac{1}{4}$ ✓.

5. Puncte: $-1$ (interzis) și $5$ (zero). Pe $(-\infty ,-1)$: numărător pozitiv ($5-x>0$), numitor negativ, deci cât negativ. Pe $(-1,5)$: ambele pozitive, cât pozitiv. Pe $(5,\infty )$: numărător negativ, numitor pozitiv, cât negativ. Probe: $h(-2)=-7$, $h(0)=5$, $h(6)=-\frac{1}{7}$ ✓.

6. Puncte: $-3$ (interzis), $2$ (zero). Câtul este pozitiv acolo unde numărătorul și numitorul au același semn: pe $(-\infty ,-3)$ și pe $(2,\infty )$. Cum inegalitatea este strictă, zeroul nu se include. Soluție: $x\in (-\infty ,-3)\cup (2,\infty )$.

7. Puncte: $4$ (interzis), $-1$ (zero). Câtul este negativ pe $(-1,4)$. Capătul $-1$ se include, pentru că acolo fracția este exact zero, iar inegalitatea admite egalitatea. Capătul $4$ nu se include, pentru că acolo funcția nu este definită — nicio inegalitate nu poate fi verificată într-un punct în care funcția nu există. Soluție: $x\in [-1,4)$.

8. $h(2,9)=\frac{1}{-0,1}=-10$; $h(2,99)=-100$; $h(3,01)=100$; $h(3,1)=10$. Apropiindu-ne de $3$, valorile devin, în valoare absolută, oricât de mari: negative venind din stânga, pozitive venind din dreapta. Graficul are două ramuri care se apropie de dreapta verticală $x=3$ fără să o atingă.

9. Valoarea interzisă este $1$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Simplificând, $h(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ pentru $x\ne 1$. Graficul este dreapta $y=x+1$ din care lipsește punctul $(1,2)$.

10. Fals. Domeniul se stabilește pe forma dată, înainte de simplificare: din $x-2=0$ rezultă că $2$ este valoare interzisă, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Simplificarea $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ este valabilă doar pentru $x\ne 2$; funcția dată și funcția $x+2$ definită pe $\mathbb{R}$ au domenii diferite, deci sunt funcții diferite.

11. Fals. Valorile care anulează numitorul sunt exact cele scoase din domeniu — acolo funcția nu are nicio valoare, deci cu atât mai puțin valoarea zero. Câtul se anulează unde se anulează numărătorul, cu condiția ca acel punct să fie în domeniu.

12. a) $C(x)=\frac{900+8x}{x}$, pentru $x$ număr natural nenul. b) $C(50)=\frac{900+400}{50}=26$ lei; $C(300)=\frac{3300}{300}=11$ lei; $C(900)=\frac{8100}{900}=9$ lei. c) Cum $C(x)=\frac{900}{x}+8$, iar primul termen este strict pozitiv, costul rămâne mereu peste $8$ lei; se apropie oricât de mult de $8$, dar nu îl atinge.

13. Funcția $c$ dă numărul procentual: $c(0)=\frac{2000}{100}=20$, $c(100)=\frac{2000}{200}=10$, $c(300)=\frac{2000}{400}=5$. Concentrațiile sunt, respectiv, $20\%$, $10\%$ și $5\%$. Cu cât adaugi mai multă apă, cu atât numitorul crește și concentrația scade, apropiindu-se oricât de mult de $0\%$ — dar nu ajunge niciodată acolo, pentru că sarea nu dispare din vas.

14. $t(60)=4$ ore; $t(80)=3$ ore; $t(120)=2$ ore. Domeniul matematic este $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, iar domeniul practic $v>0$ (o viteză medie negativă sau nulă nu are sens pentru o deplasare). Cu cât viteza crește, cu atât timpul scade, apropiindu-se de zero fără să îl atingă.

15. Condiția $h(5)=0$ cere ca numărătorul să se anuleze în $5$: $5+m=0$, deci $m=-5$. Verificăm că $5$ este în domeniu: numitorul $5-3=2\ne 0$ ✓. Funcția devine $h(x)=\frac{x-5}{x-3}$.

16. a) Din $x+1=0$ rezultă $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. b) $2x-8=0$ dă $x=4$, valoare din domeniu, deci soluția ecuației este $x=4$. c) Puncte: $-1$ (interzis), $4$ (zero). Pe $(-\infty ,-1)$ ambele expresii sunt negative, deci câtul e pozitiv; pe $(-1,4)$ numărătorul e negativ, numitorul pozitiv, deci câtul e negativ; pe $(4,\infty )$ ambele sunt pozitive, deci câtul e pozitiv. Probe: $h(-2)=12$, $h(0)=-8$, $h(5)=\frac{1}{3}$ ✓.

17. Valoarea interzisă este $1$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, iar pentru orice $x$ din domeniu $h(x)=1$. Așadar $h$ este funcția constantă $1$, dar definită pe $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Nu este egală cu $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $u(x)=1$: două funcții sunt egale doar dacă au același domeniu, același codomeniu și aceeași lege. Graficul lui $h$ este dreapta orizontală $y=1$ cu o gaură în $(1,1)$.

18. Din $h(0)=3$: $\frac{a\cdot 0+b}{0-1}=-b=3$, deci $b=-3$. Din $h(2)=5$: $\frac{2a-3}{2-1}=2a-3=5$, deci $a=4$. Funcția este $h(x)=\frac{4x-3}{x-1}$.

Verificare: $h(0)=\frac{-3}{-1}=3$ ✓; $h(2)=\frac{5}{1}=5$ ✓. Domeniul: $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Zeroul: $4x-3=0$, deci $x=\frac{3}{4}$, valoare aflată în domeniu.

De reținut

• Câtul $\frac{f}{g}$ este definit doar acolo unde $g(x)\ne 0$; valorile care anulează numitorul sunt valori interzise și se scot din domeniu.
• Zerourile câtului vin doar din numărător: $\frac{f(x)}{g(x)}=0⟺f(x)=0$ și $x$ este în domeniu.
• Semnul câtului se stabilește cu aceeași regulă a semnelor ca la produs; în tabel, valoarea interzisă se marchează cu bară dublă, iar funcția își poate schimba semnul acolo fără să treacă prin zero.
• Lângă o valoare interzisă, valorile funcției pot crește sau scădea peste orice prag, iar graficul se rupe în ramuri care se apropie de o dreaptă verticală fără să o atingă.
• Domeniul se stabilește pe forma dată, înainte de simplificare. Dacă numărătorul și numitorul au un zero comun, graficul are o „gaură" în acel punct, nu o ruptură.

Greșeli frecvente

• Simplifici fracția și apoi scrii domeniul. Ordinea corectă este inversă: mai întâi valorile interzise, apoi simplificarea. Altfel „câștigi" din greșeală puncte care nu aparțin domeniului.
• Incluzi valoarea interzisă în soluția unei inecuații. La $\frac{x+1}{x-4}\le 0$, capătul $4$ nu se poate include niciodată, indiferent de semnul inegalității — acolo funcția nu există.
• Cauți zerourile în numitor. Numitorul dă valorile interzise, numărătorul dă zerourile. Sunt roluri diferite și nu se schimbă între ele.
• Rezolvi inecuația cu fracție înmulțind cu numitorul. Nu ai voie: nu știi semnul numitorului, deci nu știi dacă sensul inegalității se păstrează. Tabelul de semn este singura metodă sigură la acest nivel.
• Confunzi „gaura" cu ruptura. Dacă zeroul numitorului se simplifică, lângă acel punct valorile se comportă liniștit și lipsește doar un punct; dacă nu se simplifică, valorile o iau razna și apare o ruptură adevărată.

Aplică acasă

1. Costul excursiei tale. Ia costurile reale ale unei ieșiri de clasă (transport fix + o sumă de persoană) și construiește funcția „cost pe elev". Fă un tabel cu $10$, $20$, $30$ și $40$ de participanți, desenează punctele pe hârtie milimetrică și scrie sub grafic o propoziție care explică de ce costul scade, dar nu sub o anumită valoare.

2. Diluția din bucătărie. Într-un pahar cu $200$ ml de suc concentrat adaugă apă din $50$ în $50$ ml, până la $400$ ml adăugați. Scrie de fiecare dată proporția de suc, $\frac{200}{200+x}$, calculează valorile și pune-le într-un tabel. Explică în două rânduri de ce proporția nu ajunge niciodată la zero.

3. Vânătoarea de valori interzise. Găsește în manual sau într-o culegere cinci funcții cu fracție și, fără să le rezolvi complet, notează doar valorile interzise ale fiecăreia. Apoi verifică-le într-o aplicație de grafice (GeoGebra sau Desmos): observă că în dreptul fiecăreia curba fie se rupe, fie are un punct lipsă.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce ultima dintre operațiile cu funcții prevăzute de programă și, odată cu ea, primul tip de funcție al cărei domeniu nu este toată mulțimea numerelor reale. Trei deprinderi trebuie consolidate: determinarea valorilor interzise ca prim pas obligatoriu, distincția netă dintre rolul numărătorului (zerouri) și cel al numitorului (domeniu) și construcția tabelului de semn cu bară dublă. Tabelul de valori din apropierea valorii interzise pregătește direct lecția următoare, despre comportamentul asimptotic.

Întrebări bune de control: „Care este primul lucru pe care îl scrii când vezi o funcție cu fracție?" (valorile interzise); „De ce nu ai voie să înmulțești o inecuație cu numitorul?" (nu îi cunoști semnul); „Ce diferență este între graficul lui $\frac{x^2-9}{x-3}$ și cel al lui $x+3$?" (un punct lipsă în $(3,6)$). Semne că a înțeles: nu simplifică înainte de a stabili domeniul, exclude corect valoarea interzisă din soluțiile inecuațiilor și poate explica, pe un tabel de valori, de ce graficul „fuge" lângă o valoare interzisă.

La Bacalaureat, structura tipică este exact cea din Exemplul 6: domeniu, ecuația $h(x)=0$, apoi o inecuație rezolvată prin tabel de semn. Punctajul se pierde cel mai des la capetele intervalelor — includerea greșită a valorii interzise sau excluderea greșită a zeroului. Merită insistat pe verificarea finală cu valori de probă, care depistează imediat aceste erori.

Întrebări frecvente

Ce este câtul a două funcții? Este funcția care, în fiecare punct, împarte valoarea primei funcții la valoarea celei de-a doua: $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$. Se definește doar acolo unde numitorul este diferit de zero.

Cum aflu domeniul unei funcții cu fracție? Egalezi numitorul cu zero, rezolvi ecuația și scoți soluțiile din mulțimea numerelor reale. Rezultatul se scrie ca reuniune de intervale, de exemplu $(-\infty ,2)\cup (2,\infty )$ pentru o singură valoare interzisă.

Unde se anulează câtul a două funcții? Acolo unde se anulează numărătorul, cu condiția ca punctul respectiv să facă parte din domeniu. Numitorul nu produce niciodată zerouri, ci doar valori interzise.

Cum rezolv o inecuație cu fracție? Nu înmulțești cu numitorul — nu îi cunoști semnul. Marchezi pe axă zeroul numărătorului și valoarea interzisă, faci tabelul de semn cu regula semnelor și citești intervalele care convin, având grijă ce capete incluzi.

Ce se întâmplă cu graficul lângă o valoare interzisă? De regulă, valorile funcției cresc sau scad peste orice prag, iar graficul se desparte în două ramuri care se apropie oricât de mult de dreapta verticală corespunzătoare, fără să o atingă vreodată.

De ce nu am voie să simplific fracția înainte de a scrie domeniul? Pentru că simplificarea ascunde valoarea interzisă. Domeniul se citește pe forma din enunț; abia după aceea poți simplifica, precizând că egalitatea obținută este valabilă doar pe domeniu.

Ce înseamnă că graficul are o „gaură"? Înseamnă că numărătorul și numitorul se anulează în același punct: după simplificare funcția coincide cu o expresie cuminte, dar punctul respectiv rămâne în afara domeniului, deci lipsește din grafic.

Unde se folosesc în practică funcțiile de tip cât? Oriunde apare o mărime „pe unitate": cost pe persoană, preț pe kilogram, viteză ca raport între distanță și timp, concentrație ca raport între substanță și soluție, densitate ca raport între masă și volum.