Reducerea la primul cadran: sin(π − x) și cos(π − x)

Ai memorat, cu efort, un tabel mic: valorile sinusului și cosinusului pentru $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$. Șase numere, atât. Și totuși, la teze apar tot timpul unghiuri ca $120^{\circ }$, $135^{\circ }$ sau $150^{\circ }$, pentru care nu ai memorat nimic. Ce faci? Le înveți și pe acelea, apoi pe cele din cadranul III, apoi pe cele din IV — și ajungi la douăzeci și patru de valori de ținut minte, cu semnele lor cu tot?

Nicidecum. Matematica are o soluție mult mai elegantă, numită reducerea la primul cadran: orice unghi din celelalte cadrane se exprimă în funcție de un unghi din primul cadran, folosind simetriile cercului. Nu memorezi valori noi, ci o singură regulă de transformare. În lecția aceasta învățăm prima și cea mai folosită dintre aceste reguli, cea care leagă un unghi $x$ de suplementul lui $\pi -x$ — adică rezolvă dintr-o lovitură tot cadranul II. Regula se citește direct de pe desen, ca o oglindire în axa verticală, și se demonstrează în două rânduri.

Ce vei învăța

• Vei ști să localizezi pe cerc punctele $M(x)$ și $M(\pi -x)$ și să vezi că sunt simetrice față de axa $Oy$.
• Vei ști să deduci formulele $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\cos (\pi -x)=-\cos x$ din coordonatele punctelor simetrice.
• Vei ști să calculezi valorile pentru $120^{\circ }$, $135^{\circ }$ și $150^{\circ }$ folosind doar tabelul primului cadran.
• Vei ști să scrii un unghi din cadranul II sub forma $\pi -x$, cu $x$ ascuțit, rapid și fără greșeli.
• Vei ști să folosești formulele pentru a simplifica expresii și pentru a calcula sume care se anulează pe perechi.
• Vei ști să aplici reducerea la unghiurile obtuze dintr-un triunghi, unde apar cel mai des în probleme.

Hai să descoperim împreună

1. De ce reducem: un tabel mic pentru toate unghiurile

Tabelul pe care îl stăpânești din lecția despre valorile lui sin și cos pentru unghiurile de bază acoperă exact primul cadran:

Ideea reducerii este simplă: nu extindem tabelul, ci traducem orice unghi din alt cadran într-un unghi de aici. Traducerea se face cu ajutorul simetriilor cercului trigonometric, iar fiecare simetrie dă o formulă. Astăzi lucrăm cu simetria față de axa verticală $Oy$, care duce cadranul I în cadranul II.

2. Ce se întâmplă pe cerc când înlocuim x cu π − x

Fie $x$ un număr din intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, deci un unghi ascuțit, cu punctul asociat $M(x)$ în cadranul I. Ne întrebăm unde se află punctul asociat lui $\pi -x$.

Gândește geometric: a parcurge un arc de lungime $\pi -x$ înseamnă a merge până la $\pi$ (adică până în punctul $(-1,0)$, capătul din stânga al axei orizontale) și a te întoarce cu $x$ înapoi. Cu alte cuvinte, punctul $M(\pi -x)$ se află la aceeași distanță de $(-1,0)$ pe cât se află $M(x)$ de $(1,0)$ — dar de partea cealaltă a cercului.

Rezultatul: $M(\pi -x)$ este simetricul lui $M(x)$ față de axa $Oy$. Cele două puncte stau la aceeași înălțime, la stânga și la dreapta axei verticale, ca două imagini într-o oglindă așezată de-a lungul lui $Oy$.

Verificarea că sunt într-adevăr simetrice se poate face și numeric, pe un exemplu: pentru $x=\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$, avem $\pi -x=\frac{2\pi }{3}=120^{\circ }$. Punctul de la $60^{\circ }$ e la $60^{\circ }$ de capătul din dreapta al axei orizontale; punctul de la $120^{\circ }$ e la $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$ de capătul din stânga. Aceeași depărtare de axa $Oy$, de o parte și de alta.

3. Deducerea formulelor din coordonate

Acum traducem simetria în formule. Reamintim regula simetriei față de axa $Oy$ în reperul cartezian: simetricul punctului $(a,b)$ față de $Oy$ este punctul $(-a,b)$ — abscisa își schimbă semnul, ordonata rămâne. (Este exact ce se întâmplă când te privești în oglindă: stânga devine dreapta, dar înălțimea nu se schimbă.)

Punctul $M(x)$ are, prin definiție, coordonatele $(\cos x,\sin x)$. Simetricul lui față de $Oy$ are, deci, coordonatele $(-\cos x,\sin x)$. Dar am stabilit că acest simetric este punctul $M(\pi -x)$, ale cărui coordonate sunt, tot prin definiție, $(\cos (\pi -x),\sin (\pi -x))$.

Două scrieri ale aceluiași punct trebuie să coincidă coordonată cu coordonată:

$$\cos (\pi -x)=-\cos x,\sin (\pi -x)=\sin x.$$

Le scriem încă o dată, în ordinea în care le vei folosi:

$$\boxed{\sin (\pi -x)=\sin x}\boxed{\cos (\pi -x)=-\cos x}$$

Sinusul nu se schimbă, cosinusul își schimbă semnul. Merită repetat cu voce tare, pentru că întreaga lecție se sprijină pe această asimetrie: ordonata rămâne, abscisa se răstoarnă.

Deși le-am dedus pentru $x$ ascuțit, formulele sunt valabile pentru orice număr real $x$ — raționamentul cu simetria față de $Oy$ nu folosește nicăieri faptul că punctul e în primul cadran. Verificare imediată pe un caz de graniță: pentru $x=\frac{\pi }{2}$ avem $\pi -x=\frac{\pi }{2}$, iar formulele devin $\sin \frac{\pi }{2}=\sin \frac{\pi }{2}$ (adevărat) și $\cos \frac{\pi }{2}=-\cos \frac{\pi }{2}$, adică $0=-0$ (adevărat).

4. Un control de coerență cu semnele pe cadrane

Formulele trebuie să se potrivească cu ce știm din lecția despre semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane. Să verificăm.

Dacă $x$ este ascuțit, atunci $\pi -x$ este în cadranul II. Acolo sinusul trebuie să fie pozitiv și cosinusul negativ. Ce spun formulele?

• $\sin (\pi -x)=\sin x$, iar $\sin x>0$ pentru $x$ în cadranul I. Deci sinusul lui $\pi -x$ este pozitiv ✓.
• $\cos (\pi -x)=-\cos x$, iar $\cos x>0$ pentru $x$ în cadranul I, deci $-\cos x<0$. Cosinusul lui $\pi -x$ este negativ ✓.

Perfect coerent. De altfel, semnul minus din a doua formulă este exact semnul cadranului II — nu e o convenție arbitrară, ci consecința faptului că trecerea peste axa $Oy$ mută punctul în zona absciselor negative.

5. Aplicarea: 120°, 135°, 150°

Acum recoltăm. Cele trei unghiuri obtuze „frumoase" se scriu imediat ca suplemente ale celor din tabelul de bază:

$$120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ },135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ },150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }.$$

Aplicăm formulele pe rând.

Pentru $120^{\circ }$, cu $x=60^{\circ }$:

$$\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}.$$

Pentru $135^{\circ }$, cu $x=45^{\circ }$:

$$\sin 135^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos 135^{\circ }=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Pentru $150^{\circ }$, cu $x=30^{\circ }$:

$$\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2},\cos 150^{\circ }=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

În radiani, aceleași trei rezultate se scriu pentru $\frac{2\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}$, $\frac{3\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}$ și $\frac{5\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}$. Iată tabelul complet al cadranului II, obținut fără să memorăm nimic nou:

Compară-l cu tabelul primului cadran de la începutul lecției: linia sinusurilor e aceeași, citită de la dreapta la stânga; linia cosinusurilor e aceeași, citită de la dreapta la stânga și cu semnele schimbate. Este oglinda, pusă în tabel.

6. Rutina: cum scrii un unghi ca π − x

În exerciții nu ți se dă direct forma $\pi -x$; trebuie s-o construiești. Procedeul are trei pași și funcționează pentru orice unghi din cadranul II.

1. Verifică cadranul. Unghiul e între $90^{\circ }$ și $180^{\circ }$ (sau între $\frac{\pi }{2}$ și $\pi$)? Dacă da, formula cu $\pi -x$ e cea potrivită.
2. Calculează suplementul. Scazi unghiul din $180^{\circ }$ (sau din $\pi$). Rezultatul, notat $x$, e unghiul ascuțit „de referință".
3. Aplică formulele. Sinusul rămâne, cosinusul primește minus.

Cu unghiuri în radiani, pasul al doilea cere puțină atenție la fracții. De exemplu, pentru $\frac{5\pi }{6}$:

$$\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{6\pi }{6}-\frac{5\pi }{6}=\frac{\pi }{6}.$$

Aduci $\pi$ la numitorul fracției și scazi numărătorii — atât. La fel, $\pi -\frac{3\pi }{4}=\frac{4\pi -3\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$ și $\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{3\pi -2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$.

Procedeul funcționează și pentru unghiuri care nu sunt „frumoase": $\sin 100^{\circ }=\sin (180^{\circ }-100^{\circ })=\sin 80^{\circ }$ și $\cos 100^{\circ }=-\cos 80^{\circ }$. Nu cunoaștem valorile exacte ale lui $\sin 80^{\circ }$ și $\cos 80^{\circ }$, dar am mutat problema în primul cadran, unde tabelele și calculatorul lucrează în forma cea mai simplă — și, mai important, am aflat gratuit semnele.

Pentru unghiurile din cadranele III și IV există formule înrudite, construite pe alte simetrii ale cercului; le vom deduce în lecția despre formulele cu π + x și 2π − x.

7. Citirea formulei pe graficul sinusului

Formula $\sin (\pi -x)=\sin x$ are și o traducere grafică frumoasă, pe care o poți verifica pe desenul din lecția despre graficele funcțiilor sinus și cosinus.

Ea spune că sinusul ia aceeași valoare în două puncte așezate simetric față de $\frac{\pi }{2}$: dacă unul e cu $d$ înaintea lui $\frac{\pi }{2}$, celălalt e cu $d$ după. Prin urmare, „dealul" sinusoidei de pe intervalul $[0,\pi ]$ este simetric față de dreapta verticală $x=\frac{\pi }{2}$ — exact ce se vede pe grafic: partea care urcă și partea care coboară sunt oglindite una față de cealaltă, iar vârful stă fix la mijloc.

Pentru cosinus, formula $\cos (\pi -x)=-\cos x$ spune altceva: valorile din punctele simetrice față de $\frac{\pi }{2}$ sunt opuse. Pe grafic, asta înseamnă că bucata din stânga lui $\frac{\pi }{2}$ și cea din dreapta se obțin una din alta printr-o răsturnare, nu printr-o oglindire simplă. Verifică pe valori: $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, iar $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ — opuse, cum spune formula.

8. Unde apar cel mai des: unghiurile obtuze din triunghiuri

Într-un triunghi, suma măsurilor unghiurilor este $180^{\circ }$, adică $\pi$. De aici o consecință folosită tot timpul: dacă $A$, $B$, $C$ sunt unghiurile unui triunghi, atunci $A=\pi -(B+C)$, deci

$$\sin A=\sin (B+C).$$

Mai practic încă: un triunghi poate avea cel mult un unghi obtuz, iar acel unghi cade obligatoriu în cadranul II. Ori de câte ori într-o problemă de geometrie apare un unghi de $120^{\circ }$, $135^{\circ }$ sau $150^{\circ }$, valorile lui se obțin prin exact reducerea învățată azi. Este, de exemplu, pasul din care iese semnul minus care „mărește" latura opusă în teorema cosinusului: acolo, $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ transformă scăderea din formulă într-o adunare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcul direct pentru un unghi în grade

Calculați $\sin 150^{\circ }$ și $\cos 150^{\circ }$.

Rezolvare. Unghiul e între $90^{\circ }$ și $180^{\circ }$, deci în cadranul II. Suplementul lui este $180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$, adică $150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }$. Aplicăm formulele:

$$\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2},\cos 150^{\circ }=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Control de semn: în cadranul II sinusul e pozitiv și cosinusul negativ — exact ce am obținut. $■$

Exemplul 2 — Calcul pentru un unghi în radiani

Calculați $\sin \frac{3\pi }{4}$ și $\cos \frac{3\pi }{4}$.

Rezolvare. Verificăm cadranul: $\frac{\pi }{2}=\frac{2\pi }{4}<\frac{3\pi }{4}<\frac{4\pi }{4}=\pi$, deci cadranul II. Calculăm suplementul:

$$\pi -\frac{3\pi }{4}=\frac{4\pi -3\pi }{4}=\frac{\pi }{4}.$$

Prin urmare $\frac{3\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}$ și:

$$\sin \frac{3\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos \frac{3\pi }{4}=-\cos \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

$■$

Exemplul 3 — O sumă care se anulează

Calculați $E=\sin 120^{\circ }+\cos 150^{\circ }$.

Rezolvare. Reducem fiecare termen:

$$\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 150^{\circ }=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Adunăm: $E=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$.

Nu e o coincidență: $\sin 60^{\circ }$ și $\cos 30^{\circ }$ sunt egale (ambele $\frac{\sqrt{3}}{2}$), iar minusul adus de reducerea cosinusului le face să se anuleze. $■$

Exemplul 4 — Simplificarea unei expresii

Simplificați expresia $F=\sin (\pi -x)+\cos (\pi -x)+\cos x$.

Rezolvare. Aplicăm formulele termen cu termen:

$$F=\sin x+(-\cos x)+\cos x=\sin x.$$

Cei doi termeni cu cosinus se reduc, iar expresia se prăbușește la $\sin x$. Verificare rapidă cu $x=\frac{\pi }{2}$: membrul stâng este $\sin \frac{\pi }{2}+\cos \frac{\pi }{2}+\cos \frac{\pi }{2}=1+0+0=1$, iar membrul drept este $\sin \frac{\pi }{2}=1$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Reducere combinată cu formula fundamentală

Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Calculați $\sin (\pi -x)$ și $\cos (\pi -x)$.

Rezolvare. Primul e imediat: $\sin (\pi -x)=\sin x=\frac{3}{5}$.

Pentru al doilea avem nevoie de $\cos x$, pe care îl obținem cu formula fundamentală: ${\cos }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\cos x=\pm \frac{4}{5}$. Cum $x$ e în cadranul I, cosinusul e pozitiv: $\cos x=\frac{4}{5}$.

Atunci $\cos (\pi -x)=-\cos x=-\frac{4}{5}$.

Verificare de coerență: punctul asociat lui $\pi -x$ e în cadranul II, unde sinusul e pozitiv ($\frac{3}{5}>0$ ✓) și cosinusul negativ ($-\frac{4}{5}<0$ ✓). $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

a) Calculați $\sin \frac{5\pi }{6}$. b) Calculați $\cos \frac{2\pi }{3}$. c) Arătați că $\sin \frac{5\pi }{6}+\cos \frac{2\pi }{3}=0$.

Rezolvare. a) $\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{6\pi -5\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$, deci $\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$.

b) $\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{3\pi -2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$, deci $\cos \frac{2\pi }{3}=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$.

c) Suma este $\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)=0$, ceea ce trebuia arătat. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru fiecare unghi obtuz, scrie explicit descompunerea (de exemplu $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$) înainte de a aplica formulele — pasul acesta scris valorează puncte la corectare.

1. Calculează $\sin 120^{\circ }$ și $\cos 120^{\circ }$.

2. Calculează $\sin 135^{\circ }$ și $\cos 135^{\circ }$.

3. Calculează $\sin \frac{2\pi }{3}$ și $\cos \frac{2\pi }{3}$.

4. Calculează $\sin \frac{5\pi }{6}$ și $\cos \frac{5\pi }{6}$.

5. Scrie fiecare dintre unghiurile $110^{\circ }$, $170^{\circ }$ și $95^{\circ }$ sub forma $180^{\circ }-x$, cu $x$ ascuțit.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr real $x$ are loc egalitatea $\cos (\pi -x)=\cos x$."

7. Calculează $E=\sin 150^{\circ }+\cos 120^{\circ }$.

8. Calculează $F=\sin 135^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }$.

9. Simplifică expresia $G=\sin (\pi -x)-\sin x+3$.

10. Simplifică expresia $H=\cos (\pi -x)+\cos x$.

11. Compară numerele $\sin 100^{\circ }$ și $\sin 80^{\circ }$, justificând.

12. Se știe că $\cos x=\frac{5}{13}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Calculează $\cos (\pi -x)$ și $\sin (\pi -x)$.

13. Arată că ${\sin }^2(\pi -x)+{\cos }^2(\pi -x)=1$, folosind formulele de reducere.

14. (Problemă aplicată.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=3$, $AC=5$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculează $BC$, folosind teorema cosinusului și reducerea la primul cadran pentru $\cos 120^{\circ }$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $x=\frac{3\pi }{4}$. a) Calculează $\sin x$ și $\cos x$. b) Calculează $\sin x+\cos x$. c) Arată că $\sin x\cdot \cos x=-\frac{1}{2}$.

16. Arată că, în orice triunghi $ABC$, are loc egalitatea $\sin A=\sin (B+C)$.

17. (Raționament.) Explică, folosind formula $\sin (\pi -x)=\sin x$, de ce porțiunea din graficul funcției sinus corespunzătoare intervalului $[0,\pi ]$ este simetrică față de dreapta verticală $x=\frac{\pi }{2}$.

18. (Provocare.) Calculează suma $S=\cos 10^{\circ }+\cos 20^{\circ }+\cos 30^{\circ }+\dots +\cos 170^{\circ }$ (termenii merg din $10$ în $10$ grade). (Indicație: grupează termenii pe perechi.)

Răspunsuri și explicații

1. $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$, deci $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$.

2. $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$, deci $\sin 135^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos 135^{\circ }=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. $\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$, deci $\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos \frac{2\pi }{3}=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$.

4. $\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$, deci $\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ și $\cos \frac{5\pi }{6}=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. $110^{\circ }=180^{\circ }-70^{\circ }$; $170^{\circ }=180^{\circ }-10^{\circ }$; $95^{\circ }=180^{\circ }-85^{\circ }$. Toate trei sunt în cadranul II, deci au sinusul pozitiv și cosinusul negativ.

6. Fals. Formula corectă este $\cos (\pi -x)=-\cos x$; simetria față de axa $Oy$ schimbă semnul abscisei, adică al cosinusului. Contraexemplu: pentru $x=0$, membrul stâng este $\cos \pi =-1$, iar membrul drept $\cos 0=1$; cele două diferă.

7. $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$, deci $E=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$.

8. $\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $F=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

9. $G=\sin x-\sin x+3=3$. Expresia este constantă, egală cu $3$ pentru orice $x$.

10. $H=-\cos x+\cos x=0$. Expresia se anulează pentru orice $x$ — cele două cosinusuri sunt numere opuse.

11. $100^{\circ }=180^{\circ }-80^{\circ }$, deci $\sin 100^{\circ }=\sin 80^{\circ }$. Numerele sunt egale, nu doar comparabile. Este exact simetria față de $90^{\circ }$: unghiurile suplementare au același sinus.

12. $\cos (\pi -x)=-\cos x=-\frac{5}{13}$. Pentru sinus, formula fundamentală dă ${\sin }^{2}x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$, deci $\sin x=\frac{12}{13}$ (pozitiv, fiind cadranul I). Atunci $\sin (\pi -x)=\sin x=\frac{12}{13}$.

13. Înlocuind cu formulele de reducere: ${\sin }^2(\pi -x)+{\cos }^2(\pi -x)=(\sin x{)}^2+(-\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Semnul minus dispare la ridicarea la pătrat, deci formula fundamentală rămâne valabilă și pentru argumentul $\pi -x$ — cum, de altfel, era de așteptat, ea fiind adevărată pentru orice număr real.

14. $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$. Teorema cosinusului dă $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=9+25-2\cdot 3\cdot 5\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=34+15=49$, deci $BC=7$. Observă cum minusul din reducere s-a combinat cu minusul din formulă și a mărit latura opusă unghiului obtuz.

15. a) $\frac{3\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}$, deci $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos x=-\cos \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. b) $\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0$. c) $\sin x\cdot \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$ ✓.

16. Suma unghiurilor unui triunghi este $\pi$, deci $A+B+C=\pi$, de unde $B+C=\pi -A$. Aplicăm formula de reducere cu argumentul $A$: $\sin (B+C)=\sin (\pi -A)=\sin A$. $■$

17. Fie $d\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ și considerăm punctele $\frac{\pi }{2}-d$ și $\frac{\pi }{2}+d$, așezate simetric față de $\frac{\pi }{2}$. Suma lor este $\pi$, deci al doilea se scrie ca $\pi$ minus primul. Formula de reducere dă atunci $\sin \left(\frac{\pi }{2}+d\right)=\sin \left(\pi -\left(\frac{\pi }{2}-d\right)\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-d\right)$. Cum valorile funcției coincid în orice pereche de puncte simetrice față de $\frac{\pi }{2}$, graficul are dreapta $x=\frac{\pi }{2}$ ca axă de simetrie pe intervalul $[0,\pi ]$.

18. Termenii sunt $\cos 10^{\circ }$, $\cos 20^{\circ }$, …, $\cos 170^{\circ }$ — în total $17$ termeni. Grupăm primul cu ultimul, al doilea cu penultimul și așa mai departe. Fiecare pereche are forma $\cos k^{\circ }+\cos (180-k{)}^{\circ }$, iar din formula de reducere $\cos (180-k{)}^{\circ }=-\cos k^{\circ }$, deci fiecare pereche dă zero. Se formează $8$ astfel de perechi: $(10^{\circ },170^{\circ })$, $(20^{\circ },160^{\circ })$, …, $(80^{\circ },100^{\circ })$. Rămâne singur termenul din mijloc, $\cos 90^{\circ }=0$. Așadar $S=0$. Morala: când într-o sumă apar unghiuri suplementare, caută perechile — reducerea le anulează pe loc.

De reținut

• Formulele de reducere pentru $\pi -x$: $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\cos (\pi -x)=-\cos x$, valabile pentru orice număr real $x$.
• Ele vin din faptul că punctele $M(x)$ și $M(\pi -x)$ sunt simetrice față de axa $Oy$: ordonata (sinusul) rămâne, abscisa (cosinusul) își schimbă semnul.
• Un unghi din cadranul II se reduce scăzându-l din $180^{\circ }$ (sau din $\pi$): $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$, $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$, $150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }$.
• Valorile de reținut din cadranul II: $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$; $\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Unghiurile suplementare au același sinus și cosinusuri opuse. De aici, într-un triunghi, $\sin A=\sin (B+C)$, iar unghiurile obtuze au întotdeauna cosinusul negativ.

Greșeli frecvente

• Minusul pus la sinus în loc de cosinus. Se scrie, greșit, $\sin (\pi -x)=-\sin x$. Reține imaginea oglinzii: înălțimea (ordonata, deci sinusul) nu se schimbă la o oglindire în axa verticală; stânga–dreapta (abscisa, deci cosinusul) se schimbă.
• Suplementul calculat greșit la fracții. Pentru $\frac{5\pi }{6}$ se scrie $\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$, nu $\frac{5\pi }{6}-\pi$ și nici $\frac{4\pi }{6}$. Adu $\pi$ la numitorul fracției: $\pi =\frac{6\pi }{6}$.
• Formula aplicată în cadranul greșit. $\pi -x$ acoperă cadranul II. Pentru $200^{\circ }$ sau $300^{\circ }$ formula aceasta nu se potrivește; acolo sunt necesare celelalte reduceri, cu $\pi +x$ și $2\pi -x$.
• Semnul neverificat la final. După reducere, controlează rezultatul cu regula semnelor pe cadrane: în cadranul II sinusul trebuie să iasă pozitiv și cosinusul negativ. Dacă nu iese așa, ai greșit undeva.
• Confuzia suplement–complement. Suplementul lui $x$ este $180^{\circ }-x$ (suma dă $180^{\circ }$), complementul este $90^{\circ }-x$ (suma dă $90^{\circ }$). Formulele din această lecție sunt pentru suplement; cele pentru complement au altă structură și le vom studia separat.

Aplică acasă

1. Oglinda din baie. Lipește pe oglindă o bandă verticală de hârtie colorată, ca „axă $Oy$". Ține un creion înclinat în fața ei și observă reflexia: vârful creionului și reflexia lui rămân la aceeași înălțime, dar se depărtează în direcții opuse de bandă. Este exact ce se întâmplă cu $M(x)$ și $M(\pi -x)$ — desenează situația pe caiet și scrie coordonatele ambelor puncte.

2. Tabelul tău al cadranului II. Fără să te uiți în lecție, reconstruiește tabelul valorilor pentru $120^{\circ }$, $135^{\circ }$ și $150^{\circ }$, pornind doar de la tabelul cadranului I și de la cele două formule. Verifică-l apoi cu calculatorul (în modul grade). Repetă exercițiul trei zile la rând — dacă îl reconstruiești corect a treia oară, formulele sunt ale tale.

3. Vânătoare de unghiuri obtuze. Caută în jurul tău trei unghiuri mai mari de $90^{\circ }$: deschiderea unei uși lipite de perete, unghiul dintre acele ceasului la ora $16:00$, colțul unui acoperiș. Măsoară-le cu un raportor (sau estimează-le), scrie fiecare ca $180^{\circ }$ minus un unghi ascuțit și calculează sinusul și cosinusul lor prin reducere.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima dintre formulele de reducere cerute de programă, iar nota programei este explicită: toate formulele trebuie argumentate folosind cercul trigonometric și simetriile față de axe. Prin urmare, scopul nu este memorarea celor două egalități, ci înțelegerea mecanismului: punctul asociat lui $\pi -x$ este simetricul față de axa $Oy$ al punctului asociat lui $x$, iar simetria aceasta păstrează ordonata și schimbă semnul abscisei. Un elev care a înțeles mecanismul poate reconstrui formula pe loc, chiar dacă a uitat-o; unul care a memorat-o pur și simplu are șanse mari să pună minusul la sinus.

Valoarea practică imediată este că elevul nu mai trebuie să învețe un tabel separat pentru cadranul II: cele trei unghiuri obtuze uzuale ($120^{\circ }$, $135^{\circ }$, $150^{\circ }$) se obțin în două rânduri din tabelul de bază. Aceste valori sunt apoi folosite constant în geometrie, la triunghiuri cu unghiuri obtuze.

Întrebări bune de control: „De ce sinusul rămâne neschimbat?" (simetria față de $Oy$ păstrează ordonata); „Cât este $\cos 135^{\circ }$ și de unde vine semnul?" ($-\frac{\sqrt{2}}{2}$; din schimbarea semnului abscisei, adică din faptul că punctul e în cadranul II); „Cum scrii $\frac{5\pi }{6}$ ca $\pi$ minus ceva?" (aducând $\pi$ la numitorul $6$); „Ce legătură e între $\sin 100^{\circ }$ și $\sin 80^{\circ }$?" (sunt egale, unghiurile fiind suplementare). Semne că a înțeles: scrie descompunerea înainte de a aplica formula și își verifică singur semnul cu regula cadranelor.

La teze și la Bacalaureat, reducerea la primul cadran apare atât ca cerință de sine stătătoare („calculați $\sin \frac{2\pi }{3}$"), cât și, mai frecvent, ca pas intermediar în probleme de geometrie cu unghiuri obtuze — în special la teorema cosinusului și la formulele de arie. Exercițiile 14 și 15 de la exersare reproduc fidel aceste două tipare.

Întrebări frecvente

Cât este sin(π − x)? Este egal cu $\sin x$. Sinusul rămâne neschimbat, pentru că punctele asociate lui $x$ și lui $\pi -x$ sunt simetrice față de axa $Oy$, iar o astfel de simetrie păstrează ordonata — adică exact sinusul.

Cât este cos(π − x)? Este $-\cos x$. Cosinusul își schimbă semnul, pentru că simetria față de axa $Oy$ schimbă semnul abscisei. Concret, punctul trece din zona absciselor pozitive în cea a absciselor negative.

Cât este sin 120° și cum se calculează? $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Se scrie $120^{\circ }=180^{\circ }-60^{\circ }$ și se aplică formula: $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Cât este cos 135°? $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Din $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$ rezultă $\cos 135^{\circ }=-\cos 45^{\circ }$, iar $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

De ce se numește „reducere la primul cadran"? Pentru că transformă un unghi din alt cadran într-un unghi din primul cadran, unde valorile sunt cunoscute din tabelul de bază. În loc să memorezi valori pentru toate cele patru cadrane, memorezi doar primul cadran și câteva reguli de transformare.

Cum scriu un unghi din cadranul II sub forma π − x? Scazi unghiul din $180^{\circ }$ (sau din $\pi$, dacă lucrezi în radiani). De exemplu $150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }$, iar $\frac{3\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}$ — la fracții, aduci $\pi$ la același numitor înainte de scădere.

Două unghiuri suplementare au același sinus? Da. Dacă suma lor este $180^{\circ }$, al doilea se scrie ca $180^{\circ }$ minus primul, iar formula dă sinusuri egale. Cosinusurile lor, în schimb, sunt numere opuse. De aici rezultă și că, într-un triunghi, $\sin A=\sin (B+C)$.

Formulele acestea merg și pentru cadranele III și IV? Nu direct — ele acoperă exact cadranul II, adică unghiurile dintre $90^{\circ }$ și $180^{\circ }$. Pentru cadranele III și IV există reduceri înrudite, construite pe simetria față de origine și pe simetria față de axa $Ox$, pe care le vom deduce în lecțiile următoare.