Puterea unei puteri și puterea unui produs

Până acum ai învățat să înmulțești puteri cu aceeași bază și să le împarți. Astăzi facem un pas mai sus: vom „ridica o putere la o altă putere" și vom „ridica un produs întreg la o putere". Sună complicat, dar vei vedea că ambele reguli ascund același secret simplu — desfacerea în factori. Odată ce înțelegi acest secret, calculele cu puteri devin rapide, ordonate și chiar plăcute.

Ce vei învăța

• Vei ști să ridici o putere la o putere înmulțind exponenții: $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$.
• Vei ști să aplici regula puterii unui produs: $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$.
• Vei ști să justifici aceste reguli prin desfacerea produselor de factori, nu doar să le memorezi.
• Vei ști să combini noile reguli cu cele învățate anterior, în calcule cu mai multe puteri.
• Vei ști să eviți confuziile dintre „puterea unei puteri" și „produsul puterilor".

Hai să descoperim împreună

Reamintim ce înseamnă o putere

O putere este o înmulțire repetată a aceluiași număr. Numărul care se repetă se numește bază, iar de câte ori se repetă ne spune exponentul.

$$a^n=\underset{n\text{ factori}}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}}$$

De exemplu, $2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$. Aici baza este $2$, iar exponentul este $4$. Dacă vrei să-ți reîmprospătezi memoria despre bază și exponent, revezi lecția Puterea cu exponent natural: definiție, bază și exponent.

Tot ce vom face astăzi se sprijină pe această idee simplă: o putere este, de fapt, doar o înmulțire scrisă pe scurt. Ori de câte ori te încurci, transformă puterea înapoi în înmulțire — și totul se limpezește.

Partea 1 — Puterea unei puteri

Imaginează-ți că ai deja o putere, de exemplu $2^3$, și cineva îți cere să o ridici la puterea a $4$-a. Adică să calculezi $(2^3{)}^4$. Ce înseamnă asta?

A ridica ceva la puterea a $4$-a înseamnă a-l înmulți cu el însuși de $4$ ori. Deci:

$$(2^3{)}^4=2^3\cdot 2^3\cdot 2^3\cdot 2^3$$

Atenție: aici baza care se repetă de $4$ ori este chiar întregul $2^3$. Acum avem un produs de puteri cu aceeași bază ($2$), și știm deja, din lecția Produsul puterilor cu aceeași bază, că la înmulțire adunăm exponenții:

$$2^3\cdot 2^3\cdot 2^3\cdot 2^3=2^{3+3+3+3}=2^{12}$$

Și acum vine partea frumoasă. Ce este $3+3+3+3$? Este $3$ adunat de $4$ ori, adică $3\cdot 4=12$. Deci, fără să mai adunăm, puteam înmulți direct exponenții: $3\cdot 4=12$.

Iată regula:

$$\boxed{(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}}$$

Regula puterii unei puteri: când ridici o putere la o altă putere, păstrezi baza și înmulțești exponenții.

De ce înmulțim, nu adunăm?

E foarte ușor de confundat cu regula de la înmulțirea puterilor. Hai să fim limpezi de la început. Gândește-te la $(a^m{)}^n$ ca la un dreptunghi de factori:

• exponentul $m$ îți spune câți factori $a$ are fiecare „grup mic" (fiecare $a^m$);
• exponentul $n$ îți spune câte astfel de grupuri ai;
• în total ai $m$ factori în fiecare rând și $n$ rânduri, deci $m\cdot n$ factori $a$ așezați ca într-un tablou dreptunghiular.

Iar un număr $a$ care apare de $m\cdot n$ ori înmulțit cu el însuși este, prin definiție, $a^{m\cdot n}$.

Hai să verificăm cu numere mici, ca să fim siguri:

$$(2^3{)}^2=2^3\cdot 2^3=8\cdot 8=64$$

Iar regula spune $2^{3\cdot 2}=2^6=64$. Se potrivește perfect! Verificarea „cu numere mici, calculate complet" este cea mai bună prietenă a ta când nu ești sigur de o regulă.

Partea 2 — Puterea unui produs

Acum schimbăm întrebarea. Ce facem dacă înăuntrul unei puteri avem un produs? De exemplu, $(2\cdot 5{)}^3$. Atenție, baza nu mai este un singur număr, ci o înmulțire: $2\cdot 5$.

Avem două drumuri și amândouă trebuie să dea același rezultat (altfel matematica ar fi stricată).

Drumul 1 — calculăm întâi paranteza. $$(2\cdot 5{)}^3=10^3=1000$$

Drumul 2 — desfacem puterea în factori. A ridica la puterea a $3$-a înseamnă a înmulți baza cu ea însăși de $3$ ori: $$(2\cdot 5{)}^3=(2\cdot 5)\cdot (2\cdot 5)\cdot (2\cdot 5)$$

Înmulțirea este comutativă și asociativă (poți schimba ordinea și gruparea factorilor fără să schimbi rezultatul — vezi Înmulțirea numerelor naturale și proprietățile ei). Așadar putem aduna toți de $2$ la un loc și toți de $5$ la un loc: $$=(2\cdot 2\cdot 2)\cdot (5\cdot 5\cdot 5)=2^3\cdot 5^3=8\cdot 125=1000$$

Ambele drumuri dau $1000$. Minunat — înseamnă că am descoperit o regulă adevărată:

$$\boxed{(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n}$$

Regula puterii unui produs: când ridici un produs la o putere, fiecare factor se ridică la acea putere, iar rezultatele se înmulțesc.

Cum o citești corect

Exponentul de afară „se împrăștie" peste fiecare factor dinăuntru, ca o ploaie care udă toate plantele din grădină în mod egal. Dacă ai trei factori, toți trei primesc exponentul:

$$(a\cdot b\cdot c{)}^n=a^n\cdot b^n\cdot c^n$$

De exemplu: $(2\cdot 3\cdot 4{)}^2=2^2\cdot 3^2\cdot 4^2=4\cdot 9\cdot 16=576$. Verificare: $(2\cdot 3\cdot 4{)}^2=24^2=576$. Se potrivește.

Foarte important — regula merge doar la PRODUS, nu la sumă!

Aici se ascunde cea mai mare capcană din toată lecția. Regula puterii unui produs funcționează doar pentru înmulțire. Ea nu funcționează pentru adunare!

$$(a+b{)}^n\ne a^n+b^n$$

Hai să o vedem cu numere, ca să nu mai uiți niciodată: $$(2+3{)}^2=5^2=25,\text{dar}{2}^2+3^2=4+9=13$$

$25\ne 13$. Deci, dacă în paranteză ai un plus, nu ai voie să „împrăștii" exponentul. Calculezi mai întâi suma, apoi ridici la putere. Reține: exponentul se distribuie peste înmulțire, dar NU peste adunare.

Cele două reguli, una lângă alta

Ca să le ții minte ușor, gândește-te ce „operație" se întâmplă cu exponenții:

Observă diferența-cheie dintre primele și a treia: la $a^m\cdot a^n$ ai două puteri separate legate prin înmulțire, iar exponenții se adună; la $(a^m{)}^n$ ai o putere închisă într-o paranteză și ridicată din nou, iar exponenții se înmulțesc. Parantezele îți spun de fiecare dată cu care caz ai de-a face — citește-le cu atenție!

Cum le combinăm în calcule mai mari

În practică, vei întâlni adesea expresii care cer mai multe reguli deodată. Strategia este mereu aceeași și foarte calmă:

1. Rezolvă întâi parantezele: aplică puterea unei puteri și puterea unui produs ca să „cureți" parantezele.
2. Adu totul la aceeași bază dacă se poate (de exemplu, scrie $4$ ca $2^2$, $8$ ca $2^3$).
3. Folosește produsul și câtul puterilor cu aceeași bază pentru a aduna sau scădea exponenții.
4. Calculează la final valoarea, doar dacă ți se cere un număr.

Hai să vedem planul la lucru pe o expresie scurtă: $(2^2{)}^3\cdot 8$. Pasul 1 — paranteza: $(2^2{)}^3=2^{2\cdot 3}=2^6$. Pasul 2 — aducem $8$ la baza $2$: $8=2^3$. Pasul 3 — produsul puterilor cu aceeași bază: $2^6\cdot 2^3=2^{6+3}=2^9$. Pasul 4 — dacă vrem numărul: $2^9=512$. Patru pași calmi, niciun salt riscant. Tocmai pentru că am respectat ordinea, n-a fost nevoie să ghicim nimic.

Cu acest plan în minte, nicio expresie nu te mai sperie. Hai să-l punem la treabă în exemplele rezolvate.

O poveste care te ajută să nu confunzi niciodată

Imaginează-ți o fabrică de bomboane. La un nivel, o mașină pune $a^m$ bomboane într-o cutie — adică fiecare cutie are $m$ rânduri a câte $a$ bomboane (ei bine, $a$ înmulțit cu el însuși de $m$ ori). Acum vine un camion care încarcă $n$ astfel de cutii identice. Câte „înmulțiri cu $a$" sunt în tot camionul? Fiecare cutie aduce $m$ factori $a$, iar camionul are $n$ cutii, deci în total $m\cdot n$ factori $a$. Asta este exact $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$: cutia este puterea dinăuntru, camionul este exponentul de afară, iar înmulțirea $m\cdot n$ numără totul.

Pe de altă parte, la puterea unui produs, gândește-te la o echipă formată din jucători de tip $a$ și jucători de tip $b$. Dacă echipa „se multiplică" de $n$ ori, atunci se înmulțesc separat și jucătorii $a$ (de $n$ ori, adică $a^n$) și jucătorii $b$ (de $n$ ori, adică $b^n$). De aceea $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$. Două povești, două imagini — și nu le mai amesteci.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Puterea unei puteri simplă

Calculează $(3^2{)}^4$.

Aplicăm direct regula puterii unei puteri: păstrăm baza și înmulțim exponenții. $$(3^2{)}^4=3^{2\cdot 4}=3^8$$

Dacă vrem și valoarea: $3^8=6561$.

Verificare rapidă: $(3^2{)}^4=9^4=9\cdot 9\cdot 9\cdot 9=81\cdot 81=6561$. Se potrivește.

Exemplul 2 — Puterea unui produs

Scrie ca produs de puteri și calculează $(2\cdot 7{)}^2$.

Fiecare factor primește exponentul $2$: $$(2\cdot 7{)}^2=2^2\cdot 7^2=4\cdot 49=196$$

Verificare: $(2\cdot 7{)}^2=14^2=196$. Perfect.

Exemplul 3 — Drumul invers (foarte util!)

Scrie ca o singură putere $5^3\cdot 4^3$.

Aici folosim regula puterii unui produs „de la dreapta la stânga". Observăm că ambele puteri au același exponent ($3$). Atunci putem strânge bazele la un loc: $$5^3\cdot 4^3=(5\cdot 4{)}^3=20^3=8000$$

Acesta este un truc de calcul rapid: când exponenții sunt egali, înmulțește bazele și păstrează exponentul. Adesea obții un număr „rotund", ușor de calculat.

Exemplul 4 — Combinație de reguli

Adu la o singură putere $(2^3{)}^2\cdot 2^4$.

Pas cu pas: $$(2^3{)}^2\cdot 2^4=2^{3\cdot 2}\cdot 2^4(\text{puterea unei puteri})$$ $$=2^6\cdot 2^4(\text{am calculat exponentul})$$ $$=2^{6+4}(\text{produsul puterilor: aduna˘m exponenții})$$ $$=2^{10}=1024$$

Observă cum, în aceeași expresie, am înmulțit exponenții la prima regulă și i-am adunat la a doua. Parantezele ne-au ghidat de fiecare dată.

Exemplul 5 — Putere a unui produs cu trei factori și o putere înăuntru

Calculează $(2\cdot 3^2{)}^2$.

Atenție: în paranteză avem un produs, deci exponentul de afară udă fiecare factor: $$(2\cdot 3^2{)}^2=2^2\cdot (3^2{)}^2$$

La al doilea factor avem o putere a unei puteri, deci înmulțim exponenții: $$=2^2\cdot 3^{2\cdot 2}=2^2\cdot 3^4=4\cdot 81=324$$

Verificare: în paranteză, $2\cdot 3^2=2\cdot 9=18$, iar $18^2=324$. Identic.

Exemplul 6 — Calcul deștept cu baze diferite aduse la aceeași bază

Scrie ca o putere a lui 2 expresia $4^3\cdot 8^2$.

Mai întâi aducem totul la baza $2$: știm că $4=2^2$ și $8=2^3$. $$4^3\cdot 8^2=(2^2{)}^3\cdot (2^3{)}^2$$

Aplicăm puterea unei puteri la fiecare: $$=2^{2\cdot 3}\cdot 2^{3\cdot 2}=2^6\cdot 2^6$$

Acum produsul puterilor cu aceeași bază (adunăm exponenții): $$=2^{6+6}=2^{12}=4096$$

Iată cât de elegant devine totul când aducem numerele la aceeași bază — un instrument pe care îl vei folosi mereu la puteri.

Exemplul 7 — Capcana sumei

Calculează corect $(4+1{)}^3$ și apoi spune dacă $4^3+1^3$ dă același rezultat.

Întâi calculul corect: în paranteză avem o sumă, deci o rezolvăm prima dată. $$(4+1{)}^3=5^3=125$$

Acum „greșeala tentantă" de a împrăștia exponentul: $$4^3+1^3=64+1=65$$

Cum $125\ne 65$, confirmăm încă o dată: exponentul nu se distribuie peste adunare. Singurul drum corect la sumă este să calculezi paranteza, apoi să ridici la putere.

Exemplul 8 — Două reguli și drumul invers împreună

Adu la o singură putere și calculează $(3\cdot 2{)}^4:6^2$.

Observăm că $3\cdot 2=6$, deci $(3\cdot 2{)}^4=6^4$. Acum avem un cât de puteri cu aceeași bază: $$6^4:6^2=6^{4-2}=6^2=36$$

Am folosit întâi puterea unui produs (pentru a obține baza $6$), apoi câtul puterilor cu aceeași bază (am scăzut exponenții). Vezi cum toate regulile lucrează împreună ca o echipă bine antrenată.

Exemplul 9 — Trei factori, cu o putere ascunsă înăuntru

Calculează $(2\cdot 5\cdot 3^2{)}^2$.

În paranteză avem un produs de trei factori: $2$, $5$ și $3^2$. Exponentul de afară, $2$, „udă" fiecare factor în parte: $$(2\cdot 5\cdot 3^2{)}^2=2^2\cdot 5^2\cdot (3^2{)}^2$$

La ultimul factor avem o putere ridicată din nou la putere, deci înmulțim exponenții: $(3^2{)}^2=3^{2\cdot 2}=3^4$. Așadar: $$=2^2\cdot 5^2\cdot 3^4=4\cdot 25\cdot 81=100\cdot 81=8100$$

Verificare pe celălalt drum: în paranteză, $2\cdot 5\cdot 3^2=2\cdot 5\cdot 9=90$, iar $90^2=8100$. Identic. Observă cum am grupat inteligent $4\cdot 25=100$ ca să calculăm mai ușor — un truc mic, dar care îți simplifică viața.

Exemplul 10 — Drumul invers la un cât

Adu la o singură putere și calculează $\frac{6^4}{2^4}$.

La numărător și la numitor avem același exponent ($4$), dar baze diferite ($6$ și $2$). Tentația de a folosi câtul puterilor nu merge direct, pentru că bazele nu sunt egale. În schimb, folosim regula puterii unui produs „pe dos" și o variantă a ei pentru împărțire. Cel mai sigur este să observăm că $6=2\cdot 3$: $$\frac{6^4}{2^4}=\frac{(2\cdot 3{)}^4}{2^4}=\frac{2^4\cdot 3^4}{2^4}$$

Acum, la numărător și la numitor avem același factor $2^4$, deci îl simplificăm: $$=3^4=81$$

Verificare: $6^4=1296$ și $2^4=16$, iar $1296:16=81$. Se potrivește perfect. Reține ideea: când nu poți aplica o regulă direct, desfă numerele în factori până când regula devine vizibilă.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată regula pe care o folosești — te ajută să gândești ordonat.

1. Calculează exponentul, lăsând rezultatul ca putere: $(4^2{)}^3=4^{\square }$.

2. Calculează exponentul: $(10^3{)}^3=10^{\square }$.

3. Scrie ca produs de puteri: $(3\cdot 5{)}^4=\square \cdot \square$.

4. Scrie ca produs de puteri: $(2\cdot 9{)}^2=\square \cdot \square$.

5. Adevărat sau fals? $(a^4{)}^2=a^6$. Justifică.

6. Adevărat sau fals? $(2+3{)}^2=2^2+3^2$. Verifică prin calcul.

7. Încercuiește scrierea corectă pentru $(2^5{)}^3$:    a) $2^8$    b) $2^{15}$    c) $2^{53}$    d) $2^2$.

8. Calculează valoarea: $(3\cdot 2{)}^3$.

9. Scrie ca o singură putere (drumul invers): $2^4\cdot 5^4=(\square \cdot \square {)}^{\square }$.

10. Adu la o singură putere a lui 3: $(3^2{)}^3\cdot 3^4$.

11. Potrivește fiecare expresie din coloana stângă cu rezultatul ei din coloana dreaptă:    A. $(5^2{)}^2$     1. $2^{12}$    B. $(2\cdot 5{)}^3$     2. $625$    C. $(2^4{)}^3$     3. $1000$

12. Calculează: $(2\cdot 3^2{)}^2$ (lasă răspunsul ca produs de puteri, apoi ca număr).

13. Scrie ca putere a lui 2: $8^2\cdot 4^3$.

14. Completează exponentul lipsă: $(a^3{)}^{\square }=a^{15}$.

15. Mică problemă. Un cub mare este format din cuburi mici așezate $5$ pe lungime, $5$ pe lățime și $5$ pe înălțime, adică $5^3$ cuburi mici. Câinele Rex are $4$ astfel de cuburi mari identice. Scrie numărul total de cuburi mici ca o putere a lui $5$ înmulțită cu un număr, apoi calculează-l.

16. Adevărat sau fals? $(2\cdot 3{)}^4=2^4\cdot 3^4$. Justifică prin desfacere în factori.

17. Calculează folosind trucul exponenților egali: $25^2\cdot 4^2$.

18. Provocare. Scrie ca o singură putere a lui 2: $\frac{(2^3{)}^4}{2^5}$. (Indiciu: folosește și câtul puterilor.)

19. Scrie ca produs de puteri și calculează: $(10\cdot 3{)}^2$.

20. Adevărat sau fals? $(2\cdot 5{)}^3=2\cdot 5^3$. Justifică.

21. Adu la o singură putere a lui 3: $(3^3{)}^2:3^4$.

22. Provocare. Scrie ca o singură putere a lui 2: $\frac{(2\cdot 2^2{)}^3}{4^2}$. (Indiciu: adu mai întâi totul la baza $2$.)

Răspunsuri și explicații

1. $(4^2{)}^3=4^{2\cdot 3}=4^6$. Înmulțim exponenții: $2\cdot 3=6$.

2. $(10^3{)}^3=10^{3\cdot 3}=10^9$. $3\cdot 3=9$ (un miliard, dacă vrei valoarea).

3. $(3\cdot 5{)}^4=3^4\cdot 5^4$. Fiecare factor primește exponentul $4$.

4. $(2\cdot 9{)}^2=2^2\cdot 9^2$ ($=4\cdot 81=324$, sau direct $18^2=324$).

5. Fals. La puterea unei puteri exponenții se înmulțesc, nu se adună: $(a^4{)}^2=a^{4\cdot 2}=a^8$, nu $a^6$. Capcana era tentația de a aduna $4+2=6$; corect este $4\cdot 2=8$. Deci egalitatea $(a^4{)}^2=a^6$ este falsă, iar scrierea corectă este $(a^4{)}^2=a^8$.

6. Fals. $(2+3{)}^2=5^2=25$, dar $2^2+3^2=4+9=13$. Cum $25\ne 13$, regula nu se aplică la sumă.

7. Răspuns corect: b) $2^{15}$, deoarece $5\cdot 3=15$.

8. $(3\cdot 2{)}^3=3^3\cdot 2^3=27\cdot 8=216$. Verificare: $6^3=216$.

9. $2^4\cdot 5^4=(2\cdot 5{)}^4=10^4=10000$. Exponenții fiind egali, strângem bazele.

10. $(3^2{)}^3\cdot 3^4=3^6\cdot 3^4=3^{6+4}=3^{10}$ ($=59049$). Întâi puterea unei puteri ($2\cdot 3=6$), apoi produsul puterilor ($6+4=10$).

11. A–2 ($(5^2{)}^2=5^4=625$); B–3 ($(2\cdot 5{)}^3=10^3=1000$); C–1 ($(2^4{)}^3=2^{12}$).

12. $(2\cdot 3^2{)}^2=2^2\cdot (3^2{)}^2=2^2\cdot 3^4=4\cdot 81=324$.

13. $8^2\cdot 4^3=(2^3{)}^2\cdot (2^2{)}^3=2^6\cdot 2^6=2^{12}$ ($=4096$).

14. $(a^3{)}^{\square }=a^{3\cdot \square }=a^{15}$, deci $3\cdot \square =15$, adică $\square =5$.

15. Numărul total: $4\cdot 5^3$. Calcul: $5^3=125$, deci $4\cdot 125=500$ cuburi mici. (Atenție: cuburile mari nu se „lipesc" într-o singură putere, pentru că ar schimba forma; rămâne produsul $4\cdot 5^3$.)

16. Adevărat. Desfacem: $(2\cdot 3{)}^4=(2\cdot 3)(2\cdot 3)(2\cdot 3)(2\cdot 3)=(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)(3\cdot 3\cdot 3\cdot 3)=2^4\cdot 3^4$. Verificare: $6^4=1296$ și $16\cdot 81=1296$.

17. $25^2\cdot 4^2=(25\cdot 4{)}^2=100^2=10000$. Exponenții egali ne dau un calcul instantaneu.

18. $\frac{(2^3{)}^4}{2^5}=\frac{2^{12}}{2^5}=2^{12-5}=2^7=128$. Întâi puterea unei puteri ($3\cdot 4=12$), apoi câtul puterilor (scădem exponenții: $12-5=7$).

19. $(10\cdot 3{)}^2=10^2\cdot 3^2=100\cdot 9=900$. Verificare: $30^2=900$.

20. Fals. Exponentul trebuie să ude fiecare factor: $(2\cdot 5{)}^3=2^3\cdot 5^3=8\cdot 125=1000$. Scrierea $2\cdot 5^3=2\cdot 125=250$ ridică la putere doar pe $5$ și îl lasă pe $2$ neatins — de aceea e greșită. ($1000\ne 250$.)

21. $(3^3{)}^2:3^4=3^6:3^4=3^{6-4}=3^2=9$. Întâi puterea unei puteri ($3\cdot 2=6$), apoi câtul puterilor (scădem: $6-4=2$).

22. Aducem totul la baza $2$. În paranteză: $2\cdot 2^2=2^1\cdot 2^2=2^3$, deci $(2\cdot 2^2{)}^3=(2^3{)}^3=2^9$. La numitor: $4^2=(2^2{)}^2=2^4$. Atunci $\frac{2^9}{2^4}=2^{9-4}=2^5=32$.

De reținut

• Puterea unei puteri: $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$ — păstrezi baza și înmulțești exponenții.
• Puterea unui produs: $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$ — exponentul „se împrăștie" peste fiecare factor.
• Regula produsului funcționează doar la înmulțire, niciodată la adunare: $(a+b{)}^n\ne a^n+b^n$.
• Drumul invers e un truc de calcul rapid: când exponenții sunt egali, $a^n\cdot b^n=(a\cdot b{)}^n$.
• În calcule mari: rezolvă întâi parantezele, adu la aceeași bază, apoi adună/scade exponenții.

Greșeli frecvente

• Aduni exponenții în loc să-i înmulțești la puterea unei puteri. $(2^3{)}^4$ NU este $2^7$, ci $2^{12}$. Reține: paranteză închisă ridicată din nou = înmulțire a exponenților. Verifică mereu cu un caz mic: $(2^3{)}^2=8\cdot 8=64=2^6$, nu $2^5$.
• Împrăștii exponentul peste o sumă. $(3+4{)}^2$ NU este $3^2+4^2$. Calculezi întâi suma: $(3+4{)}^2=7^2=49$. Distribuirea merge doar peste produs.
• Uiți să ridici toți factorii. La $(2\cdot 5{)}^3$ unii scriu doar $2\cdot 5^3$. Greșit — și baza $2$ primește exponentul: $2^3\cdot 5^3$.
• Confunzi cele două reguli cu produsul puterilor. $a^m\cdot a^n$ (două puteri separate) → aduni exponenții; $(a^m{)}^n$ (o putere în paranteză, ridicată) → înmulțești exponenții. Citește parantezele cu atenție.

Joc acasă

Jocul 1 — Cutia de cuburi (puterea unei puteri). Ai nevoie de cuburi mici (de joc) sau de bucățele de hârtie pătrate. Construiește un pătrat de $2\times 2=2^2$ piese. Apoi fă $2^2$ astfel de pătrate identice și pune-le unul lângă altul. Câte piese ai în total? $(2^2{)}^2=2^4=16$. Numără-le ca să confirmi că înmulțirea exponenților e adevărată — vei avea exact $16$ piese.

Jocul 2 — Ploaia exponentului (puterea unui produs). Scrie pe o foaie un produs în paranteză, de exemplu $(2\cdot 3\cdot 5{)}^2$. Desenează deasupra un nor cu numărul $2$ și trage „picături" (săgeți) către fiecare factor. Pe fiecare factor scrie-i puterea: $2^2$, $3^2$, $5^2$. Calculează rezultatul pe ambele drumuri ($30^2=900$ și $4\cdot 9\cdot 25=900$) și bucură-te că dau la fel.

Jocul 3 — Capcana plus/ori. Pregătește bilețele: pe unele scrie produse, pe altele sume, toate ridicate la pătrat (de ex. $(2\cdot 4{)}^2$, $(2+4{)}^2$, $(3\cdot 3{)}^2$, $(1+6{)}^2$). Amestecă-le. Trage câte unul și decide rapid: „se desface" (produs) sau „NU se desface, calculez întâi paranteza" (sumă). Verifică prin calcul. Cine greșește mai puține bilețele câștigă.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce două proprietăți care, deși scurte ca formule, sunt surse clasice de confuzie. Cel mai sigur mod de a le preda este prin desfacerea în factori, nu prin memorare. Cereți-i copilului să transforme orice putere „nesigură" înapoi într-o înmulțire repetată — acolo regulile devin evidente.

Întrebări utile de pus:

• „La $(2^3{)}^4$, ce se repetă și de câte ori?" (Răspuns: se repetă $2^3$ de $4$ ori — de aici $3\cdot 4$.)
• „Dacă scriu $(a^m{)}^n$, exponenții se adună sau se înmulțesc? De ce?"
• „Pot să desfac $(a+b{)}^2$ în $a^2+b^2$? Hai să verificăm cu $2$ și $3$." (Verificarea numerică combate eficient eroarea.)

Cum sprijiniți: lăsați-l să verifice fiecare regulă cu numere mici, calculate complet pe ambele drumuri. Această obișnuință — „nu memorez orbește, verific" — îi va folosi tot gimnaziul. Pentru consolidare, legați lecția de cele anterioare: produsul puterilor și câtul puterilor. Cum verificați înțelegerea: dați-i $(2^2{)}^3$ și $2^2\cdot 2^3$ una după alta; dacă obține $2^6$ la prima (înmulțire) și $2^5$ la a doua (adunare) și explică diferența, a înțeles esența.

Întrebări frecvente

Ce este puterea unei puteri la clasa a 5-a? Este situația în care o putere este ridicată din nou la o altă putere, scrisă $(a^m{)}^n$. Regula spune că păstrezi baza și înmulțești exponenții: $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$. De exemplu, $(2^3{)}^4=2^{12}$.

De ce la puterea unei puteri se înmulțesc exponenții, nu se adună? Pentru că $(a^m{)}^n$ înseamnă că $a^m$ se repetă de $n$ ori. Avem $n$ grupuri a câte $m$ factori $a$, adică în total $m\cdot n$ factori. De aceea exponenții se înmulțesc, spre deosebire de $a^m\cdot a^n$ unde se adună.

Care este regula puterii unui produs? $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$: exponentul de afară se aplică fiecărui factor din paranteză. De exemplu, $(2\cdot 5{)}^3=2^3\cdot 5^3=8\cdot 125=1000$.

Pot folosi regula $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$ și la adunare, adică la $(a+b{)}^n$? Nu. Regula funcționează doar pentru înmulțire. $(a+b{)}^n\ne a^n+b^n$. De exemplu, $(2+3{)}^2=25$, dar $2^2+3^2=13$. La sumă, calculezi întâi paranteza, apoi ridici la putere.

Care e diferența dintre $(2^3{)}^2$ și $2^3\cdot 2^2$? La $(2^3{)}^2$ ai o putere ridicată din nou, deci înmulțești exponenții: $2^6$. La $2^3\cdot 2^2$ ai două puteri separate înmulțite, deci aduni exponenții: $2^5$. Parantezele îți spun ce caz este.

Cum scriu $4^3\cdot 8^2$ ca o putere a lui 2? Aduci totul la baza $2$: $4=2^2$ și $8=2^3$. Atunci $4^3\cdot 8^2=(2^2{)}^3\cdot (2^3{)}^2=2^6\cdot 2^6=2^{12}$.

Cum calculez rapid $5^3\cdot 4^3$? Folosește regula puterii unui produs invers: când exponenții sunt egali, înmulțești bazele și păstrezi exponentul. $5^3\cdot 4^3=(5\cdot 4{)}^3=20^3=8000$.

Ce greșeală fac cel mai des elevii la aceste reguli? Adună exponenții la puterea unei puteri (scriu $(2^3{)}^4=2^7$ în loc de $2^{12}$) și încearcă să desfacă o sumă ca pe un produs. Antidotul este verificarea cu numere mici, calculate complet pe ambele drumuri.

Se aplică puterea unui produs și când în paranteză sunt trei sau mai mulți factori? Da, exact la fel. Exponentul de afară se aplică fiecărui factor din paranteză, oricâți ar fi: $(a\cdot b\cdot c{)}^n=a^n\cdot b^n\cdot c^n$. De exemplu, $(2\cdot 3\cdot 5{)}^2=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2=4\cdot 9\cdot 25=900$, același rezultat ca $30^2=900$. Important este ca în paranteză factorii să fie legați prin înmulțire, nu prin adunare.

Cum verific singur dacă am aplicat corect o regulă cu puteri? Calculează expresia pe două drumuri diferite și compară rezultatele. De obicei un drum este „cu regula" (de exemplu $(2^3{)}^2=2^6=64$), iar celălalt este „brut", calculând totul pas cu pas ($(2^3{)}^2=8\cdot 8=64$). Dacă cele două numere coincid, regula a fost aplicată corect; dacă diferă, ai greșit undeva și o vezi imediat.

Ce înseamnă „drumul invers" la puteri și când îl folosesc? Înseamnă să citești regula de la dreapta la stânga: din $a^n\cdot b^n$ obții $(a\cdot b{)}^n$. Îl folosești ca truc de calcul rapid atunci când două puteri au același exponent — strângi bazele într-una singură și adesea obții un număr rotund. De exemplu, $5^3\cdot 2^3=(5\cdot 2{)}^3=10^3=1000$, mult mai ușor decât $125\cdot 8$.