Acasă · Clasa a V-a · Lecții · Scrierea unui număr natural în baza 10 folosind puteri ale lui 10

Scrierea unui număr natural în baza 10 folosind puteri ale lui 10

Te-ai întrebat vreodată de ce cifra 3 din numărul 3457 „valorează" trei mii, iar același 3 din numărul 1234 valorează doar trei sute? Secretul stă în poziția cifrei. În această lecție vei descoperi cum se ascund puterile lui 10 în spatele oricărui număr și cum poți scrie orice număr natural ca o sumă ordonată, elegantă, numită forma desfășurată. Este una dintre cele mai frumoase idei din matematică: cu doar zece cifre și puterile lui 10 putem scrie orice număr, oricât de mare.

Ce vei învăța

Vei ști să explici ce valoare are fiecare cifră a unui număr în funcție de poziția ei (unități, zeci, sute, mii și mai departe).
Vei ști să scrii un număr natural ca sumă de produse dintre cifre și puteri ale lui 10.
Vei ști să recunoști și să scrii forma desfășurată a unui număr cu oricâte cifre.
Vei ști să recompui un număr pornind de la forma sa desfășurată.
Vei ști să folosești corect notația $1 0^{n}$ pentru a face calculele mai scurte și mai clare.

Hai să descoperim împreună

De ce contează poziția unei cifre

Imaginează-ți că ești la un meci și pe tabela de scor apare numărul 2025 (anul în care se joacă finala). Acest număr este format din patru cifre: 2, 0, 2 și 5. Cele două cifre de 2 arată identic, dar nu „spun" același lucru. Una înseamnă două mii, iar cealaltă înseamnă două zeci. Diferența o face locul pe care stă fiecare cifră.

În sistemul nostru de numerație, numit sistemul zecimal (sau baza 10, fiindcă folosim zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), fiecare poziție are o valoare proprie. De la dreapta la stânga, pozițiile sunt: unități, zeci, sute, mii, zeci de mii, sute de mii și așa mai departe.

Hai să așezăm numărul 3457 într-un astfel de tabel poziției:

mii	sute	zeci	unități
3	4	5	7

Acum citim pe rând ce „spune" fiecare cifră:

cifra 7 stă pe poziția unităților → valorează $7$ ;
cifra 5 stă pe poziția zecilor → valorează $5 \cdot 10 = 50$ ;
cifra 4 stă pe poziția sutelor → valorează $4 \cdot 100 = 400$ ;
cifra 3 stă pe poziția miilor → valorează $3 \cdot 1000 = 3000$ .

Dacă adunăm toate aceste valori, obținem chiar numărul de la care am plecat: $3000 + 400 + 50 + 7 = 3457.$

Tocmai am scris numărul ca o sumă care arată valoarea fiecărei cifre. Aceasta este deja o formă desfășurată, dar mai există un pas care o face și mai puternică: să folosim puterile lui 10.

Puterile lui 10 — cheia întregii povești

Din lecțiile Cazuri speciale de puteri și puterile lui 10 și Puterea cu exponent natural: definiție, bază și exponent știi deja că o putere a lui 10 este un 1 urmat de tot atâtea zerouri câtă valoare are exponentul. Să le reamintim aici, fiindcă sunt „cărămizile" lecției de astăzi:

$1 0^{0} = 1$ $1 0^{1} = 10$ $1 0^{2} = 100$ $1 0^{3} = 1000$ $1 0^{4} = 10000$ $1 0^{5} = 100000$

Observă regula simplă și elegantă: exponentul lui 10 ne spune câte zerouri are numărul. Astfel, $1 0^{3}$ are 3 zerouri, deci este $1000$ , iar $1 0^{5}$ are 5 zerouri, deci este $100000$ . Reține în mod special că $1 0^{0} = 1$ : orice număr (diferit de zero) ridicat la puterea 0 este egal cu 1, regulă pe care ai învățat-o anterior.

Acum vine momentul-cheie. Valorile pozițiilor din tabelul nostru sunt exact puterile lui 10:

poziția unităților are valoarea $1 = 1 0^{0}$ ;
poziția zecilor are valoarea $10 = 1 0^{1}$ ;
poziția sutelor are valoarea $100 = 1 0^{2}$ ;
poziția miilor are valoarea $1000 = 1 0^{3}$ .

Vezi cât de frumos se potrivește? Poziția unităților este „treapta zero", poziția zecilor este „treapta unu", poziția sutelor este „treapta doi" și tot așa. Exponentul lui 10 este chiar numărul poziției, numărate de la dreapta la stânga, începând cu zero.

Forma desfășurată cu puteri ale lui 10

Să ne întoarcem la numărul 3457 și să rescriem fiecare valoare folosind puterile lui 10:

$3457 = 3 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 7 \cdot 1$ $3457 = 3 \cdot 1 0^{3} + 4 \cdot 1 0^{2} + 5 \cdot 1 0^{1} + 7 \cdot 1 0^{0} .$

Aceasta este forma desfășurată a numărului 3457 în baza 10, folosind puteri ale lui 10. Este o scriere care arată, dintr-o singură privire, ce face fiecare cifră.

Hai să o citim ca pe o propoziție: „numărul 3457 înseamnă de 3 ori o mie, plus de 4 ori o sută, plus de 5 ori zece, plus de 7 ori unu". Fiecare cifră este un coeficient care ne spune de câte ori luăm puterea lui 10 corespunzătoare poziției ei.

Pașii pentru a scrie forma desfășurată a oricărui număr

Hai să transformăm tot ce am descoperit într-o rețetă în patru pași simpli, pe care o poți aplica la orice număr natural.

Pasul 1. Scrie numărul și numără-i cifrele. Identifică poziția fiecărei cifre, de la dreapta la stânga: prima este pe poziția unităților.

Pasul 2. Atribuie fiecărei poziții puterea lui 10 potrivită. Cifra cea mai din dreapta primește $1 0^{0}$ , următoarea spre stânga primește $1 0^{1}$ , apoi $1 0^{2}$ și tot așa, mergând spre stânga.

Pasul 3. Înmulțește fiecare cifră cu puterea lui 10 a poziției ei.

Pasul 4. Adună toate produsele, scriindu-le de la cifra cea mai din stânga (cea mai mare) spre cea din dreapta (cea mai mică).

Hai să aplicăm rețeta pentru numărul 6 802.

Cifrele, de la dreapta: 2 (unități, $1 0^{0}$ ), 0 (zeci, $1 0^{1}$ ), 8 (sute, $1 0^{2}$ ), 6 (mii, $1 0^{3}$ ).
Scriem produsele și le adunăm de la stânga la dreapta:

$6802 = 6 \cdot 1 0^{3} + 8 \cdot 1 0^{2} + 0 \cdot 1 0^{1} + 2 \cdot 1 0^{0} .$

Atenție la cifra 0 — un detaliu important

Ai observat în exemplul de mai sus termenul $0 \cdot 1 0^{1}$ ? Acel zero de la poziția zecilor ne arată că nu avem nicio zece în numărul 6 802. Și totuși, prezența lui este crucială: dacă l-am șterge, numărul s-ar „prăbuși" și am obține 682, cu totul altceva.

Cifra 0 este ca un loc rezervat, un scaun gol care păstrează ordinea pozițiilor. De aceea, când scrii forma desfășurată, ai două variante egal de corecte:

forma completă, în care păstrezi și termenul cu 0: $6 \cdot 1 0^{3} + 8 \cdot 1 0^{2} + 0 \cdot 1 0^{1} + 2 \cdot 1 0^{0}$ ;
forma scurtată, în care nu mai scrii termenii cu 0 (fiindcă $0 \cdot$ orice $= 0$ , iar adunarea cu 0 nu schimbă nimic): $6 \cdot 1 0^{3} + 8 \cdot 1 0^{2} + 2 \cdot 1 0^{0}$ .

Ambele dau același rezultat, $6802$ . La școală, în primele exerciții, e bine să scrii forma completă, ca să vezi clar fiecare poziție; pe măsură ce te obișnuiești, vei putea sări peste termenii cu 0.

Drumul invers: din forma desfășurată în număr

Matematica e frumoasă fiindcă orice drum poate fi parcurs și înapoi. Dacă cineva îți dă forma desfășurată, tu poți afla numărul. Trebuie doar să calculezi fiecare putere a lui 10, să faci înmulțirile și apoi adunarea.

Să luăm forma desfășurată: $8 \cdot 1 0^{4} + 3 \cdot 1 0^{3} + 0 \cdot 1 0^{2} + 9 \cdot 1 0^{1} + 1 \cdot 1 0^{0} .$

Calculăm pe rând:

$8 \cdot 1 0^{4} = 8 \cdot 10000 = 80000$ ;
$3 \cdot 1 0^{3} = 3 \cdot 1000 = 3000$ ;
$0 \cdot 1 0^{2} = 0$ ;
$9 \cdot 1 0^{1} = 9 \cdot 10 = 90$ ;
$1 \cdot 1 0^{0} = 1 \cdot 1 = 1$ .

Adunăm: $80000 + 3000 + 0 + 90 + 1 = 83091$ .

Există însă și o scurtătură foarte la îndemână: dacă termenii sunt scriși în ordine, de la exponentul cel mai mare la cel mai mic, și nu lipsește niciun exponent, atunci numărul se citește pur și simplu din coeficienți, în ordine! În exemplul nostru, coeficienții sunt 8, 3, 0, 9, 1, deci numărul este $83091$ . Magic, nu? Aceasta funcționează exact pentru că forma desfășurată „copiază" tabelul pozițiilor.

Reține totuși un avertisment: scurtătura merge doar dacă termenii sunt în ordine descrescătoare a exponenților și nu lipsește niciunul. Dacă forma e amestecată sau dacă un coeficient este mai mare decât 9, trebuie să faci calculul „pe lung", cu înmulțiri și adunare.

O analogie cu banii

Gândește-te la puterile lui 10 ca la bancnotele dintr-un portofel. Avem bancnote de 1 leu ( $1 0^{0}$ ), de 10 lei ( $1 0^{1}$ ), de 100 de lei ( $1 0^{2}$ ) și de 1000 de lei ( $1 0^{3}$ ). Cifra de pe fiecare poziție îți spune câte bancnote de acel fel ai.

Numărul 3457 înseamnă: 3 bancnote de 1000 lei, 4 bancnote de 100 lei, 5 bancnote de 10 lei și 7 monede de 1 leu. Dacă pui toate la un loc, ai exact 3457 de lei. Forma desfășurată nu e altceva decât inventarul portofelului tău, scris ordonat de la bancnota cea mai mare la cea mai mică.

De ce este utilă forma desfășurată

Poate te întrebi: „dacă tot știu să scriu 3457, de ce să mă obosesc cu $3 \cdot 1 0^{3} + \dots$ ?" Iată trei motive bune:

Înțelegi cu adevărat numerele. Vezi clar de ce poziția contează și de ce ordinul cifrelor schimbă totul.
Te pregătești pentru numere foarte mari și foarte mici. În științe (astronomie, biologie, informatică) numerele se scriu adesea cu puteri ale lui 10, fiindcă altfel ar avea zeci de zerouri.
Faci legătura cu alte baze de numerație. În lecția următoare, Scrierea numerelor în baza 2, vei folosi exact aceeași idee, dar cu puteri ale lui 2 în loc de 10. Cine stăpânește baza 10 cu puteri, înțelege ușor baza 2.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — un număr de trei cifre

Scrie forma desfășurată a numărului 749, folosind puteri ale lui 10.

Numărul are 3 cifre. De la dreapta: 9 (unități, $1 0^{0}$ ), 4 (zeci, $1 0^{1}$ ), 7 (sute, $1 0^{2}$ ).

$749 = 7 \cdot 1 0^{2} + 4 \cdot 1 0^{1} + 9 \cdot 1 0^{0} .$

Verificare: $7 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 9 \cdot 1 = 700 + 40 + 9 = 749.$ Corect.

Exemplul 2 — un număr cu cifra 0 în interior

Scrie forma desfășurată a numărului 5 069.

Cifrele, de la dreapta: 9 (unități, $1 0^{0}$ ), 6 (zeci, $1 0^{1}$ ), 0 (sute, $1 0^{2}$ ), 5 (mii, $1 0^{3}$ ).

Forma completă: $5069 = 5 \cdot 1 0^{3} + 0 \cdot 1 0^{2} + 6 \cdot 1 0^{1} + 9 \cdot 1 0^{0} .$

Forma scurtată (renunțăm la termenul cu 0): $5069 = 5 \cdot 1 0^{3} + 6 \cdot 1 0^{1} + 9 \cdot 1 0^{0} .$

Observație: zeroul de la poziția sutelor ne arată că numărul nu are nicio sută; el ține locul, ca să nu se schimbe ordinul celorlalte cifre.

Exemplul 3 — recompunem numărul din forma desfășurată

Ce număr are forma desfășurată $2 \cdot 1 0^{4} + 7 \cdot 1 0^{3} + 4 \cdot 1 0^{2} + 0 \cdot 1 0^{1} + 6 \cdot 1 0^{0}$ ?

Calculăm fiecare termen:

$2 \cdot 1 0^{4} = 20000$ ;
$7 \cdot 1 0^{3} = 7000$ ;
$4 \cdot 1 0^{2} = 400$ ;
$0 \cdot 1 0^{1} = 0$ ;
$6 \cdot 1 0^{0} = 6$ .

Adunăm: $20000 + 7000 + 400 + 0 + 6 = 27406$ .

Scurtătura: termenii sunt în ordine descrescătoare și niciun exponent nu lipsește, iar coeficienții sunt 2, 7, 4, 0, 6 → numărul este $27406$ . Același rezultat.

Exemplul 4 — un număr mare, de șase cifre

Scrie forma desfășurată a numărului 480 213.

Cifrele, de la dreapta: 3 ( $1 0^{0}$ ), 1 ( $1 0^{1}$ ), 2 ( $1 0^{2}$ ), 0 ( $1 0^{3}$ ), 8 ( $1 0^{4}$ ), 4 ( $1 0^{5}$ ).

$480213 = 4 \cdot 1 0^{5} + 8 \cdot 1 0^{4} + 0 \cdot 1 0^{3} + 2 \cdot 1 0^{2} + 1 \cdot 1 0^{1} + 3 \cdot 1 0^{0} .$

Verificare rapidă: coeficienții citiți în ordine sunt 4, 8, 0, 2, 1, 3 → $480213$ . Corect.

Exemplul 5 — forma scrisă „amestecat"

Ce număr se obține din $5 \cdot 1 0^{0} + 3 \cdot 1 0^{2} + 1 \cdot 1 0^{3}$ ?

Atenție! Aici termenii nu sunt în ordine descrescătoare și lipsește termenul cu $1 0^{1}$ . Deci nu putem citi numărul direct din coeficienți; facem calculul pe lung.

$1 \cdot 1 0^{3} = 1000$ ;
$3 \cdot 1 0^{2} = 300$ ;
termenul cu $1 0^{1}$ lipsește → la poziția zecilor avem cifra 0;
$5 \cdot 1 0^{0} = 5$ .

Adunăm: $1000 + 300 + 0 + 5 = 1305$ .

Deci numărul este 1305. Acest exemplu arată de ce ordinea și completitudinea termenilor sunt importante: dacă te grăbești și „lipești" coeficienții 5, 3, 1, greșești.

Exemplul 6 — de la formă desfășurată la formă desfășurată corectă

Andrei a scris: $4 \cdot 1 0^{2} + 12 \cdot 1 0^{1} + 7 \cdot 1 0^{0}$ . Este aceasta o formă desfășurată corectă a unui număr? Ce număr reprezintă?

Mai întâi calculăm valoarea: $4 \cdot 100 + 12 \cdot 10 + 7 \cdot 1 = 400 + 120 + 7 = 527$ .

Deci expresia reprezintă numărul 527. Totuși, ea nu este o formă desfășurată corectă, fiindcă un coeficient (12) este mai mare decât 9, iar într-o formă desfășurată fiecare coeficient trebuie să fie o cifră, adică un număr de la 0 la 9. Forma desfășurată corectă a lui 527 este: $527 = 5 \cdot 1 0^{2} + 2 \cdot 1 0^{1} + 7 \cdot 1 0^{0} .$

De reținut din acest exemplu: coeficienții dintr-o formă desfășurată sunt mereu cifre (0–9). Dacă obții un coeficient ≥ 10, trebuie să „regrupezi", exact ca atunci când faci o adunare și „treci" o unitate la ordinul următor.

Exemplul 7 — comparăm două numere folosind forma desfășurată

Care număr este mai mare, 4 087 sau 4 091? Justifică folosind forma desfășurată.

Scriem ambele numere în formă desfășurată și le punem unul sub altul, ca să comparăm poziție cu poziție: $4087 = 4 \cdot 1 0^{3} + 0 \cdot 1 0^{2} + 8 \cdot 1 0^{1} + 7 \cdot 1 0^{0},$ $4091 = 4 \cdot 1 0^{3} + 0 \cdot 1 0^{2} + 9 \cdot 1 0^{1} + 1 \cdot 1 0^{0} .$

Comparăm de la puterea cea mai mare spre cea mai mică, fiindcă acolo se decide totul:

la $1 0^{3}$ ambele au cifra 4 → egalitate, mergem mai departe;
la $1 0^{2}$ ambele au cifra 0 → egalitate, mergem mai departe;
la $1 0^{1}$ primul are 8, al doilea are 9 → aici se hotărăște: $9 > 8$ .

Prin urmare $4091 > 4087$ , fără să mai privim cifra unităților. Observă cât de util este: forma desfășurată ne arată exact unde se desparte un număr de altul. Diferența dintre ele este mică: la poziția zecilor, $4091$ are cu o zece mai mult ( $90 - 80 = 10$ ), dar la unități are cu $7 - 1 = 6$ mai puțin, deci în total $4091 - 4087 = 10 - 6 = 4$ . La numere cu același număr de cifre, câștigă întotdeauna cel care are o cifră mai mare la prima poziție de la stânga unde cele două diferă.

De reținut din acest exemplu: forma desfășurată nu servește doar la „desfacerea" unui număr, ci și la compararea numerelor și la înțelegerea diferenței dintre ele, poziție cu poziție.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea de răspunsuri. Lucrează ordonat și nu sări peste verificări.

1. Completează cu valoarea cifrei subliniate: în numărul 8 374, cifra 3 valorează … .

2. Scrie forma desfășurată a numărului 265, folosind puteri ale lui 10.

3. Scrie forma desfășurată a numărului 5 018, folosind puteri ale lui 10 (forma completă, cu toate pozițiile).

4. Scrie forma desfășurată a numărului 90 304.

5. Ce număr are forma desfășurată $6 \cdot 1 0^{2} + 1 \cdot 1 0^{1} + 9 \cdot 1 0^{0}$ ?

6. Ce număr are forma desfășurată $3 \cdot 1 0^{3} + 0 \cdot 1 0^{2} + 7 \cdot 1 0^{1} + 2 \cdot 1 0^{0}$ ?

7. Adevărat sau fals? $4000 = 4 \cdot 1 0^{3}$ .

8. Adevărat sau fals? Numărul 7 admite scrierea $7 \cdot 1 0^{1}$ .

9. Încercuiește varianta corectă. Forma desfășurată a numărului 503 este: a) $5 \cdot 1 0^{2} + 3 \cdot 1 0^{0}$ ; b) $5 \cdot 1 0^{2} + 3 \cdot 1 0^{1}$ ; c) $5 \cdot 1 0^{1} + 3 \cdot 1 0^{0}$ .

10. Potrivește fiecare număr cu forma sa desfășurată:

A) 408
B) 480
C) 84
I) $8 \cdot 1 0^{1} + 4 \cdot 1 0^{0}$
II) $4 \cdot 1 0^{2} + 8 \cdot 1 0^{0}$
III) $4 \cdot 1 0^{2} + 8 \cdot 1 0^{1}$

11. Scrie forma desfășurată a numărului 123 456.

12. Ce număr se obține din $9 \cdot 1 0^{4} + 9 \cdot 1 0^{0}$ ? (Atenție la pozițiile lipsă!)

13. Recompune numărul: $2 \cdot 1 0^{5} + 5 \cdot 1 0^{3} + 7 \cdot 1 0^{1}$ .

14. Andra a scris $3 \cdot 1 0^{2} + 15 \cdot 1 0^{1} + 4 \cdot 1 0^{0}$ . Ce număr reprezintă și de ce nu este o formă desfășurată corectă? Scrie forma corectă.

15. Mică problemă. Pe afișajul unei case de marcat apare suma de plată 2 740 de lei. Scrie această sumă ca formă desfășurată cu puteri ale lui 10 și spune câte bancnote de 1000, de 100, de 10 și câte monede de 1 leu ar trebui, dacă plătești exact, fără rest.

16. Mică problemă. Care este cel mai mare număr natural de patru cifre și care îi este forma desfășurată cu puteri ale lui 10?

17. Provocare. Scrie numărul un milion ( $1000000$ ) ca o singură putere a lui 10 și apoi sub formă desfășurată.

18. Provocare. Forma desfășurată a unui număr este $a \cdot 1 0^{3} + 4 \cdot 1 0^{2} + 0 \cdot 1 0^{1} + 9 \cdot 1 0^{0}$ , iar numărul este 7409. Cât este cifra $a$ ?

19. Scrie în formă desfășurată numerele 6 350 și 6 305, apoi spune care este mai mare și la ce poziție se hotărăște comparația.

Răspunsuri și explicații

1. Cifra 3 stă pe poziția sutelor, deci valorează $3 \cdot 100 = 300$ .

2. $265 = 2 \cdot 1 0^{2} + 6 \cdot 1 0^{1} + 5 \cdot 1 0^{0}$ . (Verificare: $200 + 60 + 5 = 265$ .)

3. $5018 = 5 \cdot 1 0^{3} + 0 \cdot 1 0^{2} + 1 \cdot 1 0^{1} + 8 \cdot 1 0^{0}$ . Zeroul de la sute ține locul. (Verificare: $5000 + 0 + 10 + 8 = 5018$ .)

4. $90304 = 9 \cdot 1 0^{4} + 0 \cdot 1 0^{3} + 3 \cdot 1 0^{2} + 0 \cdot 1 0^{1} + 4 \cdot 1 0^{0}$ . (Verificare: $90000 + 300 + 4 = 90304$ .)

5. $6 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 9 \cdot 1 = 600 + 10 + 9 = 619$ .

6. $3 \cdot 1000 + 0 + 7 \cdot 10 + 2 = 3000 + 70 + 2 = 3072$ .

7. Adevărat. $1 0^{3} = 1000$ , deci $4 \cdot 1 0^{3} = 4000$ .

8. Fals. $7 \cdot 1 0^{1} = 70$ , nu 7. Numărul 7 are o singură cifră, pe poziția unităților: $7 = 7 \cdot 1 0^{0}$ .

9. Varianta a). $5 \cdot 1 0^{2} + 3 \cdot 1 0^{0} = 500 + 3 = 503$ . (La b) ar ieși 530, la c) ar ieși 53.)

10. A–II ( $408 = 4 \cdot 1 0^{2} + 8 \cdot 1 0^{0}$ ); B–III ( $480 = 4 \cdot 1 0^{2} + 8 \cdot 1 0^{1}$ ); C–I ( $84 = 8 \cdot 1 0^{1} + 4 \cdot 1 0^{0}$ ).

11. $123456 = 1 \cdot 1 0^{5} + 2 \cdot 1 0^{4} + 3 \cdot 1 0^{3} + 4 \cdot 1 0^{2} + 5 \cdot 1 0^{1} + 6 \cdot 1 0^{0}$ .

12. Avem doar pozițiile $1 0^{4}$ și $1 0^{0}$ ; celelalte (de la $1 0^{3}$ la $1 0^{1}$ ) au cifra 0. $9 \cdot 10000 + 9 \cdot 1 = 90000 + 9 = 90009$ .

13. $2 \cdot 100000 + 5 \cdot 1000 + 7 \cdot 10 = 200000 + 5000 + 70 = 205070$ . (Pozițiile $1 0^{4}$ , $1 0^{2}$ și $1 0^{0}$ au cifra 0.)

14. Valoarea: $3 \cdot 100 + 15 \cdot 10 + 4 = 300 + 150 + 4 = 454$ . Nu este corectă, fiindcă un coeficient (15) nu este o cifră (trebuie 0–9). Forma corectă: $454 = 4 \cdot 1 0^{2} + 5 \cdot 1 0^{1} + 4 \cdot 1 0^{0}$ .

15. $2740 = 2 \cdot 1 0^{3} + 7 \cdot 1 0^{2} + 4 \cdot 1 0^{1} + 0 \cdot 1 0^{0}$ . Bancnote/monede: 2 de 1000 lei, 7 de 100 lei, 4 de 10 lei și 0 monede de 1 leu.

16. Cel mai mare număr natural de patru cifre este 9999. Forma desfășurată: $9999 = 9 \cdot 1 0^{3} + 9 \cdot 1 0^{2} + 9 \cdot 1 0^{1} + 9 \cdot 1 0^{0}$ .

17. Un milion are 6 zerouri, deci $1000000 = 1 0^{6}$ . Forma desfășurată: $1000000 = 1 \cdot 1 0^{6}$ (toate celelalte poziții, de la $1 0^{5}$ la $1 0^{0}$ , au cifra 0).

18. Comparăm: numărul este 7409, deci cifra miilor este 7. Așadar $a = 7$ . (Verificare: $7 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 0 + 9 = 7409$ .)

19. $6350 = 6 \cdot 1 0^{3} + 3 \cdot 1 0^{2} + 5 \cdot 1 0^{1} + 0 \cdot 1 0^{0}$ și $6305 = 6 \cdot 1 0^{3} + 3 \cdot 1 0^{2} + 0 \cdot 1 0^{1} + 5 \cdot 1 0^{0}$ . La $1 0^{3}$ și la $1 0^{2}$ cifrele coincid (6 și 3); la poziția zecilor ( $1 0^{1}$ ) primul are 5, al doilea are 0. Cum $5 > 0$ , rezultă $6350 > 6305$ — comparația se hotărăște la poziția zecilor.

De reținut

Valoarea unei cifre depinde de poziția ei: unități ( $1 0^{0}$ ), zeci ( $1 0^{1}$ ), sute ( $1 0^{2}$ ), mii ( $1 0^{3}$ ) și așa mai departe, numărate de la dreapta la stânga, începând cu exponentul 0.
Forma desfășurată a unui număr este suma produselor dintre fiecare cifră și puterea lui 10 a poziției ei: de exemplu, $3457 = 3 \cdot 1 0^{3} + 4 \cdot 1 0^{2} + 5 \cdot 1 0^{1} + 7 \cdot 1 0^{0}$ .
Exponentul lui 10 = numărul poziției, contat de la dreapta de la zero. La fel, exponentul ne spune câte zerouri are puterea.
Coeficienții dintr-o formă desfășurată sunt mereu cifre (0–9); cifra 0 ține locul unei poziții și nu trebuie ignorată.
Pentru a recompune numărul, calculează puterile, fă înmulțirile și adună; dacă termenii sunt în ordine și completi, poți citi numărul direct din coeficienți.

Greșeli frecvente

Confuzia dintre poziție și exponent. Mulți cred că prima cifră din dreapta primește $1 0^{1}$ . Greșit! Poziția unităților are exponentul 0, fiindcă $1 0^{0} = 1$ . Numără mereu pozițiile de la dreapta, începând cu zero.
Ignorarea cifrei 0. Dacă sari peste poziția cu cifra 0 fără să o iei în calcul, ordinul celorlalte cifre se mută și numărul iese greșit. Scrie termenul $0 \cdot 1 0^{n}$ sau, dacă îl sari, asigură-te că nu „strângi" coeficienții și schimbi numărul.
Coeficient mai mare decât 9. Într-o formă desfășurată corectă, fiecare coeficient este o cifră (0–9). Dacă obții ceva de tipul $12 \cdot 1 0^{1}$ , trebuie să regrupezi, fiindcă scrierea nu mai e standard.
Citirea „din coeficienți" când nu ai voie. Scurtătura „numărul = coeficienții citiți în ordine" funcționează doar dacă termenii sunt în ordine descrescătoare a exponenților și niciun exponent nu lipsește. Dacă forma e amestecată sau incompletă, fă calculul pe lung.

Joc acasă

1. Portofelul de hârtie. Decupează din hârtie „bancnote" pe care scrii 1000, 100, 10 și „monede" pe care scrii 1. Un coleg sau un părinte îți spune un număr (de exemplu 3 142). Tu trebuie să formezi exact suma cu bancnotele potrivite, apoi să scrii pe caiet forma desfășurată: $3 \cdot 1 0^{3} + 1 \cdot 1 0^{2} + 4 \cdot 1 0^{1} + 2 \cdot 1 0^{0}$ . Schimbați rolurile și jucați 5 runde.

2. Cursa coeficienților. Scrieți pe bilețele separate puterile $1 0^{0}, 1 0^{1}, 1 0^{2}, 1 0^{3}, 1 0^{4}$ și, separat, cifre de la 0 la 9. Extrageți la întâmplare 4 puteri diferite și câte o cifră pentru fiecare. Formați o expresie, apoi întrecere: cine calculează primul numărul, fără calculator, câștigă un punct.

3. Detectivul de poziții. Cu telefonul sau calculatorul, scrie un număr mare la întâmplare (de exemplu de pe o bonă de cumpărături). Provocarea: spune, fără să te uiți a doua oară, ce valoare are fiecare cifră și scrie întreaga formă desfășurată. Verifică apoi recompunând numărul. Bonus: găsește în casă un cod de bare sau un cod numeric și aplică același lucru.

Pentru părinți și învățători

Această lecție consolidează înțelegerea sistemului zecimal pozițional prin instrumentul puterilor lui 10, deja introduse în lecțiile anterioare din unitatea „Puterea cu exponent natural". Scopul nu este memorarea unei formule, ci înțelegerea de ce poziția determină valoarea unei cifre.

Cum sprijiniți copilul:

Începeți cu numere de 3–4 cifre și cereți-i să „traducă" fiecare cifră în valoarea ei, ca într-un inventar de bancnote. Analogia cu banii este cea mai puternică la această vârstă.
Insistați pe numărarea pozițiilor de la zero. O întrebare bună: „Pe ce poziție stă cifra unităților? Ce exponent are 10 acolo?" Răspunsul corect este poziția 0, exponent 0.
Provocați cu numere care conțin cifra 0 în interior (de ex. 5 069, 90 304). Acolo apar cele mai multe greșeli, iar discuția despre „locul rezervat" fixează ideea.

Întrebări utile de pus:

„De ce 3 din 3457 valorează mai mult decât 3 din 1234?"
„Ce s-ar întâmpla cu numărul dacă ștergem zeroul din 5 069?"
„Poți citi numărul direct din coeficienți? Întotdeauna sau doar uneori?" (Răspuns: doar când sunt în ordine și completi.)

Cum verificați înțelegerea: cereți copilului să facă drumul în ambele sensuri — din număr în formă desfășurată și invers — și să explice cu cuvintele lui de ce funcționează. Dacă reușește să justifice, nu doar să calculeze, lecția este înțeleasă. Pentru aprofundare, legați lecția de cea următoare, Scrierea numerelor în baza 2, unde aceeași idee se aplică cu puteri ale lui 2.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă forma desfășurată a unui număr în clasa a 5-a? Forma desfășurată este scrierea unui număr natural ca sumă de produse dintre fiecare cifră și puterea lui 10 corespunzătoare poziției ei. De exemplu, $3457 = 3 \cdot 1 0^{3} + 4 \cdot 1 0^{2} + 5 \cdot 1 0^{1} + 7 \cdot 1 0^{0}$ . Ea arată clar valoarea fiecărei cifre.

De ce poziția unităților are exponentul 0 și nu 1? Pentru că poziția unităților are valoarea 1, iar $1 0^{0} = 1$ . Pozițiile se numără de la dreapta la stânga, începând cu zero: unități ( $1 0^{0}$ ), zeci ( $1 0^{1}$ ), sute ( $1 0^{2}$ ) și așa mai departe. Astfel exponentul coincide cu numărul poziției.

Ce fac cu cifra 0 când scriu forma desfășurată? Cifra 0 marchează o poziție care nu are unități de acel ordin, dar trebuie luată în calcul. Poți scrie termenul complet, de exemplu $0 \cdot 1 0^{2}$ , sau îl poți omite (fiindcă este 0), atâta timp cât nu schimbi ordinul celorlalte cifre. Ambele variante sunt corecte.

Cum aflu numărul dacă mi se dă forma desfășurată? Calculezi fiecare putere a lui 10, faci înmulțirile, apoi aduni toate produsele. Dacă termenii sunt în ordine descrescătoare a exponenților și niciunul nu lipsește, poți citi numărul direct din șirul coeficienților.

Pot avea un coeficient mai mare decât 9 în forma desfășurată? Nu, într-o formă desfășurată corectă fiecare coeficient este o cifră, adică un număr de la 0 la 9. Dacă obții un coeficient de 10 sau mai mare, trebuie să regrupezi, la fel ca atunci când „treci" o unitate la ordinul superior într-o adunare.

Care este legătura dintre puterile lui 10 și numărul de zerouri? Exponentul lui 10 îți spune exact câte zerouri are puterea: $1 0^{2} = 100$ (2 zerouri), $1 0^{5} = 100000$ (5 zerouri). De aceea forma desfășurată este atât de comodă pentru numere mari.

La ce îmi folosește forma desfășurată mai târziu? Te ajută să înțelegi numerele mari și mici din științe, să lucrezi cu scrierea în alte baze de numerație (de exemplu baza 2 în informatică) și să faci estimări rapide. Este o bază solidă pentru capitolele următoare de matematică.

Cum scriu un milion ca putere a lui 10? Un milion are 6 zerouri, deci se scrie $1000000 = 1 0^{6}$ . Sub formă desfășurată este $1 \cdot 1 0^{6}$ , toate celelalte poziții având cifra 0.