Reguli de calcul: produsul puterilor cu aceeași bază

Ai învățat deja ce este o putere și cum se scrie ea scurt o înmulțire de factori egali. Acum facem pasul următor: ce se întâmplă când înmulțim două puteri care au aceeași bază? Vei descoperi una dintre cele mai elegante și mai folositoare reguli de calcul cu puteri din clasa a V-a — o regulă pe care o vei folosi tot gimnaziul, apoi tot liceul. Vestea bună: nu trebuie să o memorezi pe de rost, pentru că o vom înțelege împreună, pas cu pas, până devine evidentă.

Ce vei învăța

• Vei ști să înmulțești două puteri cu aceeași bază adunând exponenții: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.
• Vei ști de ce funcționează regula, justificând-o prin numărarea factorilor egali.
• Vei ști să aplici regula când ai mai mulți factori (trei, patru sau mai multe puteri).
• Vei ști să scrii rezultatul ca o singură putere, ordonat și corect.
• Vei ști să recunoști capcanele (când regula NU se aplică) și să eviți greșelile tipice.

Hai să descoperim împreună

Reamintim, în două rânduri, ce este o putere

O putere este o scriere scurtă pentru o înmulțire de factori egali. De exemplu:

$$2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$$

Numărul de jos, $2$, se numește bază (factorul care se repetă). Numărul mic de sus, $5$, se numește exponent și ne spune de câte ori apare baza ca factor. Dacă vrei să reiei aceste noțiuni temeinic, treci pe la lecția Puterea cu exponent natural: definiție, bază și exponent. În lecția de față pornim de aici și construim mai departe.

Problema de la care pornim

Hai să ne punem o întrebare simplă, dar care deschide o ușă întreagă. Cât face:

$$2^3\cdot 2^2=?$$

Avem două puteri. Amândouă au aceeași bază: baza $2$. Una are exponentul $3$, cealaltă are exponentul $2$. Ce facem cu ele când le înmulțim?

Tentația multor elevi este să spună „înmulțim exponenții" și să scrie $2^6$. Atenție — este greșit! O să vedem imediat de ce. Cea mai sigură cale, când nu ești convins, este să te întorci la înțelesul puterii: o putere e doar o înmulțire scrisă scurt. Hai să desfacem totul.

Desfacem și numărăm factorii

Scriem fiecare putere ca înmulțire de doi, respectiv:

$$2^3=2\cdot 2\cdot 2(\text{3 factori de }2)$$ $$2^2=2\cdot 2(\text{2 factori de }2)$$

Acum le înmulțim. „A înmulți" $2^3$ cu $2^2$ înseamnă să lipim cele două înmulțiri una după alta:

$$2^3\cdot 2^2=\underset{3\text{ factori}}{\underbrace{(2\cdot 2\cdot 2)}}\cdot \underset{2\text{ factori}}{\underbrace{(2\cdot 2)}}$$

Parantezele aici doar grupează — la o înmulțire de factori egali putem renunța liniștiți la ele (înmulțirea este asociativă). Rămâne un șir lung de factori, toți egali cu $2$:

$$2^3\cdot 2^2=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$$

Hai să numărăm: $2$, $2$, $2$, $2$, $2$ — sunt 5 factori de 2. Un șir de 5 factori egali cu 2 înseamnă, scris scurt, $2^5$. Deci:

$$2^3\cdot 2^2=2^5$$

Cheia: exponenții se ADUNĂ, nu se înmulțesc

Privește cu atenție ce s-a întâmplat cu exponenții. Aveam un $3$ și un $2$. Rezultatul are exponentul $5$. Iar $3+2=5$.

Are perfectă logică! Primul factor aducea 3 doi-uri, al doilea aducea 2 doi-uri. Puse cap la cap, avem $3+2=5$ doi-uri în total. Numărul de factori se adună, fiindcă pur și simplu îi punem la un loc.

De aceea exponentul rezultatului este suma exponenților. Înmulțim puterile cu aceeași bază adunând exponenții. Iată regula scrisă cu litere, ca să fie valabilă pentru orice numere:

$$\boxed{a^m\cdot a^n=a^{m+n}}$$

Aici $a$ este baza comună (aceeași la ambele puteri), iar $m$ și $n$ sunt exponenții. Baza rămâne neschimbată; doar exponenții se adună.

De ce NU se înmulțesc exponenții — verificăm cu numere

Să verificăm și prin calcul numeric, ca să fim siguri 100%. Calculăm separat fiecare putere și apoi le înmulțim:

• $2^3=8$
• $2^2=4$
• $2^3\cdot 2^2=8\cdot 4=32$

Acum verificăm cele două variante:

• Varianta corectă, cu adunarea exponenților: $2^{3+2}=2^5=32$. ✓ Se potrivește!
• Varianta greșită, cu înmulțirea exponenților: $2^{3\cdot 2}=2^6=64$. ✗ Nu se potrivește (64 ≠ 32).

Deci e bătut în cuie: la produsul puterilor cu aceeași bază, exponenții se adună. (Înmulțirea exponenților apare la cu totul altă regulă — ridicarea unei puteri la putere — pe care o vei studia separat în lecția Puterea unei puteri și puterea unui produs. Nu le amesteca!)

Condiția de aur: baza TREBUIE să fie aceeași

Aici e nevoie de mare grijă. Regula merge numai dacă cele două puteri au aceeași bază. Dacă bazele sunt diferite, NU putem aduna exponenții. De ce? Pentru că factorii nu mai sunt toți la fel și nu putem număra „un singur fel" de factor.

Privește $2^3\cdot 5^2$. Desfăcut, înseamnă $(2\cdot 2\cdot 2)\cdot (5\cdot 5)$. Avem trei doi-uri și doi cinci-uri. Nu sunt toți la fel, așa că nu putem strânge totul într-o singură putere; rezultatul rămâne $8\cdot 25=200$, care nu este nici $2^5$, nici $5^5$, nici $10^5$. Reține deci:

Regula produsului se aplică DOAR la puteri cu aceeași bază. Baze diferite → nu poți aduna exponenții.

Și dacă sunt mai mult de două puteri?

Regula nu se oprește la două puteri. Dacă înmulțim trei, patru sau oricâte puteri cu aceeași bază, adunăm toți exponenții. Are logică: punem cap la cap mai multe grupuri de factori egali și numărăm câți sunt în total.

$$a^m\cdot a^n\cdot a^p=a^{m+n+p}$$

De exemplu:

$$3^2\cdot 3^4\cdot 3=3^{2+4+1}=3^7$$

Ai observat un detaliu fin? Ultimul factor era scris doar $3$, fără exponent. Dar $3$ este același lucru cu $3^1$ (o singură dată baza). De fiecare dată când vezi baza „simplă", fără exponent scris, gândește-te că exponentul ei este $1$. Așa nu uiți să-l adaugi la sumă. Dacă vrei să-ți reamintești de ce $a^1=a$, revezi lecția Cazuri speciale de puteri și puterile lui 10.

Pas cu pas: rețeta de lucru

Ori de câte ori ai de înmulțit puteri cu aceeași bază, urmează acești pași:

1. Verifică baza. Toate puterile au aceeași bază? Dacă da, poți aplica regula. Dacă nu, regula nu merge pentru cele cu baze diferite.
2. Scrie exponentul lipsă. Dacă vreo bază apare „goală" (de exemplu $7$), pune-i în gând exponentul $1$ (adică $7^1$).
3. Păstrează baza neschimbată. Baza rezultatului este aceeași bază comună. Nu o atinge.
4. Adună exponenții. Fă suma tuturor exponenților.
5. Scrie o singură putere. Rezultatul este baza comună ridicată la suma exponenților.

O analogie cu cărămizi

Imaginează-ți că fiecare factor egal este o cărămidă identică. $2^3$ este un turn de $3$ cărămizi; $2^2$ este un turn de $2$ cărămizi. Când le „înmulțești", de fapt stivuiești un turn peste celălalt și obții un turn de $3+2=5$ cărămizi, adică $2^5$. Înălțimea totală (exponentul) este suma înălțimilor. Iar cărămizile sunt toate la fel (aceeași bază) — de aceea poți face un singur turn. Dacă cărămizile ar fi de mărimi diferite (baze diferite), n-ai putea face un turn unitar.

O scurtă poveste: jocul cu dublări

Hai să vedem regula la lucru într-o poveste. Andrei și Maria joacă un joc pe telefon în care, la fiecare nivel trecut, numărul de puncte se dublează (se înmulțește cu $2$). Andrei trece primele $4$ niveluri, deci punctele lui sunt înmulțite cu $2^4$. Apoi, fără să se oprească, mai trece încă $3$ niveluri, deci punctele se înmulțesc cu încă $2^3$.

Cu cât au fost înmulțite punctele lui Andrei în total? Le punem cap la cap: $$2^4\cdot 2^3=2^{4+3}=2^7$$

Adică punctele au fost înmulțite cu $2^7=128$. Observă cât de natural se potrivește regula cu realitatea: $4$ dublări urmate de $3$ dublări înseamnă $4+3=7$ dublări la rând. Exact adunarea exponenților! De fiecare dată când în viața reală „adaugi" repetări de același fel (dublări, înzeciri, triplări), exponenții se adună — pentru că pur și simplu numeri câte repetări ai făcut în total.

Verificăm și cu litere, ca să fim 100% siguri

Am verificat regula cu numere, dar matematicienii adoră să arate că ceva funcționează mereu, nu doar la un exemplu. Hai să refacem raționamentul cu litere, pentru $a^m\cdot a^n$, unde $a$ este orice bază, iar $m$ și $n$ sunt câți factori avem în fiecare putere:

$$a^m=\underset{m\text{ factori}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}},a^n=\underset{n\text{ factori}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Înmulțindu-le, lipim cele două șiruri de factori. Primul aduce $m$ factori de $a$, al doilea aduce $n$ factori de $a$. În total avem $m+n$ factori de $a$:

$$a^m\cdot a^n=\underset{m+n\text{ factori}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}=a^{m+n}$$

Gata — am demonstrat regula pentru orice bază și orice exponenți. De aceea o poți folosi cu încredere oriunde, nu doar la exemplele din lecție.

Nu confunda produsul cu suma puterilor

Există o confuzie pe care merită s-o lămurim acum, ca să nu te încurce mai târziu. Regula noastră vorbește despre produsul (înmulțirea) puterilor: $a^m\cdot a^n$. Ea NU spune nimic despre suma lor: $a^m+a^n$. Sunt lucruri complet diferite!

La produs, exponenții se adună: $2^3\cdot 2^2=2^5=32$. La sumă, însă, nu există nicio scurtătură cu exponenți; pur și simplu calculezi fiecare putere și aduni rezultatele: $2^3+2^2=8+4=12$. Observă că $32$ și $12$ nu au nicio legătură — semnul dintre puteri schimbă totul. Reține deci: regula „se adună exponenții" se aplică DOAR la înmulțire, nu și la adunarea a două puteri.

Atenție: NU calculăm baza cu baza

O ultimă capcană pe care vreau s-o prinzi din față. La $2^3\cdot 2^2$, nu facem $2\cdot 2=4$ la bază. Baza rămâne $2$, nu devine $4$. Dacă ai scrie $4^5$ ai greși grav, pentru că $4^5=1024$, foarte departe de $32$. Reține simplu: baza nu se înmulțește cu ea însăși; baza rămâne, doar exponenții se adună. Repetă-ți asta ca pe o regulă de aur.

Baza ascunsă: numere care sunt, de fapt, puteri ale aceleiași baze

Uneori regula pare că nu se aplică, fiindcă bazele arată diferit — și totuși se aplică! Truc: dacă numerele sunt, în secret, puteri ale aceluiași număr, le rescriem cu baza comună și abia apoi adunăm exponenții.

Privește $8\cdot 16$. La prima vedere bazele sunt $8$ și $16$, deci diferite. Dar amândouă sunt puteri ale lui $2$: avem $8=2^3$ și $16=2^4$. Le rescriem și gata:

$$8\cdot 16=2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7$$

Iar $2^7=128$, exact cât face $8\cdot 16$. Vezi? Baza comună era acolo, doar că era „deghizată". Acesta e un mod foarte puternic de a gândi: înainte să spui „bazele sunt diferite, nu merge", întreabă-te dacă nu cumva ambele numere se nasc din aceeași bază mică ($2$, $3$, $5$, $10$). Dacă da, regula produsului redevine prietena ta.

Recunoaște tiparul: de la o înmulțire lungă la o singură putere

Forța acestei reguli se vede cel mai bine când ai o înmulțire lungă, urâtă, plină de factori, pe care o strângi într-o singură scriere îngrijită. Comparativ, fără regulă ar trebui să calculezi numere uriașe; cu regula, doar aduni câteva numere mici. De aceea spunem că regula nu doar e corectă — e și economică. Ea îți cruță timp și te ferește de greșeli de calcul, fiindcă aduni exponenți mici în loc să înmulțești numere mari.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — produsul a două puteri, bază mică

Calculează $5^2\cdot 5^3$ și scrie rezultatul ca o singură putere.

Bazele sunt egale (ambele $5$), deci aplicăm regula. Păstrăm baza $5$ și adunăm exponenții: $$5^2\cdot 5^3=5^{2+3}=5^5$$

Verificare: $5^2=25$, $5^3=125$, iar $25\cdot 125=3125$. Pe de altă parte, $5^5=3125$. Se potrivește. ✓

Exemplul 2 — apare o bază „goală" (exponent 1)

Scrie ca o singură putere: $7\cdot 7^4$.

Aici primul factor este $7$, adică $7^1$. Bazele sunt egale, deci adunăm exponenții $1$ și $4$: $$7\cdot 7^4=7^1\cdot 7^4=7^{1+4}=7^5$$

Reține: ușor de uitat acel $1$! Dacă l-ai fi sărit, ai fi scris greșit $7^4$.

Exemplul 3 — trei puteri, aceeași bază

Scrie ca o singură putere: $3^2\cdot 3^3\cdot 3^4$.

Toate au baza $3$. Adunăm toți cei trei exponenți: $$3^2\cdot 3^3\cdot 3^4=3^{2+3+4}=3^9$$

Nu e nevoie să calculăm valoarea uriașă a lui $3^9$; cerința era doar scrierea ca o singură putere. Cât de practică e regula — economisim un calcul imens!

Exemplul 4 — patru puteri, una „goală"

Scrie ca o singură putere: $10\cdot 10^2\cdot 10^3\cdot 10^2$.

Baza este $10$ peste tot. Primul factor este $10=10^1$. Adunăm exponenții: $$10^1\cdot 10^2\cdot 10^3\cdot 10^2=10^{1+2+3+2}=10^8$$

Iar $10^8$ înseamnă $1$ urmat de $8$ zerouri, adică $100000000$ (o sută de milioane). Vezi legătura cu puterile lui $10$ din lecția Cazuri speciale de puteri și puterile lui 10.

Exemplul 5 — atenție la baze diferite (capcană)

Poate fi scris $2^4\cdot 3^2$ ca o singură putere?

Verificăm bazele: una este $2$, cealaltă este $3$. Bazele sunt diferite, deci regula produsului NU se aplică și nu putem strânge totul într-o singură putere. Tot ce putem face este să calculăm valoarea: $$2^4\cdot 3^2=16\cdot 9=144$$

Răspuns: nu, nu se poate scrie ca o singură putere; rezultatul numeric este $144$. (Greșeala tipică ar fi $2^{4+2}=2^6$ sau $6^6$ — ambele false.)

Exemplul 6 — bază comună „ascunsă"

Scrie ca o singură putere: $2^5\cdot 2\cdot 2^3\cdot 2^4$.

Toate au baza $2$; al doilea factor este $2=2^1$. Adunăm: $$2^5\cdot 2^1\cdot 2^3\cdot 2^4=2^{5+1+3+4}=2^{13}$$

Patru puteri strânse într-una singură, fără niciun calcul greoi. Asta e frumusețea regulii: produsul puterilor cu aceeași bază transformă o înmulțire lungă într-o singură putere îngrijită.

Exemplul 7 — bază ascunsă, o transformăm întâi

Scrie ca o singură putere a lui $2$: $4\cdot 8\cdot 16$.

Niciun factor nu este scris ca putere a lui $2$, dar toate trei sunt puteri ale lui $2$: $4=2^2$, $8=2^3$, $16=2^4$. Le rescriem și apoi aplicăm regula: $$4\cdot 8\cdot 16=2^2\cdot 2^3\cdot 2^4=2^{2+3+4}=2^9$$

Verificare: $2^9=512$, iar $4\cdot 8\cdot 16=32\cdot 16=512$. Se potrivește. ✓ Pasul-cheie a fost să aducem totul la aceeași bază înainte de a aduna exponenții.

Exemplul 8 — aflăm un exponent necunoscut

Află exponentul $\square$ știind că $5^4\cdot 5^{\square }=5^{10}$.

Aplicăm regula la membrul stâng: $5^4\cdot 5^{\square }=5^{4+\square }$. Pentru ca rezultatul să fie $5^{10}$, trebuie ca exponenții să fie egali: $$4+\square =10\Rightarrow \square =10-4=6$$

Deci $\square =6$. Verificare: $5^4\cdot 5^6=5^{4+6}=5^{10}$. ✓ Observă cum regula transformă o problemă cu puteri într-o simplă scădere de exponenți.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată rezultatul ca o singură putere (dacă se poate). Exercițiile sunt așezate de la ușor la greu.

1. Completează: $4^2\cdot 4^3=4^{\square }$.
2. Completează: $a^5\cdot a^2=a^{\square }$.
3. Scrie ca o singură putere: $6^3\cdot 6^4$.
4. Scrie ca o singură putere: $9\cdot 9^5$. (Atenție la baza „goală".)
5. Scrie ca o singură putere: $x^7\cdot x$.
6. Scrie ca o singură putere: $3^2\cdot 3^2\cdot 3^2$.
7. Scrie ca o singură putere: $10^4\cdot 10^4\cdot 10$.
8. Adevărat sau fals? $2^3\cdot 2^4=2^{12}$. Justifică.
9. Adevărat sau fals? $5^2\cdot 5^3=5^5$. Justifică.
10. Încercuiește varianta corectă pentru $7^2\cdot 7^3$:   (a) $7^5$   (b) $7^6$   (c) $49^5$.
11. Află exponentul necunoscut: $2^3\cdot 2^{\square }=2^9$.
12. Află exponentul necunoscut: $a^{\square }\cdot a^4=a^{10}$.
13. Poate fi scris ca o singură putere? $4^3\cdot 5^2$. Explică de ce da sau nu.
14. Scrie ca o singură putere: $a^2\cdot a^3\cdot a^4\cdot a$.
15. Potrivește fiecare produs din coloana stângă cu rezultatul lui din coloana dreaptă:
    • A) $3\cdot 3^4$    B) $3^2\cdot 3^2$    C) $3^3\cdot 3^3$
    • I) $3^4$    II) $3^5$    III) $3^6$
16. Problemă. O bacterie se dublează în fiecare oră. După primele $3$ ore numărul ei a fost înmulțit cu $2^3$, iar în următoarele $4$ ore a fost înmulțit cu $2^4$. Cu cât a fost înmulțit numărul de bacterii în cele $7$ ore? Scrie rezultatul ca o singură putere a lui $2$.
17. Mică provocare. Scrie $8\cdot 4\cdot 2$ ca o singură putere a lui $2$. (Indiciu: scrie întâi fiecare număr ca putere a lui $2$.)
18. Provocare. Completează cu un singur exponent: $2^2\cdot 2^{\square }\cdot 2^3=2^{10}$.
19. Bază ascunsă. Scrie $4\cdot 16$ ca o singură putere a lui $2$. (Indiciu: $4=2^2$, $16=2^4$.)
20. Bază ascunsă. Scrie $9\cdot 27$ ca o singură putere a lui $3$.
21. Adevărat sau fals? $a^3\cdot a^3=a^9$. Justifică.
22. Provocare finală. Află exponentul: $5\cdot 5^2\cdot 5^{\square }=5^7$.

Răspunsuri și explicații

1. $4^5$. Adunăm exponenții: $2+3=5$. Baza rămâne $4$.
2. $a^7$. $5+2=7$, baza $a$ neschimbată.
3. $6^7$. $3+4=7$, deci $6^3\cdot 6^4=6^7$.
4. $9^6$. $9=9^1$, deci $9^1\cdot 9^5=9^{1+5}=9^6$.
5. $x^8$. $x=x^1$, deci $x^7\cdot x^1=x^{7+1}=x^8$.
6. $3^6$. $2+2+2=6$.
7. $10^9$. $10=10^1$; $4+4+1=9$, deci $10^9$.
8. Fals. Trebuie să adunăm exponenții, nu să-i înmulțim. Corect: $2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7$, nu $2^{12}$.
9. Adevărat. $2+3=5$, deci $5^2\cdot 5^3=5^5$. Corect.
10. (a) $7^5$. $2+3=5$, baza rămâne $7$. Varianta (b) ar însemna înmulțirea exponenților (greșit), iar (c) ar însemna înmulțirea bazei cu ea însăși (greșit).
11. $\square =6$. Trebuie ca $3+\square =9$, deci $\square =9-3=6$. Verificare: $2^3\cdot 2^6=2^9$. ✓
12. $\square =6$. Trebuie ca $\square +4=10$, deci $\square =6$. Verificare: $a^6\cdot a^4=a^{10}$. ✓
13. Nu se poate. Bazele sunt diferite ($4$ și $5$), deci regula produsului nu se aplică. Putem doar calcula valoarea: $4^3\cdot 5^2=64\cdot 25=1600$.
14. $a^{10}$. $a=a^1$; $2+3+4+1=10$, deci $a^{10}$.
15. A → II, B → I, C → III. A) $3\cdot 3^4=3^{1+4}=3^5$ (II). B) $3^2\cdot 3^2=3^{2+2}=3^4$ (I). C) $3^3\cdot 3^3=3^{3+3}=3^6$ (III).
16. $2^7$. Înmulțim cele două multiplicări: $2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7$. Numărul de bacterii a fost înmulțit cu $2^7$ (adică $128$) în cele $7$ ore.
17. $2^6$. Scriem fiecare ca putere a lui $2$: $8=2^3$, $4=2^2$, $2=2^1$. Atunci $8\cdot 4\cdot 2=2^3\cdot 2^2\cdot 2^1=2^{3+2+1}=2^6$. Verificare: $2^6=64$, iar $8\cdot 4\cdot 2=64$. ✓
18. $\square =5$. Trebuie ca $2+\square +3=10$, adică $5+\square =10$, deci $\square =5$. Verificare: $2^2\cdot 2^5\cdot 2^3=2^{10}$. ✓
19. $2^6$. Aducem la baza comună: $4=2^2$, $16=2^4$, deci $4\cdot 16=2^2\cdot 2^4=2^{2+4}=2^6$. Verificare: $2^6=64$, iar $4\cdot 16=64$. ✓
20. $3^5$. $9=3^2$, $27=3^3$, deci $9\cdot 27=3^2\cdot 3^3=3^{2+3}=3^5$. Verificare: $3^5=243$, iar $9\cdot 27=243$. ✓
21. Fals. Exponenții se adună, nu se înmulțesc: $a^3\cdot a^3=a^{3+3}=a^6$, nu $a^9$. Capcana era să faci $3\cdot 3=9$.
22. $\square =4$. Cum $5=5^1$, avem $5^1\cdot 5^2\cdot 5^{\square }=5^{1+2+\square }=5^{3+\square }$. Trebuie ca $3+\square =7$, deci $\square =4$. Verificare: $5^1\cdot 5^2\cdot 5^4=5^7$. ✓

De reținut

• Regula de aur: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$. La produsul puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată și exponenții se adună.
• Regula merge numai dacă bazele sunt egale. Baze diferite → nu poți strânge într-o singură putere.
• Funcționează pentru oricâte puteri: $a^m\cdot a^n\cdot a^p=a^{m+n+p}$.
• Baza scrisă „goală" (de exemplu $a$) are exponentul $1$: $a=a^1$. Nu uita să-l adaugi.
• Exponenții se adună, nu se înmulțesc; baza nu se înmulțește cu ea însăși.

Greșeli frecvente

• Înmulțirea exponenților în loc de adunare. $2^3\cdot 2^2=2^6$ este GREȘIT. Corect: $2^{3+2}=2^5$. Antidot: amintește-ți că pui factorii cap la cap și îi numeri — numerele se adună.
• Înmulțirea bazei cu ea însăși. A scrie $2^3\cdot 2^2=4^5$ este greșit; baza rămâne $2$, nu devine $4$. Antidot: „baza nu se atinge".
• Uitarea exponentului 1. La $7\cdot 7^4$ unii scriu $7^4$. Corect este $7^{1+4}=7^5$, pentru că $7=7^1$. Antidot: orice bază „goală" primește în gând un mic $1$ deasupra.
• Aplicarea regulii la baze diferite. $2^3\cdot 5^2$ NU este $2^5$, nici $10^5$. Antidot: verifică întâi dacă bazele sunt identice; dacă nu, regula nu se aplică.

Joc acasă

• Turnul de cuburi. Ia cuburi sau piese de tip Lego identice. Fă un turn de $3$ piese ($2^3$ în „limbajul cărămizilor") și unul de $4$ piese ($2^4$). Lipește-le într-un turn unic și numără piesele: $7$. Ai „demonstrat" cu mâna ta că $2^3\cdot 2^4$ dă un turn de $3+4=7$ piese. Repetă cu alte mărimi și verifică de fiecare dată că exponenții se adună.
• Cartonașe-perechi. Scrie pe cartonașe produse de puteri cu aceeași bază (de exemplu $5^2\cdot 5^3$, $3\cdot 3^4$, $10^2\cdot 10^2$) și, pe alte cartonașe, rezultatele ($5^5$, $3^5$, $10^4$). Amestecă-le și provoacă un părinte sau un prieten să formeze perechile cât mai repede. Cine greșește baza sau adună exponenții aiurea pierde tura.
• Vânătoarea de capcane. Pune pe o foaie $5$ egalități cu puteri, dintre care unele corecte și unele greșite intenționat (de exemplu $2^2\cdot 2^3=2^5$ corect și $2^2\cdot 2^3=4^5$ greșit). Dă-i foaia unui coleg și cere-i să descopere capcanele. Apoi schimbați rolurile. Câștigă cine prinde toate capcanele.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce prima regulă de calcul cu puteri, una dintre cele mai utile din întreaga matematică de gimnaziu. Cheia pedagogică este ca elevul să nu memoreze mecanic „se adună exponenții", ci să înțeleagă de ce. Insistați pe desfacerea puterilor în factori (de exemplu $2^3\cdot 2^2=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$) și pe numărarea factorilor — de acolo iese natural adunarea exponenților.

Întrebări utile de pus elevului:

• „De ce adunăm exponenții și nu îi înmulțim?" (Răspuns așteptat: pentru că punem factorii cap la cap și îi numărăm.)
• „Ce se întâmplă dacă bazele sunt diferite?" (Regula nu se aplică.)
• „Cât e exponentul lui $7$ scris simplu?" (Este $1$.)
• „Baza se schimbă când înmulțim puterile?" (Nu, baza rămâne aceeași.)

Cea mai frecventă eroare este confuzia cu regula puterii unei puteri (unde exponenții chiar se înmulțesc). Pentru moment, ancorați ferm ideea „produs cu aceeași bază → adunăm exponenții". Verificați înțelegerea cerând elevului să verifice numeric un exemplu mic (calculează separat și compară), exact cum am procedat în lecție; este cel mai convingător test. Dacă elevul calculează corect $2^3\cdot 2^2=32$ și recunoaște că $2^5=32$ (iar $2^6=64$ nu se potrivește), a înțeles esența.

Întrebări frecvente

Cum se înmulțesc două puteri cu aceeași bază în clasa a 5-a? Păstrezi baza neschimbată și aduni exponenții: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$. De exemplu, $2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7$. Funcționează doar dacă cele două puteri au exact aceeași bază.

De ce se adună exponenții și nu se înmulțesc? Pentru că o putere arată câți factori egali sunt. Când înmulțești $2^3\cdot 2^2$, pui $3$ factori de $2$ lângă alți $2$ factori de $2$ și ai în total $3+2=5$ factori. Numărul de factori se adună, deci exponenții se adună.

Ce fac dacă bazele sunt diferite, de exemplu $2^3\cdot 3^2$? Atunci regula produsului NU se aplică și nu poți scrie totul ca o singură putere. Poți doar să calculezi valoarea: $2^3\cdot 3^2=8\cdot 9=72$. Adunarea exponenților merge numai la baze identice.

Cât este $a\cdot a^4$ când baza pare „fără exponent"? Baza scrisă simplu, $a$, are exponentul $1$, adică $a=a^1$. Deci $a\cdot a^4=a^{1+4}=a^5$. Nu uita niciodată acel $1$ ascuns.

Pot înmulți trei sau mai multe puteri deodată? Da. Dacă au toate aceeași bază, aduni toți exponenții: $a^m\cdot a^n\cdot a^p=a^{m+n+p}$. De exemplu, $3^2\cdot 3^3\cdot 3^4=3^{2+3+4}=3^9$.

Este corect $2^3\cdot 2^2=4^5$? Nu, este greșit. Baza rămâne $2$, nu devine $4$. Corect este $2^3\cdot 2^2=2^{3+2}=2^5=32$. Dacă faci $4^5$ obții $1024$, complet greșit.

Care e diferența dintre $a^m\cdot a^n$ și $(a^m{)}^n$? La produs, $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ — exponenții se adună. La puterea unei puteri, $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$ — exponenții se înmulțesc. Sunt reguli diferite; nu le confunda. Pe a doua o vei studia în lecția despre puterea unei puteri.

Cum verific dacă am calculat bine produsul a două puteri? Calculează separat fiecare putere și înmulțește-le numeric, apoi compară cu rezultatul regulii. De exemplu, $5^2\cdot 5^3$: separat $25\cdot 125=3125$, iar prin regulă $5^5=3125$. Dacă cele două coincid, e corect.