Punctul $$M(0, \ -6)$$ se află:

pe axa $$Ox$$, la stânga originii

Cum se scriu coordonatele unui punct?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Coordonatele unui punct: abscisă și ordonată

Ca o pereche ordonată, $A (x_{A}, y_{A})$ , cu abscisa prima și ordonata a doua. Ordinea contează: $M (2, 3)$ și $N (3, 2)$ sunt puncte diferite. Două puncte coincid numai dacă amândouă coordonatele sunt egale, deci o egalitate de puncte se rezolvă ca un sistem de două ecuații. Un punct de pe axa orizontală are ordonata nulă, iar unul de pe axa verticală are abscisa nulă.

Fixat reperul $x O y$ , fiecărui punct $A$ i se asociază abscisa $x_{A}$ (proiecția pe axa $O x$ ) și ordonata $y_{A}$ (proiecția pe axa $O y$ ), scrise ca pereche ordonată $A (x_{A}, y_{A})$ — mereu abscisa prima. Între punctele planului și perechile de numere reale există o corespondență bijectivă: fiecare punct are o singură adresă, fiecare adresă un singur punct.

Perechea este ordonată: $M (2, 3)$ și $N (3, 2)$ sunt puncte diferite, deși conțin aceleași cifre. De aici, două puncte sunt egale doar dacă au ambele coordonate respectiv egale: $A (x_{A}, y_{A}) = B (x_{B}, y_{B}) \Leftrightarrow x_{A} = x_{B}$ și $y_{A} = y_{B}$ — o egalitate de puncte dă un sistem de două ecuații, câte una pentru fiecare coordonată.

Poziții speciale: un punct se află pe axa $O x$ dacă și numai dacă ordonata lui este $0$ , de forma $(a, 0)$ ; pe axa $O y$ dacă abscisa este $0$ , de forma $(0, b)$ ; originea $O (0, 0)$ are ambele coordonate nule.

Coordonatele dau și distanțele la axe, „încrucișat": $d (A, O x) = ∣ y_{A} ∣$ și $d (A, O y) = ∣ x_{A} ∣$ — modulul e necesar pentru că o distanță nu poate fi negativă.

De reținut

$A (x_{A}, y_{A})$ , cu abscisa scrisă prima
două puncte sunt egale doar dacă amândouă coordonatele coincid
$d (A, O x) = ∣ y_{A} ∣$ , iar $d (A, O y) = ∣ x_{A} ∣$

Greșeala tipică

Pentru un punct aflat la $5$ unități spre dreapta și $3$ în sus se scrie $(3, 5)$ . Prima cifră arată deplasarea pe orizontală, deci notarea corectă este $(5, 3)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Distanța de la punctul $P (- 9, - 5)$ la axa $O x$ este:
- a) $9$
- b) $5$
- c) $- 5$
- d) $- 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

Distanța de la un punct la axa $O x$ este modulul ordonatei: $d (P, O x) = ∣ y_{P} ∣ = ∣ - 5∣ = 5$ . Varianta a) confundă axele — $9$ este de fapt $d (P, O y) = ∣ x_{P} ∣$ . Variantele c) și d) uită modulul: o distanță nu poate fi negativă, deci $- 5$ și $- 9$ nu pot fi niciodată răspunsuri corecte pentru o distanță.
Punctul $A (2 m + 4, m - 5)$ se află pe axa $O x$ pentru $m$ egal cu:
- a) $5$
- b) $- 2$
- c) $- 5$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$

Pe axa $O x$ ordonata este nulă: $m - 5 = 0 \Rightarrow m = 5$ . Varianta b) provine din rezolvarea greșită a condiției pentru abscisă, $2 m + 4 = 0 \Rightarrow m = - 2$ — aceasta ar fi condiția corectă dacă punctul era pe axa $O y$ , nu pe $O x$ . Variantele c) și d) sunt erori de semn la rezolvarea ecuației $m - 5 = 0$ .
Punctul $M (0, - 6)$ se află:
- a) în cadranul al III-lea
- b) în cadranul al IV-lea
- c) pe axa $O y$ , sub origine
- d) pe axa $O x$ , la stânga originii
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) pe axa $O y$ , sub origine

Abscisa lui $M$ este $0$ , deci punctul se află pe axa $O y$ , la $6$ unități sub origine. Variantele a) și b) presupun greșit că ambele coordonate sunt nenule — dar un cadran cere abscisă și ordonată amândouă diferite de zero. Varianta d) confundă axele: pe axa $O x$ este nulă ordonata, nu abscisa.

Întrebări conexe

Ce sistem obțin din egalitatea a două puncte scrise cu litere?

Unul cu două ecuații, câte una pentru fiecare coordonată. Din $A (2 m - 1, 5) = B (3, n + 2)$ ies $2 m - 1 = 3$ și $n + 2 = 5$ , deci $m = 2$ și $n = 3$ . Coordonatele nu se amestecă între ele: abscisa se compară cu abscisa.

Ce coordonate are un punct aflat la 4 unități sub axa orizontală?

Ordonata lui este $- 4$ , iar abscisa poate fi orice număr, după poziția aleasă. Toate aceste puncte formează o dreaptă orizontală situată sub axă. Semnul minus arată coborârea, nu o distanță negativă.

De ce distanțele până la axe se citesc încrucișat?

Pentru că distanța până la axa orizontală se măsoară pe verticală, deci este dată de ordonată, iar cea până la axa verticală se măsoară pe orizontală, deci este dată de abscisă. Amândouă se iau în modul, fiindcă o distanță nu poate fi negativă.

Cum scriu un punct care se plimbă pe axa verticală?

Sub forma $(0, t)$ , unde $t$ ia orice valoare reală. Abscisa rămâne mereu zero, fiindcă punctul nu părăsește axa. Analog, un punct care se mișcă pe axa orizontală se scrie $(t, 0)$ .

Ce înseamnă că fiecărui punct îi corespunde o singură pereche?

Că legătura dintre puncte și perechi de numere merge în ambele sensuri, fără ambiguități: din punct afli perechea, din pereche afli punctul. Datorită acestei corespondențe se pot rezolva probleme de geometrie prin calcul cu numere.

Cum se schimbă coordonatele dacă mut punctul trei unități la dreapta?

Abscisa crește cu trei, iar ordonata rămâne neatinsă: din $A (2, 5)$ se ajunge în $(5, 5)$ . O mutare în sus schimbă doar a doua coordonată. Deplasările pe cele două direcții se citesc separat.

Oamenii mai întreabă și: coordonatele unui punct · pereche ordonată de numere · când sunt egale două puncte · cum notez un punct în plan · distanța de la un punct la axe