Echivalența «dacă și numai dacă»

Închipuie-ți două promisiuni pe care ți le poate face un prieten. Prima: „Dacă plouă, iau umbrela". A doua: „Iau umbrela dacă și numai dacă plouă". Sună aproape la fel, dar sunt două lucruri foarte diferite. În primul caz, dacă îl vezi într-o zi însorită cu umbrela în mână, prietenul tău nu a mințit: el a promis doar ce face pe ploaie, nu a promis nimic despre zilele senine. În al doilea caz însă, umbrela în mână pe soare îl dă de gol imediat — a doua promisiune spune că umbrela apare exact în zilele cu ploaie, nici mai mult, nici mai puțin.

Această diferență, care în viața de zi cu zi ne scapă adesea, este în matematică o graniță foarte precisă. Ai învățat deja la Implicația «dacă… atunci» că o implicație merge într-un singur sens. Astăzi întâlnești operația care merge în ambele sensuri: echivalența logică, citită „dacă și numai dacă". Ea este operatorul cu care matematica își scrie definițiile și caracterizările — de fiecare dată când spui „un patrulater este paralelogram dacă și numai dacă diagonalele se înjumătățesc", folosești o echivalență. Este, totodată, operatorul care îți spune când ai voie să înlocuiești o problemă cu alta mai simplă, fără să pierzi și fără să câștigi soluții. Merită învățat cu atenție: îți va servi la fiecare teză și la fiecare subiect de Bacalaureat în care scrii un șir de transformări.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești echivalența a două propoziții și să-i completezi tabelul de adevăr din memorie.
• Vei ști să recunoști echivalența sub toate numele ei: „dacă și numai dacă", „este echivalent cu", „exact atunci când", „condiție necesară și suficientă".
• Vei ști să arăți că echivalența este dubla implicație: $p\iff q$ înseamnă $p\Rightarrow q$ și $q\Rightarrow p$.
• Vei ști să demonstrezi o echivalență în două sensuri, redactând separat fiecare sens.
• Vei ști să deosebești o implicație de o echivalență și să dai contraexemplul care arată că reciproca nu are loc.
• Vei ști să folosești echivalența la transformarea ecuațiilor și inecuațiilor, ca să nu pierzi și să nu inventezi soluții.

Hai să descoperim împreună

1. Două promisiuni care nu sunt același lucru

Să notăm cu $p$ propoziția „plouă" și cu $q$ propoziția „iau umbrela". Prima promisiune este implicația $p\Rightarrow q$: ea interzice o singură situație, aceea în care plouă și totuși nu iau umbrela. Zilele senine, cu umbrelă sau fără, nu o încalcă.

A doua promisiune spune mai mult. Ea interzice două situații: să plouă și să nu iau umbrela, dar și să nu plouă și totuși să iau umbrela. Cu alte cuvinte, cere ca cele două propoziții $p$ și $q$ să fie mereu împreună: ori amândouă adevărate, ori amândouă false. Exact această cerință o notăm

$$p\iff q$$

și o citim „$p$ dacă și numai dacă $q$" sau „$p$ este echivalentă cu $q$". În scris rapid, la clasă, vei întâlni și prescurtarea „ddacă" sau semnul $\iff$ singur, între două egalități.

2. Definiția și tabelul de adevăr al echivalenței

Definiție. Fiind date propozițiile $p$ și $q$, echivalența lor este propoziția $p\iff q$, care este adevărată exact atunci când $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr și falsă în rest.

Tabelul de adevăr are patru linii, câte una pentru fiecare combinație posibilă a valorilor lui $p$ și $q$:

Citește tabelul ca pe o regulă de asemănare: echivalența este adevărată pe liniile pe care cele două coloane „seamănă" (A cu A, F cu F) și falsă pe liniile pe care ele „se contrazic". Reține în special linia a patra: două propoziții false sunt echivalente între ele. „$2+2=5$ dacă și numai dacă Luna este un cub" este o propoziție adevărată, oricât de ciudat sună — ambele părți sunt false, deci au aceeași valoare de adevăr. Logica matematică nu cere ca cele două propoziții să vorbească despre același lucru; ea compară doar valorile lor de adevăr.

Iată câteva exemple de echivalențe adevărate și false, cu valorile de adevăr calculate:

• „$3$ este număr prim $\iff$ $10$ este par": A $\iff$ A, deci adevărată.
• „$7$ este par $\iff$ $5>8$": F $\iff$ F, deci adevărată.
• „$4$ este par $\iff$ $4$ este prim": A $\iff$ F, deci falsă.

3. Echivalența este o dublă implicație

Numele „dacă și numai dacă" nu este o toană: el ascunde chiar structura operației. Partea „dacă" ne dă un sens, iar partea „numai dacă" ne dă celălalt sens. Să verificăm asta cu tabelul, comparând coloana lui $p\iff q$ cu coloana lui $(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)$:

Ultimele două coloane coincid, linie cu linie. Am demonstrat astfel:

$$(p\iff q)\text{ are aceeași valoare de adeva˘r cu }(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p).$$

Aceasta este cea mai folositoare formulă a lecției. Ea îți spune, practic, cum se demonstrează o echivalență: nu ai o singură demonstrație de făcut, ci două — una pentru fiecare săgeată. Implicația $p\Rightarrow q$ se numește sensul direct, iar $q\Rightarrow p$ se numește reciproca.

Există și o a doua descriere, la fel de utilă la exerciții: verifică pe tabel că $p\iff q$ are aceeași valoare de adevăr cu $(p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$ — „ori amândouă adevărate, ori amândouă false". Este chiar traducerea literală a definiției.

4. Condiție necesară și suficientă

Limbajul matematic are pentru echivalență o formulare pe care o vei citi des în manuale și în subiectele de examen. Pornim de la implicație: dacă $p\Rightarrow q$, spunem că $p$ este condiție suficientă pentru $q$ (îmi ajunge $p$ ca să fiu sigur de $q$) și că $q$ este condiție necesară pentru $p$ (fără $q$ nu se poate ca $p$ să fie adevărată).

Când au loc ambele implicații, adică $p\iff q$, spunem că $p$ este condiție necesară și suficientă pentru $q$. Un exemplu concret, cu care poți verifica singur logica:

• „Un număr natural este divizibil cu $6$" $\Rightarrow$ „este divizibil cu $2$". Deci divizibilitatea cu $2$ este necesară, dar nu suficientă: $8$ e divizibil cu $2$ și nu cu $6$.
• „Un număr natural este divizibil cu $2$ și cu $3$" $\iff$ „este divizibil cu $6$". Aici avem necesar și suficient: cele două condiții se implică reciproc.

Alte formulări care înseamnă exact același lucru cu „$p$ dacă și numai dacă $q$": „$p$ exact atunci când $q$", „$p$ este echivalentă cu $q$", „$p$ are loc precis în cazul în care $q$", „condiția $q$ caracterizează situația $p$".

5. Cum se demonstrează o echivalență: exemplu complet

Să demonstrăm afirmația: pentru orice număr natural $n$, „$n$ este divizibil cu $6$" $\iff$ „$n$ este divizibil cu $2$ și cu $3$".

Sensul direct ($\Rightarrow$). Presupunem că $n$ este divizibil cu $6$, adică $n=6k$ pentru un număr natural $k$. Atunci $n=2\cdot (3k)$, deci $n$ este divizibil cu $2$; și $n=3\cdot (2k)$, deci $n$ este divizibil cu $3$. Sensul direct e demonstrat.

Reciproca ($\Leftarrow$). Presupunem că $n$ este divizibil cu $2$ și cu $3$. Din divizibilitatea cu $3$ avem $n=3m$. Cum $n$ este par și $3$ este impar, factorul $m$ trebuie să fie par (produsul dintre un număr impar și unul impar este impar), deci $m=2t$. Rezultă $n=3\cdot 2t=6t$, adică $n$ este divizibil cu $6$. Reciproca e demonstrată.

Din cele două sensuri rezultă echivalența. $■$

Observă structura redactării: două paragrafe clar despărțite, fiecare începând cu „presupunem" și terminându-se cu concluzia sensului respectiv. La teze și la Bacalaureat, baremul acordă puncte separat pentru fiecare sens — cine demonstrează doar un sens ia, tipic, jumătate din punctaj.

Atenție la o capcană a limbii: dacă un enunț îți cere „arătați că $p$ dacă și numai dacă $q$" și tu demonstrezi doar $p\Rightarrow q$, nu ai rezolvat problema, chiar dacă demonstrația ta este impecabilă. Mai lipsește jumătate.

6. Ecuații echivalente: de ce contează săgeata dublă

Când rezolvi o ecuație, scrii de fapt un lanț de echivalențe. „Ecuații echivalente" înseamnă exact: ecuații care au aceeași mulțime de soluții. De exemplu:

$$3x-12=0⟺3x=12⟺x=4.$$

Fiecare pas este reversibil: pot merge și înapoi. De aceea am dreptul să înlocuiesc ecuația inițială cu ultima, mult mai simplă, și să declar că soluția este $x=4$.

Nu orice transformare este însă o echivalență. Privește greșeala clasică:

$$x^2=4x|:x\Rightarrow x=4.$$

Împărțirea la $x$ este permisă doar dacă $x\ne 0$, deci pasul nu este o echivalență: el pierde soluția $x=0$. Corect este să descompunem: $x^2=4x⟺x^2-4x=0⟺x(x-4)=0⟺x=0$ sau $x=4$. Verificăm: pentru $x=0$ avem $0=0$ ✓, pentru $x=4$ avem $16=16$ ✓.

Regula practică pe care o vei folosi toată viața de elev: transformările care se pot „da înapoi" păstrează soluțiile; cele care nu se pot da înapoi (împărțirea la o expresie care se poate anula, ridicarea la pătrat) cer verificare la final.

7. Trei proprietăți ale echivalenței

Echivalența se poartă foarte asemănător cu egalitatea, iar cele trei proprietăți de mai jos se verifică imediat pe tabelul de adevăr:

1. Reflexivitate: $p\iff p$ este întotdeauna adevărată (orice propoziție are aceeași valoare de adevăr cu ea însăși).
2. Simetrie: $p\iff q$ și $q\iff p$ au mereu aceeași valoare de adevăr — ordinea nu contează, spre deosebire de implicație.
3. Tranzitivitate: dacă $p\iff q$ și $q\iff r$ sunt adevărate, atunci și $p\iff r$ este adevărată. Pe această proprietate se sprijină lanțurile de echivalențe din rezolvarea ecuațiilor.

Mai reține o proprietate utilă la negări: $p\iff q$ are aceeași valoare de adevăr cu $\neg p\iff \neg q$. Verificarea pe tabel: pe linia A A avem $\neg p=$ F, $\neg q=$ F, deci ambele echivalențe sunt A; pe linia A F avem F $\iff$ A, deci ambele sunt F; și analog pe celelalte două linii. Cu alte cuvinte, dacă negi ambele părți ale unei echivalențe, ea rămâne la fel de adevărată — un truc pe care îl vei folosi când vei studia Reguli de negare: legile lui De Morgan.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valoarea de adevăr a unei echivalențe

Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției: „$5$ este număr prim $\iff$ $12$ este divizibil cu $4$".

Rezolvare. Analizăm separat cele două propoziții simple. „$5$ este număr prim" este adevărată ($5$ are exact doi divizori naturali: $1$ și $5$). „$12$ este divizibil cu $4$" este adevărată, pentru că $12=4\cdot 3$. Ambele au valoarea A, deci au aceeași valoare de adevăr, deci echivalența este adevărată.

Exemplul 2 — Când echivalența este falsă

Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției: „$3^2=9\iff 2^3=6$".

Rezolvare. Prima propoziție: $3^2=9$, deci adevărată. A doua: $2^3=8\ne 6$, deci falsă. Cele două au valori de adevăr diferite (A și F), deci echivalența este falsă. Observă că, dacă am fi înlocuit a doua propoziție cu „$2^3=6$ și Pământul este plat", tot F ar fi ieșit, iar echivalența ar fi rămas falsă — contează exclusiv valorile de adevăr, nu subiectul propozițiilor.

Exemplul 3 — Implicație sau echivalență?

Pentru fiecare pereche, precizați dacă are loc doar implicația $p\Rightarrow q$ sau echivalența $p\iff q$ (pentru $n$ număr natural, $x$ număr real): a) $p$: „$n$ este divizibil cu $4$", $q$: „$n$ este par"; b) $p$: „$|x|=5$", $q$: „$x=5$ sau $x=-5$".

Rezolvare. a) Sensul direct este adevărat: dacă $n=4k$, atunci $n=2\cdot (2k)$, deci $n$ e par. Reciproca este falsă: $n=6$ este par, dar nu e divizibil cu $4$. Avem, așadar, doar implicația $p\Rightarrow q$, nu și echivalența.

b) Sensul direct: dacă $|x|=5$, atunci din definiția modulului $x=5$ sau $x=-5$. Reciproca: dacă $x=5$, atunci $|x|=5$; dacă $x=-5$, atunci $|x|=|-5|=5$. Ambele sensuri sunt adevărate, deci avem echivalență.

Exemplul 4 — Demonstrarea unei echivalențe geometrice

Demonstrați că un triunghi este echilateral dacă și numai dacă are toate unghiurile de $60^{\circ }$.

Rezolvare. Notăm $p$: „triunghiul $ABC$ este echilateral" și $q$: „$\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=60^{\circ }$".

Sensul direct ($p\Rightarrow q$). Dacă $AB=BC=CA$, atunci, unghiurilor opuse laturilor congruente fiindu-le egale măsurile, avem $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}$. Cum suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este $180^{\circ }$, fiecare unghi măsoară $180^{\circ }:3=60^{\circ }$.

Reciproca ($q\Rightarrow p$). Dacă toate unghiurile au $60^{\circ }$, atunci triunghiul are toate unghiurile egale; laturilor opuse unor unghiuri congruente le corespund lungimi egale, deci $AB=BC=CA$ și triunghiul este echilateral.

Ambele sensuri fiind demonstrate, echivalența are loc. $■$

Exemplul 5 — Lanț de ecuații echivalente

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\frac{2x-6}{4}=\frac{x}{3}$, justificând echivalența fiecărui pas.

Rezolvare. Înmulțim ambii membri cu $12$, numărul pozitiv care este numitorul comun; înmulțirea cu un număr nenul este reversibilă (se poate da înapoi prin împărțire), deci este o echivalență:

$$\frac{2x-6}{4}=\frac{x}{3}⟺3(2x-6)=4x⟺6x-18=4x⟺2x=18⟺x=9.$$

Fiecare pas este reversibil, deci mulțimea soluțiilor s-a păstrat: $S=\{9\}$. Verificare: $\frac{2\cdot 9-6}{4}=\frac{12}{4}=3$ și $\frac{9}{3}=3$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Fie $n$ un număr natural. Demonstrați echivalența: „$n^2$ este par" $\iff$ „$n$ este par".

Rezolvare. Notăm $p$: „$n^2$ este par" și $q$: „$n$ este par". Avem de demonstrat două implicații.

Reciproca ($q\Rightarrow p$), mai ușoară, o luăm prima. Dacă $n$ este par, atunci $n=2k$ cu $k$ natural, deci $n^2=4k^2=2\cdot (2k^2)$, care este par.

Sensul direct ($p\Rightarrow q$). Îl demonstrăm prin contrapoziție: în loc de „$n^2$ par $\Rightarrow$ $n$ par" arătăm implicația echivalentă „$n$ impar $\Rightarrow$ $n^2$ impar". Într-adevăr, dacă $n=2k+1$, atunci

$$n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1,$$

adică un număr impar. Așadar, dacă $n$ nu este par, nici $n^2$ nu este par — ceea ce înseamnă exact că din „$n^2$ par" rezultă „$n$ par".

Cele două sensuri fiind demonstrate, echivalența este adevărată. $■$

Această echivalență nu este o curiozitate: ea este piesa centrală a demonstrației că $\sqrt{2}$ este număr irațional, pe care o vei întâlni la Metoda reducerii la absurd.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu justificare scrisă. La echivalențe, obișnuiește-te să întrebi de fiecare dată: „merge și invers?" — acolo se ascund majoritatea greșelilor.

1. Completează din memorie tabelul de adevăr al echivalenței $p\iff q$, apoi verifică-l comparând cu lecția.

2. Stabilește valoarea de adevăr: a) „$2+3=5\iff 4$ este par"; b) „$7$ este par $\iff 3>5$"; c) „$9$ este pătrat perfect $\iff 9$ este prim".

3. Fie $p$ o propoziție adevărată și $q$ o propoziție falsă. Precizează valoarea de adevăr a propozițiilor: $p\iff q$, $q\iff p$, $p\iff p$, $q\iff q$.

4. Scrie propoziția „un număr natural este divizibil cu $10$ dacă și numai dacă ultima lui cifră este $0$" sub forma a două implicații, precizând care este sensul direct și care este reciproca.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $p\iff q$ este adevărată și $p$ este falsă, atunci $q$ este falsă."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă implicația $p\Rightarrow q$ este adevărată, atunci și echivalența $p\iff q$ este adevărată."

7. Pentru fiecare pereche, precizează dacă are loc doar implicația sau echivalența, cu contraexemplu acolo unde reciproca e falsă ($n$ natural, $x$ real): a) $p$: „$n$ e divizibil cu $9$", $q$: „$n$ e divizibil cu $3$"; b) $p$: „$x-7=0$", $q$: „$x=7$"; c) $p$: „$x^2=25$", $q$: „$x=5$".

8. Demonstrează echivalența: pentru $x$ real, $3x-15=0\iff x=5$ (scrie ambele sensuri).

9. Un elev afirmă: „Am demonstrat că orice pătrat este romb, deci am demonstrat că un patrulater este pătrat dacă și numai dacă este romb". Unde greșește? Dă un contraexemplu.

10. Rescrie folosind expresia „condiție necesară și suficientă": „Un triunghi este dreptunghic dacă și numai dacă pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două".

11. Arată, completând tabelul de adevăr, că $p\iff q$ și $(p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$ au aceleași valori de adevăr pe toate cele patru linii.

12. Arată, cu tabelul de adevăr, că $p\iff q$ și $\neg p\iff \neg q$ au aceleași valori de adevăr.

13. (Problemă aplicată.) Regulamentul unui concurs spune: „Un elev primește diplomă dacă și numai dacă are cel puțin $85$ de puncte". Andrei a luat $90$ de puncte și nu a primit diplomă; Bianca a luat $70$ de puncte și a primit diplomă. Ce parte a echivalenței a încălcat organizatorul în cazul lui Andrei și ce parte în cazul Biancăi?

14. Rezolvă ecuația $x^2=7x$ printr-un lanț de echivalențe și explică de ce împărțirea la $x$ ar fi o eroare.

15. Fie $a$ și $b$ numere reale. Demonstrează echivalența: $a^2+b^2=0\iff a=0$ și $b=0$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Fie $n$ un număr natural. Demonstrați că $n^2$ este divizibil cu $3$ dacă și numai dacă $n$ este divizibil cu $3$.

17. Se dau propozițiile $p$: „$x>2$" și $q$: „$x^2>4$", unde $x$ este număr real. Este adevărată echivalența $p\iff q$? Justifică cu un contraexemplu, apoi precizează care implicație rămâne adevărată.

18. (Provocare.) Pe o insulă, fiecare locuitor este ori cavaler (spune numai adevărul), ori scutier (minte întotdeauna). Un locuitor îți spune: „Sunt cavaler dacă și numai dacă prietenul meu este scutier". Ce poți deduce despre prietenul lui? (Indicație: analizează cele două cazuri posibile pentru vorbitor și folosește tabelul echivalenței.)

Răspunsuri și explicații

1. A $\iff$ A este A; A $\iff$ F este F; F $\iff$ A este F; F $\iff$ F este A. Regula de reținut: adevărată exact pe liniile pe care cele două propoziții au aceeași valoare de adevăr.

2. a) A $\iff$ A, deci adevărată. b) „$7$ este par" este F, „$3>5$" este F, deci F $\iff$ F, adevărată. c) „$9$ este pătrat perfect" este A ($9=3^2$), „$9$ este prim" este F (are divizorul $3$), deci A $\iff$ F, falsă.

3. $p\iff q$ este falsă (A cu F); $q\iff p$ este falsă (F cu A) — echivalența este simetrică, deci era de așteptat același rezultat; $p\iff p$ este adevărată; $q\iff q$ este adevărată (două propoziții false au aceeași valoare de adevăr).

4. Sensul direct: „dacă un număr natural este divizibil cu $10$, atunci ultima lui cifră este $0$". Reciproca: „dacă ultima cifră a unui număr natural este $0$, atunci numărul este divizibil cu $10$". Ambele sunt adevărate, de aceea echivalența are loc.

5. Adevărat. Dacă echivalența e adevărată, cele două propoziții au aceeași valoare de adevăr; $p$ fiind falsă, și $q$ este falsă (linia a patra a tabelului).

6. Fals. Implicația poate fi adevărată fără ca reciproca să fie. Contraexemplu: $p$: „$n=4$", $q$: „$n$ este par". Implicația $p\Rightarrow q$ e adevărată, dar echivalența nu: pentru $n=6$, $q$ e adevărată și $p$ e falsă.

7. a) Doar implicația $p\Rightarrow q$ (din $n=9k$ rezultă $n=3\cdot 3k$); reciproca e falsă: $n=6$ e divizibil cu $3$, dar nu cu $9$. b) Echivalență: adunând $7$ în ambii membri se trece de la o formă la alta, în ambele sensuri. c) Doar implicația $q\Rightarrow p$ (din $x=5$ rezultă $x^2=25$); sensul $p\Rightarrow q$ este fals: $x=-5$ dă $x^2=25$, dar $x\ne 5$.

8. Direct: dacă $3x-15=0$, adunăm $15$: $3x=15$, împărțim la $3$: $x=5$. Reciproc: dacă $x=5$, atunci $3\cdot 5-15=15-15=0$. Ambele sensuri au loc, deci echivalența e demonstrată.

9. A demonstrat doar sensul „pătrat $\Rightarrow$ romb". Pentru echivalență ar mai fi trebuit „romb $\Rightarrow$ pătrat", care este falsă: un romb cu unghiuri de $60^{\circ }$ și $120^{\circ }$ are toate laturile egale, dar nu este pătrat (nu are unghiuri drepte).

10. „Faptul că pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două este condiție necesară și suficientă pentru ca triunghiul să fie dreptunghic." (Sensul direct este teorema lui Pitagora, reciproca este reciproca teoremei lui Pitagora.)

11. Linia A A: $p\wedge q=$ A, deci disjuncția e A; și $p\iff q$ e A ✓. Linia A F: $p\wedge q=$ F, $\neg p\wedge \neg q=$ F, disjuncția F; echivalența F ✓. Linia F A: analog, ambele F ✓. Linia F F: $\neg p\wedge \neg q=$ A, disjuncția A; echivalența A ✓. Coloanele coincid.

12. Linia A A: $\neg p=$ F, $\neg q=$ F, deci $\neg p\iff \neg q$ e A, ca și $p\iff q$ ✓. Linia A F: F $\iff$ A este F, ca și A $\iff$ F ✓. Linia F A: A $\iff$ F este F ✓. Linia F F: A $\iff$ A este A ✓. Coloanele coincid.

13. În cazul lui Andrei ($90\ge 85$, fără diplomă) a fost încălcat sensul „dacă are cel puțin $85$ de puncte, atunci primește diplomă". În cazul Biancăi ($70<85$, cu diplomă) a fost încălcat celălalt sens, „numai dacă": „dacă primește diplomă, atunci are cel puțin $85$ de puncte". Exemplul arată de ce un regulament formulat cu „dacă și numai dacă" poate fi încălcat în două feluri diferite.

14. $x^2=7x⟺x^2-7x=0⟺x(x-7)=0⟺x=0$ sau $x=7$, deci $S=\{0,7\}$. Împărțirea la $x$ presupune $x\ne 0$, deci nu este o transformare reversibilă pentru toate valorile: ea ar elimina din start soluția $x=0$, iar mulțimea soluțiilor s-ar schimba — semn sigur că pasul nu era o echivalență.

15. Reciproc: dacă $a=0$ și $b=0$, atunci $a^2+b^2=0+0=0$. Direct: pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu $0$, deci $a^2\ge 0$ și $b^2\ge 0$; suma a două numere nenegative este $0$ doar dacă amândouă sunt $0$, deci $a^2=0$ și $b^2=0$, de unde $a=0$ și $b=0$. Echivalența e demonstrată.

16. Reciproc: dacă $n=3k$, atunci $n^2=9k^2=3\cdot (3k^2)$, divizibil cu $3$. Direct, prin contrapoziție: dacă $n$ nu e divizibil cu $3$, atunci $n=3k+1$ sau $n=3k+2$. În primul caz $n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1$, iar în al doilea $n^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$ — în ambele situații restul împărțirii la $3$ este $1$, deci $n^2$ nu e divizibil cu $3$. Prin urmare, din „$n^2$ divizibil cu $3$" rezultă „$n$ divizibil cu $3$", iar echivalența are loc.

17. Echivalența este falsă. Contraexemplu: $x=-3$ dă $q$ adevărată ($9>4$), dar $p$ falsă ($-3>2$ este fals). Rămâne adevărată implicația $p\Rightarrow q$: dacă $x>2>0$, atunci $x^2>4$.

18. Cazul 1: vorbitorul este cavaler. Atunci afirmația lui e adevărată; membrul stâng al echivalenței, „sunt cavaler", e adevărat, deci și membrul drept trebuie să fie adevărat: prietenul este scutier. Cazul 2: vorbitorul este scutier. Atunci afirmația lui e falsă; membrul stâng, „sunt cavaler", e fals, iar pentru ca echivalența să fie falsă membrul drept trebuie să fie adevărat: prietenul este din nou scutier. În ambele cazuri concluzia este aceeași: prietenul este scutier — deși despre vorbitor nu putem afla nimic.

De reținut

• Echivalența $p\iff q$ este adevărată exact atunci când $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr — inclusiv când sunt amândouă false. Se citește „$p$ dacă și numai dacă $q$".
• Tabelul de adevăr, în ordinea A A, A F, F A, F F, are valorile A, F, F, A.
• Echivalența este dubla implicație: $p\iff q$ înseamnă $p\Rightarrow q$ (sensul direct) și $q\Rightarrow p$ (reciproca). De aceea o demonstrație de echivalență are întotdeauna două părți.
• „$p$ dacă și numai dacă $q$" se mai spune „$p$ este condiție necesară și suficientă pentru $q$"; o simplă implicație dă doar condiție necesară sau doar condiție suficientă.
• Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții; transformările reversibile păstrează echivalența, cele nereversibile (împărțirea la o expresie care se poate anula) trebuie evitate sau urmate de verificare.

Greșeli frecvente

• Demonstrarea unui singur sens. Cea mai costisitoare greșeală la teze: se cere echivalență, se scrie doar implicația directă. Redactează două paragrafe separate, marcate „$\Rightarrow$" și „$\Leftarrow$".
• Confuzia „dacă" cu „dacă și numai dacă". În vorbirea curentă spunem „dacă" și înțelegem uneori „exact atunci când"; în matematică cele două sunt operații diferite, cu tabele de adevăr diferite.
• Uitarea liniei F F. Mulți elevi cred că o echivalență între două propoziții false este falsă. Este adevărată: valorile de adevăr coincid, iar asta e tot ce cere definiția.
• Împărțirea la o expresie care se poate anula. Trecerea de la $x^2=7x$ la $x=7$ nu este echivalență și pierde soluția $x=0$. Descompune în factori în loc să împarți.
• Confundarea condiției necesare cu cea suficientă. „Divizibil cu $2$" este necesar, dar nu suficient pentru „divizibil cu $6$". Testează mereu ambele sensuri înainte de a folosi cuvântul „echivalent".

Aplică acasă

1. Regulamentele din jurul tău. Caută trei reguli scrise pe care le întâlnești zilnic (regulamentul școlii, condițiile unui abonament, regulile unui joc pe telefon) și decide, pentru fiecare, dacă e formulată ca implicație („dacă…") sau ca echivalență („dacă și numai dacă…"). Rescrie una dintre ele în ambele variante și arată ce se schimbă concret.

2. Vânătoarea de reciproce false. Notează cinci proprietăți din geometria de gimnaziu de forma „dacă… atunci…" (de exemplu, „dacă un patrulater este dreptunghi, atunci diagonalele sunt congruente"). Pentru fiecare, decide dacă reciproca este adevărată și, când nu este, desenează contraexemplul.

3. Verificarea rezolvărilor. Ia trei ecuații rezolvate în caietul tău din anii trecuți și marchează cu $\iff$ pașii reversibili și cu $\Rightarrow$ pașii care nu sunt reversibili. Dacă găsești un pas cu o singură săgeată, verifică soluția prin înlocuire în ecuația inițială.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce ultima dintre operațiile logice de bază și, totodată, cea care organizează întreaga redactare matematică din liceu. Elevul trebuie să iasă din lecție cu trei achiziții: tabelul de adevăr al echivalenței (A, F, F, A), înțelegerea faptului că echivalența este conjuncția a două implicații și reflexul de a întreba „merge și invers?" ori de câte ori întâlnește o afirmație de forma „dacă… atunci…".

Puncte de verificat în caiet: (1) scrie tabelul complet, cu toate cele patru linii, inclusiv linia F F, pe care mulți o consideră greșit falsă; (2) la o cerință de tip „demonstrați că… dacă și numai dacă…", redactează două paragrafe distincte; (3) dă contraexemplu corect atunci când o reciprocă este falsă (un contraexemplu este un caz concret, nu o explicație generală); (4) folosește corect perechea „necesar / suficient". Întrebări bune de control: „Dacă ambele propoziții sunt false, ce valoare are echivalența?"; „Ce mai trebuie să demonstrezi după ce ai arătat că $p\Rightarrow q$?"; „De ce nu ai voie să împarți ecuația $x^2=7x$ la $x$?".

La teze și la Bacalaureat, echivalența apare peste tot: în rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor (unde fiecare pas trebuie să fie reversibil, altfel apar soluții străine sau se pierd soluții), în problemele de geometrie care cer caracterizări și în cerințele explicite de tipul „arătați că… dacă și numai dacă…". Semne că elevul a înțeles: distinge singur o implicație de o echivalență într-un enunț din manual, produce contraexemple fără ajutor și își verifică soluțiile ecuațiilor prin înlocuire atunci când a folosit un pas nereversibil. Legătura naturală cu lecțiile următoare se face prin Tabelul de adevăr al unui enunț compus, unde echivalența devine instrumentul cu care se compară două formule logice.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă «dacă și numai dacă» în matematică? Înseamnă că cele două afirmații se implică reciproc: fiecare o garantează pe cealaltă. Propoziția $p\iff q$ este adevărată exact atunci când $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr — ori amândouă adevărate, ori amândouă false.

Care este tabelul de adevăr al echivalenței? În ordinea liniilor A A, A F, F A, F F, valorile echivalenței sunt A, F, F, A. Cu alte cuvinte, echivalența este adevărată pe primele și pe ultimele linii, unde cele două propoziții „seamănă", și falsă pe cele două linii din mijloc.

Care este diferența dintre implicație și echivalență? Implicația $p\Rightarrow q$ merge într-un singur sens și este falsă doar când $p$ este adevărată și $q$ falsă. Echivalența cere ambele sensuri: și $p\Rightarrow q$, și $q\Rightarrow p$. Orice echivalență adevărată conține două implicații adevărate, dar o implicație adevărată singură nu dă echivalență.

Cum se demonstrează o echivalență? În două etape clar separate: mai întâi sensul direct, „presupunem $p$ și demonstrăm $q$", apoi reciproca, „presupunem $q$ și demonstrăm $p$". Dacă o singură parte lipsește, demonstrația este incompletă, iar baremul scade punctajul corespunzător.

De ce o echivalență între două propoziții false este adevărată? Pentru că definiția cere doar ca cele două propoziții să aibă aceeași valoare de adevăr, nu ca ele să fie adevărate. Logica matematică nu compară înțelesul propozițiilor, ci exclusiv valorile lor de adevăr — de aceea F $\iff$ F dă A.

Ce înseamnă condiție necesară și suficientă? Este chiar echivalența, spusă în alt limbaj: $q$ este necesară pentru $p$ dacă $p\Rightarrow q$ (fără $q$ nu se poate $p$) și este suficientă dacă $q\Rightarrow p$ (îmi ajunge $q$). Când sunt îndeplinite ambele, $q$ este condiție necesară și suficientă pentru $p$.

Când sunt două ecuații echivalente? Atunci când au exact aceeași mulțime de soluții. Adunarea aceluiași număr în ambii membri sau înmulțirea cu un număr nenul păstrează echivalența; împărțirea la o expresie care se poate anula sau ridicarea la pătrat nu o păstrează și cer verificarea soluțiilor.

Unde apare echivalența la Bacalaureat? Practic în fiecare subiect: în rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor, unde fiecare pas trebuie să fie reversibil, în cerințele de tipul „arătați că… dacă și numai dacă…" și în problemele de geometrie care folosesc caracterizări (paralelogram, triunghi dreptunghic, puncte coliniare).