Tabelul de adevăr al unui enunț compus

Un regulament de concurs sună așa: „Poți intra în finală dacă ai câștigat semifinala și nu ai primit avertisment, sau dacă ai punctajul cel mai mare din repescaj". Trei condiții, trei cuvinte de legătură, o mulțime de situații posibile. Întrebarea firească a unui organizator responsabil nu este „ce se întâmplă în cazul meu?", ci „care sunt toate cazurile posibile și ce spune regulamentul în fiecare?". Dacă nu le enumeri sistematic, îți scapă exact cazul care va produce contestația.

Matematica are pentru asta un instrument simplu și infailibil: tabelul de adevăr. Ai lucrat deja cu tabelele mici, cele ale operațiilor de bază — negația, conjuncția, disjuncția, implicația și echivalența. Acum înveți să le pui cap la cap: să iei un enunț oricât de încâlcit, format din mai multe propoziții legate prin mai mulți operatori, și să-i determini valoarea de adevăr în toate situațiile posibile, fără să sari niciuna. Este o tehnică mecanică, ceea ce o face foarte prietenoasă la examen: dacă respecți procedura, rezultatul este garantat corect.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi câte linii are tabelul de adevăr al unui enunț și să scrii combinațiile de valori fără să omiți niciuna.
Vei ști prioritatea operatorilor logici și rolul parantezelor în citirea unui enunț compus.
Vei ști să descompui un enunț compus în subformulele lui și să pui fiecare subformulă într-o coloană intermediară.
Vei ști să completezi și să citești un tabel de adevăr cu 2 sau 3 propoziții simple.
Vei ști să recunoști, după coloana finală, dacă enunțul este tautologie, contradicție sau nici una, nici alta.
Vei ști să compari două enunțuri cu ajutorul tabelului și să decizi dacă sunt echivalente.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu ajunge să judecăm „în cap"

Să luăm enunțul $E$ : „ $(p \lor q) \land \neg (p \land q)$ ", unde $p$ și $q$ sunt două propoziții oarecare. Dacă încerci să-i ghicești sensul din prima, spui poate „înseamnă că cel puțin una e adevărată". Aproape, dar nu: partea a doua, $\neg (p \land q)$ , interzice ca amândouă să fie adevărate. Enunțul spune, de fapt, „exact una dintre ele este adevărată".

Ai fi ajuns la această concluzie ghicind? Poate. Dar cu trei sau patru operatori, intuiția cedează. Tabelul de adevăr nu cedează niciodată, pentru că el nu ghicește: enumeră. Iată-l pentru enunțul de mai sus, cu toate coloanele intermediare:

$p$	$q$	$p \lor q$	$p \land q$	$\neg (p \land q)$	$E$
A	A	A	A	F	F
A	F	A	F	A	A
F	A	A	F	A	A
F	F	F	F	A	F

Coloana finală confirmă bănuiala: $E$ este adevărată exact pe liniile pe care $p$ și $q$ au valori diferite. Acest enunț se numește disjuncție exclusivă („sau… sau…, dar nu amândouă") și este exact ceea ce înțelegem în viața de zi cu zi prin „ori la munte, ori la mare".

2. Câte linii are tabelul

Fiecare propoziție simplă poate lua două valori: A sau F. Dacă enunțul conține o propoziție simplă, avem $2$ situații. Cu două propoziții, fiecare valoare a lui $p$ se combină cu fiecare valoare a lui $q$ : $2 \cdot 2 = 4$ situații. Cu trei: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . În general:

$un enun ț cu n propozi ț ii simple are un tabel cu 2^{n} linii.$

Deci: $1 \to 2$ linii, $2 \to 4$ linii, $3 \to 8$ linii, $4 \to 16$ linii. Verifică întotdeauna acest număr înainte de a începe să scrii: dacă la un enunț cu trei propoziții ai desenat șapte linii, ai uitat un caz și rezultatul e compromis.

Cum scriem combinațiile ca să nu ne scape niciuna? Folosim mereu aceeași ordine standard: pe prima coloană punem jumătate A și jumătate F; pe a doua alternăm în grupuri pe jumătate mai mici; și tot așa. Pentru trei propoziții:

$p$	$q$	$r$
A	A	A
A	A	F
A	F	A
A	F	F
F	A	A
F	A	F
F	F	A
F	F	F

Prima coloană: patru A, apoi patru F. A doua: două A, două F, două A, două F. A treia: A, F, A, F, alternând. Cu această rețetă nu poți greși și, în plus, tabelul tău va arăta la fel cu al profesorului — util când comparați rezultatele.

3. Prioritatea operatorilor și rolul parantezelor

La numere știi că înmulțirea se face înaintea adunării: $2 + 3 \cdot 4 = 14$ , nu $20$ . Logica are aceeași convenție de prioritate:

negația $\neg$ — cea mai puternică, se aplică prima, doar propoziției de lângă ea;
conjuncția $\land$ ;
disjuncția $\lor$ ;
implicația $\Rightarrow$ și echivalența $\Leftrightarrow$ — cele mai slabe, se aplică ultimele.

Astfel, $\neg p \land q$ înseamnă $(\neg p) \land q$ , nu $\neg (p \land q)$ — două enunțuri complet diferite. Diferența se vede cel mai clar pe linia A F: acolo $(\neg p) \land q$ dă F $\land$ F, adică F, iar $\neg (p \land q)$ dă $\neg$ F, adică A.

La fel, $p \land q \Rightarrow r$ înseamnă $(p \land q) \Rightarrow r$ .

Sfatul practic: când ai cea mai mică îndoială, pune paranteze. Ele nu sunt niciodată greșite și te scutesc de o eroare care se propagă în tot tabelul. La examen, un enunț ambiguu îți poate costa toate punctele exercițiului.

4. Descompunerea în subformule

Un enunț compus se construiește din propoziții simple, ca o clădire din cărămizi. Ca să-l analizezi, faci drumul invers: îl descompui în bucățile din care e format și dai fiecărei bucăți o coloană în tabel.

Să luăm $F$ : „ $(p \Rightarrow q) \land \neg q$ ". Bucățile sunt, în ordinea în care le putem calcula:

$p$ și $q$ — propozițiile simple (coloanele de pornire);
$p \Rightarrow q$ — se calculează din coloanele 1 și 2;
$\neg q$ — se calculează din coloana 2;
$(p \Rightarrow q) \land \neg q$ — se calculează din coloanele 3 și 4.

Regula de aur a completării: fiecare coloană nouă se calculează folosind numai coloane deja completate, niciodată direct din enunțul întreg. Așa transformi o problemă grea într-un șir de probleme banale. Iată tabelul:

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$\neg q$	$F$
A	A	A	F	F
A	F	F	A	F
F	A	A	F	F
F	F	A	A	A

Citire: $F$ este adevărată într-un singur caz, atunci când $p$ și $q$ sunt amândouă false. Reține și mișcarea din spate: dacă știi că $p \Rightarrow q$ e adevărată și că $q$ e falsă, atunci $p$ trebuie să fie falsă — este chiar raționamentul pe care îl vei studia la Validarea logică a unui raționament.

5. Un tabel cu trei propoziții

Cu trei propoziții simple, tabelul are $2^{3} = 8$ linii, dar procedura este identică. Să verificăm enunțul $G$ : „ $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow r)$ ".

$p$	$q$	$r$	$p \Rightarrow q$	$q \Rightarrow r$	$G$
A	A	A	A	A	A
A	A	F	A	F	F
A	F	A	F	A	F
A	F	F	F	A	F
F	A	A	A	A	A
F	A	F	A	F	F
F	F	A	A	A	A
F	F	F	A	A	A

Enunțul $G$ este adevărat pe patru dintre cele opt linii. Observă cum coloanele intermediare fac munca: nicăieri nu a trebuit să te gândești la enunțul întreg deodată, ci doar la câte o operație pe rând, pe fiecare linie.

Un mic truc de viteză, valabil la orice tabel: la conjuncție, dacă una dintre coloane are F pe o linie, rezultatul e F, indiferent de cealaltă. La disjuncție, dacă una are A, rezultatul e A. La implicație, dacă premisa e F, rezultatul e A. Aceste „scurtături" nu înlocuiesc tabelul, dar îl completează de două ori mai repede.

6. Cum se citește coloana finală: tautologie, contradicție, enunț realizabil

Coloana din dreapta a tabelului este răspunsul, iar felul în care arată ea împarte enunțurile în trei categorii:

Tautologie — coloana finală are numai A. Enunțul este adevărat indiferent de valorile propozițiilor din care e format. Exemplu clasic: $p \lor \neg p$ („ori plouă, ori nu plouă"), tabel: A, A. Sau $(p \land q) \Rightarrow p$ , cu tabelul A, A, A, A.
Contradicție — coloana finală are numai F. Enunțul este fals în orice situație. Exemplu: $p \land \neg p$ , cu tabelul F, F, F, F.
Enunț realizabil (nici tautologie, nici contradicție) — coloana finală conține și A, și F. Este cazul majorității enunțurilor: $p \land q$ , cu tabelul A, F, F, F, sau enunțul $E$ din secțiunea 1, cu tabelul F, A, A, F.

Tautologiile sunt „legile" logicii: ele sunt adevărurile pe care se sprijină orice demonstrație. Iată trei pe care le vei folosi des, toate verificate prin tabel:

$p \Rightarrow (p \lor q), ((p \Rightarrow q) \land p) \Rightarrow q, ((p \Rightarrow q) \land \neg q) \Rightarrow \neg p .$

A doua se numește modus ponens („dacă din $p$ rezultă $q$ și $p$ e adevărată, atunci $q$ e adevărată"), iar a treia modus tollens. Le vei întâlni pe amândouă în lecția despre raționamente.

7. Tabelul ca judecător: sunt două enunțuri echivalente?

Iată cea mai frumoasă întrebuințare a tabelului. Ai învățat la Echivalența «dacă și numai dacă» că două propoziții sunt echivalente când au aceeași valoare de adevăr. Pentru două enunțuri compuse, criteriul devine foarte concret:

Două enunțuri compuse sunt echivalente dacă și numai dacă au coloane finale identice, linie cu linie.

Să testăm dacă $p \Rightarrow q$ este echivalentă cu $\neg p \lor q$ :

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$\neg p$	$\neg p \lor q$
A	A	A	F	A
A	F	F	F	F
F	A	A	A	A
F	F	A	A	A

Coloanele îngroșate coincid pe toate cele patru linii, deci da: implicația se poate rescrie folosind doar negația și disjuncția. Este una dintre cele mai folositoare rescrieri din logică și va reveni în lecția despre reguli de negare.

Și invers: ca să arăți că două enunțuri nu sunt echivalente, îți ajunge o singură linie pe care coloanele finale diferă. Nu e nevoie să completezi tot tabelul dacă ai găsit deja linia care le desparte — dar la examen e mai sigur să-l completezi oricum și să indici explicit linia respectivă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabel cu un operator și o negație

Alcătuiți tabelul de adevăr al enunțului $\neg p \land q$ .

Rezolvare. Două propoziții simple, deci $2^{2} = 4$ linii. Coloanele intermediare: $\neg p$ , apoi conjuncția.

$p$	$q$	$\neg p$	$\neg p \land q$
A	A	F	F
A	F	F	F
F	A	A	A
F	F	A	F

Enunțul este adevărat într-un singur caz: $p$ falsă și $q$ adevărată. Este realizabil (are și A, și F în coloana finală).

Exemplul 2 — Câte linii și în ce ordine

Câte linii are tabelul enunțului $(p \land \neg q) \lor (r \Rightarrow p)$ ? Scrieți primele trei linii ale coloanelor de pornire.

Rezolvare. Propozițiile simple sunt $p$ , $q$ și $r$ , deci $n = 3$ și tabelul are $2^{3} = 8$ linii. Primele trei linii, în ordinea standard, sunt: A A A, apoi A A F, apoi A F A. (Prima coloană începe cu patru A, a doua cu două A, a treia alternează.)

Exemplul 3 — Recunoașterea unei tautologii

Arătați că enunțul $(p \land q) \Rightarrow (p \lor q)$ este o tautologie.

Rezolvare.

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$	$(p \land q) \Rightarrow (p \lor q)$
A	A	A	A	A
A	F	F	A	A
F	A	F	A	A
F	F	F	F	A

Coloana finală conține numai A, deci enunțul este tautologie. Explicația de bun-simț: dacă amândouă sunt adevărate, atunci cu atât mai mult „cel puțin una" este adevărată — iar pe liniile pe care premisa e falsă, implicația e automat adevărată.

Exemplul 4 — Tabel cu trei propoziții

Alcătuiți tabelul enunțului $(p \land q) \Rightarrow r$ și precizați pe câte linii este fals.

Rezolvare. $2^{3} = 8$ linii.

$p$	$q$	$r$	$p \land q$	$(p \land q) \Rightarrow r$
A	A	A	A	A
A	A	F	A	F
A	F	A	F	A
A	F	F	F	A
F	A	A	F	A
F	A	F	F	A
F	F	A	F	A
F	F	F	F	A

Enunțul este fals pe o singură linie: a doua, adică atunci când $p$ și $q$ sunt adevărate, iar $r$ este falsă. Era de așteptat: o implicație e falsă doar când premisa e adevărată și concluzia falsă, iar premisa $p \land q$ e adevărată doar pe prima și pe a doua linie.

Exemplul 5 — Compararea a două enunțuri

Verificați, cu ajutorul tabelului, dacă enunțurile $p \lor (q \land r)$ și $(p \lor q) \land (p \lor r)$ sunt echivalente.

Rezolvare.

$p$	$q$	$r$	$q \land r$	$p \lor (q \land r)$	$p \lor q$	$p \lor r$	$(p \lor q) \land (p \lor r)$
A	A	A	A	A	A	A	A
A	A	F	F	A	A	A	A
A	F	A	F	A	A	A	A
A	F	F	F	A	A	A	A
F	A	A	A	A	A	A	A
F	A	F	F	F	A	F	F
F	F	A	F	F	F	A	F
F	F	F	F	F	F	F	F

Cele două coloane îngroșate coincid pe toate cele opt linii, deci enunțurile sunt echivalente. Această echivalență se numește distributivitatea disjuncției față de conjuncție și seamănă izbitor cu $a \cdot (b + c) = ab + a c$ de la numere.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră enunțul $H$ : $((p \Rightarrow q) \land p) \Rightarrow q$ . a) Alcătuiți tabelul de adevăr al lui $H$ . b) Precizați dacă $H$ este tautologie, contradicție sau enunț realizabil.

Rezolvare. a) Descompunem: $p \Rightarrow q$ , apoi $(p \Rightarrow q) \land p$ , apoi implicația finală.

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$(p \Rightarrow q) \land p$	$H$
A	A	A	A	A
A	F	F	F	A
F	A	A	F	A
F	F	A	F	A

b) Coloana finală conține numai A, deci $H$ este tautologie.

Comentariu. Această tautologie este regula de raționament pe care o folosești fără să-i știi numele de ani buni: dacă „din $p$ rezultă $q$ " este adevărată și $p$ este adevărată, atunci $q$ este sigur adevărată. Se numește modus ponens și stă la baza oricărei demonstrații directe.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare tabel, scrie întâi câte linii trebuie să aibă și abia apoi începe să completezi — verificarea numărului de linii îți prinde jumătate din greșeli.

1. Câte linii are tabelul de adevăr al unui enunț format din: a) o propoziție simplă; b) două propoziții simple; c) trei propoziții simple; d) patru propoziții simple?

2. Scrie, în ordinea standard, toate cele patru linii ale coloanelor de pornire pentru două propoziții $p$ și $q$ .

3. Alcătuiește tabelul de adevăr al enunțului $\neg p \lor q$ și compară coloana finală cu cea a implicației $p \Rightarrow q$ .

4. Alcătuiește tabelul de adevăr al enunțului $p \land \neg q$ .

5. Precizează, folosind regulile de prioritate, cum se citesc corect (cu paranteze): a) $\neg p \lor q$ ; b) $p \lor q \land r$ ; c) $p \land q \Rightarrow r$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Enunțurile $\neg p \land q$ și $\neg (p \land q)$ au același tabel de adevăr."

7. Arată, prin tabel, că $p \lor \neg p$ este tautologie, iar $p \land \neg p$ este contradicție.

8. Alcătuiește tabelul enunțului $(p \lor q) \Rightarrow p$ și precizează pe ce linii este fals.

9. Alcătuiește tabelul enunțului $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$ și compară-l cu tabelul lui $p \Leftrightarrow q$ . Ce concluzie tragi?

10. Clasifică fiecare enunț în tautologie, contradicție sau enunț realizabil, justificând cu tabelul: a) $p \Rightarrow (q \Rightarrow p)$ ; b) $(p \land q) \Leftrightarrow (p \lor q)$ ; c) $\neg (p \lor \neg p)$ .

11. Alcătuiește tabelul enunțului $((p \Rightarrow q) \land \neg q) \Rightarrow \neg p$ și precizează natura lui.

12. Alcătuiește tabelul cu $8$ linii al enunțului $p \land (q \lor r)$ .

13. (Problemă aplicată.) Regulamentul unei tabere spune: „Poți participa la excursia de sâmbătă dacă ai adus acordul părinților și ai participat la instructaj, sau dacă ai fost deja în tabără anul trecut". Notează $p$ : „a adus acordul", $q$ : „a participat la instructaj", $r$ : „a fost anul trecut", scrie enunțul cu operatori logici și alcătuiește tabelul. Pe câte dintre cele opt situații posibile elevul poate participa?

14. Se știe că $p$ este adevărată și $q$ este falsă. Calculează, fără tabel complet, valoarea de adevăr a enunțului $(\neg p \lor q) \Rightarrow (p \land \neg q)$ .

15. Arată, prin tabel, că enunțurile $p \Rightarrow q$ și $\neg q \Rightarrow \neg p$ sunt echivalente. Cum se numește al doilea enunț față de primul?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră enunțul $K$ : $((p \lor q) \land \neg p) \Rightarrow q$ . a) Alcătuiți tabelul de adevăr al lui $K$ . b) Precizați dacă $K$ este tautologie.

17. Găsește un enunț compus, format din $p$ și $q$ , al cărui tabel de adevăr să aibă, în ordinea liniilor A A, A F, F A, F F, valorile F, A, F, F.

18. (Provocare.) Câte enunțuri compuse neechivalente între ele se pot forma cu două propoziții simple $p$ și $q$ ? (Indicație: un enunț este determinat, până la echivalență, de coloana lui finală; câte coloane de patru simboluri A/F există?)

Răspunsuri și explicații

1. a) $2^{1} = 2$ linii; b) $2^{2} = 4$ ; c) $2^{3} = 8$ ; d) $2^{4} = 16$ . Regula: $2^{n}$ , unde $n$ este numărul propozițiilor simple distincte din enunț.

2. A A; A F; F A; F F. Prima coloană: două A, apoi două F; a doua coloană: A, F, A, F.

3. Tabelul lui $\neg p \lor q$ : linia A A dă F $\lor$ A = A; A F dă F $\lor$ F = F; F A dă A $\lor$ A = A; F F dă A $\lor$ F = A. Coloana finală A, F, A, A este identică cu cea a implicației $p \Rightarrow q$ , deci cele două enunțuri sunt echivalente.

4. Linia A A: A $\land$ F = F; A F: A $\land$ A = A; F A: F $\land$ F = F; F F: F $\land$ A = F. Enunțul este adevărat doar când $p$ e adevărată și $q$ falsă — exact situația în care implicația $p \Rightarrow q$ este falsă.

5. a) $(\neg p) \lor q$ — negația se aplică prima și numai lui $p$ ; b) $p \lor (q \land r)$ — conjuncția are prioritate față de disjuncție; c) $(p \land q) \Rightarrow r$ — implicația se aplică ultima.

6. Fals. Tabelul lui $\neg p \land q$ este F, F, A, F, iar al lui $\neg (p \land q)$ este F, A, A, A. Diferă deja pe linia a doua (A F): primul dă F, al doilea dă A. Este exact greșeala pe care o previne regula de prioritate a negației.

7. $p \lor \neg p$ : linia A dă A $\lor$ F = A; linia F dă F $\lor$ A = A. Numai A, deci tautologie. $p \land \neg p$ : linia A dă A $\land$ F = F; linia F dă F $\land$ A = F. Numai F, deci contradicție.

8. Coloana $p \lor q$ : A, A, A, F. Implicația $(p \lor q) \Rightarrow p$ : linia A A: A $\Rightarrow$ A = A; A F: A $\Rightarrow$ A = A; F A: A $\Rightarrow$ F = F; F F: F $\Rightarrow$ F = A. Este fals pe o singură linie, a treia ( $p$ falsă, $q$ adevărată).

9. Coloana $p \Rightarrow q$ : A, F, A, A. Coloana $q \Rightarrow p$ : A, A, F, A. Conjuncția lor: A, F, F, A. Tabelul lui $p \Leftrightarrow q$ este tot A, F, F, A. Concluzia: echivalența este dubla implicație — rezultatul demonstrat în lecția precedentă, regăsit aici pe cale mecanică.

10. a) Coloana $q \Rightarrow p$ : A, A, F, A; apoi $p \Rightarrow (q \Rightarrow p)$ : A $\Rightarrow$ A = A; A $\Rightarrow$ A = A; F $\Rightarrow$ F = A; F $\Rightarrow$ A = A. Numai A, deci tautologie. b) $p \land q$ dă A, F, F, F; $p \lor q$ dă A, A, A, F; echivalența lor dă A, F, F, A — și A, și F, deci enunț realizabil. c) $p \lor \neg p$ este tautologie (numai A), deci negația ei are numai F: contradicție.

11. Coloane: $p \Rightarrow q$ (A, F, A, A), $\neg q$ (F, A, F, A), conjuncția lor (F, F, F, A), $\neg p$ (F, F, A, A). Implicația finală: F $\Rightarrow$ F = A; F $\Rightarrow$ F = A; F $\Rightarrow$ A = A; A $\Rightarrow$ A = A. Numai A, deci tautologie (este regula modus tollens).

12. Coloana $q \lor r$ , pe cele opt linii în ordine standard: A, A, A, F, A, A, A, F. Conjuncția cu $p$ : A, A, A, F, F, F, F, F. Enunțul e adevărat pe primele trei linii — adică atunci când $p$ e adevărată și cel puțin una dintre $q$ , $r$ este adevărată.

13. Enunțul este $(p \land q) \lor r$ . Coloana $p \land q$ : A, A, F, F, F, F, F, F. Disjuncția cu $r$ (care are valorile A, F, A, F, A, F, A, F): A, A, A, F, A, F, A, F. Elevul poate participa în cinci dintre cele opt situații: pe liniile 1, 2, 3, 5 și 7.

14. $\neg p$ este F, deci $\neg p \lor q$ este F $\lor$ F = F. Cum premisa implicației este falsă, întregul enunț este adevărat, indiferent de concluzie. (Pentru verificare: concluzia $p \land \neg q$ este A $\land$ A = A, deci F $\Rightarrow$ A = A.)

15. $p \Rightarrow q$ : A, F, A, A. Pentru $\neg q \Rightarrow \neg p$ : $\neg q$ dă F, A, F, A; $\neg p$ dă F, F, A, A; implicația dă F $\Rightarrow$ F = A; A $\Rightarrow$ F = F; F $\Rightarrow$ A = A; A $\Rightarrow$ A = A, adică A, F, A, A. Coloanele coincid, deci enunțurile sunt echivalente. Al doilea se numește contrara reciprocei (sau contrapozitiva) primului.

16. a) Coloane: $p \lor q$ (A, A, A, F), $\neg p$ (F, F, A, A), conjuncția (F, F, A, F), iar implicația finală: F $\Rightarrow$ A = A; F $\Rightarrow$ F = A; A $\Rightarrow$ A = A; F $\Rightarrow$ F = A. b) Coloana finală are numai A, deci $K$ este tautologie. (Este regula numită silogism disjunctiv: dacă una dintre două variante are loc și prima nu are loc, atunci a doua are loc.)

17. Coloana cerută, F, A, F, F, este adevărată doar pe linia A F, adică atunci când $p$ e adevărată și $q$ falsă. Enunțul căutat este $p \land \neg q$ (compară cu exercițiul 4). Orice enunț echivalent cu el, de exemplu $\neg (\neg p \lor q)$ , este de asemenea corect.

18. Coloana finală are patru poziții, fiecare putând fi A sau F, deci există $2^{4} = 16$ coloane posibile. Enunțuri cu aceeași coloană finală sunt echivalente între ele, deci există exact $16$ enunțuri neechivalente: de la contradicția $p \land \neg p$ (numai F) până la tautologia $p \lor \neg p$ (numai A), trecând prin toate combinațiile intermediare. În general, cu $n$ propoziții simple, numărul lor este $2^{2^{n}}$ .

De reținut

Tabelul de adevăr al unui enunț cu $n$ propoziții simple are $2^{n}$ linii, scrise în ordinea standard (prima coloană: jumătate A, jumătate F; fiecare coloană următoare alternează în grupuri de două ori mai mici).
Prioritatea operatorilor: mai întâi $\neg$ , apoi $\land$ , apoi $\lor$ , la urmă $\Rightarrow$ și $\Leftrightarrow$ . Parantezele schimbă ordinea și, când ai dubii, se pun.
Enunțul se descompune în subformule, fiecare cu coloana ei; orice coloană nouă se calculează folosind numai coloane deja completate.
Coloana finală clasifică enunțul: numai A înseamnă tautologie, numai F înseamnă contradicție, amestec înseamnă enunț realizabil.
Două enunțuri compuse sunt echivalente dacă și numai dacă au coloane finale identice; o singură linie diferită este suficientă ca să arate că nu sunt echivalente.

Greșeli frecvente

Număr greșit de linii. Cu trei propoziții trebuie opt linii, nu șase și nici nouă. Scrie $2^{n}$ înainte de a începe, apoi numără liniile la final.
Combinații omise sau repetate. Dacă nu respecți ordinea standard, e ușor să scrii de două ori aceeași linie și să sari alta. Folosește rețeta „jumătate A, jumătate F" pe prima coloană.
Ignorarea priorității negației. $\neg p \land q$ nu este $\neg (p \land q)$ ; primul are coloana F, F, A, F, al doilea F, A, A, A. Citește enunțul cu paranteze înainte de a completa.
Săritul coloanelor intermediare. Calculul „din cap" al enunțului întreg, pe fiecare linie, este cea mai sigură cale spre eroare. Fiecare operație merită coloana ei — și, la teze, coloanele intermediare se punctează.
Concluzie trasă dintr-o singură linie. Ca să spui „tautologie" trebuie să vezi A pe toate liniile. O linie cu A nu dovedește nimic; în schimb, o singură linie cu F dovedește că enunțul nu este tautologie.

Aplică acasă

Regulamentul tradus în tabel. Ia regulamentul unui concurs școlar, al unei burse sau condițiile unei promoții și scrie-l cu operatori logici. Alcătuiește tabelul complet și caută o situație în care regulamentul dă un rezultat pe care autorii probabil nu l-au vrut — așa se descoperă, în viața reală, „găurile" din reguli.
Comutatoarele din casă. Într-un hol cu două comutatoare care aprind același bec, becul este aprins exact atunci când comutatoarele sunt în poziții diferite. Notează cu $p$ și $q$ pozițiile lor și verifică, prin tabel, că enunțul „becul e aprins" corespunde exact disjuncției exclusive $(p \lor q) \land \neg (p \land q)$ din secțiunea 1.
Colecția ta de tautologii. Într-o pagină de caiet, alcătuiește tabelele pentru cinci enunțuri inventate de tine, cu doi sau trei operatori, și marchează care sunt tautologii. Păstrează pagina: tautologiile găsite îți vor fi de folos la lecțiile despre raționamente și demonstrații.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă operațiile logice învățate separat într-o procedură completă de calcul. Este, poate, cea mai algoritmică lecție din tot capitolul: elevul nu trebuie să aibă idei, ci să respecte o rețetă — ceea ce o face accesibilă tuturor profilurilor și foarte rentabilă la teză, unde astfel de exerciții se rezolvă integral corect cu puțin exercițiu.

Puncte de verificat în caiet: (1) scrie numărul de linii înainte de tabel și îl respectă; (2) folosește ordinea standard a combinațiilor, nu una inventată de la caz la caz; (3) desenează coloane intermediare pentru fiecare subformulă, în loc să calculeze „din cap" enunțul întreg; (4) formulează concluzia în cuvinte („este tautologie", „este fals doar când…"), nu doar prin coloana de simboluri. Întrebări bune de control: „Câte linii are tabelul unui enunț cu trei propoziții și de ce?"; „Cum se citește $\neg p \land q$ cu paranteze?"; „Ce vezi în coloana finală a unei tautologii?"; „Cum arăți că două enunțuri nu sunt echivalente?".

La teze și la Bacalaureat, tabelele de adevăr apar fie ca cerință directă („alcătuiți tabelul de adevăr al enunțului…", „arătați că enunțul este o tautologie"), fie ca instrument de verificare pentru cerințele de tip „arătați că cele două enunțuri sunt echivalente". Sunt exerciții cu punctaj sigur, care nu cer creativitate, ci ordine. Semne că elevul a înțeles: completează un tabel cu opt linii fără să șovăie, își verifică singur numărul de linii și explică în cuvinte ce înseamnă coloana finală.

Întrebări frecvente

Ce este tabelul de adevăr al unui enunț compus? Este un tabel care enumeră toate combinațiile posibile de valori de adevăr ale propozițiilor simple din enunț și arată, pentru fiecare combinație, ce valoare are enunțul întreg. El răspunde, dintr-o singură privire, la întrebarea „când este adevărat acest enunț?".

Câte linii are un tabel de adevăr? Exact $2^{n}$ linii, unde $n$ este numărul propozițiilor simple distincte. Deci $2$ linii pentru o propoziție, $4$ pentru două, $8$ pentru trei, $16$ pentru patru. Numărul se verifică întotdeauna înainte de completare.

În ce ordine se completează coloanele unui tabel de adevăr? Întâi coloanele propozițiilor simple, apoi coloanele subformulelor, de la cele mai mici spre cele mai mari, și abia la final coloana enunțului întreg. Regula este ca fiecare coloană nouă să se calculeze folosind numai coloane deja completate.

Care este prioritatea operatorilor logici? Prima se aplică negația $\neg$ , apoi conjuncția $\land$ , apoi disjuncția $\lor$ , iar ultimele sunt implicația $\Rightarrow$ și echivalența $\Leftrightarrow$ . Parantezele au întâietate față de toate și se recomandă ori de câte ori enunțul ar putea fi citit în două feluri.

Ce înseamnă că un enunț este tautologie? Înseamnă că este adevărat pentru orice valori de adevăr ale propozițiilor din care e format, adică are numai A în coloana finală. Tautologiile sunt legile logicii, de exemplu $p \lor \neg p$ sau modus ponens.

Ce este o contradicție în logică? Este un enunț fals în orice situație, adică unul cu numai F în coloana finală. Exemplul standard este $p \land \neg p$ : nicio propoziție nu poate fi simultan adevărată și falsă.

Cum arăt că două enunțuri logice sunt echivalente? Alcătuiești tabelul amândurora, cu aceleași linii, și compari coloanele finale. Dacă sunt identice pe toate liniile, enunțurile sunt echivalente; dacă diferă măcar pe o linie, nu sunt, iar acea linie este contraexemplul.

De ce sunt utile tabelele de adevăr la Bacalaureat? Pentru că oferă un răspuns sigur, fără riscul unei intuiții greșite: orice cerință de tipul „stabiliți valoarea de adevăr", „arătați că enunțul este o tautologie" sau „verificați echivalența" se rezolvă complet printr-un tabel corect completat, iar coloanele intermediare aduc punctaj chiar și când concluzia finală scapă.