Reguli de negare: legile lui De Morgan

Un părinte îi spune copilului: „Ai voie la film dacă ți-ai făcut temele și ai strâns în cameră." Sâmbătă seara, copilul nu are voie la film. Ce s-a întâmplat? Nu neapărat că a lipsit totul: e destul să fi lipsit una dintre cele două condiții. Poate temele sunt gata, dar camera e vraiște. Poate invers. Negarea unei condiții duble nu înseamnă „nici una, nici alta" — înseamnă „măcar una a lipsit". Cine confundă cele două lucruri se ceartă degeaba.

Aceeași capcană apare, în formă curată, în matematică: cum negăm un enunț format din mai multe propoziții? Ai învățat la Negația unei propoziții să răstorni o propoziție simplă. Astăzi înveți regulile care îți spun ce se întâmplă când negarea cade peste un „și", peste un „sau" sau peste un „dacă… atunci". Ele poartă numele matematicianului britanic Augustus De Morgan (1806–1871) și sunt printre cele mai folosite reguli din toată matematica: le vei întâlni la rezolvarea inecuațiilor, la operațiile cu mulțimi, la demonstrațiile prin reducere la absurd și, mai târziu, în informatică, ori de câte ori simplifici o condiție dintr-un program.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi, prin tabel de adevăr, cele două legi ale lui De Morgan.
• Vei ști să negi corect o conjuncție și o disjuncție, schimbând operatorul și negând fiecare parte.
• Vei ști să negi o implicație, folosind regula $\neg (p\Rightarrow q)$ echivalent cu $p\wedge \neg q$.
• Vei ști să negi o echivalență și enunțuri formate din mai mult de două propoziții.
• Vei ști să aplici aceste reguli la inegalități și intervale („nu este adevărat că $x>2$ și $x<7$").
• Vei ști să recunoști legile lui De Morgan în forma lor cu mulțimi: complementara reuniunii și complementara intersecției.

Hai să descoperim împreună

1. Punctul de plecare: negația unei propoziții simple

Reamintim regula de bază: negația $\neg p$ a unei propoziții $p$ este adevărată exact când $p$ este falsă. Tabelul are două linii: dacă $p$ este A, atunci $\neg p$ este F; dacă $p$ este F, atunci $\neg p$ este A.

De aici rezultă imediat legea dublei negații: $\neg (\neg p)$ are aceeași valoare de adevăr cu $p$. Într-adevăr, dacă $p$ este A, atunci $\neg p$ este F și $\neg (\neg p)$ este A; dacă $p$ este F, atunci $\neg p$ este A și $\neg (\neg p)$ este F. În limbaj: „nu este adevărat că nu plouă" înseamnă pur și simplu „plouă".

Întrebarea lecției este însă alta: ce facem când negația cade peste un enunț compus, adică peste ceva de forma $p\wedge q$ sau $p\vee q$? Intuiția, aici, înșală des — așa că vom lăsa tabelul de adevăr să decidă.

2. Prima lege a lui De Morgan: negația unei conjuncții

Să pornim de la un exemplu concret. Fie $p$: „Ana a luat nota $10$ la matematică" și $q$: „Ana a luat nota $10$ la română". Conjuncția $p\wedge q$ spune că a luat $10$ la amândouă. Când este falsă această afirmație? Când cel puțin una dintre note nu e $10$. Deci negația ei sună: „Ana nu a luat $10$ la matematică sau nu a luat $10$ la română".

Verificăm bănuiala cu tabelul de adevăr, comparând coloana lui $\neg (p\wedge q)$ cu coloana lui $\neg p\vee \neg q$:

Cele două coloane îngroșate coincid pe toate cele patru linii. Am demonstrat deci:

$$\boxed{\neg (p\wedge q)\text{echivalent cu}\neg p\vee \neg q}$$

Prima lege a lui De Morgan. Negația unei conjuncții este disjuncția negațiilor. În cuvinte: „nu este adevărat că amândouă" înseamnă „măcar una nu".

3. A doua lege a lui De Morgan: negația unei disjuncții

Simetric, luăm $p$: „Merg la munte" și $q$: „Merg la mare". Disjuncția $p\vee q$ spune că merg măcar într-unul dintre locuri. Când este falsă? Când nu merg nicăieri: nici la munte, nici la mare. Deci negația este o conjuncție.

Tabelul confirmă:

$$\boxed{\neg (p\vee q)\text{echivalent cu}\neg p\wedge \neg q}$$

A doua lege a lui De Morgan. Negația unei disjuncții este conjuncția negațiilor. În cuvinte: „nu este adevărat că măcar una" înseamnă „nici una, nici alta".

Reține cele două legi împreună, ca pe o singură regulă practică:

Când negația intră în paranteză, ea neagă fiecare bucată și schimbă operatorul: $\wedge$ devine $\vee$, iar $\vee$ devine $\wedge$.

4. Cele două capcane

Prima capcană: mulți elevi neagă „și" păstrând „și". Adică scriu, greșit, $\neg (p\wedge q)$ ca $\neg p\wedge \neg q$. Că este greșit se vede pe linia a doua a primului tabel: pentru $p$ adevărată și $q$ falsă, $\neg (p\wedge q)$ este A, în timp ce $\neg p\wedge \neg q$ este F $\wedge$ A, adică F. Diferă, deci nu sunt echivalente.

Tradusă în limbaj obișnuit, greșeala sună așa: din „nu e adevărat că Ana a luat $10$ la ambele materii" cineva deduce „Ana n-a luat $10$ la niciuna" — o acuzație mult mai gravă decât ce spun faptele.

A doua capcană: uitarea faptului că negația se aplică fiecărei bucăți. Scrierea $\neg (p\wedge q)=\neg p\vee q$ (cu negație doar pe prima) este la fel de greșită: pe linia F A ea dă A $\vee$ A, adică A, ceea ce se potrivește; dar pe linia A A dă F $\vee$ A, adică A, în timp ce răspunsul corect este F. Ambele bucăți se neagă, fără excepție.

Un mic control de siguranță pe care îl poți face oricând, în zece secunde: alege o linie a tabelului, calculează cele două expresii și compară. Dacă diferă, ai greșit undeva.

5. Negarea implicației

Aceasta este regula pe care elevii o greșesc cel mai des — și cea care aduce cele mai multe puncte când e știută. Pornim de la înțeles: implicația $p\Rightarrow q$ este o promisiune („dacă $p$, atunci $q$"), iar o promisiune se încalcă într-un singur fel: premisa se împlinește, dar concluzia nu. Deci negația ei nu este o altă implicație, ci o conjuncție:

$$\boxed{\neg (p\Rightarrow q)\text{echivalent cu}p\wedge \neg q}$$

Verificarea prin tabel:

Coloanele coincid. Exemplu: negația enunțului „dacă plouă, atunci iau umbrela" este „plouă și nu iau umbrela" — nu „dacă nu plouă, atunci nu iau umbrela", care este cu totul altceva.

Regula se poate deduce și din legile lui De Morgan, dacă folosim rescrierea implicației demonstrată la Tabelul de adevăr al unui enunț compus: implicația $p\Rightarrow q$ este echivalentă cu $\neg p\vee q$. Negând și aplicând a doua lege a lui De Morgan:

$$\neg (\neg p\vee q)\text{echivalent cu}\neg (\neg p)\wedge \neg q\text{echivalent cu}p\wedge \neg q,$$

unde la ultimul pas am folosit legea dublei negații. Aceeași concluzie, obținută prin calcul.

Această regulă este cheia metodei reducerii la absurd: ca să demonstrezi că din $p$ rezultă $q$, presupui exact contrariul, adică $p$ și $\neg q$, și ajungi la o contradicție.

6. Negarea echivalenței

Echivalența $p\iff q$ este adevărată când cele două propoziții au aceeași valoare de adevăr. Prin urmare, negația ei este adevărată exact când valorile diferă:

$$\neg (p\iff q)\text{echivalent cu}(p\wedge \neg q)\vee (\neg p\wedge q).$$

Coloanele coincid. În cuvinte: negația lui „$p$ dacă și numai dacă $q$" spune că exact una dintre cele două are loc. Rezultatul se putea obține și altfel: știm că echivalența este conjuncția a două implicații, iar negând conjuncția cu prima lege a lui De Morgan obținem disjuncția negațiilor celor două implicații — adică exact $(p\wedge \neg q)\vee (q\wedge \neg p)$.

7. Enunțuri cu mai mult de două propoziții

Legile se aplică la fel și pe enunțuri mai lungi, pas cu pas, dinspre exterior spre interior. Pentru trei propoziții:

$$\neg (p\wedge q\wedge r)\text{echivalent cu}\neg p\vee \neg q\vee \neg r,\neg (p\vee q\vee r)\text{echivalent cu}\neg p\wedge \neg q\wedge \neg r.$$

Iar când operatorii sunt amestecați, negăm în ordine, respectând parantezele. Un exemplu complet:

$$\neg ((p\vee q)\wedge r).$$

Pasul 1. Negația cade peste o conjuncție (între paranteza $(p\vee q)$ și $r$), deci prima lege dă $\neg (p\vee q)\vee \neg r$.

Pasul 2. Mai avem de negat $p\vee q$; a doua lege dă $\neg p\wedge \neg q$. Rezultatul final:

$$\neg ((p\vee q)\wedge r)\text{echivalent cu}(\neg p\wedge \neg q)\vee \neg r.$$

Verificarea o poți face pe tabelul cu opt linii — și merită să o faci măcar o dată în viață, ca să capeți încredere în regulă.

Aplicație la inegalități. Aici regulile devin foarte concrete. Enunțul „$x>2$ și $x<7$" descrie intervalul $(2,7)$. Negația lui este, după prima lege, „$x\le 2$ sau $x\ge 7$" — adică tot ce e în afara intervalului. Observă că negația fiecărei bucăți a inclus și schimbarea inegalității stricte în una nestrictă: negația lui „$x>2$" este „$x\le 2$", nu „$x<2$", pentru că valoarea $2$ trebuie să apară undeva.

8. Aceleași legi, scrise cu mulțimi

Ai văzut la Predicate și variabile că operațiile cu predicate se citesc pe mulțimile de adevăr: conjuncția devine intersecție, disjuncția devine reuniune, negația devine complementară. Traducând legile lui De Morgan prin acest dicționar, obținem versiunea lor cu mulțimi, unde $C_{U}A$ notează complementara mulțimii $A$ față de o mulțime totală $U$:

$$C_U(A\cap B)=C_{U}A\cup C_{U}B,C_U(A\cup B)=C_{U}A\cap C_{U}B.$$

Să verificăm pe un exemplu numeric, cu $U=\{1,2,\dots ,10\}$, $A=\{1,2,3,4\}$ și $B=\{3,4,5,6\}$:

• $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$, deci $C_U(A\cup B)=\{7,8,9,10\}$;
• $C_{U}A=\{5,6,7,8,9,10\}$ și $C_{U}B=\{1,2,7,8,9,10\}$, deci $C_{U}A\cap C_{U}B=\{7,8,9,10\}$ ✓;
• $A\cap B=\{3,4\}$, deci $C_U(A\cap B)=\{1,2,5,6,7,8,9,10\}$;
• $C_{U}A\cup C_{U}B=\{1,2,5,6,7,8,9,10\}$ ✓.

Aceeași lege, două haine diferite. Iar când, în lecția următoare, vei nega enunțuri care conțin cuantificatori, vei descoperi că și acolo funcționează același tipar de schimbare a operatorului — subiectul lecției Negarea propozițiilor cu cuantificatori.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Negarea unei conjuncții, în limbaj obișnuit

Negați enunțul: „Ionuț a citit cartea și a scris rezumatul."

Rezolvare. Notăm $p$: „Ionuț a citit cartea", $q$: „Ionuț a scris rezumatul". Enunțul este $p\wedge q$, iar prima lege a lui De Morgan dă $\neg p\vee \neg q$:

„Ionuț nu a citit cartea sau nu a scris rezumatul."

Nu este corect să spunem „Ionuț nu a citit cartea și nu a scris rezumatul": aceasta ar afirma mai mult decât negația, excluzând situația în care a făcut una dintre cele două.

Exemplul 2 — Negarea unei disjuncții

Negați enunțul: „Numărul $n$ este par sau divizibil cu $5$."

Rezolvare. Cu $p$: „$n$ este par" și $q$: „$n$ este divizibil cu $5$", enunțul este $p\vee q$, iar a doua lege dă $\neg p\wedge \neg q$:

„Numărul $n$ nu este par și nu este divizibil cu $5$."

Verificare pe un caz: pentru $n=7$, enunțul inițial este fals ($7$ nu e nici par, nici multiplu de $5$), iar negația noastră este adevărată ✓. Pentru $n=10$, enunțul inițial este adevărat, iar negația este falsă ✓.

Exemplul 3 — Negarea unui enunț cu inegalități

Negați enunțul „$x\ge -3$ și $x\le 4$" și descrieți mulțimea valorilor reale care verifică negația.

Rezolvare. Prima lege a lui De Morgan schimbă „și" în „sau" și neagă fiecare bucată. Negația lui „$x\ge -3$" este „$x<-3$", iar negația lui „$x\le 4$" este „$x>4$". Deci negația enunțului este:

$$x<-3\text{ sau }x>4.$$

Enunțul inițial descria intervalul $[-3,4]$, iar negația descrie exact complementara lui: $(-\infty ,-3)\cup (4,+\infty )$. Observă cum inegalitățile nestricte au devenit stricte, iar capetele $-3$ și $4$ au rămas în interval, nu în negație.

Exemplul 4 — Negarea unei implicații

Negați enunțul: „Dacă un patrulater are toate laturile congruente, atunci este pătrat."

Rezolvare. Cu $p$: „patrulaterul are toate laturile congruente" și $q$: „patrulaterul este pătrat", enunțul este $p\Rightarrow q$, iar negația lui este $p\wedge \neg q$:

„Patrulaterul are toate laturile congruente și nu este pătrat."

Această negație este chiar adevărată, iar dovada este un romb cu unghiuri de $60^{\circ }$ și $120^{\circ }$: are toate laturile congruente, dar nu este pătrat. Prin urmare, enunțul inițial era fals.

Exemplul 5 — Negarea unui enunț cu trei propoziții

Negați enunțul $(p\wedge q)\vee r$ și scrieți rezultatul cu negațiile aplicate propozițiilor simple.

Rezolvare. Pasul 1. Negația cade peste o disjuncție, deci a doua lege dă:

$$\neg ((p\wedge q)\vee r)\text{echivalent cu}\neg (p\wedge q)\wedge \neg r.$$

Pasul 2. Mai negăm conjuncția din prima paranteză, cu prima lege: $\neg (p\wedge q)$ devine $\neg p\vee \neg q$. Rezultatul final:

$$(\neg p\vee \neg q)\wedge \neg r.$$

Control. Verificăm pe linia $p=$ A, $q=$ A, $r=$ F: enunțul inițial este (A $\wedge$ A) $\vee$ F = A, deci negația lui trebuie să fie F. Formula găsită dă (F $\vee$ F) $\wedge$ A = F $\wedge$ A = F ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră enunțul $E$: „$\neg (p\wedge q)$", unde $p$ și $q$ sunt propoziții. a) Alcătuiți tabelul de adevăr al enunțului $E$. b) Arătați, prin tabel, că $E$ este echivalent cu $\neg p\vee \neg q$. c) Scrieți negația enunțului „numărul natural $n$ este divizibil cu $3$ și cu $4$" și verificați-o pentru $n=6$.

Rezolvare. a) și b) Alcătuim un singur tabel, cu ambele coloane finale:

Coloanele îngroșate coincid pe toate cele patru linii, deci cele două enunțuri sunt echivalente — este prima lege a lui De Morgan.

c) Negația este: „numărul natural $n$ nu este divizibil cu $3$ sau nu este divizibil cu $4$". Verificare pentru $n=6$: enunțul inițial este fals ($6$ se divide cu $3$, dar nu cu $4$), deci negația trebuie să fie adevărată. Într-adevăr, „$6$ nu e divizibil cu $4$" este adevărată, iar o disjuncție cu un membru adevărat este adevărată ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare negare, verifică rezultatul pe o valoare concretă sau pe o linie a tabelului — controlul acesta durează zece secunde și îți prinde aproape toate greșelile.

1. Scrie negația fiecărui enunț: a) „Maria învață franceză și germană"; b) „Vlad merge la fotbal sau la înot".

2. Completează tabelul de adevăr al enunțurilor $\neg (p\wedge q)$ și $\neg p\vee \neg q$ și compară coloanele finale.

3. Completează tabelul de adevăr al enunțurilor $\neg (p\vee q)$ și $\neg p\wedge \neg q$ și compară coloanele finale.

4. Scrie negația enunțului „$n$ este număr prim și $n>10$", pentru $n$ natural.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Negația enunțului $p\wedge q$ este $\neg p\wedge \neg q$."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Negația enunțului $p\Rightarrow q$ este $\neg p\Rightarrow \neg q$."

7. Scrie negația enunțului „$x>5$ și $x<12$" și precizează, ca reuniune de intervale, mulțimea valorilor reale care o verifică.

8. Scrie negația enunțului „$x\le 0$ sau $x\ge 8$" și precizează intervalul valorilor reale care o verifică.

9. Scrie negația enunțului: „Dacă un număr natural este divizibil cu $10$, atunci este divizibil cu $4$." Este negația adevărată? Justifică printr-un exemplu numeric.

10. Scrie, folosind legile lui De Morgan, o formă echivalentă pentru $\neg (p\wedge q\wedge r)$ și una pentru $\neg (p\vee q\vee r)$.

11. Negați enunțul $(p\vee q)\wedge r$ și aduceți rezultatul la forma cu negații pe propozițiile simple.

12. Verificați, cu un tabel de opt linii, echivalența $\neg (p\wedge (q\vee r))$ cu $\neg p\vee (\neg q\wedge \neg r)$.

13. (Problemă aplicată.) Regulamentul unei tabere spune: „Elevul primește diploma de participare dacă a fost prezent la toate activitățile și a predat jurnalul de tabără." Scrie, folosind legile lui De Morgan, în ce situații un elev nu primește diploma și dă două exemple concrete de astfel de situații.

14. Fie $U=\{1,2,\dots ,12\}$, $A=\{2,4,6,8,10,12\}$ și $B=\{3,6,9,12\}$. Verifică prin calcul direct egalitatea $C_U(A\cap B)=C_{U}A\cup C_{U}B$.

15. Simplifică enunțul $\neg (\neg p\vee \neg q)$, folosind legile lui De Morgan și legea dublei negații.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră enunțul $F$: „$\neg (p\vee q)$". a) Alcătuiți tabelul de adevăr al lui $F$. b) Arătați, prin tabel, că $F$ este echivalent cu $\neg p\wedge \neg q$. c) Scrieți negația enunțului „numărul real $x$ verifică $x<-1$ sau $x>3$" și precizați intervalul corespunzător.

17. Scrie negația enunțului „$p$ dacă și numai dacă $q$" și explică, în cuvinte, ce afirmă ea.

18. (Provocare.) Arată că orice enunț compus format cu $\wedge$, $\vee$ și $\neg$ poate fi rescris folosind numai negația și disjuncția. (Indicație: pornește de la prima lege a lui De Morgan și exprimă $p\wedge q$ cu ajutorul lui $\neg$ și $\vee$.)

Răspunsuri și explicații

1. a) „Maria nu învață franceză sau nu învață germană" (prima lege: „și" devine „sau"). b) „Vlad nu merge la fotbal și nu merge la înot" (a doua lege: „sau" devine „și").

2. Coloana $p\wedge q$ este A, F, F, F, deci $\neg (p\wedge q)$ este F, A, A, A. Coloana $\neg p$ este F, F, A, A, iar $\neg q$ este F, A, F, A; disjuncția lor este F, A, A, A. Coloanele coincid: prima lege a lui De Morgan.

3. Coloana $p\vee q$ este A, A, A, F, deci $\neg (p\vee q)$ este F, F, F, A. Conjuncția $\neg p\wedge \neg q$ dă F $\wedge$ F = F; F $\wedge$ A = F; A $\wedge$ F = F; A $\wedge$ A = A, adică F, F, F, A. Coloanele coincid: a doua lege.

4. „$n$ nu este număr prim sau $n\le 10$." Atenție la negația inegalității: negația lui „$n>10$" este „$n\le 10$", nu „$n<10$".

5. Fals. Negația corectă este $\neg p\vee \neg q$. Contraexemplu pe tabel: pentru $p$ adevărată și $q$ falsă, $\neg (p\wedge q)$ este A, în timp ce $\neg p\wedge \neg q$ este F $\wedge$ A = F.

6. Fals. Negația corectă este $p\wedge \neg q$. Contraexemplu: pentru $p$ falsă și $q$ falsă, $\neg (p\Rightarrow q)$ este F (căci implicația e adevărată), în timp ce $\neg p\Rightarrow \neg q$ este A $\Rightarrow$ A = A. Valorile diferă, deci enunțurile nu sunt echivalente.

7. Negația este „$x\le 5$ sau $x\ge 12$", adică mulțimea $(-\infty ,5]\cup [12,+\infty )$. Enunțul inițial descria intervalul deschis $(5,12)$, iar negația este exact complementara lui în $\mathbb{R}$.

8. Negația este „$x>0$ și $x<8$", adică intervalul deschis $(0,8)$. Aici „sau" a devenit „și", conform legii a doua.

9. Negația: „există un număr natural divizibil cu $10$ care nu este divizibil cu $4$" — sau, la nivelul unui număr fixat, „$n$ este divizibil cu $10$ și nu este divizibil cu $4$". Negația este adevărată: pentru $n=10$, numărul se divide cu $10$, dar $10:4$ nu este împărțire exactă. Prin urmare, enunțul inițial era fals.

10. $\neg (p\wedge q\wedge r)$ este echivalent cu $\neg p\vee \neg q\vee \neg r$; $\neg (p\vee q\vee r)$ este echivalent cu $\neg p\wedge \neg q\wedge \neg r$. Regula rămâne: se neagă fiecare bucată și se schimbă toți operatorii.

11. Pasul 1: negația unei conjuncții dă $\neg (p\vee q)\vee \neg r$. Pasul 2: negația disjuncției din paranteză dă $\neg p\wedge \neg q$. Rezultat final: $(\neg p\wedge \neg q)\vee \neg r$. Control pe linia A F F: enunțul inițial este (A $\vee$ F) $\wedge$ F = F, deci negația trebuie să fie A; formula dă (F $\wedge$ A) $\vee$ A = F $\vee$ A = A ✓.

12. Coloana $q\vee r$ pe cele opt linii este A, A, A, F, A, A, A, F; conjuncția cu $p$ dă A, A, A, F, F, F, F, F; negația ei este F, F, F, A, A, A, A, A. Pe cealaltă parte: $\neg p$ este F, F, F, F, A, A, A, A; $\neg q\wedge \neg r$ este F, F, F, A, F, F, F, A; disjuncția lor este F, F, F, A, A, A, A, A. Coloanele coincid, deci echivalența are loc.

13. Condiția pentru diplomă este $p\wedge q$, cu $p$: „a fost prezent la toate activitățile" și $q$: „a predat jurnalul". Elevul nu primește diploma exact când are loc $\neg p\vee \neg q$, adică: nu a fost prezent la toate activitățile sau nu a predat jurnalul. Exemple: un elev care a lipsit o zi, dar a predat jurnalul; un elev prezent mereu, dar care nu a predat jurnalul. (Există și a treia situație, cea în care lipsesc amândouă condițiile — disjuncția o include.)

14. $A\cap B=\{6,12\}$, deci $C_U(A\cap B)=\{1,2,3,4,5,7,8,9,10,11\}$. Pe de altă parte, $C_{U}A=\{1,3,5,7,9,11\}$ și $C_{U}B=\{1,2,4,5,7,8,10,11\}$, iar reuniunea lor este $\{1,2,3,4,5,7,8,9,10,11\}$ ✓. Cele două mulțimi coincid, având fiecare zece elemente.

15. Aplicăm a doua lege a lui De Morgan enunțului $\neg p\vee \neg q$: negația unei disjuncții este conjuncția negațiilor, deci $\neg (\neg p\vee \neg q)$ este echivalent cu $\neg (\neg p)\wedge \neg (\neg q)$. Prin dubla negație, aceasta devine $p\wedge q$. Așadar, forma simplificată este $p\wedge q$.

16. a) $p\vee q$ dă A, A, A, F, deci $F$ are coloana F, F, F, A. b) $\neg p$ dă F, F, A, A; $\neg q$ dă F, A, F, A; conjuncția lor dă F, F, F, A — identică, deci echivalența are loc. c) Negația este „$x\ge -1$ și $x\le 3$", adică intervalul închis $[-1,3]$.

17. Negația este $(p\wedge \neg q)\vee (\neg p\wedge q)$. În cuvinte: exact una dintre cele două propoziții este adevărată, cealaltă fiind falsă. Cu alte cuvinte, negarea unei echivalențe înseamnă că cele două propoziții au valori de adevăr diferite — ceea ce se potrivește perfect cu definiția echivalenței.

18. Pornim de la prima lege, $\neg (p\wedge q)$ echivalent cu $\neg p\vee \neg q$, și negăm ambii membri: $p\wedge q$ devine echivalent cu $\neg (\neg p\vee \neg q)$, adică o expresie scrisă doar cu $\neg$ și $\vee$. Prin urmare, orice apariție a lui $\wedge$ dintr-un enunț poate fi înlocuită cu această scriere, pas cu pas, până când în enunț rămân numai negații și disjuncții. (Aceeași idee stă la baza circuitelor din calculatoare, construite dintr-un singur tip de poartă logică.)

De reținut

• Prima lege a lui De Morgan: $\neg (p\wedge q)$ este echivalent cu $\neg p\vee \neg q$ — „nu amândouă" înseamnă „măcar una nu".
• A doua lege a lui De Morgan: $\neg (p\vee q)$ este echivalent cu $\neg p\wedge \neg q$ — „nici una" înseamnă „nu prima și nu a doua".
• Regula practică: negația intră în paranteză, neagă fiecare bucată și schimbă operatorul ($\wedge$ în $\vee$, $\vee$ în $\wedge$). Se aplică la fel pentru trei sau mai multe propoziții.
• Negarea implicației: $\neg (p\Rightarrow q)$ este echivalent cu $p\wedge \neg q$ — o promisiune se încalcă într-un singur fel. Negația unei implicații nu este niciodată o implicație.
• Aceleași legi, scrise cu mulțimi: $C_U(A\cap B)=C_{U}A\cup C_{U}B$ și $C_U(A\cup B)=C_{U}A\cap C_{U}B$; iar la inegalități, negația lui „$x>a$" este „$x\le a$".

Greșeli frecvente

• Păstrarea operatorului la negare. Cea mai frecventă greșeală: $\neg (p\wedge q)$ scris ca $\neg p\wedge \neg q$. Operatorul se schimbă întotdeauna; verifică pe linia A F, unde cele două expresii dau rezultate diferite.
• Negarea unei singure bucăți. $\neg (p\vee q)$ nu este $\neg p\vee q$. Negația se aplică fiecărei propoziții din paranteză, fără excepție.
• Negarea greșită a implicației. $\neg (p\Rightarrow q)$ nu este $\neg p\Rightarrow \neg q$ și nici $p\Rightarrow \neg q$, ci $p\wedge \neg q$. Reține imaginea promisiunii încălcate: premisa se împlinește, concluzia nu.
• Inegalități negate incorect. Negația lui „$x\ge 4$" este „$x<4$", iar negația lui „$x>4$" este „$x\ge 4$". Valoarea de la capăt trebuie să apară exact într-una dintre cele două situații, niciodată în amândouă și niciodată în niciuna.
• Săritul peste paranteze la enunțuri lungi. La $\neg ((p\vee q)\wedge r)$ se neagă mai întâi conjuncția exterioară și abia apoi disjuncția din interior. Lucrează pas cu pas, dinspre exterior spre interior, și verifică rezultatul pe o linie a tabelului.

Aplică acasă

1. Regulamentul negat. Ia un regulament cu două-trei condiții legate prin „și" (condițiile unei burse, ale unui abonament, ale unui concurs) și scrie, cu legile lui De Morgan, în ce situații condiția nu este îndeplinită. Compară rezultatul cu ce scrie efectiv în regulament la capitolul „excluderi" — de multe ori vei găsi diferențe.

2. Intervale complementare. Desenează pe o axă numerică intervalul $[-2,5]$, apoi scrie enunțul care îl descrie („$x\ge -2$ și $x\le 5$") și negația lui. Colorează pe axă mulțimea negației și verifică vizual că cele două zone acoperă toată dreapta, fără să se suprapună.

3. Contrazicerea corectă. Ascultă trei afirmații din jurul tău care conțin „și" sau „sau" și formulează, de fiecare dată, contrazicerea exactă — nici mai slabă, nici mai tare decât trebuie. Vei observa că, în discuțiile obișnuite, oamenii neagă aproape întotdeauna prea mult.

Pentru părinți și profesori

Legile lui De Morgan sunt regulile de negare fără de care elevul nu poate rezolva corect nici inecuații, nici probleme cu mulțimi, nici demonstrații prin reducere la absurd. Sunt, în același timp, punctul în care intuiția lingvistică îl trădează cel mai des: negarea unui „și" păstrând „și" este greșeala numărul unu la lucrări. Lecția insistă de aceea pe verificarea prin tabel, nu pe memorare.

Puncte de verificat în caiet: (1) schimbă operatorul la fiecare negare și neagă ambele bucăți; (2) neagă corect inegalitățile, mutând semnul de egalitate dintr-o parte în alta („$>$" devine „$\le$"); (3) la implicație scrie conjuncția $p\wedge \neg q$, nu o altă implicație; (4) la enunțuri cu paranteze lucrează dinspre exterior spre interior; (5) își verifică rezultatul pe o linie a tabelului sau pe o valoare numerică. Întrebări bune de control: „Care este negația lui «am mâncat și am băut»?"; „Ce se schimbă când negația intră în paranteză?"; „Cum se încalcă o promisiune de forma «dacă…, atunci…»?"; „Care este negația lui $x\ge 3$?".

La teze și la Bacalaureat, aceste reguli apar direct în subiectele de logică din clasa a IX-a („scrieți negația enunțului…", „arătați că cele două enunțuri sunt echivalente") și indirect în toate capitolele următoare: la mulțimi și intervale, la rezolvarea sistemelor de inecuații, la demonstrațiile prin reducere la absurd și, mai târziu, în analiza matematică. Semne că elevul a înțeles: neagă spontan corect un enunț cu „și", explică de ce negația unei implicații nu este o implicație și își verifică singur rezultatul pe un caz concret.

Întrebări frecvente

Care sunt legile lui De Morgan? Sunt două reguli de negare: negația unei conjuncții este disjuncția negațiilor, adică $\neg (p\wedge q)$ este echivalent cu $\neg p\vee \neg q$; și negația unei disjuncții este conjuncția negațiilor, adică $\neg (p\vee q)$ este echivalent cu $\neg p\wedge \neg q$.

Cum se neagă un enunț cu «și»? Se neagă fiecare parte și se înlocuiește „și" cu „sau". Negația lui „am făcut temele și am strâns camera" este „nu am făcut temele sau nu am strâns camera" — este destul ca una singură să lipsească.

Cum se neagă un enunț cu «sau»? Se neagă fiecare parte și se înlocuiește „sau" cu „și". Negația lui „merg la munte sau la mare" este „nu merg la munte și nu merg la mare", adică nu merg nicăieri dintre cele două.

Care este negația unei implicații? Negația lui $p\Rightarrow q$ este $p\wedge \neg q$: premisa are loc, dar concluzia nu. Nu este nici $\neg p\Rightarrow \neg q$, nici $p\Rightarrow \neg q$. Imaginea utilă este cea a promisiunii încălcate: se întâmplă ce trebuia, dar nu urmează ce s-a promis.

Cum se neagă o inegalitate? Se trece la inegalitatea contrară, mutând egalitatea: negația lui „$x>3$" este „$x\le 3$", negația lui „$x\le 3$" este „$x>3$". Valoarea de la capăt apare exact într-una dintre cele două variante.

De ce nu este corect ca negația lui $p\wedge q$ să fie $\neg p\wedge \neg q$? Pentru că tabelele de adevăr diferă: pe linia în care $p$ este adevărată și $q$ falsă, $\neg (p\wedge q)$ dă A, iar $\neg p\wedge \neg q$ dă F. A doua expresie afirmă mai mult decât negația: ea exclude ambele posibilități, în loc să spună că măcar una lipsește.

Cum se scriu legile lui De Morgan pentru mulțimi? Sub forma $C_U(A\cap B)=C_{U}A\cup C_{U}B$ și $C_U(A\cup B)=C_{U}A\cap C_{U}B$. Este aceeași lege, tradusă prin dicționarul care duce conjuncția în intersecție, disjuncția în reuniune și negația în complementară.

Unde se folosesc legile lui De Morgan la Bacalaureat? În subiectele de logică, la cerințele de tipul „scrieți negația enunțului"; la rezolvarea inecuațiilor și a sistemelor de inecuații, unde negația unei condiții duble dă o reuniune de intervale; la problemele cu mulțimi și complementare; și în demonstrațiile prin reducere la absurd, unde primul pas este chiar negarea corectă a concluziei.