Ecuații: necunoscută, soluție și verificare

Îți amintești când, la un joc pe telefon, trebuia să găsești numărul potrivit care deschide un seif sau completează o parolă? Acela e, în fond, spiritul unei ecuații: ai o egalitate în care lipsește un număr, iar sarcina ta este să-l descoperi. Ecuațiile la clasa 7 sunt unealta cu care matematica transformă o întrebare de tipul „ce număr caut?" într-un calcul precis, care poate fi verificat. În această lecție vei înțelege exact ce este o ecuație la clasa a 7-a, cum recunoști necunoscuta, coeficienții și termenii liberi, ce înseamnă soluția unei ecuații și, foarte important, cum verifici dacă un număr este într-adevăr soluție.

Ce vei învăța

Vei ști să distingi o ecuație de o simplă egalitate numerică și să identifici necunoscuta.
Vei ști să recunoști coeficienții și termenii liberi dintr-o ecuație.
Vei ști ce înseamnă soluția unei ecuații și ce înseamnă „a rezolva o ecuație".
Vei ști să verifici dacă un număr dat este soluție, prin înlocuirea necunoscutei.
Vei ști să recunoști situații simple din viața reală care pot fi scrise sub forma unei ecuații.

Hai să descoperim împreună

De la o egalitate cu „locul gol" la o ecuație

În lecția anterioară despre egalități și egalități echivalente ai lucrat cu egalități numerice, adică propoziții matematice de forma „ceva = altceva". De exemplu, $3 + 5 = 8$ este o egalitate adevărată, iar $3 + 5 = 9$ este o egalitate falsă. În ambele, toate numerele sunt cunoscute; nu ai nimic de căutat.

Acum facem un pas mai departe. Imaginează-ți că într-o egalitate ascundem un număr și punem în locul lui o literă:

$x + 5 = 8$

Aici $x$ ține locul unui număr necunoscut. O astfel de egalitate, în care apare cel puțin o literă ce reprezintă un număr necunoscut, se numește ecuație.

Reține definiția, pe care o vei folosi tot restul anului:

Definiție. O ecuație este o egalitate care conține una sau mai multe necunoscute (numere nedeterminate, notate cu litere). A rezolva ecuația înseamnă a găsi toate valorile necunoscutei pentru care egalitatea devine adevărată.

Litera folosită se numește necunoscută. Cel mai des se folosește $x$ , dar poți întâlni și $y$ , $z$ , $a$ , $t$ sau orice altă literă. Ecuația nu se schimbă dacă în loc de $x$ scriem $y$ : $x + 5 = 8$ și $y + 5 = 8$ sunt aceeași problemă îmbrăcată în litere diferite.

Ecuație sau simplă egalitate? Cum le deosebești

Este esențial să faci diferența dintre o egalitate numerică (fără litere) și o ecuație (cu necunoscută). Uite un mic tabel de comparație:

Scriere	Are literă necunoscută?	Cum se numește
$7 - 2 = 5$	Nu	egalitate numerică (adevărată)
$4 \cdot 3 = 11$	Nu	egalitate numerică (falsă)
$x - 2 = 5$	Da	ecuație
$2 a + 1 = 9$	Da	ecuație

Observă: la o egalitate numerică putem spune imediat „adevărat" sau „fals". La o ecuație nu putem spune asta până nu știm ce număr punem în locul necunoscutei. Ecuația $x - 2 = 5$ devine adevărată doar pentru o anumită valoare a lui $x$ (vom vedea că este $7$ ), iar pentru altele este falsă.

Membrul stâng și membrul drept

Ca la orice egalitate, semnul $=$ împarte ecuația în două părți:

ce se află înaintea semnului $=$ se numește membrul stâng;
ce se află după semnul $=$ se numește membrul drept.

De exemplu, în ecuația $2 x + 1 = 9$ :

membrul stâng este $2 x + 1$ ;
membrul drept este $9$ .

Ține minte imaginea balanței: membrul stâng și membrul drept trebuie să „cântărească" la fel pentru valoarea corectă a necunoscutei. Când ecuația este adevărată, balanța stă în echilibru perfect.

Necunoscută, coeficienți și termeni liberi

Ca să lucrezi ordonat cu ecuațiile, ai nevoie de un vocabular precis. Să analizăm ecuația:

$3 x + 4 = 19$

Necunoscuta este $x$ — numărul pe care îl căutăm.
Coeficientul necunoscutei este numărul cu care este înmulțită litera. În $3 x$ , coeficientul lui $x$ este $3$ . Reține: $3 x$ înseamnă $3 \cdot x$ , adică „de trei ori numărul necunoscut".
Termenii liberi sunt numerele care apar singure, fără literă. În ecuația noastră, $4$ (din membrul stâng) și $19$ (din membrul drept) sunt termeni liberi.

Câteva observații care te scapă de greșeli:

1. Când coeficientul este $1$ , nu îl scriem. Ecuația $x + 5 = 8$ înseamnă de fapt $1 \cdot x + 5 = 8$ . Coeficientul lui $x$ este $1$ , chiar dacă nu apare scris.

2. Coeficientul poate fi negativ. În ecuația $- 2 x + 7 = 1$ , coeficientul lui $x$ este $- 2$ , nu $2$ . Semnul „−" din fața lui aparține coeficientului.

3. Coeficientul poate fi un număr rațional sau chiar cu radical. La clasa a VII-a lucrăm cu numere reale, așa că întâlnești ecuații ca $\frac{1}{2} x - 3 = 0$ (coeficient $\frac{1}{2}$ ) sau $2 x = 6$ (coeficient $2$ ). Nu te speria: rolul lor este exact același.

4. Necunoscuta poate apărea de mai multe ori. În $5 x - 2 = 2 x + 7$ , litera $x$ apare în ambii membri. Vom învăța la lecțiile următoare cum aducem astfel de ecuații la o formă simplă; acum e important doar să recunoști necunoscuta și structura.

Ce înseamnă „soluția unei ecuații"

Am ajuns la inima lecției. Ce căutăm, de fapt, când rezolvăm o ecuație?

Definiție. Un număr se numește soluție (sau rădăcină) a unei ecuații dacă, înlocuind necunoscuta cu acel număr, egalitatea devine adevărată.

Hai să vedem concret. Luăm ecuația $x + 5 = 8$ și încercăm câteva numere în locul lui $x$ :

Dacă $x = 2$ : membrul stâng devine $2 + 5 = 7$ , iar membrul drept este $8$ . Cum $7 \neq = 8$ , egalitatea este falsă. Deci $2$ nu este soluție.
Dacă $x = 4$ : $4 + 5 = 9 \neq = 8$ , egalitate falsă. Deci $4$ nu este soluție.
Dacă $x = 3$ : $3 + 5 = 8 = 8$ , egalitate adevărată. Deci $x = 3$ este soluție.

Ai găsit numărul secret care aduce balanța în echilibru: este $3$ .

A rezolva o ecuație înseamnă exact a găsi toate soluțiile ei. Uneori există o singură soluție (cazul cel mai obișnuit la ecuațiile liniare), alteori niciuna, iar alteori o infinitate — vei studia toate aceste situații în lecția Cazurile unei ecuații liniare. Deocamdată reține ideea principală: soluția este numărul care „potrivește" ecuația.

Metoda încercărilor — bună pentru a înțelege, nu pentru a rezolva rapid

Cum am procedat mai sus? Am încercat pe rând mai multe numere. Aceasta se numește metoda încercărilor și este foarte utilă pentru a înțelege ce înseamnă o soluție. Are însă un dezavantaj: pentru ecuații mai grele (de exemplu, când soluția este $\frac{7}{3}$ sau $- 11$ ), am putea încerca la nesfârșit fără să nimerim.

De aceea, începând cu lecția Ecuația de forma $a x + b = 0$ , vei învăța metode sigure de rezolvare, care îți dau răspunsul direct, fără ghicit. Dar chiar și atunci, pasul de verificare rămâne la fel de important — și el este a doua mare temă a acestei lecții.

Verificarea unei soluții prin înlocuire

Ca să fii sigur că un număr este soluție, faci un lucru foarte simplu și foarte puternic: înlocuiești necunoscuta cu acel număr în ecuația inițială și calculezi separat cei doi membri. Dacă îți dau același rezultat, numărul este soluție. Dacă nu, nu este.

Regula verificării. Pentru a verifica dacă un număr $x_{0}$ este soluție a unei ecuații:

Înlocuiește peste tot necunoscuta cu $x_{0}$ .

Calculează separat membrul stâng (MS).

Calculează separat membrul drept (MD).

Dacă $M S = M D$ , atunci $x_{0}$ este soluție. Dacă $M S \neq = M D$ , atunci $x_{0}$ nu este soluție.

Să verificăm că $x = 3$ este soluție a ecuației $x + 5 = 8$ :

$M S = 3 + 5 = 8, M D = 8.$

Cum $M S = M D = 8$ , confirmăm: $x = 3$ este soluție. ✓

Un exemplu ceva mai serios. Verificăm dacă $x = 4$ este soluție a ecuației $3 x - 5 = 7$ :

$M S = 3 \cdot 4 - 5 = 12 - 5 = 7, M D = 7.$

$M S = M D = 7$ , deci da, $x = 4$ este soluție. ✓

Atenție la ordinea operațiilor când calculezi membrii! Mai întâi înmulțirea $3 \cdot 4 = 12$ , apoi scăderea $12 - 5 = 7$ . Dacă ai nevoie să-ți reîmprospătezi regulile, revezi Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale.

De ce este verificarea atât de valoroasă? Din trei motive:

Îți spune fără dubii dacă un număr propus este soluție, fără să rezolvi ecuația.
După ce rezolvi o ecuație prin calcul, verificarea îți confirmă că nu ai greșit pe parcurs.
Este metoda prin care înțelegi cu adevărat ce se întâmplă „în spatele" unei ecuații.

Numărul poate să NU fie soluție — și e perfect normal

Verificarea nu confirmă mereu. Uneori, ea îți arată că numărul propus nu este soluție, iar asta este o informație la fel de utilă. Să verificăm dacă $x = 2$ este soluție a ecuației $3 x - 5 = 7$ :

$M S = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1, M D = 7.$

Cum $1 \neq = 7$ , rezultă că $x = 2$ nu este soluție. Concluzia „nu este soluție" este un răspuns corect și complet, atâta timp cât ai calculat corect cei doi membri.

Este util să privești verificarea și ca pe un filtru: dacă cineva îți propune un număr și susține că e soluție, nu ești obligat să-l crezi pe cuvânt și nici să rezolvi tu ecuația de la zero. Pui numărul în locul necunoscutei, faci două calcule scurte și afli imediat adevărul. Din acest motiv, verificarea este primul instrument onest din algebră: nu depinde de cât de „frumos" arată numărul propus, ci doar de faptul rece că cei doi membri coincid sau nu. Vei folosi această deprindere ani la rând, inclusiv la ecuații mult mai complicate decât cele de acum.

Când o necunoscută apare de mai multe ori

Dacă necunoscuta apare în mai multe locuri, o înlocuiești peste tot cu același număr. Verificăm dacă $x = 6$ este soluție a ecuației $2 x + 3 = x + 9$ :

$M S = 2 \cdot 6 + 3 = 12 + 3 = 15, M D = 6 + 9 = 15.$

$M S = M D = 15$ , deci $x = 6$ este soluție. ✓ Observă că $x$ a fost înlocuit cu $6$ și în membrul stâng, și în membrul drept — nu ai voie să pui valori diferite în locuri diferite.

De la o situație reală la o ecuație

Ecuațiile nu sunt doar un joc cu litere; ele modelează situații din viața de zi cu zi. „A modela" înseamnă a traduce o problemă în limbaj matematic. Iată câteva exemple de traducere:

„Un număr mărit cu $7$ dă $20$ ." → notăm numărul cu $x$ și scriem $x + 7 = 20$ .
„Dublul unui număr, micșorat cu $3$ , este $11$ ." → $2 x - 3 = 11$ .
„Am cheltuit $15$ lei și mi-au rămas $22$ de lei din suma inițială." → dacă suma inițială este $s$ , scriem $s - 15 = 22$ .
„Trei caiete costă $18$ lei; cât costă un caiet?" → dacă prețul unui caiet este $p$ , scriem $3 p = 18$ .

Cuvintele din enunț îți dau indicii despre operații: „mărit cu", „mai mult" înseamnă adunare; „micșorat cu", „mai puțin" înseamnă scădere; „dublul", „triplul", „de … ori" înseamnă înmulțire; „jumătate", „a treia parte" înseamnă împărțire (sau înmulțire cu o fracție). A recunoaște că o situație „se pune în ecuație" este exact competența $1.2$ din programă și primul pas către rezolvarea problemelor practice pe care le vei studia mai târziu în Modelarea situațiilor prin ecuații liniare.

Deocamdată nu îți cerem să rezolvi aceste ecuații prin calcul, ci doar să le scrii corect și, eventual, să verifici dacă un număr propus este răspunsul potrivit. Restul vine natural în lecțiile următoare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea elementelor unei ecuații

Enunț. Pentru ecuația $- 4 x + 9 = 1$ , precizează: necunoscuta, coeficientul necunoscutei și termenii liberi. Indică membrul stâng și membrul drept.

Rezolvare.

Necunoscuta este $x$ .
Coeficientul lui $x$ este $- 4$ (semnul minus face parte din coeficient).
Termenii liberi sunt $9$ (în membrul stâng) și $1$ (în membrul drept).
Membrul stâng: $- 4 x + 9$ . Membrul drept: $1$ .

Exemplul 2 — Ecuație sau egalitate numerică?

Enunț. Clasifică fiecare scriere ca „egalitate numerică" sau „ecuație": (a) $12 : 4 = 3$ ; (b) $2 y - 1 = 5$ ; (c) $8 + 6 = 15$ ; (d) $a = 0$ .

Rezolvare.

(a) $12 : 4 = 3$ — nicio literă, deci egalitate numerică (adevărată).
(b) $2 y - 1 = 5$ — conține litera $y$ , deci ecuație (necunoscuta $y$ ).
(c) $8 + 6 = 15$ — nicio literă, deci egalitate numerică (falsă, pentru că $8 + 6 = 14$ ).
(d) $a = 0$ — conține litera $a$ , deci ecuație (are soluția evidentă $a = 0$ ).

Reține din (c): o egalitate numerică poate fi și falsă, dar rămâne o egalitate numerică — nu devine ecuație doar pentru că e greșită.

Exemplul 3 — Verificarea unei soluții (caz pozitiv)

Enunț. Arată, prin verificare, că $x = 5$ este soluție a ecuației $4 x - 3 = 17$ .

Rezolvare. Înlocuim $x$ cu $5$ și calculăm separat cei doi membri:

$M S = 4 \cdot 5 - 3 = 20 - 3 = 17, M D = 17.$

Cum $M S = M D = 17$ , rezultă că $x = 5$ este soluție a ecuației. ✓

Exemplul 4 — Verificarea arată că numărul NU este soluție

Enunț. Verifică dacă $x = - 2$ este soluție a ecuației $5 x + 8 = 3 x - 1$ .

Rezolvare. Înlocuim $x$ cu $- 2$ peste tot:

$M S = 5 \cdot (- 2) + 8 = - 10 + 8 = - 2,$ $M D = 3 \cdot (- 2) - 1 = - 6 - 1 = - 7.$

Cum $- 2 \neq = - 7$ , avem $M S \neq = M D$ , deci $x = - 2$ nu este soluție. Atenție la semne: $5 \cdot (- 2) = - 10$ , iar $3 \cdot (- 2) = - 6$ . O greșeală de semn ar strica toată verificarea.

Exemplul 5 — Găsirea soluției prin încercări dintr-o mulțime dată

Enunț. Dintre numerele ${- 1, 0, 1, 2}$ , găsește soluția ecuației $3 x + 2 = 5$ .

Rezolvare. Verificăm pe rând, calculând de fiecare dată membrul stâng (membrul drept este mereu $5$ ):

$x = - 1$ : $M S = 3 \cdot (- 1) + 2 = - 3 + 2 = - 1 \neq = 5$ . Nu.
$x = 0$ : $M S = 3 \cdot 0 + 2 = 2 \neq = 5$ . Nu.
$x = 1$ : $M S = 3 \cdot 1 + 2 = 3 + 2 = 5 = 5$ . Da!
$x = 2$ : $M S = 3 \cdot 2 + 2 = 8 \neq = 5$ . Nu.

Soluția din mulțimea dată este $x = 1$ .

Exemplul 6 — De la enunț la ecuație (modelare)

Enunț. Andrei are o sumă de bani. Cheltuie $23$ de lei pe un tricou și îi mai rămân $19$ lei. Scrie o ecuație care modelează situația, apoi verifică dacă suma inițială a fost $42$ de lei.

Rezolvare. Notăm suma inițială cu $s$ (lei). „Cheltuie $23$ " înseamnă scădem $23$ , iar „îi mai rămân $19$ " este rezultatul. Ecuația este:

$s - 23 = 19.$

Verificăm valoarea propusă $s = 42$ :

$M S = 42 - 23 = 19, M D = 19.$

Cum $M S = M D = 19$ , suma inițială de $42$ de lei este corectă. ✓ Ai văzut cum aceeași ecuație descrie o situație reală și cum verificarea confirmă răspunsul.

Exemplul 7 — Verificare cu un coeficient fracționar

Enunț. Verifică dacă $x = 6$ este soluție a ecuației $\frac{1}{2} x + 4 = 7$ .

Rezolvare. Coeficientul necunoscutei este $\frac{1}{2}$ , iar a înmulți cu $\frac{1}{2}$ înseamnă a lua jumătate. Înlocuim $x$ cu $6$ și calculăm separat:

$M S = \frac{1}{2} \cdot 6 + 4 = 3 + 4 = 7, M D = 7.$

Cum $M S = M D = 7$ , rezultă că $x = 6$ este soluție. ✓ Observă că verificarea funcționează exact la fel și când coeficientul nu este un număr întreg: respecți ordinea operațiilor (întâi înmulțirea $\frac{1}{2} \cdot 6$ , apoi adunarea) și compari cei doi membri.

Exemplul 8 — Un număr care nu poate fi soluție

Enunț. Poate fi $x = 10$ soluție a ecuației $2 x + 3 = 9$ ? Justifică fără să rezolvi ecuația.

Rezolvare. Verificăm direct: $M S = 2 \cdot 10 + 3 = 20 + 3 = 23$ , iar $M D = 9$ . Cum $23 \neq = 9$ , numărul $10$ nu este soluție. Aici verificarea ne scutește de orice rezolvare: e suficient să înlocuim și să comparăm. Reține ideea generală — pentru a arăta că un număr nu este soluție, e destul un singur calcul care dă $M S \neq = M D$ .

Să exersăm

1. Care dintre următoarele scrieri sunt ecuații și care sunt egalități numerice? (a) $9 - 4 = 5$ ; (b) $x + 6 = 10$ ; (c) $7 \cdot 2 = 13$ ; (d) $3 a = 12$ .

2. În ecuația $6 x - 11 = 7$ , precizează: necunoscuta, coeficientul ei și termenii liberi.

3. Indică membrul stâng și membrul drept ai ecuației $2 x + 9 = 5 x - 4$ .

4. Care este coeficientul necunoscutei în fiecare ecuație? (a) $x + 3 = 8$ ; (b) $- 5 x = 20$ ; (c) $\frac{1}{2} x - 1 = 4$ ; (d) $3 x = 6$ .

5. Verifică dacă $x = 4$ este soluție a ecuației $2 x + 1 = 9$ .

6. Verifică dacă $x = 3$ este soluție a ecuației $5 x - 2 = 14$ .

7. Verifică dacă $x = - 3$ este soluție a ecuației $4 x + 5 = - 7$ .

8. Adevărat sau fals? „Numărul $0$ este soluție a ecuației $7 x - 0 = 0$ ." Motivează răspunsul.

9. Dintre numerele ${0, 1, 2, 3}$ , găsește soluția ecuației $2 x + 3 = 9$ .

10. Dintre numerele ${- 2, - 1, 0, 1}$ , găsește soluția ecuației $3 x - 1 = - 7$ .

11. Verifică dacă $x = 2$ este soluție a ecuației $4 x - 3 = x + 3$ (necunoscuta apare de două ori).

12. Adevărat sau fals, cu justificare: „ $x + 2 = 2 + x$ este o ecuație cu o singură soluție."

13. Scrie sub formă de ecuație: „Triplul unui număr, mărit cu $4$ , este egal cu $19$ ."

14. Scrie sub formă de ecuație: „Un număr micșorat cu $8$ dă $15$ ." Apoi verifică dacă $23$ este soluția.

15. Maria are $x$ ani. Peste $5$ ani va avea $18$ ani. Scrie ecuația care descrie situația și verifică dacă $x = 13$ este soluție.

16. Verifică dacă $x = \frac{1}{2}$ este soluție a ecuației $4 x + 1 = 3$ .

17. Găsește, prin încercări în mulțimea ${- 1, 0, 1, 2, 3}$ , toate valorile care fac adevărată ecuația $x^{2} = x$ (unde $x^{2} = x \cdot x$ ).

18. Un abonament la sală costă $c$ lei pe lună. Pentru $4$ luni s-au plătit $260$ de lei. Scrie ecuația care modelează situația și verifică dacă $c = 65$ este soluție.

19. Verifică dacă $x = \frac{2}{3}$ este soluție a ecuației $3 x - 1 = 1$ .

20. Arată, printr-un singur calcul, că $x = 100$ nu este soluție a ecuației $2 x - 7 = 15$ .

Răspunsuri și explicații

1. Ecuații: (b) $x + 6 = 10$ și (d) $3 a = 12$ (conțin litere). Egalități numerice: (a) $9 - 4 = 5$ (adevărată) și (c) $7 \cdot 2 = 13$ (falsă, căci $7 \cdot 2 = 14$ ).

2. Necunoscuta: $x$ . Coeficientul: $6$ . Termenii liberi: $- 11$ (în membrul stâng) și $7$ (în membrul drept).

3. Membrul stâng: $2 x + 9$ . Membrul drept: $5 x - 4$ .

4. (a) coeficient $1$ (căci $x = 1 \cdot x$ ); (b) coeficient $- 5$ ; (c) coeficient $\frac{1}{2}$ ; (d) coeficient $3$ .

5. $M S = 2 \cdot 4 + 1 = 8 + 1 = 9$ ; $M D = 9$ . Cum $M S = M D$ , da, $x = 4$ este soluție.

6. $M S = 5 \cdot 3 - 2 = 15 - 2 = 13$ ; $M D = 14$ . Cum $13 \neq = 14$ , nu, $x = 3$ nu este soluție.

7. $M S = 4 \cdot (- 3) + 5 = - 12 + 5 = - 7$ ; $M D = - 7$ . Cum $M S = M D$ , da, $x = - 3$ este soluție.

8. Adevărat. $7 x - 0 = 7 x$ , iar pentru $x = 0$ avem $M S = 7 \cdot 0 = 0$ și $M D = 0$ , deci $M S = M D$ . Numărul $0$ este soluție.

9. Verificăm: $x = 3$ dă $M S = 2 \cdot 3 + 3 = 9 = M D$ . Soluția este $x = 3$ . (Celelalte: $x = 0 \to 3$ , $x = 1 \to 5$ , $x = 2 \to 7$ , niciuna egală cu $9$ .)

10. Verificăm: $x = - 2$ dă $M S = 3 \cdot (- 2) - 1 = - 6 - 1 = - 7 = M D$ . Soluția este $x = - 2$ .

11. $M S = 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5$ ; $M D = 2 + 3 = 5$ . Cum $M S = M D = 5$ , da, $x = 2$ este soluție.

12. Fals. Egalitatea $x + 2 = 2 + x$ este adevărată pentru orice număr $x$ (comutativitatea adunării), deci are o infinitate de soluții, nu una singură. Este o identitate (revezi Egalități echivalente și identități).

13. $3 x + 4 = 19$ . (Triplul numărului = $3 x$ ; „mărit cu $4$ " = $+ 4$ ; „egal cu $19$ " = $= 19$ .)

14. Ecuația: $x - 8 = 15$ . Verificare pentru $23$ : $M S = 23 - 8 = 15 = M D$ , deci da, $23$ este soluția.

15. Ecuația: $x + 5 = 18$ . Verificare pentru $x = 13$ : $M S = 13 + 5 = 18 = M D$ , deci da, $x = 13$ este soluție (Maria are acum $13$ ani).

16. $M S = 4 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 2 + 1 = 3$ ; $M D = 3$ . Cum $M S = M D = 3$ , da, $x = \frac{1}{2}$ este soluție.

17. Verificăm $x^{2} = x$ : $x = - 1 \to (- 1)^{2} = 1 \neq = - 1$ (nu); $x = 0 \to 0 = 0$ (da); $x = 1 \to 1 = 1$ (da); $x = 2 \to 4 \neq = 2$ (nu); $x = 3 \to 9 \neq = 3$ (nu). Soluțiile din mulțime sunt $x = 0$ și $x = 1$ . (Bun exemplu că o ecuație poate avea mai multe soluții.)

18. Ecuația: $4 c = 260$ . Verificare pentru $c = 65$ : $M S = 4 \cdot 65 = 260 = M D$ , deci da, $c = 65$ este soluție (abonamentul costă $65$ de lei pe lună).

19. $M S = 3 \cdot \frac{2}{3} - 1 = 2 - 1 = 1$ ; $M D = 1$ . Cum $M S = M D = 1$ , da, $x = \frac{2}{3}$ este soluție.

20. $M S = 2 \cdot 100 - 7 = 200 - 7 = 193$ ; $M D = 15$ . Cum $193 \neq = 15$ , avem $M S \neq = M D$ , deci $x = 100$ nu este soluție.

De reținut

O ecuație este o egalitate care conține cel puțin o necunoscută (literă); o egalitate fără litere este doar o egalitate numerică.
Într-o ecuație distingem necunoscuta, coeficientul ei (numărul care o înmulțește; dacă lipsește, este $1$ ) și termenii liberi (numerele fără literă). Semnul $=$ separă membrul stâng de membrul drept.
Soluția unei ecuații este numărul care, înlocuind necunoscuta, transformă egalitatea într-una adevărată. A rezolva ecuația = a găsi toate soluțiile.
Verificarea: înlocuiești necunoscuta, calculezi separat $M S$ și $M D$ ; dacă $M S = M D$ , numărul este soluție, altfel nu.
Multe situații reale (bani, vârste, prețuri) se pot modela printr-o ecuație, alegând o literă pentru mărimea necunoscută.

Greșeli frecvente

Confuzia ecuație ↔ egalitate numerică. Dacă nu apare nicio literă, nu ai o ecuație, ci o egalitate care e pur și simplu adevărată sau falsă. Caută litera necunoscută înainte de a numi o scriere „ecuație".
Uitarea semnului la coeficient. În $- 4 x + 9 = 1$ , coeficientul este $- 4$ , nu $4$ . Semnul minus din față aparține coeficientului și schimbă complet calculul la verificare.
Înlocuirea inconsecventă a necunoscutei. Când $x$ apare de mai multe ori, îl înlocuiești cu același număr peste tot. Nu ai voie să pui, de pildă, $2$ în stânga și $5$ în dreapta.
Ignorarea ordinii operațiilor la verificare. În $3 x - 5$ , mai întâi faci înmulțirea $3 \cdot x$ , apoi scăderea. Dacă scazi înainte de a înmulți, obții un rezultat greșit și verificarea „pică" fără vină.

Aplică acasă

Portofelul. Notează câți bani ai acum într-un portofel sau într-o pușculiță (fie $x$ ). Cheltuie o sumă cunoscută pe ceva real (de exemplu $12$ lei) și numără cât îți rămâne. Scrie ecuația $x - 12 = (rest)$ și verifică, punând suma inițială reală în locul lui $x$ , că egalitatea se potrivește.
Vârste în familie. Alege un membru al familiei și scrie o ecuație de tipul „vârsta lui peste $n$ ani va fi …". Roagă persoana să-ți spună răspunsul, apoi verifică dacă vârsta ei actuală este soluția ecuației tale.
Chitanța de la magazin. Ia o chitanță pe care ai cumpărat mai multe produse identice (de exemplu $3$ sticle de apă la același preț). Scrie ecuația $3 p = (total)$ și verifică, prin înlocuire, prețul unei bucăți afișat pe chitanță.

Pentru părinți și profesori

Această lecție pune bazele conceptuale pentru tot capitolul de ecuații liniare, așa că merită insistat pe înțelegere, nu pe viteză. Cel mai util sprijin pe care îl puteți oferi este să cereți copilului să verbalizeze diferența dintre o egalitate numerică (fără literă, deja adevărată sau falsă) și o ecuație (cu necunoscută, adevărată doar pentru anumite valori).

Întrebări bune de verificare a înțelegerii:

„Ce este necunoscuta în această ecuație și care este coeficientul ei?"
„Ce înseamnă că un număr este soluție? Cum îmi arăți, fără să rezolvi, dacă $x = 5$ este soluție?"
„Poți să-mi inventezi o ecuație care are soluția $x = 4$ ?" (semn puternic de înțelegere reală).

Veți ști că elevul a înțeles atunci când calculează separat membrul stâng și membrul drept la verificare și trage concluzia corect, respectând ordinea operațiilor și semnele. Nu vă alarmați dacă încă nu rezolvă ecuațiile prin calcul — acesta este obiectivul lecțiilor următoare; aici scopul este să recunoască structura și să verifice corect.

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație la clasa a 7-a? O ecuație este o egalitate care conține cel puțin o necunoscută, adică o literă ce ține locul unui număr căutat, de exemplu $x + 5 = 8$ . Spre deosebire de o egalitate numerică, ea nu este nici adevărată, nici falsă până nu afli valoarea necunoscutei.

Care este diferența dintre o ecuație și o egalitate obișnuită? O egalitate numerică (ca $7 - 2 = 5$ ) conține doar numere și este imediat adevărată sau falsă. O ecuație conține o literă necunoscută și devine adevărată doar pentru anumite valori ale acesteia, pe care le numim soluții.

Ce înseamnă soluția unei ecuații? Soluția (sau rădăcina) este numărul care, pus în locul necunoscutei, face egalitatea adevărată. De exemplu, $x = 3$ este soluția ecuației $x + 5 = 8$ , pentru că $3 + 5 = 8$ .

Cum verific dacă un număr este soluție a unei ecuații? Înlocuiești necunoscuta cu acel număr, calculezi separat membrul stâng și membrul drept, apoi le compari. Dacă cele două rezultate sunt egale, numărul este soluție; dacă sunt diferite, nu este.

Ce sunt coeficientul și termenul liber? Coeficientul este numărul cu care este înmulțită necunoscuta (în $3 x$ , coeficientul este $3$ ); dacă litera apare singură, coeficientul este $1$ . Termenii liberi sunt numerele care apar fără literă, ca $4$ și $19$ în ecuația $3 x + 4 = 19$ .

O ecuație poate avea mai multe soluții? Da. Multe ecuații liniare au o singură soluție, dar există și ecuații cu mai multe soluții (de exemplu $x^{2} = x$ are soluțiile $0$ și $1$ ), ecuații fără soluție și ecuații cu o infinitate de soluții. Aceste cazuri le vei studia detaliat mai târziu în capitol.

Ce înseamnă „a rezolva o ecuație"? Înseamnă a găsi toate valorile necunoscutei pentru care egalitatea devine adevărată. La această lecție înveți mai ales să recunoști și să verifici soluții; metodele complete de rezolvare vin în lecțiile Ecuația de forma $a x + b = 0$ și Ecuații echivalente.

De ce contează verificarea dacă oricum rezolv ecuația? Verificarea îți confirmă că nu ai făcut greșeli de calcul pe parcursul rezolvării. Este un obicei de siguranță foarte valoros: chiar dacă ești convins de răspuns, o verificare rapidă îți dă certitudinea că soluția este corectă.