Ecuația de forma ax + b = 0

Imaginează-ți că mai ai de parcurs 60 de km cu bicicleta, înaintezi câte 15 km în fiecare oră și vrei să afli după câte ore ajungi exact la 0 km rămași. Sau că un magazin online îți spune „prețul final după reducerea de 40 de lei este 0 lei" și tu vrei să afli prețul inițial. Toate aceste situații ascund o singură necunoscută și o singură egalitate, iar forma lor matematică este cea mai importantă ecuație pe care o înveți în clasa a VII-a: ecuația de forma $ax+b=0$. În această lecție vei învăța o rețetă sigură, pas cu pas, prin care rezolvi orice astfel de ecuație și scrii corect mulțimea soluțiilor.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști forma generală a ecuației de gradul I, $ax+b=0$, și să identifici coeficienții $a$ și $b$.
• Vei ști să rezolvi o ecuație de forma $ax+b=0$ cu $a\ne 0$, prin transformări echivalente (izolarea necunoscutei și împărțirea la coeficientul $a$).
• Vei ști să scrii corect mulțimea soluțiilor unei ecuații, folosind notația $S=\{\dots \}$.
• Vei ști să rezolvi ecuații cu coeficienți întregi, fracționari sau cu radicali (numere iraționale).
• Vei ști să redactezi ordonat pașii rezolvării și să verifici rezultatul obținut.

Hai să descoperim împreună

1. De la ce pornim: ce este o ecuație

În lecțiile anterioare ai aflat că o ecuație este o egalitate care conține o necunoscută (de obicei notată cu litera $x$) și că a rezolva ecuația înseamnă a găsi toate valorile necunoscutei pentru care egalitatea este adevărată. O astfel de valoare se numește soluție. Dacă ai nevoie de o reîmprospătare, poți reciti lecția Ecuații: necunoscută, soluție și verificare.

Acum facem un pas mai departe. În loc să lucrăm cu ecuații „la întâmplare", vom studia o formă standard, un tipar în care se încadrează foarte multe ecuații întâlnite la clasă și în viață.

2. Forma generală a ecuației de gradul I

Definiție. Se numește ecuație de gradul I (sau ecuație liniară) cu o necunoscută o ecuație care se poate scrie sub forma $$ax+b=0,$$ unde $a$ și $b$ sunt numere reale date, iar $x$ este necunoscuta.

Numerele $a$ și $b$ se numesc coeficienți:

• $a$ este coeficientul necunoscutei (numărul care înmulțește pe $x$);
• $b$ este termenul liber (numărul care apare singur, fără $x$).

De ce se numește „de gradul I"? Pentru că necunoscuta $x$ apare la puterea întâi: $x=x^1$. Nu avem $x^2$, nu avem $x^3$, nu avem $x$ la numitor — doar $x$ simplu. Aceasta este trăsătura care face ecuația „liniară".

Să ne uităm la câteva exemple ca să identificăm coeficienții:

Observă câteva lucruri importante:

• La ecuația $5x-20=0$ scriem $b=-20$, nu $b=20$. Semnul minus face parte din termenul liber, pentru că forma standard cere adunare: $5x+(-20)=0$.
• La ecuația $x+9=0$ coeficientul lui $x$ este $1$, chiar dacă nu îl scriem. Regula este: dacă în fața lui $x$ nu apare niciun număr, atunci $a=1$; dacă apare doar semnul minus, ca la $-x+3=0$, atunci $a=-1$.

Uneori ecuația nu este scrisă chiar în forma $ax+b=0$, dar se recunoaște ușor că este tot o ecuație de gradul I. De exemplu, $2x=8$ este aceeași ecuație cu $2x-8=0$ (am trecut pe $8$ în stânga), iar $x+5=12$ este aceeași cu $x-7=0$. Ideea de reținut este: contează structura, nu felul exact în care sunt așezați termenii. Dacă necunoscuta apare doar la puterea întâi și nu este la numitor, ecuația este de gradul I și i se aplică aceeași rețetă, după ce (eventual) o aducem la forma standard cu $0$ în membrul drept.

3. Ideea de bază: „balanța" trebuie să rămână în echilibru

Ca să rezolvăm o ecuație, ne folosim de o imagine foarte utilă: balanța (cântarul cu două talere). Semnul egal, $=$, înseamnă că cele două talere sunt în echilibru: ce este scris în stânga „cântărește" la fel ca ce este scris în dreapta.

Regula de aur a balanței este simplă: orice faci pe un taler, trebuie să faci exact la fel și pe celălalt, altfel echilibrul se strică. În limbaj matematic, avem voie să facem asupra unei ecuații două tipuri de operații care nu schimbă soluția:

1. Adunăm (sau scădem) același număr în ambii membri ai ecuației.
2. Înmulțim (sau împărțim) ambii membri cu același număr diferit de zero.

Aceste operații se numesc transformări echivalente, pentru că transformă ecuația într-o ecuație echivalentă — o ecuație diferită la scris, dar cu aceeași soluție. Vei studia în detaliu aceste transformări în lecția următoare, Ecuații echivalente. Transformări echivalente. Deocamdată ne interesează cum le folosim ca să ajungem la răspuns.

4. Rețeta de rezolvare a ecuației $ax+b=0$ (cu $a\ne 0$)

Iată planul în doi pași mari. Vom presupune peste tot că $a\ne 0$ (cazul $a=0$ este special și îl discutăm la final).

Pasul 1 — Izolăm termenul cu necunoscuta. Vrem ca în stânga să rămână doar $ax$, iar în dreapta doar numere. Pentru asta, scădem $b$ din ambii membri (adică „trecem pe $b$ de partea cealaltă cu semn schimbat"): $$ax+b=0|-b$$ $$ax=-b.$$

Pasul 2 — Împărțim la coeficientul $a$. Acum $x$ este înmulțit cu $a$. Ca să rămână singur, împărțim ambii membri la $a$ (avem voie, pentru că $a\ne 0$): $$\frac{ax}{a}=\frac{-b}{a}⟹x=-\frac{b}{a}.$$

Am obținut formula soluției: $$\boxed{x=-\frac{b}{a},a\ne 0.}$$

Pasul 3 — Scriem mulțimea soluțiilor. O ecuație de forma $ax+b=0$ cu $a\ne 0$ are exact o soluție. O scriem sub forma: $$S=\left\{-\frac{b}{a}\right\}.$$

Aici $S$ vine de la „soluție" (mulțimea soluțiilor), iar acoladele $\{\}$ arată că este vorba despre o mulțime care conține un singur element.

Atenție la limbaj. Nu confunda „soluția" cu „mulțimea soluțiilor". Soluția este numărul, de exemplu $-4$. Mulțimea soluțiilor este mulțimea care conține acel număr, adică $S=\{-4\}$. La un test riguros, se cere de obicei scrierea mulțimii soluțiilor.

5. Un prim exemplu, foarte încet

Să rezolvăm $3x-12=0$.

Identificăm coeficienții: $a=3$, $b=-12$.

Pasul 1. Izolăm termenul cu $x$. Termenul liber este $-12$; îl mutăm în dreapta adunând $12$ în ambii membri: $$3x-12=0|+12$$ $$3x=12.$$

Pasul 2. Împărțim ambii membri la $3$ (coeficientul lui $x$): $$\frac{3x}{3}=\frac{12}{3}⟹x=4.$$

Pasul 3. Scriem mulțimea soluțiilor: $S=\{4\}$.

Verificarea este obligatorie și te salvează de greșeli. Înlocuim $x=4$ în ecuația inițială: $$3\cdot 4-12=12-12=0.✓$$ Egalitatea este adevărată, deci soluția este corectă.

6. Regula practică „trec dincolo cu semn schimbat"

Când muți un termen dintr-un membru în celălalt, el își schimbă semnul. Aceasta nu este o regulă magică, ci pur și simplu scurtătura pentru „adun (sau scad) același număr în ambii membri". Compară:

• $3x-12=0\Rightarrow 3x=12$ (pe $-12$ l-am trecut în dreapta, unde devine $+12$).
• $5x+7=0\Rightarrow 5x=-7$ (pe $+7$ l-am trecut în dreapta, unde devine $-7$).

Această scurtătură funcționează și pentru termenul cu necunoscuta, lucru de care vom avea nevoie la ecuațiile în care $x$ apare în ambii membri (vezi lecția Ecuații reductibile la forma ax + b = 0).

7. Ce se întâmplă când coeficientul $a$ este negativ

Pașii sunt identici, dar trebuie să fim atenți la semne. Să rezolvăm $-4x+20=0$.

Coeficienți: $a=-4$, $b=20$.

Pasul 1. Trecem $20$ în dreapta: $$-4x=-20.$$

Pasul 2. Împărțim ambii membri la $a=-4$: $$x=\frac{-20}{-4}=5.$$ (Minus împărțit la minus dă plus.)

Pasul 3. $S=\{5\}$.

Verificare: $-4\cdot 5+20=-20+20=0.$ ✓

Un truc util: dacă nu îți place să lucrezi cu $-x$, poți înmulți toată ecuația cu $-1$ de la început. Ecuația $-4x+20=0$ devine $4x-20=0$, adică $4x=20$, deci $x=5$. Ai obținut același rezultat, dar cu numere pozitive.

8. Ecuații cu coeficienți fracționari

Nu te speria de fracții. Există două căi.

Calea 1 — folosești direct formula. Fie $\frac{2}{3}x-8=0$. Aici $a=\frac{2}{3}$, $b=-8$.

$$\frac{2}{3}x=8.$$

Ca să scoatem pe $x$, împărțim la $\frac{2}{3}$, adică înmulțim cu inversul, $\frac{3}{2}$: $$x=8\cdot \frac{3}{2}=\frac{24}{2}=12.$$

Deci $S=\{12\}$. Verificare: $\frac{2}{3}\cdot 12-8=\frac{24}{3}-8=8-8=0.$ ✓

Calea 2 — scapi de numitori de la început. Această cale este adesea mai comodă când ecuația are mai multe fracții. Înmulțim toată ecuația cu numitorul (sau cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor). La $\frac{2}{3}x-8=0$ înmulțim cu $3$: $$3\cdot \frac{2}{3}x-3\cdot 8=3\cdot 0⟹2x-24=0⟹2x=24⟹x=12.$$

Ai obținut același rezultat. Reține: când înmulțești ecuația cu un număr, înmulțești FIECARE termen, inclusiv pe cel din dreapta (chiar dacă e $0$).

9. Ecuații cu radicali (coeficienți iraționali)

La clasa a VII-a ai învățat despre numere iraționale și radicali. Ei bine, coeficienții $a$ și $b$ pot fi și numere cu radicali. Metoda nu se schimbă deloc.

Să rezolvăm $\sqrt{3}x-6=0$. Coeficienți: $a=\sqrt{3}$, $b=-6$.

Pasul 1. $\sqrt{3}x=6.$

Pasul 2. Împărțim la $\sqrt{3}$: $$x=\frac{6}{\sqrt{3}}.$$

Rezultatul are radical la numitor, iar la clasa a VII-a se cere raționalizarea numitorului (vezi Raționalizarea numitorului de forma a√b). Amplificăm fracția cu $\sqrt{3}$: $$x=\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}.$$

Deci $S=\{2\sqrt{3}\}$. Verificare: $\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}-6=2\cdot (\sqrt{3}{)}^2-6=2\cdot 3-6=6-6=0.$ ✓

Reține: soluția unei ecuații poate fi un număr irațional. Nu e nimic greșit dacă răspunsul conține un radical; important e să fie scris în forma cea mai simplă, cu numitorul raționalizat.

10. Cazul special: ce se întâmplă dacă $a=0$

Toată rețeta funcționează pentru că am împărțit la $a$, iar împărțirea la zero nu are sens. De aceea am cerut $a\ne 0$. Ce facem dacă $a=0$? Atunci ecuația devine $0\cdot x+b=0$, adică pur și simplu $b=0$. Aici apar două posibilități:

• Dacă $b\ne 0$ (de exemplu $0\cdot x+5=0$, adică $5=0$), egalitatea este falsă oricare ar fi $x$. Ecuația nu are nicio soluție, iar mulțimea soluțiilor este mulțimea vidă: $S=\varnothing$.
• Dacă $b=0$ (adică $0\cdot x+0=0$, deci $0=0$), egalitatea este adevărată pentru orice $x$. Ecuația are o infinitate de soluții: $S=\mathbb{R}$.

Aceste situații le vei studia mai pe larg în lecția Cazurile unei ecuații liniare: una, niciuna sau o infinitate de soluții. În lecția de față ne concentrăm pe cazul cel mai des întâlnit, cu $a\ne 0$, când ecuația are exact o soluție.

De ținut minte: o ecuație de forma $ax+b=0$ cu $a\ne 0$ are întotdeauna exact o soluție, și anume $x=-\frac{b}{a}$.

11. Cum redactăm corect o rezolvare

La test nu contează doar răspunsul, ci și cum îl scrii. O redactare bună arată așa:

1. Scrii ecuația dată.
2. Aplici transformările echivalente, una câte una, notând lângă bară ce operație faci (de exemplu $|+5$ sau $|:2$).
3. Ajungi la $x=\dots$.
4. Scrii mulțimea soluțiilor: $S=\{\dots \}$.
5. Faci verificarea înlocuind în ecuația inițială.

Ordinea și claritatea contează. Un profesor trebuie să poată urmări raționamentul tău fără să ghicească.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — coeficienți întregi, cel mai simplu tip

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $7x-35=0$.

Rezolvare. Coeficienți: $a=7$, $b=-35$. $$7x-35=0|+35$$ $$7x=35|:7$$ $$x=5.$$ Mulțimea soluțiilor: $S=\{5\}$.

Verificare: $7\cdot 5-35=35-35=0.$ ✓

Exemplul 2 — coeficientul necunoscutei este negativ

Rezolvă ecuația $-2x+9=0$.

Rezolvare. Coeficienți: $a=-2$, $b=9$. $$-2x+9=0|-9$$ $$-2x=-9|:(-2)$$ $$x=\frac{-9}{-2}=\frac{9}{2}=4,5.$$ Mulțimea soluțiilor: $S=\left\{\frac{9}{2}\right\}$.

Verificare: $-2\cdot \frac{9}{2}+9=-9+9=0.$ ✓

Observă că soluția poate fi un număr rațional (o fracție sau un număr zecimal). Nu trebuie să fie neapărat număr întreg.

Exemplul 3 — coeficient fracționar

Rezolvă ecuația $\frac{3}{5}x+6=0$.

Rezolvare. Voi folosi metoda „scap de numitor". Înmulțesc toată ecuația cu $5$: $$5\cdot \frac{3}{5}x+5\cdot 6=5\cdot 0⟹3x+30=0.$$ Acum am coeficienți întregi: $$3x=-30|:3⟹x=-10.$$ Mulțimea soluțiilor: $S=\{-10\}$.

Verificare: $\frac{3}{5}\cdot (-10)+6=\frac{-30}{5}+6=-6+6=0.$ ✓

Exemplul 4 — ecuație cu radical, cu raționalizare

Rezolvă ecuația $\sqrt{5}x-10=0$.

Rezolvare. Coeficienți: $a=\sqrt{5}$, $b=-10$. $$\sqrt{5}x=10|:\sqrt{5}$$ $$x=\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}.$$ Mulțimea soluțiilor: $S=\{2\sqrt{5}\}$.

Verificare: $\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}-10=2\cdot 5-10=10-10=0.$ ✓

Exemplul 5 — necunoscuta apare cu coeficientul 1

Rezolvă ecuația $x+\frac{2}{7}=0$.

Rezolvare. Aici $a=1$, $b=\frac{2}{7}$. Trecem termenul liber în dreapta: $$x=-\frac{2}{7}.$$ Mulțimea soluțiilor: $S=\left\{-\frac{2}{7}\right\}$.

Verificare: $-\frac{2}{7}+\frac{2}{7}=0.$ ✓

Când $a=1$, ecuația se rezolvă practic dintr-un singur pas: soluția este chiar termenul liber cu semn schimbat.

Exemplul 6 — mică problemă modelată printr-o ecuație

Ai primit cadou un card de $200$ de lei pentru o sală de sport, iar abonamentul costă $8$ lei pe lună și se plătește de pe card. Situația „banii de pe card s-au terminat exact" are ca model matematic ecuația $8x-200=0$, unde $x$ este numărul de luni. După câte luni se termină exact banii de pe card?

Rezolvare. $$8x-200=0⟹8x=200⟹x=\frac{200}{8}=25.$$ Mulțimea soluțiilor: $S=\{25\}$. Deci banii de pe card se termină exact după $25$ de luni.

Verificare: $8\cdot 25-200=200-200=0.$ ✓

Exemplul 7 — coeficienți zecimali

Rezolvă ecuația $0,5x-3=0$.

Rezolvare. Numerele zecimale nu schimbă cu nimic rețeta; sunt tot numere reale. Coeficienți: $a=0,5$, $b=-3$. $$0,5x-3=0|+3$$ $$0,5x=3|:0,5$$ $$x=\frac{3}{0,5}=6.$$ Mulțimea soluțiilor: $S=\{6\}$.

Verificare: $0,5\cdot 6-3=3-3=0.$ ✓

Dacă preferi să eviți împărțirea la un număr zecimal, poți transforma întâi coeficientul în fracție: $0,5=\frac{1}{2}$, deci ecuația devine $\frac{1}{2}x-3=0$, de unde $\frac{1}{2}x=3$ și $x=6$. Un alt truc: înmulțești toată ecuația cu $10$ ca să scapi de virgulă, obținând $5x-30=0$, deci $x=6$. Trei drumuri, același rezultat.

Să exersăm

Rezolvă fiecare ecuație în mulțimea numerelor reale, scrie mulțimea soluțiilor $S$ și verifică rezultatul.

1. $x+6=0$
2. $4x-20=0$
3. $9x+27=0$
4. $-3x+15=0$
5. $2x-7=0$
6. $-5x-35=0$
7. $\frac{1}{2}x-4=0$
8. $\frac{2}{3}x+10=0$
9. $6x+4=0$
10. $\sqrt{2}x-8=0$
11. $\sqrt{7}x+7=0$
12. $-x+\frac{3}{4}=0$
13. Adevărat sau fals (justifică): „Ecuația $5x-10=0$ are soluția $x=2$."
14. Adevărat sau fals (justifică): „Ecuația $ax+b=0$ are întotdeauna exact o soluție, indiferent de valorile lui $a$ și $b$."
15. Găsește numărul $b$ astfel încât ecuația $3x+b=0$ să aibă soluția $x=4$.
16. Găsește numărul $a$ (nenul) astfel încât ecuația $ax-12=0$ să aibă soluția $x=3$.
17. Problemă. Într-un joc video, scorul unui jucător este dat de formula $S=25n-150$, unde $n$ este numărul de niveluri terminate. Câte niveluri trebuie terminate pentru ca scorul să fie exact $0$?
18. Problemă. Gândește-te la un număr. Îl înmulțești cu $4$, apoi scazi $18$ și obții $0$. Scrie ecuația și află numărul.
19. $0,2x-5=0$
20. $-\frac{3}{4}x+6=0$

Răspunsuri și explicații

1. $x=-6$; $S=\{-6\}$. Trecem $6$ în dreapta cu semn schimbat. Verificare: $-6+6=0$. ✓
2. $4x=20\Rightarrow x=5$; $S=\{5\}$. Verificare: $4\cdot 5-20=0$. ✓
3. $9x=-27\Rightarrow x=-3$; $S=\{-3\}$. Verificare: $9\cdot (-3)+27=-27+27=0$. ✓
4. $-3x=-15\Rightarrow x=5$; $S=\{5\}$. (Minus împărțit la minus dă plus.) Verificare: $-3\cdot 5+15=0$. ✓
5. $2x=7\Rightarrow x=\frac{7}{2}=3,5$; $S=\left\{\frac{7}{2}\right\}$. Verificare: $2\cdot \frac{7}{2}-7=7-7=0$. ✓
6. $-5x=35\Rightarrow x=\frac{35}{-5}=-7$; $S=\{-7\}$. Verificare: $-5\cdot (-7)-35=35-35=0$. ✓
7. $\frac{1}{2}x=4\Rightarrow x=4\cdot 2=8$; $S=\{8\}$. Verificare: $\frac{1}{2}\cdot 8-4=4-4=0$. ✓
8. $\frac{2}{3}x=-10\Rightarrow x=-10\cdot \frac{3}{2}=\frac{-30}{2}=-15$; $S=\{-15\}$. Verificare: $\frac{2}{3}\cdot (-15)+10=-10+10=0$. ✓
9. $6x=-4\Rightarrow x=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$ (simplificat cu $2$); $S=\left\{-\frac{2}{3}\right\}$. Verificare: $6\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+4=-4+4=0$. ✓
10. $\sqrt{2}x=8\Rightarrow x=\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$; $S=\{4\sqrt{2}\}$. Verificare: $\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}-8=4\cdot 2-8=0$. ✓
11. $\sqrt{7}x=-7\Rightarrow x=\frac{-7}{\sqrt{7}}=\frac{-7\sqrt{7}}{7}=-\sqrt{7}$; $S=\{-\sqrt{7}\}$. Verificare: $\sqrt{7}\cdot (-\sqrt{7})+7=-7+7=0$. ✓
12. $-x=-\frac{3}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{4}$; $S=\left\{\frac{3}{4}\right\}$. Verificare: $-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=0$. ✓
13. Adevărat. Înlocuim: $5\cdot 2-10=10-10=0$, egalitatea este adevărată, deci $x=2$ este soluție.
14. Fals. Afirmația este corectă doar dacă $a\ne 0$. Dacă $a=0$ și $b\ne 0$, ecuația nu are soluții ($S=\varnothing$); dacă $a=0$ și $b=0$, are o infinitate de soluții ($S=\mathbb{R}$). Deci nu este „întotdeauna".
15. Punem condiția ca $x=4$ să fie soluție: $3\cdot 4+b=0\Rightarrow 12+b=0\Rightarrow b=-12$.
16. Punem condiția ca $x=3$ să fie soluție: $a\cdot 3-12=0\Rightarrow 3a=12\Rightarrow a=4$.
17. Punem $S=0$: $25n-150=0\Rightarrow 25n=150\Rightarrow n=6$. Trebuie terminate $6$ niveluri. Verificare: $25\cdot 6-150=150-150=0$. ✓
18. Ecuația: $4x-18=0\Rightarrow 4x=18\Rightarrow x=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}=4,5$. Numărul este $4,5$. Verificare: $4\cdot 4,5-18=18-18=0$. ✓
19. $0,2x=5\Rightarrow x=\frac{5}{0,2}=25$; $S=\{25\}$. (Poți înmulți întâi cu $10$: $2x-50=0\Rightarrow x=25$.) Verificare: $0,2\cdot 25-5=5-5=0$. ✓
20. $-\frac{3}{4}x=-6\Rightarrow x=-6\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{24}{3}=8$; $S=\{8\}$. Verificare: $-\frac{3}{4}\cdot 8+6=-6+6=0$. ✓

De reținut

• Forma generală a ecuației de gradul I este $ax+b=0$, cu $a$ și $b$ numere reale, iar $x$ necunoscuta.
• Dacă $a\ne 0$, ecuația are exact o soluție, dată de formula $x=-\frac{b}{a}$.
• Se rezolvă în doi pași: izolezi termenul cu necunoscuta ($ax=-b$), apoi împarți la $a$.
• Mulțimea soluțiilor se scrie cu acolade: $S=\{\text{soluția}\}$. Nu confunda numărul-soluție cu mulțimea soluțiilor.
• Verifici întotdeauna înlocuind soluția în ecuația inițială; ambii membri trebuie să dea aceeași valoare.

Greșeli frecvente

• Uiți să schimbi semnul când muți un termen. Din $3x+7=0$ scrii greșit $3x=7$. Corect: $3x=-7$. Când treci un termen în celălalt membru, își schimbă semnul.
• Împarți la $a$ doar un membru. Scrii $ax=-b$, apoi $x=-b$, uitând să împarți și partea stângă. Împărțirea la $a$ se aplică la ambii membri.
• Greșești semnul la împărțirea a două numere negative. De exemplu $\frac{-15}{-3}$ nu este $-5$, ci $+5$. Minus la minus dă plus.
• Lași radicalul la numitor. Scrii $x=\frac{6}{\sqrt{3}}$ și te oprești. La clasa a VII-a trebuie să raționalizezi: $\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$.
• Confunzi soluția cu mulțimea soluțiilor. Răspunsul complet cere $S=\{4\}$, nu doar $x=4$, când cerința este scrierea mulțimii soluțiilor.

Aplică acasă

• Prețul de pornire. Ia o factură sau o reclamă în care apare o reducere fixă (de exemplu „$40$ de lei reducere"). Notează cu $x$ prețul inițial și scrie o ecuație de forma $x-40=0$ pentru o situație pe care o inventezi (de exemplu „după reducere prețul devine $0$"), apoi rezolv-o. Discută cu un părinte dacă rezultatul are sens.
• Fabrica de ecuații. Alege-ți o soluție secretă, de exemplu $x=7$. Construiește singur trei ecuații diferite de forma $ax+b=0$ care să aibă exact această soluție (indiciu: dacă vrei soluția $7$, ia $b=-7a$). Dă-le unui coleg să le rezolve și verificați împreună că toate dau $7$.
• Cronometru de logică. Scrie pe cartonașe $10$ ecuații de gradul I (amestecă întregi, fracții și radicali) și cronometrează-te cât rezolvi tot setul cu verificare. Repetă peste câteva zile și compară timpii — vei vedea singur cum devii mai rapid și mai sigur.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este piatra de temelie a întregii unități de ecuații. Elevul trebuie să interiorizeze rețeta în doi pași (izolează, apoi împarte) și obiceiul verificării. Pentru a-l sprijini:

• Cereți-i să spună cu voce tare ce operație face la fiecare pas („scad $12$ din ambii membri", „împart cu $3$"). Verbalizarea previne greșelile de semn.
• Verificați împreună răspunsul prin înlocuire. Dacă la înlocuire nu obține $0$ în ecuația inițială, undeva este o greșeală de semn sau de calcul — lăsați-l pe el să o caute.
• Testați înțelegerea cu întrebări de tip „invers": „Ce valoare trebuie să aibă $b$ pentru ca ecuația $2x+b=0$ să aibă soluția $5$?" (răspuns: $b=-10$). Dacă rezolvă corect astfel de cerințe, a înțeles legătura dintre coeficienți și soluție, nu doar un algoritm mecanic.
• Un semn clar că a înțeles: nu se blochează la coeficienți negativi, fracționari sau cu radicali și scrie corect mulțimea soluțiilor $S=\{\dots \}$.

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație de forma ax + b = 0 la clasa a 7-a? Este forma standard a ecuației de gradul I (liniare) cu o necunoscută, unde $a$ și $b$ sunt numere reale date, iar $x$ este necunoscuta. Necunoscuta apare la puterea întâi, fără $x^2$ și fără $x$ la numitor. Dacă $a\ne 0$, ecuația are exact o soluție.

Cum rezolv o ecuație de gradul I pas cu pas? Mai întâi izolezi termenul cu necunoscuta, trecând termenul liber în celălalt membru cu semn schimbat ($ax=-b$). Apoi împarți ambii membri la coeficientul $a$, obținând $x=-\frac{b}{a}$. La final scrii mulțimea soluțiilor $S=\{\dots \}$ și verifici prin înlocuire în ecuația inițială.

Ce este mulțimea soluțiilor unei ecuații? Este mulțimea tuturor valorilor necunoscutei pentru care egalitatea este adevărată. Se notează cu $S$ și se scrie între acolade. Pentru o ecuație $ax+b=0$ cu $a\ne 0$, mulțimea soluțiilor are un singur element: $S=\left\{-\frac{b}{a}\right\}$.

De ce trebuie ca $a$ să fie diferit de zero? Pentru că în ultimul pas împărțim ambii membri la $a$, iar împărțirea la zero nu are sens în matematică. Dacă $a=0$, ecuația nu mai este de gradul I: fie nu are nicio soluție (când $b\ne 0$), fie are o infinitate de soluții (când $b=0$).

Poate soluția unei ecuații să fie o fracție sau un număr cu radical? Da. Soluția poate fi orice număr real: întreg, fracție, număr zecimal sau chiar număr irațional (cu radical). De exemplu, $2x-7=0$ are soluția $\frac{7}{2}$, iar $\sqrt{2}x-8=0$ are soluția $4\sqrt{2}$. Important este să scrii răspunsul în forma cea mai simplă, cu numitorul raționalizat.

Cum verific dacă soluția găsită este corectă? Înlocuiești valoarea găsită în ecuația inițială, în locul lui $x$, și calculezi. Dacă cei doi membri dau aceeași valoare (la $ax+b=0$ trebuie să obții $0$), soluția este corectă. Verificarea în ecuația inițială, nu într-una transformată, prinde și eventualele greșeli de calcul făcute pe parcurs.

Ce înseamnă „transformări echivalente" la ecuații? Sunt operațiile care schimbă forma ecuației fără să-i schimbe soluția: adunarea (sau scăderea) aceluiași număr în ambii membri și înmulțirea (sau împărțirea) ambilor membri cu același număr diferit de zero. Pe acestea le folosim ca să izolăm necunoscuta. Le studiezi detaliat în lecția despre ecuații echivalente.

Ce fac dacă necunoscuta apare de mai multe ori sau în ambii membri? Aduni mai întâi termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt, folosind regula „trec dincolo cu semn schimbat", până ajungi la forma $ax+b=0$. De aici aplici aceeași rețetă. Acest tip de ecuații este tratat în lecția Ecuații reductibile la forma ax + b = 0.