Egalități echivalente și identități

Gândește-te la o balanță aflată în echilibru: pe talerul din stânga ai o greutate, pe cel din dreapta o alta, iar acul indică perfect mijlocul. Dacă adaugi exact aceeași greutate pe ambele talere, balanța rămâne în echilibru. Dacă iei aceeași cantitate de pe ambele, la fel. Această idee simplă stă la baza întregii algebre pe care o vei studia în acest an: egalitățile echivalente. Înțelegând ce transformări păstrează echilibrul unei egalități, vei ști exact ce ai voie să faci atunci când rezolvi ecuații. În plus, vei descoperi și o categorie specială de egalități, numite identități, care sunt adevărate indiferent ce număr am pune în locul literei — un instrument esențial în tot calculul cu numere reale.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști membrii unei egalități numerice și să spui dacă o egalitate este adevărată sau falsă.
• Vei ști să transformi o egalitate într-o egalitate echivalentă folosind proprietățile adunării, scăderii, înmulțirii și împărțirii.
• Vei ști să justifici fiecare transformare printr-o regulă de calcul cu numere reale.
• Vei ști să recunoști o identitate și să o deosebești de o egalitate adevărată doar pentru anumite valori ale literei.
• Vei ști să verifici, prin înlocuire, dacă o egalitate cu literă este identitate, este adevărată doar uneori sau este falsă mereu.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o egalitate numerică

O egalitate este o scriere matematică formată din două expresii legate prin semnul „$=$”. Expresia din stânga semnului se numește membrul stâng, iar cea din dreapta membrul drept. Împreună, ele formează cei doi membri ai egalității.

De exemplu, în scrierea $$7+5=12,$$ membrul stâng este $7+5$, iar membrul drept este $12$.

Semnul „$=$” nu este doar un simbol care „anunță rezultatul”, așa cum poate ți se părea în clasele mici. El are un înțeles precis: afirmă că cele două expresii reprezintă exact același număr. Din acest motiv, orice egalitate poate fi:

• adevărată, dacă cei doi membri chiar reprezintă același număr;
• falsă, dacă cei doi membri reprezintă numere diferite.

Astfel, $7+5=12$ este o egalitate adevărată, pentru că ambii membri valorează $12$. În schimb, $$9-4=6$$ este o egalitate falsă, deoarece membrul stâng valorează $5$, nu $6$. Reține: o egalitate falsă rămâne o egalitate scrisă corect din punct de vedere formal — pur și simplu afirmă ceva neadevărat.

2. Egalități care conțin o literă

Până acum am scris egalități doar cu numere. Dar în algebră întâlnim des egalități care conțin o literă (o necunoscută), de obicei notată $x$, $y$ sau $a$. De exemplu: $$2x+1=7.$$

O astfel de egalitate nu este nici adevărată, nici falsă „de la sine”: valoarea ei de adevăr depinde de ce număr punem în locul literei. Hai să verificăm:

• Dacă $x=3$, membrul stâng devine $2\cdot 3+1=7$, iar membrul drept este $7$. Egalitatea este adevărată.
• Dacă $x=1$, membrul stâng devine $2\cdot 1+1=3$, iar membrul drept este $7$. Egalitatea este falsă.

Vedem deci că, pentru unele valori ale literei, egalitatea este adevărată, iar pentru altele este falsă. Numerele care fac egalitatea adevărată se numesc, așa cum vei studia în lecția următoare despre noțiuni introductive despre ecuații, soluții. În lecția de față ne interesează un lucru mai general: ce putem face cu o egalitate fără să-i stricăm valoarea de adevăr.

3. Proprietățile egalității — ce transformări sunt permise

Aici intervine imaginea balanței. O egalitate adevărată este ca o balanță în echilibru. Întrebarea este: ce operații pot face asupra ambilor membri astfel încât echilibrul (valoarea de adevăr) să se păstreze? Răspunsul este dat de patru proprietăți fundamentale ale egalității, valabile pentru orice numere reale.

Proprietatea 1 — adunarea aceluiași număr. Dacă la ambii membri ai unei egalități adevărate adunăm același număr, obținem tot o egalitate adevărată. În limbaj simbolic, pentru orice numere reale $a$, $b$ și $c$: $$\text{daca˘ }a=b,\text{ atunci }a+c=b+c.$$

De exemplu, pornim de la $8=8$ (evident adevărată) și adunăm $5$ la ambii membri: $8+5=8+5$, adică $13=13$. Echilibrul s-a păstrat.

Proprietatea 2 — scăderea aceluiași număr. Dacă din ambii membri scădem același număr, egalitatea rămâne adevărată: $$\text{daca˘ }a=b,\text{ atunci }a-c=b-c.$$

Observă că scăderea este de fapt un caz particular al adunării: a scădea $c$ înseamnă a aduna $-c$. De aceea proprietățile 1 și 2 merg mereu împreună.

Proprietatea 3 — înmulțirea cu același număr. Dacă înmulțim ambii membri cu același număr, egalitatea rămâne adevărată: $$\text{daca˘ }a=b,\text{ atunci }a\cdot c=b\cdot c.$$

De exemplu, din $4=4$, înmulțind cu $3$, obținem $12=12$.

Proprietatea 4 — împărțirea cu același număr nenul. Dacă împărțim ambii membri cu același număr diferit de zero, egalitatea rămâne adevărată: $$\text{daca˘ }a=b\text{ și }c\ne 0,\text{ atunci }\frac{a}{c}=\frac{b}{c}.$$

Atenție la un detaliu foarte important din proprietatea 4: numărul cu care împărțim trebuie să fie nenul. Împărțirea la zero nu este definită în matematică, deci nu are niciun sens să „împărțim ambii membri la 0”. La înmulțire (proprietatea 3) nu apare această restricție — putem înmulți și cu $0$ —, dar vom vedea imediat de ce înmulțirea cu $0$ este periculoasă când vrem să facem drumul invers.

4. Ce înseamnă „egalități echivalente”

Am ajuns la ideea centrală a lecției. Două egalități se numesc echivalente dacă au aceeași valoare de adevăr pentru aceleași valori ale literei — cu alte cuvinte, dacă orice transformare pe care am făcut-o poate fi „desfăcută”, ducându-ne înapoi la egalitatea de plecare, fără să câștigăm sau să pierdem soluții.

Cheia este aceasta: proprietățile 1–4, folosite corect, transformă o egalitate într-una echivalentă. Adunarea, scăderea și înmulțirea/împărțirea cu un număr nenul sunt operații pe care le putem face și în sens invers. Să vedem cum funcționează pe o egalitate cu literă.

Pornim de la $$x-4=10.$$

Adunăm $4$ la ambii membri (proprietatea 1): $$x-4+4=10+4\Rightarrow x=14.$$

Egalitatea $x=14$ este echivalentă cu egalitatea inițială $x-4=10$. De ce? Pentru că, dacă vreau, pot face drumul invers: din $x=14$ scad $4$ din ambii membri și ajung înapoi la $x-4=10$. Cele două egalități sunt adevărate exact pentru aceeași valoare a lui $x$, anume $x=14$. Ele „spun același lucru”, doar că într-o formă mai simplă.

Aceasta este chiar ideea pe care se sprijină rezolvarea ecuațiilor, pe care o vei studia amănunțit în lecția despre ecuații echivalente și transformări: pornim de la o ecuație complicată și, prin transformări echivalente, ajungem la una foarte simplă, de tipul $x=\text{numa˘r}$, fără să schimbăm mulțimea soluțiilor.

Pentru simbolul de echivalență se folosește adesea săgeata dublă „$\iff$”, care se citește „este echivalent cu”: $$x-4=10\iff x=14.$$

5. De ce contează restricția „număr nenul”

Am spus că înmulțirea și împărțirea păstrează echivalența doar dacă numărul este nenul. Hai să înțelegem exact de ce, printr-un exemplu care arată ce se strică dacă înmulțim cu zero.

Să presupunem că avem o egalitate cu literă, de pildă $x=2$, adevărată doar pentru $x=2$. Dacă înmulțim ambii membri cu $0$, obținem: $$0\cdot x=0\cdot 2\Rightarrow 0=0.$$

Egalitatea $0=0$ este adevărată — dar este adevărată pentru orice valoare a lui $x$, nu doar pentru $x=2$! Prin înmulțirea cu $0$ am „pierdut informația” că $x$ trebuie să fie $2$. Cele două egalități nu sunt echivalente: prima e adevărată doar pentru $x=2$, a doua e adevărată mereu. De aceea înmulțirea cu $0$ nu păstrează echivalența, iar împărțirea la $0$ este pur și simplu interzisă. Reține regula de aur: înmulțim și împărțim ambii membri doar cu un număr diferit de zero.

6. Identitățile — egalități adevărate mereu

Am întâlnit adineauri scrierea $0=0$, care este adevărată indiferent de valoarea literei. Aceasta ne conduce la a doua mare noțiune a lecției: identitatea.

Definiție. O identitate este o egalitate cu literă (sau litere) care este adevărată pentru orice valoare a literei.

Cu alte cuvinte, oricât ne-am strădui să găsim un număr care s-o facă falsă, nu vom reuși: identitatea „rezistă” la orice înlocuire. Iată câteva exemple simple de identități, valabile pentru orice număr real $x$:

$$x+x=2x,3x-x=2x,x+0=x,5(x)=5x.$$

Să verificăm, de exemplu, identitatea $x+x=2x$ pe câteva valori:

• Pentru $x=4$: membrul stâng $4+4=8$, membrul drept $2\cdot 4=8$. Adevărat.
• Pentru $x=0$: membrul stâng $0+0=0$, membrul drept $2\cdot 0=0$. Adevărat.
• Pentru $x=-3$: membrul stâng $-3+(-3)=-6$, membrul drept $2\cdot (-3)=-6$. Adevărat.

Oricât am încerca, cei doi membri dau mereu același rezultat. Motivul de fond este că $x+x=2x$ nu este o „potrivire fericită” pentru anumite numere, ci o consecință directă a regulilor de calcul cu numere reale (adunarea unui număr cu el însuși înseamnă a-l lua de două ori). De aceea este identitate.

7. Trei tipuri de egalități cu literă — să nu le confundăm

Este esențial să distingi între trei situații atunci când privești o egalitate cu literă. Le prezint alături, pentru a le compara ușor:

a) Egalitate adevărată doar pentru anumite valori (o ecuație obișnuită). Exemplu: $2x+1=7$. Este adevărată doar pentru $x=3$ și falsă pentru orice altă valoare. Are un număr limitat de soluții (aici, exact una).

b) Identitate — adevărată pentru orice valoare. Exemplu: $2(x+1)=2x+2$. Oricare ar fi $x$, cei doi membri sunt egali. Are o infinitate de soluții (orice număr real este „soluție”).

c) Egalitate falsă mereu (imposibilă). Exemplu: $x+3=x+5$. Oricare ar fi $x$, membrul stâng este cu $2$ mai mic decât cel drept, deci nu există nicio valoare care s-o facă adevărată. Nu are nicio soluție.

Aceste trei tipuri anunță exact cele trei cazuri pe care le vei studia la ecuațiile liniare: o ecuație poate avea o soluție, o infinitate de soluții sau niciuna. Recunoscând din timp o identitate sau o egalitate imposibilă, vei ști imediat în ce caz te afli.

8. Cum verificăm dacă o egalitate este identitate

Există două căi de a stabili dacă o egalitate cu literă este identitate.

Calea 1 — prin înlocuiri (utilă pentru a respinge). Alegem câteva valori diferite pentru literă și calculăm ambii membri. Dacă găsim măcar o valoare pentru care membrii diferă, egalitatea nu este identitate. Atenție însă: chiar dacă egalitatea „iese” adevărată pentru două-trei valori, asta nu dovedește că e identitate — poate am nimerit din întâmplare exact soluțiile. Înlocuirile pot doar respinge o identitate cu certitudine, nu o pot confirma complet.

Calea 2 — prin calcul cu numere reale (utilă pentru a confirma). Prelucrăm unul dintre membri folosind regulile de calcul (adunare, înmulțirea cu factorul comun etc.) până obținem exact celălalt membru. Dacă reușim, egalitatea este identitate, pentru că am arătat că membrii sunt egali datorită regulilor, nu datorită unei valori particulare.

De pildă, pentru $2(x+1)=2x+2$, prelucrăm membrul stâng: $2(x+1)$ înseamnă a lua de două ori suma $x+1$, adică $2x+2$. Am obținut exact membrul drept, deci egalitatea este identitate. (Aici folosim doar distribuirea înmulțirii față de adunare, învățată în clasele anterioare, nu formule de calcul prescurtat.)

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — adevărată sau falsă. Stabilește dacă egalitatea $15-2\cdot 4=7$ este adevărată sau falsă și indică cei doi membri.

Rezolvare. Membrul stâng este $15-2\cdot 4$. Respectând ordinea operațiilor, calculăm întâi înmulțirea: $2\cdot 4=8$, apoi $15-8=7$. Membrul drept este $7$. Cei doi membri valorează amândoi $7$, deci egalitatea este adevărată.

Exemplul 2 — transformare echivalentă prin adunare. Transformă egalitatea $x-9=3$ într-o egalitate echivalentă de forma $x=\text{numa˘r}$ și justifică transformarea.

Rezolvare. Vrem să „scăpăm” de $-9$ din membrul stâng. Folosim proprietatea adunării: adunăm $9$ la ambii membri (același număr, deci echilibrul se păstrează). $$x-9+9=3+9\iff x=12.$$ Egalitatea $x=12$ este echivalentă cu cea inițială. Verificare: pentru $x=12$, membrul stâng inițial este $12-9=3$, egal cu membrul drept. Corect.

Exemplul 3 — transformare echivalentă prin împărțire. Transformă $5x=40$ într-o egalitate echivalentă de forma $x=\text{numa˘r}$.

Rezolvare. În membrul stâng, litera $x$ este înmulțită cu $5$. Ca s-o izolăm, folosim proprietatea împărțirii cu numărul nenul $5$: $$\frac{5x}{5}=\frac{40}{5}\iff x=8.$$ Deoarece $5\ne 0$, transformarea păstrează echivalența. Verificare: $5\cdot 8=40$, adevărat. Deci $x=8$.

Exemplul 4 — identitate sau nu. Este egalitatea $3(x+2)=3x+6$ o identitate? Justifică.

Rezolvare. Prelucrăm membrul stâng prin distribuire: $3(x+2)$ înseamnă a lua de trei ori suma $x+2$, adică $3x+6$. Am obținut exact membrul drept. Cum egalitatea rezultă din regulile de calcul, este identitate — adevărată pentru orice valoare a lui $x$. Verificare rapidă pentru $x=5$: membrul stâng $3(5+2)=3\cdot 7=21$; membrul drept $3\cdot 5+6=15+6=21$. Egale, cum era de așteptat.

Exemplul 5 — egalitate falsă mereu. Câte valori ale lui $x$ fac adevărată egalitatea $x+7=x+2$?

Rezolvare. Scădem $x$ din ambii membri (proprietatea scăderii, transformare echivalentă): $$x+7-x=x+2-x\iff 7=2.$$ Am ajuns la $7=2$, care este o egalitate falsă. Cum am folosit doar transformări echivalente, înseamnă că egalitatea inițială nu poate fi adevărată pentru nicio valoare a lui $x$. Prin urmare, nicio valoare nu o face adevărată: egalitatea este imposibilă (falsă mereu).

Exemplul 6 — clasifică egalitatea. Stabilește dacă egalitatea $4x-x=3x$ este identitate, este adevărată doar pentru anumite valori sau este falsă mereu.

Rezolvare. Prelucrăm membrul stâng: $4x-x$ înseamnă a lua $x$ de patru ori și a scădea un $x$, rămânând $3x$. Deci membrul stâng este $3x$, egal cu membrul drept. Egalitatea $4x-x=3x$ este adevărată pentru orice $x$, deci este o identitate. Verificare pentru $x=-2$: membrul stâng $4\cdot (-2)-(-2)=-8+2=-6$; membrul drept $3\cdot (-2)=-6$. Egale.

Să exersăm

1. Indică membrul stâng și membrul drept al egalității $2\cdot 6+1=13$ și spune dacă este adevărată sau falsă.

2. Stabilește dacă fiecare egalitate este adevărată sau falsă: (a) $20-3\cdot 5=5$; (b) $\frac{18}{2}+4=12$; (c) $7^2-40=9$.

3. Pentru egalitatea cu literă $3x-2=10$, verifică dacă $x=4$ o face adevărată.

4. Pornind de la $x+6=15$, obține o egalitate echivalentă de forma $x=\text{numa˘r}$ și precizează ce proprietate ai folosit.

5. Pornind de la $x-11=-3$, obține o egalitate echivalentă de forma $x=\text{numa˘r}$.

6. Pornind de la $7x=56$, obține o egalitate echivalentă de forma $x=\text{numa˘r}$ și spune de ce ai voie să faci transformarea.

7. Pornind de la $\frac{x}{4}=5$, obține o egalitate echivalentă de forma $x=\text{numa˘r}$.

8. Adevărat sau fals, cu motivare: „Dacă înmulțesc ambii membri ai unei egalități adevărate cu $0$, obțin tot o egalitate adevărată.”

9. Adevărat sau fals, cu motivare: „Am voie să împart ambii membri ai unei egalități cu orice număr.”

10. Stabilește dacă egalitatea $x+x+x=3x$ este identitate. Justifică prin calcul și verifică pentru $x=-1$.

11. Este $2(x+5)=2x+5$ o identitate? Justifică.

12. Câte valori ale lui $x$ fac adevărată egalitatea $x+4=x+4$? Ce fel de egalitate este?

13. Câte valori ale lui $x$ fac adevărată egalitatea $x-1=x+3$? Ce fel de egalitate este?

14. Clasifică fiecare egalitate ca: identitate, adevărată doar pentru anumite valori sau falsă mereu: (a) $5x=20$; (b) $x+2=2+x$; (c) $x+1=x-1$.

15. Găsește numărul care lipsește astfel încât transformarea să fie echivalentă: din $x-8=5$ am adunat același număr la ambii membri și am obținut $x=13$. Ce număr am adunat?

16. Explică în cuvintele tale, folosind imaginea balanței, de ce nu avem voie să adunăm un număr doar la un singur membru al egalității.

17. Se dă egalitatea $6x=42$. Un elev a împărțit corect la $6$ ambii membri. Scrie egalitatea echivalentă obținută și verifică soluția prin înlocuire.

18. Provocare: arată, folosind doar transformări echivalente, că egalitatea $2x+3=2x+3$ este identitate, iar egalitatea $2x+3=2x+8$ este falsă mereu. Ce ai obținut în fiecare caz după ce ai scăzut $2x$ din ambii membri?

Răspunsuri și explicații

1. Membrul stâng: $2\cdot 6+1$ (valorează $13$); membrul drept: $13$. Egalitatea este adevărată (ambii membri valorează $13$).

2. (a) $20-15=5$ — adevărată. (b) $9+4=13\ne 12$ — falsă. (c) $49-40=9$ — adevărată.

3. Înlocuim: $3\cdot 4-2=12-2=10$, egal cu membrul drept. Deci $x=4$ face egalitatea adevărată.

4. Scădem $6$ din ambii membri (proprietatea scăderii): $x+6-6=15-6\iff x=9$. Proprietate folosită: scăderea aceluiași număr din ambii membri.

5. Adunăm $11$ la ambii membri: $x-11+11=-3+11\iff x=8$.

6. Împărțim ambii membri la $7$: $\frac{7x}{7}=\frac{56}{7}\iff x=8$. Avem voie pentru că $7\ne 0$ (împărțirea cu un număr nenul păstrează echivalența).

7. Înmulțim ambii membri cu $4$: $\frac{x}{4}\cdot 4=5\cdot 4\iff x=20$.

8. Adevărat ca afirmație: din $a=b$ obții $0\cdot a=0\cdot b$, adică $0=0$, care este o egalitate adevărată. Atenție însă: transformarea nu este echivalentă — pierzi informația despre literă și nu mai poți reveni. De aceea nu înmulțim niciodată ambii membri cu $0$ când rezolvăm.

9. Fals. Ai voie să împarți doar cu un număr diferit de zero. Împărțirea la $0$ nu este definită, deci este interzisă.

10. Prelucrăm: $x+x+x=3x$ (a lua $x$ de trei ori). Cei doi membri sunt egali pentru orice $x$, deci este identitate. Verificare $x=-1$: stânga $-1-1-1=-3$; dreapta $3\cdot (-1)=-3$. Egale.

11. Nu este identitate. Prelucrând stânga: $2(x+5)=2x+10\ne 2x+5$. De exemplu, pentru $x=0$: stânga $2\cdot 5=10$, dreapta $0+5=5$; diferă. Egalitatea nu e adevărată pentru toate valorile (de fapt nu e adevărată pentru nicio valoare).

12. Egalitatea $x+4=x+4$ este adevărată pentru orice valoare a lui $x$ (o infinitate de valori), deoarece cei doi membri sunt identici. Este o identitate.

13. Scădem $x$: $-1=3$, fals. Deci nicio valoare nu o face adevărată; este o egalitate falsă mereu (imposibilă).

14. (a) adevărată doar pentru $x=4$ (anumite valori). (b) $x+2=2+x$ este identitate (adunarea este comutativă, adevărat mereu). (c) $x+1=x-1$ este falsă mereu (scăzând $x$ rămâne $1=-1$, fals).

15. Am adunat $8$: $x-8+8=5+8\iff x=13$.

16. Balanța rămâne în echilibru doar dacă modific la fel ambele talere. Dacă adaug un număr la un singur membru, unul dintre talere devine mai greu decât celălalt, deci egalitatea (echilibrul) se strică și obțin o egalitate nouă, care nu mai este echivalentă cu cea inițială.

17. $\frac{6x}{6}=\frac{42}{6}\iff x=7$. Verificare: $6\cdot 7=42$, adevărat.

18. Din $2x+3=2x+3$, scăzând $2x$ din ambii membri, obțin $3=3$ — adevărat mereu, deci identitate. Din $2x+3=2x+8$, scăzând $2x$, obțin $3=8$ — fals, deci egalitate falsă mereu. Faptul că ajung la o egalitate numerică adevărată ($3=3$) semnalează o identitate, iar una falsă ($3=8$) semnalează o egalitate imposibilă.

De reținut

• O egalitate are doi membri (stâng și drept) legați prin „$=$”; ea afirmă că cei doi membri reprezintă același număr și poate fi adevărată sau falsă.
• Proprietățile egalității: dacă $a=b$, atunci $a+c=b+c$, $a-c=b-c$, $a\cdot c=b\cdot c$ și $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$ pentru $c\ne 0$.
• Aceste proprietăți transformă o egalitate într-o egalitate echivalentă (cu aceeași valoare de adevăr), cu condiția să înmulțim/împărțim doar cu un număr nenul.
• O identitate este o egalitate adevărată pentru orice valoare a literei (ex.: $x+x=2x$, $2(x+1)=2x+2$).
• O egalitate cu literă poate fi: adevărată doar pentru anumite valori, identitate (adevărată mereu) sau falsă mereu (imposibilă).

Greșeli frecvente

• Modifici un singur membru. Mulți elevi adună sau scad un număr doar în stânga, „ca să scape” de un termen, uitând să facă la fel în dreapta. Corect: orice operație se aplică la ambii membri, altfel egalitatea se strică.
• Împarți la $0$ sau înmulțești cu $0$. Împărțirea la $0$ nu este definită, deci este interzisă, iar înmulțirea cu $0$ pare inofensivă, dar duce la $0=0$ și pierde soluția. Reține: împărțim și înmulțim doar cu un număr nenul.
• Confunzi identitatea cu o ecuație obișnuită. Faptul că o egalitate iese adevărată pentru o valoare aleasă (ex.: $x=2$) nu o face identitate. Identitatea trebuie să fie adevărată pentru orice valoare — verifică prin calcul, nu doar cu un singur număr.
• Crezi că o egalitate falsă e „scrisă greșit”. O egalitate falsă (ex.: $5=8$) este scrisă corect ca formă; ea doar afirmă ceva neadevărat. Când ajungi la o astfel de egalitate după transformări corecte, e semn că egalitatea inițială nu are soluții.

Aplică acasă

1. Balanța din bucătărie. Ia o balanță (sau imagineaz-o) și pune pe fiecare taler câte $200$ g. Adaugă apoi $50$ g pe ambele talere, apoi scoate $30$ g de pe ambele. Notează de fiecare dată egalitatea corespunzătoare ($200=200$, apoi $250=250$, apoi $220=220$) și observă cum echilibrul se păstrează exact ca la proprietățile egalității.

2. Vânătoarea de identități. Scrie cinci egalități cu litera $x$ (de exemplu $x+x=2x$, $x+3=3+x$, $2x-x=x$, $x+1=x+2$, $5x=5x$). Pentru fiecare, testează cu trei valori diferite ($x=0$, $x=2$, $x=-1$) și decide care sunt identități și care nu. Explică-le unui părinte de ce ai decis așa.

3. Reduceri la magazin. Un produs costă $x$ lei. Vânzătorul spune că prețul „a scăzut cu $20$ de lei și acum e $50$”. Scrie egalitatea $x-20=50$, transform-o într-o egalitate echivalentă și află prețul inițial. Verifică rezultatul prin înlocuire.

Pentru părinți și profesori

Această lecție pune bazele întregii algebre de clasa a VII-a: fără o înțelegere solidă a transformărilor echivalente, rezolvarea ecuațiilor devine un șir de „trucuri” memorate, ușor de încurcat. Sprijiniți copilul insistând pe imaginea balanței — aproape orice neînțelegere se lămurește revenind la ea. Câteva întrebări de verificare utile: „Ce ai voie să faci cu o egalitate ca să rămână adevărată?”, „De ce nu poți împărți la zero?”, „Ce înseamnă că o egalitate este identitate — dă-mi un exemplu și convinge-mă că e adevărată pentru orice număr”. Veți ști că a înțeles dacă poate justifica fiecare transformare printr-o proprietate (nu doar să dea rezultatul) și dacă poate deosebi corect o identitate de o egalitate adevărată doar pentru anumite valori. Un semn bun este și când, ajungând la o egalitate de tip $3=3$ sau $3=8$, copilul știe să interpreteze imediat ce înseamnă (identitate, respectiv egalitate imposibilă).

Întrebări frecvente

Ce sunt egalitățile echivalente la clasa a 7-a? Două egalități sunt echivalente dacă au aceeași valoare de adevăr pentru aceleași valori ale literei, adică „spun același lucru”. Trecerea de la una la alta se face prin transformări permise (adunare, scădere, înmulțire/împărțire cu un număr nenul), care nu adaugă și nu pierd soluții.

Care sunt proprietățile egalității? Sunt patru: la o egalitate adevărată poți aduna același număr la ambii membri, poți scădea același număr din ambii membri, poți înmulți ambii membri cu același număr și poți împărți ambii membri cu același număr diferit de zero. Toate păstrează egalitatea adevărată.

Ce este o identitate la clasa a 7-a? O identitate este o egalitate cu literă care este adevărată pentru orice valoare a literei, de exemplu $x+x=2x$ sau $2(x+1)=2x+2$. Spre deosebire de o ecuație obișnuită, care e adevărată doar pentru anumite valori, identitatea „rezistă” la orice înlocuire.

Cum îmi dau seama dacă o egalitate este identitate? Prelucrează unul dintre membri cu regulile de calcul până obții celălalt membru; dacă reușești, este identitate. Dacă găsești măcar o valoare pentru care membrii diferă, nu este identitate. Testarea cu câteva numere poate doar respinge o identitate, nu o poate confirma sigur.

De ce nu am voie să împart o egalitate la zero? Pentru că împărțirea la zero nu este definită în matematică, deci operația nu are niciun sens. În plus, chiar și înmulțirea cu zero „strică” echivalența, transformând orice egalitate în $0=0$ și făcând să dispară informația despre necunoscută.

Care este diferența dintre o egalitate adevărată și o identitate? O egalitate adevărată (ca ecuație) este adevărată doar pentru anumite valori ale literei, de exemplu $2x+1=7$ doar pentru $x=3$. O identitate este adevărată pentru toate valorile literei. Practic, orice identitate este mereu adevărată, dar nu orice egalitate adevărată este identitate.

Ce înseamnă că o egalitate este falsă mereu? Înseamnă că nu există nicio valoare a literei care s-o facă adevărată, de exemplu $x+3=x+5$. Dacă, aplicând transformări corecte, ajungi la o egalitate numerică falsă (precum $3=8$), este semn sigur că egalitatea inițială este imposibilă și nu are soluții.

La ce îmi folosesc egalitățile echivalente mai departe? Ele sunt instrumentul de bază cu care vei rezolva ecuațiile de forma $ax+b=0$ și sistemele de ecuații liniare. Fiecare pas dintr-o rezolvare este, de fapt, o transformare echivalentă care aduce ecuația la o formă mai simplă, fără să-i schimbe soluțiile.