Ecuații reductibile la forma ax + b = 0

Până acum ai învățat să rezolvi ecuații care arătau deja „curate", de tipul $ax+b=0$. Dar în realitate, o ecuație aproape niciodată nu îți vine gata pregătită. De cele mai multe ori ea apare încurcată: cu paranteze de desfăcut, cu fracții și numitori care par să complice totul, cu termeni împrăștiați în ambele părți ale egalului. Vestea bună este că orice astfel de ecuație poate fi „descâlcită" și adusă, prin pași simpli și siguri, exact la forma $ax+b=0$ pe care deja știi să o rezolvi. E ca și cum ai primi un cablu de căști înnodat: nu tai nimic, doar desfaci nodurile pas cu pas până rămâne un fir drept. În această lecție vei învăța tehnicile care transformă orice ecuație complicată de gradul întâi într-una simplă.

Ce vei învăța

• Vei ști să reduci o ecuație cu paranteze la forma $ax+b=0$, desfăcând parantezele și reducând termenii asemenea.
• Vei ști să elimini numitorii numerici dintr-o ecuație, înmulțind cu numitorul comun.
• Vei ști să aduci orice ecuație de gradul întâi la forma standard $ax+b=0$.
• Vei ști să redactezi complet și corect rezolvarea, folosind transformări echivalente.
• Vei ști să verifici soluția și să scrii corect mulțimea soluțiilor.

Hai să descoperim împreună

De la ce pornim

Îți amintești de la lecția Ecuația de forma ax + b = 0 că o ecuație de gradul întâi cu o necunoscută are forma standard:

$$ax+b=0,\text{unde }a\ne 0.$$

Soluția ei se obține imediat: trecem pe $b$ în partea dreaptă și împărțim la $a$:

$$x=-\frac{b}{a}.$$

De asemenea, din lecția Ecuații echivalente. Transformări echivalente știi cele două „unelte de aur" cu care poți modifica o ecuație fără să îi schimbi soluția:

• Regula 1 (adunarea/scăderea): poți aduna sau scădea același număr (sau aceeași expresie) în ambii membri ai ecuației.
• Regula 2 (înmulțirea/împărțirea): poți înmulți sau împărți ambii membri cu același număr nenul.

O ecuație obținută printr-o astfel de transformare se numește echivalentă cu cea inițială: are exact aceeași soluție. Aceste două reguli sunt tot ce ne trebuie. Restul lecției este despre ordinea inteligentă în care le aplicăm, ca să ajungem la forma $ax+b=0$.

Ce înseamnă „reductibilă la forma ax + b = 0"

Cuvântul reductibilă vine de la „a reduce", adică „a aduce la o formă mai simplă". O ecuație este reductibilă la forma $ax+b=0$ dacă, după ce facem niște calcule permise (desfacem paranteze, scăpăm de numitori, mutăm termeni și reducem termenii asemenea), obținem o ecuație de gradul întâi obișnuită.

Practic, orice ecuație în care necunoscuta $x$ apare doar la puterea întâi (nu $x^2$, nu $\sqrt{x}$, nu $\frac{1}{x}$) și care conține doar operații de adunare, scădere și înmulțire cu numere este reductibilă la forma standard.

Strategia generală are patru pași pe care îi vom folosi mereu:

1. Scapă de numitori (dacă există), înmulțind toată ecuația cu numitorul comun.
2. Desfă parantezele, cu atenție la semne.
3. Grupează termenii: necunoscutele într-un membru, numerele libere în celălalt.
4. Redu termenii asemenea și împarte la coeficientul lui $x$.

Nu toate ecuațiile au nevoie de toți pașii. Unele au doar paranteze, altele doar numitori, altele pe amândouă. Hai să luăm fiecare situație pe rând.

Cazul 1: ecuații cu paranteze

Când într-o ecuație apar paranteze, primul lucru pe care îl faci este să le desfaci. Reamintim regula de desfacere:

• Dacă înaintea parantezei este semnul plus (sau un număr pozitiv care înmulțește), semnele din interior rămân neschimbate.
• Dacă înaintea parantezei este semnul minus, toate semnele din interior se schimbă.
• Dacă un număr înmulțește paranteza, el se distribuie la fiecare termen din interior.

Regula de distributivitate se scrie:

$$k\cdot (m+n)=k\cdot m+k\cdot n.$$

Să luăm o ecuație concretă:

$$3(x-2)=12.$$

Aici numărul $3$ înmulțește paranteza, deci îl distribuim la ambii termeni:

$$3\cdot x-3\cdot 2=12,$$ $$3x-6=12.$$

Observă că am ajuns aproape la forma standard. Mutăm $-6$ în dreapta (adică adunăm $6$ în ambii membri):

$$3x=12+6,$$ $$3x=18.$$

Împărțim la $3$:

$$x=6.$$

Soluția este $x=6$, iar mulțimea soluțiilor este $S=\{6\}$.

Fii foarte atent la minus în fața parantezei — aici greșesc cei mai mulți elevi. Privește diferența:

$$-(x-4)=-x+4.$$

Semnul minus schimbă ambele semne din interior: $x$ devine $-x$, iar $-4$ devine $+4$. O greșeală tipică este să scrii doar $-x-4$, uitând să schimbi și al doilea semn. Verifică mereu că ai schimbat toate semnele.

Cazul 2: termeni asemenea

După ce desfaci parantezele, adesea rămâi cu mai mulți termeni care conțin $x$ și mai multe numere libere. Termenii asemenea sunt termenii care conțin aceeași necunoscută (de exemplu $5x$ și $-2x$) sau care sunt amândoi numere libere (de exemplu $7$ și $-3$). Pe aceștia îi putem aduna sau scădea între ei.

De exemplu, $5x-2x=3x$, iar $7-3=4$. Dar atenție: $5x$ și $7$ nu sunt termeni asemenea, așa că $5x+7$ rămâne așa cum e — nu poți să le combini într-un singur număr. E ca și cum ai avea $5$ mere și $7$ pere: nu poți spune că ai „12 fructe de același fel".

Să reducem termenii asemenea într-un exemplu:

$$2(x+3)+4(x-1)=20.$$

Desfacem ambele paranteze:

$$2x+6+4x-4=20.$$

Acum grupăm termenii cu $x$ și numerele libere:

$$(2x+4x)+(6-4)=20,$$ $$6x+2=20.$$

Am ajuns la forma $ax+b=c$. Mutăm $2$ în dreapta:

$$6x=20-2=18,$$ $$x=3.$$

Deci $S=\{3\}$.

Cazul 3: necunoscuta în ambii membri

Uneori $x$ apare și în stânga, și în dreapta egalului. Nu e nicio problemă: folosim Regula 1 ca să adunăm toți termenii cu $x$ într-un singur membru (de obicei în stânga) și toate numerele în celălalt.

Să luăm:

$$5x-3=2x+9.$$

Vrem $x$-urile în stânga, numerele în dreapta. Scădem $2x$ din ambii membri (ca să scăpăm de $2x$ din dreapta) și adunăm $3$ în ambii membri (ca să scăpăm de $-3$ din stânga):

$$5x-2x=9+3,$$ $$3x=12,$$ $$x=4.$$

Un truc practic pe care îl folosesc mulți: „termenul care trece de partea cealaltă a egalului își schimbă semnul". Așa, $2x$ din dreapta a trecut în stânga ca $-2x$, iar $-3$ din stânga a trecut în dreapta ca $+3$. Este exact același lucru cu regulile de mai sus, doar scris mai rapid. Dar ai grijă: schimbi semnul doar la termenii care trec, nu la cei care rămân pe loc.

Cazul 4: ecuații cu numitori numerici

Acum ajungem la partea care sperie mulți elevi: ecuațiile cu fracții. Ideea genială aici este că nu ne place să lucrăm cu fracții, așa că scăpăm complet de ele de la bun început, folosind Regula 2 (înmulțirea).

Cheia este să găsim numitorul comun al tuturor fracțiilor din ecuație — cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numitorilor. Apoi înmulțim fiecare termen al ecuației (din ambii membri!) cu acest numitor comun. Fracțiile se simplifică și dispar.

Să pornim de la o ecuație simplă cu numitori:

$$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5.$$

Numitorii sunt $2$ și $3$. Cel mai mic multiplu comun al lor este $6$. Înmulțim toată ecuația cu $6$:

$$6\cdot \frac{x}{2}+6\cdot \frac{x}{3}=6\cdot 5.$$

Simplificăm fiecare fracție:

• $6\cdot \frac{x}{2}=\frac{6x}{2}=3x$ (pentru că $6:2=3$);
• $6\cdot \frac{x}{3}=\frac{6x}{3}=2x$ (pentru că $6:3=2$);
• $6\cdot 5=30$.

Ecuația a devenit, fără nicio fracție:

$$3x+2x=30,$$ $$5x=30,$$ $$x=6.$$

Deci $S=\{6\}$. Vezi cât de curat a devenit totul? Fracțiile au dispărut complet după un singur pas.

Foarte important: când înmulțești cu numitorul comun, trebuie să înmulțești absolut fiecare termen, inclusiv pe cei care nu sunt fracții (ca numărul $5$ din exemplu, care a devenit $30$). Dacă uiți să înmulțești un termen liber, strici egalitatea și obții o soluție greșită. Gândește-te la egal ca la o balanță: dacă pui de $6$ ori mai mult pe un taler, trebuie să pui de $6$ ori mai mult și pe fiecare lucru de pe celălalt taler, altfel balanța se dezechilibrează.

Numitori cu paranteze la numărător

Situația devine puțin mai delicată când numărătorul unei fracții este o expresie întreagă, de exemplu $\frac{x-1}{2}$. Aici, când înmulțim cu numitorul comun, expresia $x-1$ trebuie tratată ca un tot, așa că e bine să o ținem între paranteze până desfacem la final.

Să rezolvăm:

$$\frac{x-1}{2}+\frac{x+2}{3}=4.$$

Numitorii sunt $2$ și $3$, deci numitorul comun este $6$. Înmulțim fiecare termen cu $6$:

$$6\cdot \frac{x-1}{2}+6\cdot \frac{x+2}{3}=6\cdot 4.$$

Simplificăm:

• $6:2=3$, deci $6\cdot \frac{x-1}{2}=3(x-1)$;
• $6:3=2$, deci $6\cdot \frac{x+2}{3}=2(x+2)$;
• $6\cdot 4=24$.

Obținem:

$$3(x-1)+2(x+2)=24.$$

Acum suntem înapoi la Cazul 1 (ecuație cu paranteze). Desfacem:

$$3x-3+2x+4=24.$$

Reducem termenii asemenea:

$$5x+1=24,$$ $$5x=23,$$ $$x=\frac{23}{5}.$$

Soluția nu este întotdeauna un număr întreg, și e perfect în regulă! Aici $S=\left\{\frac{23}{5}\right\}$, adică soluția este $x=4,6$.

Reține sfatul de aur: când înmulțești cu numitorul comun o fracție care are o sumă sau o diferență la numărător, pune numărătorul între paranteze. Dacă scrii direct $3\cdot x-1$ în loc de $3(x-1)$, uiți să înmulțești și pe $-1$ cu $3$ și greșești. Paranteza te protejează de această capcană.

Pasul de verificare — nelipsit

Din lecția Ecuații: necunoscută, soluție și verificare știi că o soluție se verifică înlocuind valoarea găsită în ecuația inițială (nu în una intermediară, ca să prinzi eventualele greșeli de pe parcurs). Dacă cele două părți ale egalului dau același număr, soluția e corectă.

Să verificăm soluția $x=6$ de la ecuația $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$:

• membrul stâng: $\frac{6}{2}+\frac{6}{3}=3+2=5$;
• membrul drept: $5$.

Cele două sunt egale ($5=5$), deci $x=6$ este într-adevăr soluția corectă. Verificarea îți dă siguranța că nu ai greșit pe drum și e mereu recomandată la teze și examene.

Rezumatul strategiei

Indiferent cât de complicată pare o ecuație de gradul întâi, aplici mereu aceeași ordine:

1. Numitori? Înmulțește toată ecuația cu numitorul comun (fiecare termen!). Fracțiile dispar.
2. Paranteze? Desfă-le cu grijă la semne (mai ales minusul în față) și distribuie factorii.
3. Grupare: mută $x$-urile într-un membru, numerele în celălalt (cu schimbarea semnului la ce trece).
4. Reducere și împărțire: adună termenii asemenea, obții $ax=-b$, apoi $x=-\frac{b}{a}$.
5. Verificare: înlocuiește în ecuația inițială și scrie mulțimea soluțiilor $S$.

Cu acești cinci pași, nicio ecuație de gradul întâi nu îți mai poate rezista.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — ecuație cu o singură paranteză

Rezolvă: $4(2x-3)=20$.

Distribuim $4$ la fiecare termen din paranteză:

$$8x-12=20.$$

Adunăm $12$ în ambii membri:

$$8x=32.$$

Împărțim la $8$:

$$x=4.$$

Verificare: $4(2\cdot 4-3)=4(8-3)=4\cdot 5=20$. Corect.

Mulțimea soluțiilor: $S=\{4\}$.

Exemplul 2 — paranteze de ambele părți și minus în față

Rezolvă: $3(x+2)-(x-4)=16$.

Desfacem parantezele. Atenție la a doua: minusul din față schimbă ambele semne.

$$3x+6-x+4=16.$$

Reducem termenii asemenea:

$$(3x-x)+(6+4)=16,$$ $$2x+10=16.$$

Scădem $10$:

$$2x=6,$$ $$x=3.$$

Verificare: $3(3+2)-(3-4)=3\cdot 5-(-1)=15+1=16$. Corect.

Mulțimea soluțiilor: $S=\{3\}$.

Exemplul 3 — necunoscuta în ambii membri, cu paranteze

Rezolvă: $5(x-1)=2(x+4)+6$.

Desfacem ambele paranteze:

$$5x-5=2x+8+6.$$

Reducem în dreapta ($8+6=14$):

$$5x-5=2x+14.$$

Mutăm $2x$ în stânga (devine $-2x$) și $-5$ în dreapta (devine $+5$):

$$5x-2x=14+5,$$ $$3x=19,$$ $$x=\frac{19}{3}.$$

Verificare: membrul stâng $5\left(\frac{19}{3}-1\right)=5\cdot \frac{16}{3}=\frac{80}{3}$; membrul drept $2\cdot \frac{19}{3}+8+6=\frac{38}{3}+14=\frac{38+42}{3}=\frac{80}{3}$. Cele două sunt egale. Corect.

Mulțimea soluțiilor: $S=\left\{\frac{19}{3}\right\}$.

Exemplul 4 — ecuație cu numitori simpli

Rezolvă: $\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=1$.

Numitorii sunt $4$ și $6$; cel mai mic multiplu comun este $12$. Înmulțim fiecare termen cu $12$:

$$12\cdot \frac{x}{4}-12\cdot \frac{x}{6}=12\cdot 1.$$

Simplificăm ($12:4=3$, $12:6=2$):

$$3x-2x=12,$$ $$x=12.$$

Verificare: $\frac{12}{4}-\frac{12}{6}=3-2=1$. Corect.

Mulțimea soluțiilor: $S=\{12\}$.

Exemplul 5 — numitori cu paranteze la numărător

Rezolvă: $\frac{2x-1}{3}-\frac{x-3}{2}=1$.

Numitorii sunt $3$ și $2$; numitorul comun este $6$. Înmulțim fiecare termen cu $6$, ținând numărătorii între paranteze:

$$6\cdot \frac{2x-1}{3}-6\cdot \frac{x-3}{2}=6\cdot 1.$$

Simplificăm ($6:3=2$, $6:2=3$):

$$2(2x-1)-3(x-3)=6.$$

Desfacem parantezele (atenție: $-3$ înmulțește $(x-3)$, deci $-3\cdot (-3)=+9$):

$$4x-2-3x+9=6.$$

Reducem termenii asemenea:

$$(4x-3x)+(-2+9)=6,$$ $$x+7=6,$$ $$x=-1.$$

Verificare: $\frac{2\cdot (-1)-1}{3}-\frac{(-1)-3}{2}=\frac{-3}{3}-\frac{-4}{2}=-1-(-2)=-1+2=1$. Corect.

Mulțimea soluțiilor: $S=\{-1\}$.

Exemplul 6 — combinație completă (numitori + paranteze + x în ambii membri)

Rezolvă: $\frac{x+1}{2}+2(x-1)=\frac{3x}{4}+3$.

Aici avem de toate. Numitorii sunt $2$ și $4$; numitorul comun este $4$. Înmulțim fiecare termen cu $4$:

$$4\cdot \frac{x+1}{2}+4\cdot 2(x-1)=4\cdot \frac{3x}{4}+4\cdot 3.$$

Simplificăm fiecare termen:

• $4\cdot \frac{x+1}{2}=2(x+1)$ (pentru că $4:2=2$);
• $4\cdot 2(x-1)=8(x-1)$;
• $4\cdot \frac{3x}{4}=3x$;
• $4\cdot 3=12$.

Ecuația fără fracții:

$$2(x+1)+8(x-1)=3x+12.$$

Desfacem parantezele:

$$2x+2+8x-8=3x+12.$$

Reducem în stânga ($2x+8x=10x$ și $2-8=-6$):

$$10x-6=3x+12.$$

Mutăm $3x$ în stânga și $-6$ în dreapta:

$$10x-3x=12+6,$$ $$7x=18,$$ $$x=\frac{18}{7}.$$

Verificare: înlocuim $x=\frac{18}{7}$ în ecuația inițială. Membrul stâng: $\frac{\frac{18}{7}+1}{2}+2\left(\frac{18}{7}-1\right)=\frac{\frac{25}{7}}{2}+2\cdot \frac{11}{7}=\frac{25}{14}+\frac{22}{7}=\frac{25}{14}+\frac{44}{14}=\frac{69}{14}$. Membrul drept: $\frac{3\cdot \frac{18}{7}}{4}+3=\frac{\frac{54}{7}}{4}+3=\frac{54}{28}+3=\frac{27}{14}+\frac{42}{14}=\frac{69}{14}$. Cele două sunt egale. Corect.

Mulțimea soluțiilor: $S=\left\{\frac{18}{7}\right\}$.

Să exersăm

Rezolvă fiecare ecuație aducând-o la forma $ax+b=0$. Scrie mulțimea soluțiilor și, la ecuațiile marcate cu (V), fă și verificarea.

1. $2(x+5)=18$.
2. $3(x-4)=x$. (V)
3. $5x-7=3x+5$.
4. $4(x-1)+3=11$.
5. $2(x+3)-5=3(x-1)$. (V)
6. $-(x-6)+2x=10$.
7. $\frac{x}{2}+\frac{x}{5}=7$.
8. $\frac{x}{3}-\frac{x}{4}=2$. (V)
9. $\frac{2x}{3}=\frac{x+4}{2}$.
10. $\frac{x-2}{4}+\frac{x+1}{2}=3$.
11. $3(2x-1)-2(x+4)=5$. (V)
12. $\frac{x+3}{5}-\frac{x-1}{2}=1$.
13. $4(x+2)-(2x-3)=x+15$.
14. Adevărat sau fals, cu motivare: „Ecuația $2(x+1)=2x+2$ are soluția unică $x=0$."
15. Adevărat sau fals, cu motivare: „La ecuația $\frac{x}{2}+3=5$, dacă înmulțesc cu $2$, obțin $x+3=10$."
16. $\frac{3x-2}{4}-\frac{x-6}{3}=2$.
17. Problemă aplicată: Într-un joc video, scorul lui Radu este cu $8$ puncte mai mare decât dublul scorului lui Ana. Dacă împreună au $50$ de puncte, câte puncte are fiecare? (Notează cu $x$ scorul Anei și scrie ecuația.)
18. Problemă aplicată: Perimetrul unui dreptunghi este $46$ cm. Lungimea este cu $5$ cm mai mare decât lățimea. Află dimensiunile, folosind o ecuație în care necunoscuta $x$ este lățimea.

Răspunsuri și explicații

1. $2(x+5)=18\Rightarrow 2x+10=18\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4$. $S=\{4\}$.

2. $3(x-4)=x\Rightarrow 3x-12=x\Rightarrow 3x-x=12\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$. Verificare: $3(6-4)=3\cdot 2=6$ și membrul drept $=6$. Corect. $S=\{6\}$.

3. $5x-7=3x+5\Rightarrow 5x-3x=5+7\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$. $S=\{6\}$.

4. $4(x-1)+3=11\Rightarrow 4x-4+3=11\Rightarrow 4x-1=11\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3$. $S=\{3\}$.

5. $2(x+3)-5=3(x-1)\Rightarrow 2x+6-5=3x-3\Rightarrow 2x+1=3x-3\Rightarrow 1+3=3x-2x\Rightarrow x=4$. Verificare: stânga $2(4+3)-5=14-5=9$; dreapta $3(4-1)=9$. Corect. $S=\{4\}$.

6. $-(x-6)+2x=10\Rightarrow -x+6+2x=10\Rightarrow x+6=10\Rightarrow x=4$. $S=\{4\}$.

7. Numitor comun $10$: $10\cdot \frac{x}{2}+10\cdot \frac{x}{5}=10\cdot 7\Rightarrow 5x+2x=70\Rightarrow 7x=70\Rightarrow x=10$. $S=\{10\}$.

8. Numitor comun $12$: $12\cdot \frac{x}{3}-12\cdot \frac{x}{4}=12\cdot 2\Rightarrow 4x-3x=24\Rightarrow x=24$. Verificare: $\frac{24}{3}-\frac{24}{4}=8-6=2$. Corect. $S=\{24\}$.

9. Numitor comun $6$: $6\cdot \frac{2x}{3}=6\cdot \frac{x+4}{2}\Rightarrow 2\cdot 2x=3(x+4)\Rightarrow 4x=3x+12\Rightarrow x=12$. $S=\{12\}$.

10. Numitor comun $4$: $4\cdot \frac{x-2}{4}+4\cdot \frac{x+1}{2}=4\cdot 3\Rightarrow (x-2)+2(x+1)=12\Rightarrow x-2+2x+2=12\Rightarrow 3x=12\Rightarrow x=4$. $S=\{4\}$.

11. $3(2x-1)-2(x+4)=5\Rightarrow 6x-3-2x-8=5\Rightarrow 4x-11=5\Rightarrow 4x=16\Rightarrow x=4$. Verificare: $3(8-1)-2(4+4)=21-16=5$. Corect. $S=\{4\}$.

12. Numitor comun $10$: $10\cdot \frac{x+3}{5}-10\cdot \frac{x-1}{2}=10\cdot 1\Rightarrow 2(x+3)-5(x-1)=10\Rightarrow 2x+6-5x+5=10\Rightarrow -3x+11=10\Rightarrow -3x=-1\Rightarrow x=\frac{1}{3}$. $S=\left\{\frac{1}{3}\right\}$.

13. $4(x+2)-(2x-3)=x+15\Rightarrow 4x+8-2x+3=x+15\Rightarrow 2x+11=x+15\Rightarrow 2x-x=15-11\Rightarrow x=4$. $S=\{4\}$.

14. Fals. Desfăcând paranteza: $2(x+1)=2x+2$, deci ecuația devine $2x+2=2x+2$, adică o egalitate adevărată pentru orice $x$ (o identitate). Nu are soluția unică $x=0$, ci o infinitate de soluții: $S=\mathbb{R}$. (Acest caz special îl vei studia detaliat în lecția Cazurile unei ecuații liniare.)

15. Fals. Când înmulțesc cu $2$, trebuie să înmulțesc fiecare termen, inclusiv pe $3$: $2\cdot \frac{x}{2}+2\cdot 3=2\cdot 5$, adică $x+6=10$, nu $x+3=10$. Termenul liber $3$ devine $6$, nu rămâne $3$. (Soluția corectă este $x=4$.)

16. Numitor comun $12$: $12\cdot \frac{3x-2}{4}-12\cdot \frac{x-6}{3}=12\cdot 2\Rightarrow 3(3x-2)-4(x-6)=24\Rightarrow 9x-6-4x+24=24\Rightarrow 5x+18=24\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac{6}{5}$. $S=\left\{\frac{6}{5}\right\}$.

17. Fie $x$ scorul Anei. Scorul lui Radu este $2x+8$. Împreună: $x+(2x+8)=50\Rightarrow 3x+8=50\Rightarrow 3x=42\Rightarrow x=14$. Ana are $14$ puncte, iar Radu $2\cdot 14+8=36$ puncte. Verificare: $14+36=50$. Corect.

18. Fie $x$ lățimea (în cm). Lungimea este $x+5$. Perimetrul dreptunghiului este $2(\text{lungime}+\text{la˘țime})$: $2(x+5+x)=46\Rightarrow 2(2x+5)=46\Rightarrow 4x+10=46\Rightarrow 4x=36\Rightarrow x=9$. Lățimea este $9$ cm, iar lungimea $9+5=14$ cm. Verificare: perimetrul $=2(14+9)=2\cdot 23=46$ cm. Corect.

De reținut

• Orice ecuație de gradul întâi se aduce la forma standard $ax+b=0$ (cu $a\ne 0$), a cărei soluție este $x=-\frac{b}{a}$.
• Strategia în ordine: (1) scapi de numitori înmulțind cu numitorul comun; (2) desfaci parantezele; (3) grupezi $x$-urile într-un membru și numerele în celălalt; (4) reduci termenii asemenea și împarți la coeficientul lui $x$.
• Când înmulțești cu numitorul comun, înmulțești fiecare termen, inclusiv pe cei fără fracție. Numărătorii cu sumă/diferență se pun între paranteze.
• Minusul din fața unei paranteze schimbă toate semnele din interior: $-(x-4)=-x+4$.
• Verifică mereu soluția înlocuind-o în ecuația inițială și scrie mulțimea soluțiilor $S$.

Greșeli frecvente

• Uiți să înmulțești un termen liber cu numitorul comun. La $\frac{x}{2}+3=5$, mulți scriu $x+3=10$. Greșit! Și $3$ se înmulțește cu $2$: corect este $x+6=10$. Regula balanței: fiecare termen din ambii membri primește același factor.
• Nu schimbi toate semnele după minusul din fața parantezei. $-(2x-5)$ NU este $-2x-5$, ci $-2x+5$. Verifică fiecare termen din paranteză separat.
• Uiți parantezele la numărătorii cu sumă. Când înmulțești $\frac{x-3}{2}$ cu $6$, corect este $3(x-3)=3x-9$, nu $3x-3$. Fără paranteză, „pierzi" înmulțirea celui de-al doilea termen.
• Combini termeni care nu sunt asemenea. $5x+3$ nu se poate „aduna" într-un singur număr — $x$-urile stau cu $x$-urile, numerele cu numerele. La fel, $\frac{x}{2}$ și $\frac{1}{2}$ nu se combină decât dacă amândoi conțin $x$.

Aplică acasă

• Bugetul de buzunar. Notează cu $x$ suma pe care o primești săptămânal. Construiește o mică ecuație pentru o situație reală: de exemplu, „cheltuiesc jumătate pe gustări și un sfert pun deoparte, iar mie îmi rămân $15$ lei" duce la $x-\frac{x}{2}-\frac{x}{4}=15$. Rezolvă-o și verifică dacă rezultatul se potrivește cu realitatea ta.
• Rețetă la scară. Ia o rețetă din bucătărie. Dacă o cantitate necunoscută de făină, mărită cu $200$ g și apoi împărțită în $3$ porții egale, dă $250$ g per porție, scrie ecuația $\frac{x+200}{3}=250$ și află $x$. Compară cu ce spune rețeta.
• Verificare inversă. Alege un număr întreg preferat, de exemplu $7$. „Ascunde-l" într-o ecuație pe care o construiești tu (cu paranteze și o fracție), astfel încât soluția să fie chiar $7$. Dă-i ecuația unui coleg sau părinte să o rezolve. Dacă obține $7$, ai construit corect!

Pentru părinți și profesori

Această lecție este primul moment în care elevul întâlnește ecuații „reale", care nu vin gata simplificate. Dificultatea nu stă în idei noi, ci în rigoarea și ordinea execuției: majoritatea greșelilor apar la desfacerea parantezelor (semnul minus) și la înmulțirea cu numitorul comun (uitarea unui termen liber).

Cum îl puteți sprijini:

• Insistați pe scrierea fiecărui pas, nu pe calculul „din cap". Un pas sărit este locul unde apare eroarea.
• Cereți-i mereu verificarea prin înlocuire în ecuația inițială. Este cea mai bună plasă de siguranță și îl învață autonomia.
• Întrebări de verificare a înțelegerii: „Cu ce număr trebuie să înmulțești ca să dispară fracțiile?", „Ce se întâmplă cu semnele când desfaci paranteza cu minus în față?", „De ce trebuie să înmulțim și numărul liber, nu doar fracțiile?".

Semne că a înțeles cu adevărat: rezolvă corect o ecuație care are simultan numitori, paranteze și necunoscuta în ambii membri (ca Exemplul 6) și explică de ce face fiecare pas, nu doar ce face. Dacă mai greșește semnele, reluați câteva exerciții scurte doar cu desfacerea parantezelor, înainte de a adăuga fracțiile.

Întrebări frecvente

Cum rezolv o ecuație cu paranteze la clasa a 7-a? Desfaci mai întâi parantezele (distribui factorul din față la fiecare termen și schimbi semnele dacă în față e minus), apoi reduci termenii asemenea, muți necunoscutele într-un membru și numerele în celălalt, și în final împarți la coeficientul lui $x$. La sfârșit verifici soluția în ecuația inițială.

Cum scap de numitori într-o ecuație cu fracții? Găsești numitorul comun (cel mai mic multiplu comun al tuturor numitorilor) și înmulțești fiecare termen al ecuației cu el. Fracțiile se simplifică și dispar, iar tu rămâi cu o ecuație obișnuită, cu numere întregi.

Ce este numitorul comun și cum îl aflu? Numitorul comun este cel mai mic număr care se împarte exact la toți numitorii din ecuație (c.m.m.m.c.). De exemplu, pentru numitorii $2$ și $3$ este $6$, iar pentru $4$ și $6$ este $12$. Îl folosești ca să elimini toate fracțiile dintr-o singură mișcare.

De ce trebuie să pun paranteze la numărător când înmulțesc? Pentru că numărătorul, de exemplu $x-3$, este un tot unitar. Când îl înmulțești cu un număr, acel număr trebuie să înmulțească ambii termeni. Fără paranteză ai risca să înmulțești doar primul termen și să obții un rezultat greșit.

Ce fac dacă necunoscuta apare de ambele părți ale egalului? Muți toți termenii cu $x$ într-un singur membru (de obicei stânga) și toate numerele în celălalt. Reține că termenul care „trece" peste egal își schimbă semnul. Apoi reduci și împarți la coeficientul lui $x$, ca de obicei.

Soluția unei ecuații poate fi o fracție sau un număr negativ? Da, absolut. Soluția nu este obligatoriu un număr întreg pozitiv. Poate fi o fracție (ca $\frac{23}{5}$), un număr negativ (ca $-1$) sau zero. Important este ca la verificare cele două părți ale egalului să dea același rezultat.

De ce este important să verific soluția? Verificarea îți confirmă că nu ai greșit pe parcurs (mai ales la semne și la înmulțirea cu numitorul comun). Înlocuiești valoarea găsită în ecuația inițială: dacă cei doi membri sunt egali, soluția e sigur corectă. La teze și examene, verificarea îți poate salva punctele.

Cum scriu corect mulțimea soluțiilor? Dacă ecuația are o singură soluție, o scrii între acolade: de exemplu $S=\{4\}$. Dacă soluția e o fracție, o pui la fel: $S=\left\{\frac{6}{5}\right\}$. Cazurile speciale (fără soluție sau o infinitate de soluții) le vei studia în lecția următoare, Cazurile unei ecuații liniare.