Este adevărată afirmația: „Ridicând la pătrat ambii membri ai unei ecuații, obțin întotdeauna o ecuație echivalentă"?

Nu, pentru că din $$A^2=B^2$$ rezultă $$A=B$$ sau $$A=-B$$

Da, dar numai la radicali de ordinul 3

Nu, pentru că ridicarea la pătrat pierde soluții

Cum rezolv o ecuație cu radical?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Ecuații și inecuații cu radicali

Izolezi radicalul, ceri ca celălalt membru să fie nenegativ, apoi ridici la pătrat și rezolvi. Condiția de semn este cea care taie rezultatele false apărute prin ridicare. Din $2 x + 3 = x$ ies $3$ și $- 1$ , dar cerința ca $x$ să nu fie negativ păstrează doar $3$ . La final verifici în ecuația de la care ai plecat.

Ridicarea la pătrat nu este echivalență: din $A = B$ rezultă $A^{2} = B^{2}$ , dar invers, din $A^{2} = B^{2}$ rezultă $A = B$ sau $A = - B$ . Al doilea caz produce soluții străine — valori care apar după calcul, dar nu verifică ecuația inițială.

Protocolul corect: (1) condiții de existență (sub radical de ordin par, expresia $\geq 0$ ; la ordinul impar, nicio condiție); (2) echivalența fundamentală $A = B ⟺ B \geq 0 ș i A = B^{2}$ — condiția $B \geq 0$ e cea care taie soluțiile străine; (3) rezolvare; (4) verificare în ecuația inițială. Pentru doi radicali egali, $A = B ⟺ A = B$ și $A \geq 0$ . Când apar și $x$ , și $x$ , se folosește substituția $t = x$ , cu condiția obligatorie $t \geq 0$ .

La radicalul de ordinul 3 nu apar condiții și nici soluții străine: $3 A = B ⟺ A = B^{3}$ , întotdeauna. La inecuații: $A < B ⟺ A \geq 0, B > 0, A < B^{2}$ (condiții simultane); iar $A > B$ se discută pe două cazuri, după semnul lui $B$ , iar mulțimile de soluții obținute se reunesc, nu se intersectează.

De reținut

$A = B ⟺ B \geq 0$ și $A = B^{2}$
la radical de ordin impar nu se pun condiții
ridicarea la pătrat poate adăuga rezultate false, deci verifici

Greșeala tipică

Se ridică la pătrat fără condiția ca membrul din dreapta să fie nenegativ, iar în răspuns rămâne o valoare care nu verifică ecuația; condiția de semn se scrie înaintea calculului.

Exerciții din această mini-lecție

Rezolvați în $R$ ecuația $2 x + 3 = x$ .
- a) $x = 3$
- b) $x = - 1$
- c) $x \in {3, - 1}$
- d) ecuația nu are soluție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 3$

Echivalența cere $x \geq 0$ și $2 x + 3 = x^{2}$ , adică $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ , cu soluțiile $3$ și $- 1$ . Condiția $x \geq 0$ elimină $- 1$ (soluție străină). Verificare: $9 = 3$ .
La rezolvarea ecuației $x + 7 = x - 5$ se obțin, din ecuația de gradul al doilea, valorile $x = 9$ și $x = 2$ . Care este soluția străină?
- a) $x = 2$
- b) $x = 9$
- c) $x = - 2$
- d) nu există soluție străină
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 2$

Condiția de semn este $x - 5 \geq 0$ , adică $x \geq 5$ , care exclude $x = 2$ : $2 + 7 = 3$ , dar $2 - 5 = - 3 \neq = 3$ . Rămâne $x = 9$ : $16 = 4 = 9 - 5$ .
Este adevărată afirmația: „Ridicând la pătrat ambii membri ai unei ecuații, obțin întotdeauna o ecuație echivalentă"?
- a) Da, întotdeauna
- b) Nu, pentru că din $A^{2} = B^{2}$ rezultă $A = B$ sau $A = - B$
- c) Da, dar numai la radicali de ordinul 3
- d) Nu, pentru că ridicarea la pătrat pierde soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, pentru că din $A^{2} = B^{2}$ rezultă $A = B$ sau $A = - B$

Fals. Ridicarea la pătrat nu pierde soluții, dar poate adăuga: $x = - 2$ nu are soluții, însă ecuația ridicată la pătrat, $x = 4$ , are una — o soluție străină.

Întrebări conexe

Ce fac dacă apar doi radicali în aceeași ecuație?

Îi separi, lăsând câte unul de fiecare parte, apoi ridici la pătrat. Dacă radicalii sunt egali, ajunge să egalezi expresiile de sub ei, cu grija ca măcar una să fie nenegativă. Dacă mai rămâne un radical, izolezi din nou și ridici încă o dată.

Cum rezolv ecuația radical din x plus 2 egal x?

Ceri ca $x$ să nu fie negativ, apoi ridici la pătrat și obții $x + 2 = x^{2}$ , adică $x^{2} - x - 2 = 0$ . Rezultatele sunt $2$ și $- 1$ , iar condiția de semn păstrează doar $2$ . Verificarea confirmă: radicalul din patru este chiar doi.

Cum verific soluțiile unei ecuații cu radical?

Le înlocuiești pe rând în ecuația de la început, nu în cea ridicată la pătrat. Sub fiecare radical de ordin par trebuie să iasă un număr nenegativ, iar cele două părți ale egalității trebuie să dea aceeași valoare. Ce nu trece acest test se taie din răspuns.

Ce fac dacă după ridicarea la pătrat rămâne tot un radical?

Izolezi radicalul rămas într-un membru și ridici din nou la pătrat, având grijă ca celălalt membru să fie nenegativ. Din $x + 5 = 1 + x$ obții după prima ridicare $x = 2$ , deci $x = 4$ . Verificarea în ecuația inițială rămâne obligatorie.

Cum apar ecuațiile cu radicali la Bacalaureat?

Apar de obicei cu un singur radical și cu o expresie de gradul întâi în celălalt membru, uneori împreună cu o cerință de domeniu. Punctele se pierd cel mai des la condiția de semn și la verificare, nu la calcul. Redactarea completă cere ambele etape.

De ce nu am voie să ridic la pătrat o inecuație oricum?

Pentru că ridicarea la pătrat păstrează ordinea doar între numere nenegative. Dacă un membru poate fi negativ, inegalitatea se poate întoarce. De aceea inecuațiile cu radical se rezolvă pe cazuri, cu condiții scrise separat și cu reunirea sau intersectarea mulțimilor obținute.

Oamenii mai întreabă și: ecuații cu radicali rezolvate · cum scap de radical într-o ecuație · ridicarea la pătrat la ecuații cu radical · soluții străine la ecuații cu radical