Fracții echivalente

Bună, mic matematician! Astăzi descoperim un mic „truc" magic al fracțiilor: două fracții care arată complet diferit pot să însemne, de fapt, exact aceeași cantitate. Adică jumătate dintr-o pizza și două felii din patru sunt una și aceeași bucată de mâncare! Fracțiile care arată aceeași parte din întreg se numesc fracții echivalente, iar tu vei învăța azi să le recunoști, să le creezi singur și chiar să scrii un întreg ca o fracție. Pregătește un creion, o foaie și pofta de joacă!

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști fracții care arată aceeași parte din întreg, chiar dacă sunt scrise diferit.
• Vei ști să obții fracții echivalente prin desen, prin pliere (îndoirea hârtiei) și prin hașurare.
• Vei ști să scrii întregul sub formă de fracție: 2/2, 3/3, 4/4, 5/5 și așa mai departe.
• Vei ști să verifici dacă două fracții sunt egale, privind cu atenție bucățile colorate.
• Vei ști să folosești fracțiile echivalente în mici probleme cu prăjituri, ciocolată și bani.

Hai să descoperim împreună

Ne amintim ce este o fracție

Înainte să pornim, hai să ne reamintim pe scurt. Când împărțim un întreg în părți egale, fiecare parte și fiecare grup de părți se scrie cu o fracție. O fracție are două etaje, despărțite printr-o liniuță:

• Numărul de jos se numește numitor și ne spune în câte părți egale am împărțit întregul.
• Numărul de sus se numește numărător și ne spune câte părți luăm noi.

Dacă vrei să-ți reîmprospătezi memoria, poți reciti lecția Fracția și terminologia ei. Acum mergem mai departe spre ceva nou și frumos.

Marele secret: aceeași bucată, alt nume

Hai să ne imaginăm o ciocolată dreptunghiulară. O rupem fix la mijloc, în două bucăți egale. Tu iei o bucată. Cât ai luat? Ai luat o jumătate, adică fracția 1/2.

Acum luăm aceeași ciocolată, dar o rupem în patru bucăți egale, nu în două. De data asta tu iei două bucățele. Cât ai luat? Ai luat 2/4.

Pune cele două desene unul lângă altul și uită-te bine. Partea colorată din primul desen și partea colorată din al doilea desen acoperă exact aceeași suprafață de ciocolată! Mâna ta a primit aceeași cantitate de dulce, fie că am spus „1/2", fie că am spus „2/4".

Asta înseamnă că:

1/2 = 2/4

Aceste două fracții se numesc fracții echivalente. Cuvântul „echivalent" e un cuvânt mare, dar înseamnă ceva simplu: valorează la fel, arată aceeași parte din întreg. Sunt ca doi prieteni îmbrăcați diferit, dar care cântăresc exact la fel.

Și mai multe haine pentru aceeași bucată

Hai să continuăm jocul cu ciocolata. Dacă rupem aceeași tabletă în opt bucăți egale și luăm patru dintre ele, cât avem? Avem 4/8. Și — surpriză! — tot jumătate de ciocolată ținem în mână.

Deci putem scrie un șir de prieteni:

1/2 = 2/4 = 4/8

Toate trei arată aceeași jumătate. Doar bucățile sunt tăiate altfel: mai mari sau mai mici. E ca atunci când tai o felie de pâine: poți s-o tai în 2, în 4 sau în 8 felioare subțiri — pâinea rămâne aceeași cantitate.

Cum obținem fracții echivalente — trucul cu înmulțirea

Acum vine partea cea mai tare. Nu ești nevoit mereu să desenezi ca să găsești o fracție echivalentă. Există un truc rapid și sigur:

Înmulțim și numărătorul, și numitorul cu același număr.

Hai să-l vedem la lucru cu fracția 1/2:

• Înmulțim cu 2: numărătorul 1 × 2 = 2, numitorul 2 × 2 = 4. Obținem 2/4. ✔️
• Înmulțim cu 3: numărătorul 1 × 3 = 3, numitorul 2 × 3 = 6. Obținem 3/6. ✔️
• Înmulțim cu 4: numărătorul 1 × 4 = 4, numitorul 2 × 4 = 8. Obținem 4/8. ✔️
• Înmulțim cu 5: numărătorul 1 × 5 = 5, numitorul 2 × 5 = 10. Obținem 5/10. ✔️

Deci: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10. Toate sunt o jumătate!

Atenție, regula de aur: trebuie să înmulțim și numărătorul, și numitorul cu același număr. Dacă înmulțim doar pe unul, fracția se strică și nu mai e egală! E ca o balanță: dacă pui greutate doar într-un taler, balanța se înclină. Trebuie să pui aceeași greutate în ambele talere ca să rămână dreaptă.

De ce funcționează trucul? (pe înțelesul tău)

Gândește-te din nou la ciocolată. Când înmulțim numitorul cu 2, înseamnă că tăiem fiecare bucată în 2 — avem de două ori mai multe bucăți, dar mai mici. Iar când înmulțim și numărătorul cu 2, înseamnă că luăm de două ori mai multe bucăți. Mai multe bucăți, dar fiecare mai mică — la final, aceeași cantitate. De-asta fracția nu se schimbă cu adevărat, doar își schimbă „hainele".

A doua cale: obținem fracții echivalente prin pliere

Ia o foaie de hârtie dreptunghiulară. Aceasta e „întregul" nostru.

1. Îndoaie foaia o dată, fix la mijloc. Acum ai 2 părți egale. Desfă foaia: vezi o linie. Colorează o parte. Ai arătat 1/2.
2. Îndoaie din nou foaia, peste prima îndoitură, în partea cealaltă. Acum, când o desfaci, ai 4 părți egale. Partea pe care ai colorat-o tu acoperă acum 2 din cele 4 părți, adică 2/4.
3. Culoarea nu s-a mișcat deloc! Doar liniile sunt mai multe. Asta îți arată cu ochii tăi că 1/2 = 2/4.

Plierea hârtiei e una dintre cele mai frumoase moduri de a vedea cum se nasc fracțiile echivalente. Vom repeta acest joc și la finalul lecției, la „Joc acasă".

A treia cale: prin desen și hașurare

Putem desena două forme la fel de mari (de exemplu două dreptunghiuri identice sau două cercuri identice), să le împărțim diferit și să hașurăm (colorăm cu liniuțe) aceeași cantitate. Dacă partea hașurată e la fel de mare în ambele, fracțiile sunt echivalente.

Aici vezi că 1/3 = 2/6. Aceeași feliuță de „tort", tăiată mai mărunt.

A patra cale: fracțiile echivalente pe axa numerelor

Există un loc unde fracțiile echivalente se văd foarte clar: axa numerelor. Imaginează-ți o riglă întinsă de la 0 la 1. Tot drumul de la 0 la 1 este „întregul" nostru.

Dacă faci un mic semn la 1/2, apoi pe altă riglă la 2/4, apoi pe alta la 4/8, vei observa ceva uimitor: toate semnele cad exact în același punct! Sunt fix la mijlocul drumului dintre 0 și 1. Asta îți arată, încă o dată, că 1/2 = 2/4 = 4/8 — fracțiile echivalente stau toate în același loc pe axă, oricât de diferit ar fi scrise. Două fracții echivalente sunt ca două adrese scrise altfel pentru aceeași casă.

A cincea cale: tabelul fracțiilor echivalente

Putem aduna toate „hainele" unei fracții într-un tabel ordonat. Pe primul rând scriem numărătorii, pe al doilea numitorii, și înmulțim coloană după coloană cu 1, 2, 3, 4, 5. Iată tabelul pentru 1/3:

Citește ultimul rând: 1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12 = 5/15. Toate sunt o treime! Un tabel ca acesta este o „mașină de fabricat fracții echivalente": îți dă oricâte vrei, fără să mai desenezi de fiecare dată. Încearcă să faci singur un tabel pentru 1/2 sau pentru 3/4 — o să-ți iasă un șir lung de prieteni egali.

Fracții echivalente în viața de zi cu zi

Fracțiile echivalente nu trăiesc doar în caiet. Le întâlnești des, fără să-ți dai seama:

• La ceas. O jumătate de oră înseamnă 30 de minute din 60, adică 30/60. Dar tot „o jumătate de oră" îi spunem, adică 1/2. Deci 30/60 = 1/2! Un sfert de oră înseamnă 15 minute din 60, adică 15/60 = 1/4.
• La bani. Cincizeci de bani dintr-un leu (care are 100 de bani) înseamnă 50/100 dintr-un leu. Dar tot „jumătate de leu" zicem: 50/100 = 1/2. Iar 25/100 dintr-un leu = 1/4 de leu.
• La măsuri. Jumătate de litru de lapte poate fi scris 500/1000 dintr-un litru sau, mai simplu, 1/2 de litru. Aceeași cantitate, alt nume.

Vezi? Adulții folosesc fracții echivalente în fiecare zi, doar că nu se opresc să le numească. Tu acum știi secretul din spate.

Marea descoperire: întregul scris ca o fracție

Acum un secret și mai surprinzător. Ce se întâmplă dacă luăm toate bucățile întregului? Adică nu lăsăm nimic deoparte?

Imaginează-ți un măr tăiat în 4 sferturi. Dacă iei toate cele 4 sferturi, ai... mărul întreg! Adică 4/4 = 1 întreg.

La fel se întâmplă mereu, când numărătorul este egal cu numitorul:

• O turtă tăiată în 2 și luăm ambele jumătăți: 2/2 = 1 întreg.
• O pizza tăiată în 3 și luăm toate cele 3 felii: 3/3 = 1 întreg.
• O ciocolată tăiată în 5 și luăm toate cele 5 bucăți: 5/5 = 1 întreg.
• O foaie tăiată în 10 fâșii și luăm toate cele 10: 10/10 = 1 întreg.

Regula de aur: orice fracție în care numărătorul este egal cu numitorul valorează un întreg, adică 1. Iar asta înseamnă că 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6 și toate celelalte sunt, de fapt, fracții echivalente între ele — toate sunt egale cu 1 întreg!

2/2 = 3/3 = 4/4 = 5/5 = ... = 1

Asta o vei folosi în lecția următoare, când vom învăța compararea fracțiilor cu același numitor. Iar fracțiile în care numărătorul e egal cu numitorul, pe care le-ai cunoscut deja la fracții subunitare, echiunitare și supraunitare, se numesc echiunitare — adică „cât un întreg".

Cum verificăm dacă două fracții sunt echivalente

Ai două fracții și nu știi dacă sunt prietene egale? Iată două moduri sigure de verificare:

Modul 1 — cu desenul. Desenezi două forme la fel de mari, le împarți și colorezi. Dacă partea colorată ajunge la aceeași mărime, fracțiile sunt echivalente.

Modul 2 — cu înmulțirea. Te întrebi: „cu cât trebuie să înmulțesc numărătorul și numitorul primei fracții ca să obțin a doua?" Dacă găsești același număr și pentru sus, și pentru jos, atunci sunt echivalente.

Exemplu: sunt 2/3 și 6/9 echivalente? Mă uit: 2 × 3 = 6 (numărătorul) și 3 × 3 = 9 (numitorul). Am înmulțit și sus, și jos cu 3. Da, sunt echivalente! 2/3 = 6/9. 🎉

O poveste scurtă: prăjitura bunicii

Maria și fratele ei, Andrei, stau la masă. Bunica aduce o prăjitură mare, pătrată. „O tai în 2 și vă dau câte o jumătate", spune bunica. Maria primește 1/2.

Dar Andrei e mic și se sperie: „E prea mare bucata mea, n-o termin!". Așa că bunica ia jumătatea lui și o mai taie în 2 bucățele. „Acum ai 2 bucăți din 4", zâmbește ea. Andrei e fericit: are 2 bucățele mici în loc de una mare.

Maria îl tachinează: „Hei, dar tu ai aceeași cantitate ca mine!". Și are dreptate: 1/2 = 2/4. Andrei mănâncă exact cât Maria, doar că în bucățele mai mici. Asta sunt fracțiile echivalente: aceeași prăjitură, tăiată în alt fel. 🍰

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștem fracții echivalente din desen

Privește desenul. Sunt fracțiile 1/2 și 3/6 echivalente?

Rezolvare povestită: Mă uit la cele două dreptunghiuri, care sunt la fel de mari. În primul, partea albastră acoperă jumătate. În al doilea, cele 3 părți albastre acoperă tot jumătate (3 din 6 înseamnă fix jumătate). Partea colorată ajunge în ambele la aceeași linie de la mijloc.

Răspuns: Da, 1/2 = 3/6. Sunt fracții echivalente, arată aceeași parte din întreg.

Exemplul 2 — Obținem o fracție echivalentă prin înmulțire

Găsește o fracție echivalentă cu 2/5, înmulțind cu 3.

Rezolvare povestită: Folosesc regula de aur: înmulțesc și numărătorul, și numitorul cu același număr, adică cu 3.

• Numărătorul: 2 × 3 = 6
• Numitorul: 5 × 3 = 15

Răspuns: 2/5 = 6/15. Cele două fracții arată aceeași parte din întreg.

Exemplul 3 — Completăm numărul care lipsește

Completează căsuța: 1/4 = ☐/8.

Rezolvare povestită: Mă uit la numitori. De la 4 la 8, cu cât am înmulțit? 4 × 2 = 8, deci am înmulțit cu 2. Atunci trebuie să înmulțesc și numărătorul cu același număr: 1 × 2 = 2.

Răspuns: 1/4 = 2/8. În căsuță scriem 2.

Exemplul 4 — Scriem întregul ca fracție

Bunica taie o plăcintă în 6 felii egale și le pune toate pe masă. Scrie sub formă de fracție câtă plăcintă este pe masă.

Rezolvare povestită: Plăcinta a fost tăiată în 6 părți egale, deci numitorul este 6. Pe masă sunt toate cele 6 felii, deci numărătorul este tot 6. Asta înseamnă 6/6. Iar când numărătorul este egal cu numitorul, fracția valorează un întreg.

Răspuns: Pe masă este 6/6 = 1 întreg (o plăcintă întreagă).

Exemplul 5 — Verificăm dacă două fracții sunt egale

Sunt 3/4 și 9/12 fracții echivalente?

Rezolvare povestită: Mă întreb cu cât trebuie să înmulțesc 3/4 ca să ajung la 9/12.

• Numărătorul: 3 × ? = 9 → înmulțesc cu 3 (3 × 3 = 9).
• Numitorul: 4 × ? = 12 → înmulțesc cu 3 (4 × 3 = 12).

Am înmulțit și sus, și jos cu același număr, 3.

Răspuns: Da, 3/4 = 9/12. Sunt fracții echivalente.

Exemplul 6 — Mică problemă cu fracții echivalente

Ana și Dan au câte o tabletă de ciocolată la fel de mare. Ana mănâncă 1/3 din a ei. Dan mănâncă 2/6 din a lui. Cine a mâncat mai multă ciocolată?

Rezolvare povestită: Verific dacă cele două fracții sunt echivalente. De la 1/3 la 2/6: numărătorul 1 × 2 = 2, numitorul 3 × 2 = 6. Am înmulțit și sus, și jos cu 2. Deci 1/3 = 2/6.

Răspuns: Au mâncat exact la fel! 1/3 din ciocolată este aceeași cantitate ca 2/6 din ciocolată. Niciunul n-a mâncat mai mult decât celălalt.

Exemplul 7 — Folosim tabelul ca să găsim un prieten egal

Scrie trei fracții echivalente cu 3/4, folosind înmulțirea cu 2, cu 3 și cu 4.

Rezolvare povestită: Fac un mic tabel în minte și înmulțesc, de fiecare dată, și numărătorul, și numitorul cu același număr.

• Cu 2: 3 × 2 = 6 și 4 × 2 = 8 → 6/8
• Cu 3: 3 × 3 = 9 și 4 × 3 = 12 → 9/12
• Cu 4: 3 × 4 = 12 și 4 × 4 = 16 → 12/16

Răspuns: 3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/16. Toate arată trei sferturi din întreg.

Exemplul 8 — O fracție echivalentă „ascunsă" în timp

Câte minute dintr-o oră înseamnă 1/4 de oră? (O oră are 60 de minute.)

Rezolvare povestită: Vreau o fracție echivalentă cu 1/4, dar cu numitorul 60 (minutele întregii ore). Mă întreb: de la 4 la 60, cu cât am înmulțit? 4 × 15 = 60, deci am înmulțit cu 15. Atunci înmulțesc și numărătorul: 1 × 15 = 15.

Răspuns: 1/4 = 15/60, adică 15 minute. Un sfert de oră înseamnă 15 minute. 🕒

Să exersăm

Ia un creion și o foaie. Lucrează cu răbdare, pas cu pas. La final, găsești toate răspunsurile.

1. Completează căsuța ca fracțiile să fie echivalente: 1/2 = ☐/4.

2. Completează căsuța: 1/3 = 2/☐.

3. Înmulțește și numărătorul, și numitorul cu 2 și scrie fracția echivalentă cu 3/5.

4. Înmulțește cu 3 și scrie fracția echivalentă cu 2/4.

5. Scrie sub formă de fracție un întreg împărțit în 7 părți egale, din care luăm toate părțile.

6. Adevărat sau fals? 2/2 = 1 întreg.

7. Adevărat sau fals? 3/8 = 6/16.

8. Adevărat sau fals? 1/2 = 2/3.

9. Încercuiește fracția care NU este echivalentă cu 1/2:     a) 2/4    b) 3/6    c) 3/5    d) 5/10

10. Potrivește fiecare fracție din stânga cu perechea ei echivalentă din dreapta:     A) 1/4        1) 6/8     B) 1/5        2) 2/8     C) 3/4        3) 2/10

11. Completează șirul de fracții echivalente cu 1/2: 1/2 = 2/4 = 3/6 = ☐/8 = 5/☐.

12. Scrie două fracții echivalente cu 1/4 (folosește înmulțirea cu 2 și cu 3).

13. Desenează un dreptunghi împărțit în 8 părți egale și colorează atâtea părți cât să arate o fracție echivalentă cu 1/2. Câte părți ai colorat?

14. Completează căsuța: 4/4 = ☐ întreg(i).

15. Mică problemă: O pizza e tăiată în 8 felii egale. Toate cele 8 felii sunt pe masă. Scrie sub formă de fracție câtă pizza este pe masă și spune cât face în întregi.

16. Mică problemă: Vlad a colorat 2/3 dintr-un desen, iar Sara a colorat 4/6 dintr-un desen la fel de mare. Au colorat la fel sau diferit? Explică.

17. Adevărat sau fals? Dacă înmulțesc doar numărătorul cu 2, obțin o fracție echivalentă.

18. Provocare: Găsește numărul care lipsește: 2/3 = 8/☐. (Indiciu: cu cât a fost înmulțit numărătorul de la 2 la 8?)

19. Completează tabelul fracțiilor echivalente cu 2/3 (înmulțind cu 1, 2, 3, 4):     2/3 = ☐/6 = 6/☐ = ☐/12

20. Pe axa numerelor, de la 0 la 1, în ce punct cade fracția 2/4? (Indiciu: cu ce fracție mai simplă este echivalentă?)

21. Mică problemă cu ceasul: Câte minute dintr-o oră de 60 de minute înseamnă 1/2 de oră? Scrie și fracția echivalentă cu numitorul 60.

22. Adevărat sau fals? 2/5 = 4/10.

Răspunsuri și explicații

1. 2. De la numitorul 2 la 4 am înmulțit cu 2, deci și numărătorul 1 × 2 = 2. Așadar 1/2 = 2/4.

2. 6. De la numărătorul 1 la 2 am înmulțit cu 2, deci și numitorul 3 × 2 = 6. Așadar 1/3 = 2/6.

3. 6/10. Numărătorul: 3 × 2 = 6; numitorul: 5 × 2 = 10. Deci 3/5 = 6/10.

4. 6/12. Numărătorul: 2 × 3 = 6; numitorul: 4 × 3 = 12. Deci 2/4 = 6/12.

5. 7/7. Întregul e împărțit în 7 părți (numitor 7) și luăm toate cele 7 (numărător 7). 7/7 = 1 întreg.

6. Adevărat. Numărătorul (2) este egal cu numitorul (2), deci 2/2 = 1 întreg.

7. Adevărat. Numărătorul: 3 × 2 = 6; numitorul: 8 × 2 = 16. Am înmulțit și sus, și jos cu 2, deci 3/8 = 6/16.

8. Fals. De la 1/2 la 2/3 numărătorul s-a înmulțit cu 2, dar numitorul nu (3 nu este 2 × 2 = 4). Nu am înmulțit cu același număr, deci nu sunt echivalente.

9. c) 3/5. La 2/4, 3/6 și 5/10 numărătorul și numitorul au fost înmulțiți cu același număr pornind de la 1/2. La 3/5 nu există un număr cu care 1/2 să devină 3/5, deci nu este echivalentă.

10. A–2, B–3, C–1. 1/4 = 2/8 (× 2); 1/5 = 2/10 (× 2); 3/4 = 6/8 (× 2).

11. 4 și 10. 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10. La fiecare, numărătorul și numitorul cresc cu același pas.

12. 2/8 și 3/12. Înmulțind 1/4 cu 2 obținem 2/8; înmulțind cu 3 obținem 3/12. (Sunt corecte și alte fracții echivalente, ca 4/16.)

13. 4 părți. 1/2 dintr-un întreg împărțit în 8 înseamnă 4/8, adică 4 părți colorate din 8. 1/2 = 4/8.

14. 1. 4/4 = 1 întreg, pentru că numărătorul este egal cu numitorul.

15. 8/8 = 1 întreg. Pizza e tăiată în 8 (numitor 8) și sunt pe masă toate 8 feliile (numărător 8). 8/8 = 1 pizza întreagă.

16. La fel. 2/3 = 4/6, pentru că 2 × 2 = 4 și 3 × 2 = 6 (am înmulțit și sus, și jos cu 2). Vlad și Sara au colorat aceeași parte.

17. Fals. Trebuie să înmulțim și numărătorul, și numitorul cu același număr. Dacă atingem doar numărătorul, fracția se schimbă și nu mai este echivalentă.

18. 12. Numărătorul de la 2 la 8 s-a înmulțit cu 4 (2 × 4 = 8), deci și numitorul: 3 × 4 = 12. Așadar 2/3 = 8/12.

19. 4, 9 și 8. 2/3 × 2 = 4/6; 2/3 × 3 = 6/9; 2/3 × 4 = 8/12. Deci 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12.

20. La mijloc, în punctul 1/2. Pentru că 2/4 = 1/2 (am împărțit la 2 sus și jos, sau, invers, 1/2 × 2 = 2/4). Pe axă cade fix la jumătatea drumului dintre 0 și 1.

21. 30 de minute; 1/2 = 30/60. De la numitorul 2 la 60 am înmulțit cu 30, deci și numărătorul: 1 × 30 = 30. Jumătate de oră înseamnă 30 de minute.

22. Adevărat. Numărătorul: 2 × 2 = 4; numitorul: 5 × 2 = 10. Am înmulțit și sus, și jos cu 2, deci 2/5 = 4/10.

De reținut

• Fracțiile echivalente sunt fracții scrise diferit, dar care arată aceeași parte din întreg. Exemplu: 1/2 = 2/4 = 4/8.
• Obținem o fracție echivalentă înmulțind și numărătorul, și numitorul cu același număr (regula de aur, ca o balanță în echilibru).
• Putem descoperi fracții echivalente și prin desen, prin pliere și prin hașurare, comparând părțile colorate.
• Pe axa numerelor (de la 0 la 1), fracțiile echivalente cad toate în același punct, iar un tabel ne ajută să fabricăm oricâte fracții echivalente vrem.
• Când numărătorul este egal cu numitorul, fracția valorează un întreg: 2/2 = 3/3 = 4/4 = 5/5 = ... = 1.
• Dacă schimbăm doar numărătorul sau doar numitorul, fracția se strică și nu mai este echivalentă.

Greșeli frecvente

• Înmulțesc doar numărătorul (sau doar numitorul). De exemplu, scriu greșit 1/2 = 2/2. Corect: trebuie atinse amândouă etajele cu același număr: 1/2 = 2/4. Gândește-te mereu la balanța cu două talere.
• Cred că fracțiile cu numere mai mari sunt automat mai mari. 2/4 nu este mai mare decât 1/2, deși are cifre mai mari — sunt egale! Numerele mari nu înseamnă mereu cantitate mare; contează cum se raportează numărătorul la numitor.
• Confund întregul cu zero. 4/4 nu este „nimic" și nici „4". 4/4 = 1 întreg. Când iei toate părțile, ai întregul complet.
• Compar fracții fără ca formele să fie la fel de mari. Ca să verifici prin desen, cele două întreguri trebuie să aibă aceeași mărime. O jumătate de pizza mică nu e cât o jumătate de pizza mare!

Joc acasă

Jocul 1 — Hârtia care se pliază

Ia o foaie dreptunghiulară. Îndoaie-o la mijloc și colorează o jumătate (1/2). Acum îndoaie foaia încă o dată, apoi încă o dată. Desfă-o și numără căsuțele și câte sunt colorate. Vei descoperi singur că aceeași culoare arată acum 2/4, apoi 4/8 — toate egale cu 1/2! Spune cu voce tare ce fracții ai obținut.

Jocul 2 — Bucătarul de pizza

Desenează (sau decupează din carton) două „pizza" rotunde, exact la fel de mari. Pe prima taie 4 felii și colorează 1 (1/4). Pe a doua taie 8 felii și colorează 2 (2/8). Pune-le una lângă alta și verifică: partea colorată e la fel? Da! Ai dovedit că 1/4 = 2/8. Schimbă numerele și inventează alte perechi.

Jocul 3 — Cutia cu „un întreg"

Ia o ciocolată cu pătrățele (sau desenează una). Numără în câte pătrate este împărțită — să zicem 6. Acum „ia" toate cele 6 pătrate. Câtă ciocolată ai luat? 6/6, adică un întreg! Repetă cu alte ciocolate (în 4, în 8, în 10 pătrate) și de fiecare dată spune ce fracție face un întreg.

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce noțiunea de fracții echivalente și ideea că întregul se poate scrie ca fracție (n/n = 1). Pentru un copil de clasa a IV-a, esențial este să vadă echivalența concret, nu doar să memoreze reguli.

Cum predați pas cu pas:

• Începeți cu obiecte reale: o tabletă de ciocolată, un măr, o foaie de hârtie. Lăsați copilul să taie/plieze și să observe singur că „partea colorată e aceeași".
• Abia după ce a văzut echivalența, introduceți regula înmulțirii (și numărătorul, și numitorul cu același număr). Folosiți imaginea balanței: „ce facem într-un taler, facem și-n celălalt".
• Insistați pe ideea de forme la fel de mari atunci când comparați prin desen — e sursa multor confuzii.

Întrebări bune de pus:

• „Arată-mi cu desenul de ce 1/2 și 2/4 sunt egale."
• „Cu cât ai înmulțit ca să treci de la 2/3 la 6/9?"
• „Ce fracție obținem dacă luăm toate cele 5 felii dintr-o turtă tăiată în 5?" (răspuns: 5/5 = 1 întreg)

Cum verificați înțelegerea: Cereți copilului să creeze el o pereche de fracții echivalente și s-o demonstreze printr-un desen. Dacă reușește să explice cu cuvintele lui „de ce sunt egale", a înțeles. Dacă greșește înmulțind un singur etaj, reluați jocul cu hârtia pliată. Continuarea naturală a lecției este Compararea fracțiilor cu același numitor.

Întrebări frecvente

Ce sunt fracțiile echivalente la clasa a IV-a? Fracțiile echivalente sunt fracții scrise diferit care arată aceeași parte din întreg. De exemplu, 1/2, 2/4 și 4/8 sunt fracții echivalente, pentru că toate înseamnă o jumătate. Sunt egale ca valoare, doar bucățile sunt tăiate altfel.

Cum obțin o fracție echivalentă? Înmulțești și numărătorul, și numitorul cu același număr. De exemplu, din 2/3, înmulțind cu 4, obții 8/12. Important este să atingi ambele etaje ale fracției cu același număr, niciodată doar unul.

De ce 1/2 este egal cu 2/4? Pentru că ambele arată exact o jumătate din întreg. Dacă tai o ciocolată în 2 și iei o bucată, ai 1/2. Dacă o tai în 4 și iei 2 bucăți, ai 2/4 — aceeași cantitate de ciocolată, doar în bucățele mai mici.

Cum scriu un întreg sub formă de fracție? Scrii o fracție în care numărătorul este egal cu numitorul: 2/2, 3/3, 4/4, 5/5 și așa mai departe. Toate aceste fracții valorează 1 întreg, pentru că iei toate părțile în care a fost împărțit întregul.

Cât face 4/4? 4/4 face 1 întreg. Înseamnă că ai luat toate cele 4 părți dintr-un întreg împărțit în 4. Ori de câte ori numărătorul este egal cu numitorul, fracția este egală cu 1.

Cum verific dacă două fracții sunt echivalente? Te întrebi cu ce număr trebuie să înmulțești numărătorul și numitorul primei fracții ca să obții a doua. Dacă găsești același număr pentru ambele, fracțiile sunt echivalente. De exemplu, 3/4 = 9/12, pentru că ai înmulțit și sus, și jos cu 3.

O fracție rămâne aceeași dacă înmulțesc doar numitorul? Nu. Dacă atingi doar numitorul (sau doar numărătorul), fracția se schimbă și nu mai este echivalentă. Trebuie să înmulțești ambele etaje cu același număr, ca o balanță în echilibru.

La ce îmi folosesc fracțiile echivalente? Te ajută să compari și să aduni fracții, să recunoști când două cantități sunt de fapt egale și să rezolvi probleme cu prăjituri, bani sau măsuri. Vei folosi această idee în lecțiile despre compararea fracțiilor și adunarea fracțiilor cu același numitor.