Cum scad o fracție dintr-un întreg, de exemplu 1 - 2/5?

Scrii mai întâi întregul ca o fracție cu același numitor: 1 = 5/5. Apoi scazi normal: 5/5 - 2/5 = 3/5. Deci 1 - 2/5 = 3/5.

Scăderea fracțiilor cu același numitor

Lecția trecută am învățat să adunăm fracții cu același numitor. Astăzi facem operația opusă: scăderea. Vestea bună este că, dacă știi să aduni fracții, scăderea îți va părea foarte ușoară, pentru că merge după exact aceeași regulă. Adunarea înseamnă „pun la un loc, am mai mult"; scăderea înseamnă „iau, dau, mănânc, cât rămâne?". Hai să tăiem împreună din pizza, din ciocolată și din tortul de la ziua ta, ca să vedem cât rămâne! Vei descoperi că scăderea fracțiilor cu același numitor este una dintre cele mai simple și mai prietenoase operații din toată matematica de clasa a IV-a.

Ce vei învăța

Vei ști să scazi două fracții cu același numitor: scad numărătorii și păstrez numitorul.
Vei ști să scrii o fracție ca diferență de alte fracții cu același numitor.
Vei ști să scazi o fracție dintr-un întreg, de exemplu $1 - \frac{2}{5}$ .
Vei ști să faci proba scăderii fracțiilor folosind adunarea.
Vei ști să rezolvi mici probleme din viața de zi cu zi cu scăderi de fracții.

Hai să descoperim împreună

O poveste cu ciocolată

Maria are o tabletă de ciocolată împărțită în 8 pătrățele egale. Pătrățelele sunt toate la fel de mari. Asta înseamnă că fiecare pătrățel este o optime din toată tableta, adică $\frac{1}{8}$ .

La început, Maria are toate cele 8 pătrățele, adică $\frac{8}{8}$ din tabletă (toată tableta). Dar îi este poftă, așa că mănâncă 3 pătrățele. Cât îi mai rămâne?

Hai să ne uităm la desen. Avea 8 bucățele. A mâncat 3. Au mai rămas 5 bucățele. Fiecare bucățică este tot $\frac{1}{8}$ , deci au rămas cinci optimi, adică $\frac{5}{8}$ .

Scriem ce s-a întâmplat ca o scădere:

$\frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

Ai văzut ce s-a întâmplat? Numitorul a rămas 8 tot timpul. Numai numărătorii s-au scăzut: $8 - 3 = 5$ .

Regula de aur a scăderii fracțiilor

Iată regula pe care o vom folosi de fiecare dată. Citește-o de două ori, cu voce tare:

Ca să scazi două fracții care au același numitor, scazi numărătorii între ei și păstrezi același numitor.

Pe scurt, copiii o țin minte așa: „scad numărătorii, păstrez numitorul".

În limbaj de matematician, regula arată așa:

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

Litera $a$ este numărătorul de sus al primei fracții, $b$ este numărătorul celei de-a doua, iar $c$ este numitorul, care rămâne neschimbat.

De ce numitorul rămâne la fel?

Aceasta este cea mai importantă întrebare. Hai să o lămurim odată pentru totdeauna.

Numitorul îți spune în câte bucăți egale a fost tăiat întregul. Dacă tableta a fost tăiată în 8 bucăți, atunci fiecare bucată este o optime. Când mănânci câteva bucăți, mărimea bucăților nu se schimbă! Bucățile rămase sunt tot optimi. De aceea numitorul rămâne 8.

Gândește-te la o analogie cu mere. Dacă ai 7 mere și dai 2, îți rămân 5 mere — nu 5 pere, nu 5 banane. Tot mere! La fel, dacă ai 7 optimi și iei 2 optimi, îți rămân 5 optimi. „Optimea" este ca felul fructului. Se schimbă doar câte sunt, nu ce fel sunt.

Hai cu încă o analogie, ca să fii sigur de tot. Imaginează-ți că ai un buzunar plin cu monede de câte 50 de bani. Toate sunt la fel de mari. Dacă ai 9 monede de 50 de bani și dai 3, îți rămân 6 monede — tot de 50 de bani fiecare. Nu se transformă deodată în monede de 1 leu! La fel se întâmplă și cu fracțiile: dacă numitorul este 12, fiecare bucată este o doisprezecime, și rămâne tot o doisprezecime oricâte ai scoate. De aceea regula spune răspicat: numitorul rămâne neschimbat.

Numărătorul de sus se scade

Acum partea în care chiar lucrăm: numărătorul. Numărătorul îți spune câte bucăți ai. Când scazi, ții cont câte bucăți pleacă.

Aveai $\frac{7}{10}$ dintr-o prăjitură. Asta înseamnă 7 bucăți din 10.
Mănânci $\frac{4}{10}$ , adică 4 bucăți.
Îți rămân $7 - 4 = 3$ bucăți, adică $\frac{3}{10}$ .

$\frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{7 - 4}{10} = \frac{3}{10}$

Hai să mai facem unul împreună, foarte rar, ca să prinzi ritmul. Calculăm $\frac{6}{7} - \frac{2}{7}$ :

Mă uit la numitori: amândoi sunt 7. Sunt la fel, deci pot scădea. Bine!
Scad numărătorii: $6 - 2 = 4$ .
Copiez numitorul 7 dedesubt, neschimbat.
Rezultatul este $\frac{4}{7}$ .

Vezi cât de liniștit merge? Numai trei pași mici, mereu aceiași.

Pas cu pas, ori de câte ori scazi fracții cu același numitor:

Verifici că numitorii sunt la fel. (Trebuie să fie! Altfel folosim altă metodă, pe care o vei învăța mai târziu.)
Scazi numărătorii: numărătorul de sus minus numărătorul de jos.
Copiezi numitorul neschimbat sub linia de fracție.
Verifici dacă rezultatul se poate simplifica sau scrie mai frumos (uneori iese un întreg sau zero).

Scrierea unei fracții ca diferență de fracții

Uneori, profesorul îți cere lucrul invers: pornind de la o fracție, să o scrii ca o diferență de două fracții cu același numitor. Sună greu, dar e ca un joc de spart numere.

De exemplu: scrie $\frac{5}{9}$ ca o diferență.

Întrebarea ascunsă este: ce două numere se scad ca să-mi dea 5? Putem alege multe perechi:

$8 - 3 = 5$ , deci $\frac{5}{9} = \frac{8}{9} - \frac{3}{9}$
$7 - 2 = 5$ , deci $\frac{5}{9} = \frac{7}{9} - \frac{2}{9}$
$6 - 1 = 5$ , deci $\frac{5}{9} = \frac{6}{9} - \frac{1}{9}$

Vezi? Numitorul 9 stă la locul lui în toate fracțiile. Noi ne jucăm doar cu numărătorii, căutând două numere a căror diferență este 5. Există mai multe răspunsuri corecte, și toate sunt bune.

Cum verifici că ai scris corect o fracție ca diferență? Foarte ușor: faci scăderea la loc și trebuie să-ți dea fracția de la care ai pornit. De exemplu, pentru $\frac{8}{9} - \frac{3}{9}$ calculez $8 - 3 = 5$ și obțin $\frac{5}{9}$ . Exact fracția de plecare! Deci alegerea a fost bună. Acest exercițiu te ajută să înțelegi că o fracție poate fi „spartă" în mai multe feluri, la fel cum numărul 5 poate fi scris ca $8 - 3$ , ca $7 - 2$ sau ca $9 - 4$ . Important e ca numitorul să rămână același la toate fracțiile din scădere.

Scăderea unei fracții dintr-un întreg

Acum ajungem la partea cea mai importantă a lecției: cum scădem o fracție dintr-un întreg, de exemplu $1 - \frac{2}{5}$ .

Mai întâi, un secret mare: întregul, adică numărul 1, poate fi scris ca o fracție. Cum? Foarte simplu. O fracție în care numărătorul este egal cu numitorul valorează exact 1, pentru că ai toate bucățile.

$\frac{2}{2} = 1$ (ai amândouă jumătățile)
$\frac{3}{3} = 1$ (ai toate cele trei treimi)
$\frac{5}{5} = 1$ (ai toate cele cinci cincimi)
$\frac{100}{100} = 1$ (ai toate cele o sută de sutimi)

Acum gândește-te la $1 - \frac{2}{5}$ . Avem un întreg (o pizza întreagă) și vrem să scădem din ea $\frac{2}{5}$ (două felii din cinci).

Trucul magic: scriem întregul ca o fracție cu același numitor ca fracția pe care o scădem. Fracția pe care o scădem are numitorul 5, deci scriem $1 = \frac{5}{5}$ .

Acum scăderea devine o scădere obișnuită de fracții cu același numitor:

$1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{5 - 2}{5} = \frac{3}{5}$

Gata! Răspunsul este $\frac{3}{5}$ . Logic, nu? Pizza avea 5 felii, ai luat 2, au rămas 3 din 5.

Reține pasul cheie: ca să scazi o fracție dintr-un întreg, transformi întregul (numărul 1) într-o fracție care are același numitor ca fracția de scăzut. Pui sus și jos același număr ca numitorul.

Câteva exemple rapide ca să-ți intre în cap:

$1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$
$1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$1 - \frac{6}{10} = \frac{10}{10} - \frac{6}{10} = \frac{4}{10}$

Când rezultatul este zero

Mai există un caz special, ușor și amuzant. Ce se întâmplă dacă scazi o fracție din ea însăși?

$\frac{4}{6} - \frac{4}{6} = \frac{4 - 4}{6} = \frac{0}{6} = 0$

Dacă aveai 4 bucățele și dai toate 4 bucățelele, îți rămâne nimic, adică zero. Orice fracție cu numărătorul 0 este egală cu 0, indiferent de numitor. E logic: zero bucăți înseamnă că nu ai nimic.

Proba scăderii — verifică-te singur

Cum știi că ai scăzut corect? Faci proba prin adunare, exact ca la numerele naturale. La numere, dacă $9 - 4 = 5$ , atunci $5 + 4 = 9$ . La fel și la fracții.

Dacă $\frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$ , atunci, ca să verific, adun la loc:

$\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10} ✓$

Mi-a dat înapoi prima fracție, deci scăderea a fost corectă! Fă mereu proba la temele importante.

Scăderea fracțiilor seamănă cu scăderea pe care o știi deja

Poate îți este puțin teamă pentru că vezi „fracție". Dar gândește-te o clipă: tu știi de mult timp să scazi numere. Știi că $9 - 4 = 5$ și că $12 - 7 = 5$ . Ei bine, la scăderea fracțiilor cu același numitor faci exact aceeași scădere pe care o știi, doar că o faci cu numărătorii. Numitorul stă deoparte și nu participă la socoteală; el doar îți spune ce fel de bucăți numeri.

Privește cele două coloane de mai jos. În stânga, scăderi obișnuite. În dreapta, aceleași scăderi, dar cu numitorul 8 lipit la fiecare număr:

$9 - 4 = 5$ $⟶$ $\frac{9}{8} \dots$ — stai, aici numărătorul e prea mare. Hai să luăm numere care încap.
$7 - 4 = 3$ $⟶$ $\frac{7}{8} - \frac{4}{8} = \frac{3}{8}$
$6 - 2 = 4$ $⟶$ $\frac{6}{8} - \frac{2}{8} = \frac{4}{8}$
$5 - 5 = 0$ $⟶$ $\frac{5}{8} - \frac{5}{8} = \frac{0}{8} = 0$

Vezi? Scăderea numărătorilor este chiar scăderea pe care o faci de ani de zile. Asta e vestea bună: nu înveți o matematică nouă, doar îmbraci scăderea veche într-o hăinuță de fracție. Numitorul este eticheta care spune „aici numărăm optimi", așa cum ai scrie „lei" sau „mere" lângă un număr.

Banda fracțiilor — o unealtă pentru minte

Îți dau un instrument la care să te gândești ori de câte ori scazi fracții: banda fracțiilor. Imaginează-ți o bandă lungă de hârtie, împărțită în bucăți egale, atâtea câte îți spune numitorul. Dacă numitorul este 6, banda are 6 căsuțe egale.

Ca să calculezi $\frac{5}{6} - \frac{2}{6}$ , colorezi întâi 5 căsuțe (asta e $\frac{5}{6}$ ). Apoi ștergi (tai) 2 căsuțe colorate, pentru că le scazi. Numeri ce a rămas colorat: 3 căsuțe, adică $\frac{3}{6}$ . Banda îți arată cu ochii ceea ce formula îți spune cu numerele. Dacă vreodată te încurci, desenează banda — nu greșești niciodată dacă numeri căsuțele.

Banda te ajută și la scăderea dintr-un întreg. Banda plină de tot este întregul, adică 1. Dacă banda are 6 căsuțe și sunt toate colorate, ai $\frac{6}{6} = 1$ . Ștergi câteva și vezi imediat cât rămâne. Astfel, $1 - \frac{2}{6}$ înseamnă: pornești cu banda întreagă (6 căsuțe colorate), ștergi 2, rămân 4, deci $\frac{4}{6}$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — scădere simplă

Calculează: $\frac{9}{11} - \frac{5}{11}$

Rezolvare povestită: Numitorii sunt la fel, amândoi 11. Perfect, pot scădea direct. Scad numărătorii: $9 - 5 = 4$ . Păstrez numitorul 11.

$\frac{9}{11} - \frac{5}{11} = \frac{9 - 5}{11} = \frac{4}{11}$

Proba: $\frac{4}{11} + \frac{5}{11} = \frac{9}{11}$ . Corect!

Exemplul 2 — rezultatul este un întreg

Calculează: $\frac{8}{8} - \frac{3}{8}$

Rezolvare: Scad numărătorii: $8 - 3 = 5$ . Numitorul rămâne 8.

$\frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

Observă că $\frac{8}{8}$ este de fapt un întreg, adică 1. Deci am calculat $1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ . Două feluri de a vedea același lucru.

Exemplul 3 — fracție dintr-un întreg

Calculează: $1 - \frac{4}{9}$

Rezolvare povestită: Am un întreg și vreau să scad $\frac{4}{9}$ . Fracția de scăzut are numitorul 9, deci scriu întregul ca $\frac{9}{9}$ .

$1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{9 - 4}{9} = \frac{5}{9}$

Răspuns: $\frac{5}{9}$ .

Exemplul 4 — fracție ca diferență

Scrie fracția $\frac{6}{13}$ ca o diferență de două fracții cu numitorul 13.

Rezolvare: Caut două numere a căror diferență este 6. De exemplu $10 - 4 = 6$ . Atunci:

$\frac{6}{13} = \frac{10}{13} - \frac{4}{13}$

Proba: $\frac{10}{13} - \frac{4}{13} = \frac{6}{13}$ . Corect! (Și $\frac{9}{13} - \frac{3}{13}$ ar fi fost un răspuns bun.)

Exemplul 5 — mică problemă cu tort

Problemă: Un tort a fost tăiat în 12 felii egale. La petrecere s-au mâncat $\frac{7}{12}$ din tort. Ce parte din tort a rămas?

Rezolvare povestită: Tortul întreg înseamnă toate cele 12 felii, adică $\frac{12}{12}$ , sau pur și simplu 1. Din el s-au mâncat $\frac{7}{12}$ . Ca să aflu cât a rămas, scad partea mâncată din întreg.

$1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{12 - 7}{12} = \frac{5}{12}$

Răspuns: A rămas $\frac{5}{12}$ din tort (5 felii din 12).

Exemplul 6 — scădere cu trei fracții

Calculează: $\frac{10}{15} - \frac{3}{15} - \frac{2}{15}$

Rezolvare: Lucrez de la stânga la dreapta. Întâi scad primele două:

$\frac{10}{15} - \frac{3}{15} = \frac{7}{15}$

Apoi scad și a treia fracție din rezultat:

$\frac{7}{15} - \frac{2}{15} = \frac{5}{15}$

Răspuns: $\frac{5}{15}$ . (Numitorul 15 a rămas neschimbat tot timpul; am scăzut doar numărătorii: $10 - 3 - 2 = 5$ .)

Exemplul 7 — adunare și scădere amestecate

Calculează: $\frac{5}{12} + \frac{4}{12} - \frac{3}{12}$

Rezolvare povestită: Toți numitorii sunt 12, deci pot lucra liniștit, de la stânga la dreapta. Întâi adun primele două fracții:

$\frac{5}{12} + \frac{4}{12} = \frac{9}{12}$

Apoi scad a treia fracție din rezultat:

$\frac{9}{12} - \frac{3}{12} = \frac{6}{12}$

Răspuns: $\frac{6}{12}$ . Am lucrat doar cu numărătorii: $5 + 4 - 3 = 6$ , iar numitorul 12 a stat cuminte la locul lui.

Exemplul 8 — aflarea fracției necunoscute

Află numărul ascuns: $\frac{10}{13} - \frac{□}{13} = \frac{6}{13}$

Rezolvare povestită: Mă întreb: din 10 ce scad ca să rămân cu 6? Gândesc invers, prin adunare: $6 + ? = 10$ , deci $? = 4$ . Verific: $\frac{10}{13} - \frac{4}{13} = \frac{6}{13}$ . Corect!

Răspuns: Numărul ascuns este 4.

Exemplul 9 — numere mai mari

Calculează: $\frac{24}{30} - \frac{11}{30}$

Rezolvare: Nu te speria de numerele mari. Regula este aceeași: numitorii sunt la fel (amândoi 30), deci scad doar numărătorii. $24 - 11 = 13$ . Numitorul 30 rămâne.

$\frac{24}{30} - \frac{11}{30} = \frac{24 - 11}{30} = \frac{13}{30}$

Proba: $\frac{13}{30} + \frac{11}{30} = \frac{24}{30}$ . Corect!

Exemplul 10 — aflarea descăzutului (numărul de sus)

Află numărul ascuns: $\frac{□}{8} - \frac{3}{8} = \frac{2}{8}$

Rezolvare povestită: De data asta lipsește numărul de sus al primei fracții. Mă întreb: din ce scad 3 ca să rămân cu 2? Gândesc invers, prin adunare: $2 + 3 = 5$ . Deci numărul ascuns este 5. Verific: $\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{2}{8}$ . Corect!

Răspuns: Numărul ascuns este 5.

Exemplul 11 — problemă în doi pași dintr-un întreg

Problemă: O panglică întreagă a fost folosită pentru fundițe. Maria a tăiat din ea $\frac{2}{9}$ pentru o fundă și $\frac{3}{9}$ pentru altă fundă. Ce parte din panglică a mai rămas netăiată?

Rezolvare povestită: Întâi aflu cât a tăiat în total, adunând cele două bucăți: $\frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5}{9}$ . Acum scad partea tăiată din panglica întreagă. Panglica întreagă este 1, pe care îl scriu cu numitorul 9, adică $\frac{9}{9}$ .

$1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{9 - 5}{9} = \frac{4}{9}$

Răspuns: A mai rămas netăiată $\frac{4}{9}$ din panglică.

Să exersăm

Ia un creion și o foaie. Scrie fiecare pas. Nu uita să faci proba acolo unde poți!

1. Calculează: $\frac{6}{7} - \frac{2}{7}$

2. Calculează: $\frac{8}{9} - \frac{5}{9}$

3. Calculează: $\frac{11}{13} - \frac{4}{13}$

4. Calculează: $\frac{15}{20} - \frac{9}{20}$

5. Calculează: $\frac{7}{7} - \frac{3}{7}$

6. Scade fracția din întreg: $1 - \frac{2}{5}$

7. Scade fracția din întreg: $1 - \frac{3}{8}$

8. Scade fracția din întreg: $1 - \frac{6}{11}$

9. Completează cu numărătorul potrivit: $\frac{9}{10} - \frac{□}{10} = \frac{4}{10}$

10. Completează cu numărătorul potrivit: $\frac{□}{12} - \frac{5}{12} = \frac{6}{12}$

11. Scrie fracția $\frac{4}{9}$ ca o diferență de două fracții cu numitorul 9 (dă un exemplu corect).

12. Adevărat sau Fals? La scăderea fracțiilor cu același numitor, scădem și numărătorii, și numitorii.

13. Adevărat sau Fals? $1 = \frac{6}{6}$ .

14. Încercuiește răspunsul corect: $\frac{10}{14} - \frac{10}{14} =$ ... a) $\frac{0}{14}$ (adică 0) b) $\frac{20}{14}$ c) $\frac{10}{14}$

15. Calculează în ordine: $\frac{14}{16} - \frac{5}{16} - \frac{4}{16}$

16. Problemă: O sticlă cu suc avea $\frac{9}{10}$ din ea plină. Andrei a băut $\frac{4}{10}$ din sticlă. Ce parte din sticlă a mai rămas cu suc?

17. Problemă: O grădină are toate straturile, adică un întreg. $\frac{3}{7}$ din grădină sunt cu flori, restul cu legume. Ce parte din grădină este cu legume?

18. Problemă (mai grea): Bunica avea un coș plin cu mere, adică 1 (întregul). A dat $\frac{2}{9}$ din mere nepoatei și $\frac{4}{9}$ din mere vecinei. Ce parte din mere i-a mai rămas bunicii în coș?

19. Calculează amestecat: $\frac{8}{15} + \frac{4}{15} - \frac{5}{15}$

20. Adevărat sau Fals? $\frac{6}{9} - \frac{6}{9} = \frac{6}{9}$ .

21. Problemă: Un caiet de desen are 20 de file, adică un întreg. Maria a desenat deja pe $\frac{13}{20}$ din file. Ce parte din caiet a mai rămas goală?

22. Calculează (numere mai mari): $\frac{17}{19} - \frac{8}{19}$

23. Calculează: $\frac{12}{12} - \frac{7}{12}$

24. Scade fracția din întreg: $1 - \frac{4}{13}$

25. Completează cu numărul potrivit de sus: $\frac{□}{15} - \frac{6}{15} = \frac{7}{15}$

26. Calculează amestecat: $\frac{5}{8} + \frac{2}{8} - \frac{4}{8}$

27. Scrie fracția $\frac{7}{11}$ ca o diferență de două fracții cu numitorul 11 (dă un exemplu corect).

28. Problemă: Un drum lung de un întreg a fost parcurs astfel: $\frac{5}{12}$ dimineața și $\frac{4}{12}$ după-amiaza. Ce parte din drum a mai rămas de parcurs?

29. Adevărat sau Fals? $1 - \frac{9}{9} = 0$ .

30. Problemă (mai grea): O cutie de creioane plină este un întreg. $\frac{6}{15}$ dintre creioane sunt colorate, $\frac{4}{15}$ sunt negre, iar restul sunt creioane mecanice. Ce parte din cutie sunt creioane mecanice?

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{6}{7} - \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$ . Scad numărătorii: $6 - 2 = 4$ , numitorul 7 rămâne.

2. $\frac{8}{9} - \frac{5}{9} = \frac{3}{9}$ . Calcul: $8 - 5 = 3$ .

3. $\frac{11}{13} - \frac{4}{13} = \frac{7}{13}$ . Calcul: $11 - 4 = 7$ .

4. $\frac{15}{20} - \frac{9}{20} = \frac{6}{20}$ . Calcul: $15 - 9 = 6$ .

5. $\frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ . Calcul: $7 - 3 = 4$ . (Aici $\frac{7}{7}$ este de fapt 1, deci ai calculat $1 - \frac{3}{7}$ .)

6. $1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ . Scriu întregul ca $\frac{5}{5}$ , apoi $5 - 2 = 3$ .

7. $1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ . Întregul devine $\frac{8}{8}$ , apoi $8 - 3 = 5$ .

8. $1 - \frac{6}{11} = \frac{11}{11} - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$ . Întregul devine $\frac{11}{11}$ , apoi $11 - 6 = 5$ .

9. $□ = 5$ , pentru că $\frac{9}{10} - \frac{5}{10} = \frac{4}{10}$ . Mă întreb: ce scad din 9 ca să-mi dea 4? Răspuns: 5.

10. $□ = 11$ , pentru că $\frac{11}{12} - \frac{5}{12} = \frac{6}{12}$ . Mă întreb: ce număr minus 5 dă 6? Răspuns: 11 (fac proba prin adunare: $6 + 5 = 11$ ).

11. Un exemplu corect: $\frac{4}{9} = \frac{7}{9} - \frac{3}{9}$ (pentru că $7 - 3 = 4$ ). Alte răspunsuri bune: $\frac{6}{9} - \frac{2}{9}$ sau $\frac{5}{9} - \frac{1}{9}$ .

12. Fals. Scădem doar numărătorii; numitorul rămâne neschimbat. Numitorul NU se scade.

13. Adevărat. O fracție cu numărătorul egal cu numitorul valorează 1; ai toate cele 6 bucăți.

14. Răspuns corect: a) $\frac{0}{14}$ , adică 0. Scazi o fracție din ea însăși: $10 - 10 = 0$ . Nu mai rămâne nimic.

15. $\frac{14}{16} - \frac{5}{16} - \frac{4}{16} = \frac{5}{16}$ . Calcul: $14 - 5 = 9$ , apoi $9 - 4 = 5$ . Numitorul 16 rămâne.

16. $\frac{9}{10} - \frac{4}{10} = \frac{5}{10}$ . A mai rămas $\frac{5}{10}$ din sticlă cu suc (adică jumătate).

17. $1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ . Cu legume este $\frac{4}{7}$ din grădină.

18. Întâi adun cât a dat: $\frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{6}{9}$ . Apoi scad din întreg: $1 - \frac{6}{9} = \frac{9}{9} - \frac{6}{9} = \frac{3}{9}$ . I-au rămas bunicii $\frac{3}{9}$ din mere. (Se putea și pas cu pas: $1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ , apoi $\frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{3}{9}$ . Același rezultat!)

19. $\frac{8}{15} + \frac{4}{15} - \frac{5}{15} = \frac{7}{15}$ . Lucrez cu numărătorii: $8 + 4 = 12$ , apoi $12 - 5 = 7$ . Numitorul 15 rămâne.

20. Fals. O fracție scăzută din ea însăși dă zero: $\frac{6}{9} - \frac{6}{9} = \frac{0}{9} = 0$ , nu $\frac{6}{9}$ .

21. $1 - \frac{13}{20} = \frac{20}{20} - \frac{13}{20} = \frac{7}{20}$ . A mai rămas goală $\frac{7}{20}$ din caiet.

22. $\frac{17}{19} - \frac{8}{19} = \frac{9}{19}$ . Numerele sunt mai mari, dar regula e aceeași: $17 - 8 = 9$ , numitorul 19 rămâne.

23. $\frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$ . Calcul: $12 - 7 = 5$ . (Aici $\frac{12}{12}$ este de fapt 1, deci ai calculat $1 - \frac{7}{12}$ .)

24. $1 - \frac{4}{13} = \frac{13}{13} - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$ . Întregul devine $\frac{13}{13}$ , apoi $13 - 4 = 9$ .

25. $□ = 13$ , pentru că $\frac{13}{15} - \frac{6}{15} = \frac{7}{15}$ . Gândesc invers, prin adunare: $7 + 6 = 13$ .

26. $\frac{5}{8} + \frac{2}{8} - \frac{4}{8} = \frac{3}{8}$ . Lucrez cu numărătorii: $5 + 2 = 7$ , apoi $7 - 4 = 3$ . Numitorul 8 rămâne.

27. Un exemplu corect: $\frac{7}{11} = \frac{9}{11} - \frac{2}{11}$ (pentru că $9 - 2 = 7$ ). Alte răspunsuri bune: $\frac{10}{11} - \frac{3}{11}$ sau $\frac{8}{11} - \frac{1}{11}$ .

28. Întâi adun cât s-a parcurs: $\frac{5}{12} + \frac{4}{12} = \frac{9}{12}$ . Apoi scad din întreg: $1 - \frac{9}{12} = \frac{12}{12} - \frac{9}{12} = \frac{3}{12}$ . A mai rămas de parcurs $\frac{3}{12}$ din drum.

29. Adevărat. $\frac{9}{9}$ este chiar un întreg, adică 1, deci $1 - \frac{9}{9} = 1 - 1 = 0$ . Sau, cu fracții: $\frac{9}{9} - \frac{9}{9} = \frac{0}{9} = 0$ .

30. Întâi adun creioanele colorate și negre: $\frac{6}{15} + \frac{4}{15} = \frac{10}{15}$ . Apoi scad din întreg: $1 - \frac{10}{15} = \frac{15}{15} - \frac{10}{15} = \frac{5}{15}$ . Sunt creioane mecanice $\frac{5}{15}$ din cutie.

De reținut

La scăderea fracțiilor cu același numitor: scad numărătorii și păstrez numitorul — $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$ .
Numitorul nu se schimbă niciodată, pentru că mărimea bucăților rămâne aceeași.
Întregul, adică 1, se poate scrie ca o fracție cu numărătorul egal cu numitorul: $1 = \frac{c}{c}$ .
Ca să scazi o fracție dintr-un întreg, scrii întâi întregul ca fracție cu același numitor, apoi scazi normal.
Proba se face prin adunare: dacă scazi corect, adunând rezultatul cu fracția scăzută obții fracția de la început.

Greșeli frecvente

Greșeala 1: scad și numitorii. Mulți copii scriu $\frac{6}{8} - \frac{2}{8} = \frac{4}{0}$ . Este greșit! Numitorul NU se scade niciodată. Corect: $\frac{6}{8} - \frac{2}{8} = \frac{4}{8}$ . Ține minte: numitorul e felul bucății și el rămâne la fel.
Greșeala 2: uit să transform întregul. La $1 - \frac{2}{5}$ , unii scriu direct un răspuns la întâmplare. Corect este să transform mai întâi întregul: $1 = \frac{5}{5}$ , apoi $\frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ .
Greșeala 3: pun numitorul greșit la întreg. Când scad $1 - \frac{3}{7}$ , întregul trebuie scris cu numitorul 7, adică $\frac{7}{7}$ , NU $\frac{1}{1}$ sau $\frac{10}{10}$ . Întregul ia mereu numitorul fracției din problemă.
Greșeala 4: încurc scăderea cu adunarea. La scădere, numărul de bucăți scade (rămâne mai puțin). Dacă îți iese un număr mai mare decât ai pornit, oprește-te și verifică — ceva e greșit.

Joc acasă

Jocul cu ciocolata sau biscuitele. Ia o tabletă de ciocolată cu pătrățele (sau aliniază 8-10 biscuiți). Numără în câte bucăți egale e împărțită — acela e numitorul. Mănâncă (sau pune deoparte) câteva bucăți și scrie scăderea: câte aveai minus câte ai luat. Verifică numărând bucățile rămase. Mănâncă matematica, la propriu!

Jocul „cât a mai rămas în pahar". Umple un pahar transparent cu apă și lipește pe el o bandă cu 5 sau 10 semne egale, de jos până sus. Paharul plin este întregul, adică 1. Bea până la un semn și calculează cât suc a mai rămas, scăzând din întreg. De exemplu, dacă ai băut $\frac{3}{10}$ , mai sunt $1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ .

Jocul cărților de scădere. Scrie pe cartonașe fracții cu același numitor (de exemplu toate cu numitorul 6). Trageți pe rând câte două cartonașe și scădeți fracția mai mică din cea mai mare. Cine face proba corect prin adunare primește un punct. Primul la 5 puncte câștigă!

Jocul „cât a mai rămas pe farfurie". La masă, când ai o pizza, o plăcintă sau un tort tăiat în felii egale, întreabă-te de fiecare dată: în câte felii a fost tăiat (numitorul) și câte felii s-au mâncat (numărătorul de scăzut). Apoi calculează cât a rămas, scăzând din întreg. De exemplu, o plăcintă tăiată în 8 a rămas cu 3 felii: înseamnă că s-au mâncat $\frac{5}{8}$ , pentru că $1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ . Transformi orice masă într-un mic exercițiu de fracții, fără caiet și fără stres.

Pentru părinți și învățători

Această lecție construiește direct peste lecția de adunare a fracțiilor cu același numitor (vezi Adunarea fracțiilor cu același numitor). Mesajul central pe care copilul trebuie să-l interiorizeze este: „scad numărătorii, păstrez numitorul". Repetați-l ca pe o formulă, dar însoțiți-l mereu de o reprezentare concretă (felii, pătrățele, paharul cu apă), pentru ca regula să nu rămână o vrajă fără sens.

Cea mai delicată parte este scăderea unei fracții dintr-un întreg, de tipul $1 - \frac{2}{5}$ . Insistați pe pasul de transformare a întregului: $1 = \frac{5}{5}$ . Întrebați copilul de fiecare dată: „Ce numitor are fracția pe care o scădem? Atunci cum scriem întregul?". Repetând această întrebare, copilul își formează automatismul corect.

Întrebări utile de pus în timpul lucrului:

„Sunt numitorii la fel? Putem scădea direct?"
„Care număr îți spune câte bucăți ai? Care îți spune cât de mari sunt bucățile?"
„Cum scriem întregul cu acest numitor?"
„Cum verifici că ai scăzut corect?" (proba prin adunare)

Verificați înțelegerea cerându-i copilului să explice cu cuvintele lui de ce numitorul nu se schimbă, și să facă proba la cel puțin trei exerciții. Dacă greșește numitorul (îl scade), reveniți imediat la analogia cu merele: 7 mere minus 2 mere fac 5 mere, nu 5 „nimic". Lecția următoare, Aflarea unei fracții dintr-un întreg și dintr-un număr, se sprijină pe ce s-a învățat aici, deci merită consolidat bine.

Întrebări frecvente

Cum se scad fracțiile cu același numitor la clasa a 4-a? Se scad numărătorii între ei și se păstrează același numitor. De exemplu, $\frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{3}{9}$ , pentru că $7 - 4 = 3$ , iar numitorul 9 rămâne neschimbat.

De ce nu se scade și numitorul? Pentru că numitorul arată în câte bucăți egale a fost împărțit întregul, iar mărimea bucăților nu se schimbă când iei câteva. Se modifică doar câte bucăți ai, adică numărătorul. Numitorul rămâne mereu același.

Cum scad o fracție dintr-un întreg, de exemplu $1 - \frac{2}{5}$ ? Scrii mai întâi întregul ca o fracție cu același numitor: $1 = \frac{5}{5}$ . Apoi scazi normal: $\frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ . Deci $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ .

Cum scriu numărul 1 ca fracție? Pui același număr sus și jos. Orice fracție cu numărătorul egal cu numitorul este egală cu 1: $\frac{2}{2} = 1$ , $\frac{5}{5} = 1$ , $\frac{8}{8} = 1$ . Alegi numitorul de care ai nevoie în problemă.

Ce se întâmplă dacă scad o fracție din ea însăși? Rezultatul este zero. De exemplu, $\frac{4}{7} - \frac{4}{7} = \frac{0}{7} = 0$ , pentru că dacă dai toate bucățile, nu îți mai rămâne nimic.

Cum verific dacă am scăzut corect fracțiile? Faci proba prin adunare. Aduni rezultatul cu fracția pe care ai scăzut-o și trebuie să obții prima fracție. Dacă $\frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$ , atunci $\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10}$ , deci e corect.

Pot scrie o fracție ca diferență de alte fracții? Da. Cauți două numere a căror diferență dă numărătorul tău și păstrezi numitorul. De exemplu, $\frac{5}{9} = \frac{8}{9} - \frac{3}{9}$ , pentru că $8 - 3 = 5$ . Există mai multe răspunsuri corecte.

Trebuie ca fracțiile să aibă neapărat același numitor ca să le scad? La clasa a IV-a, da: scădem doar fracții cu același numitor. Dacă numitorii sunt diferiți, este nevoie de un pas suplimentar pe care îl vei învăța în clasele mai mari. Deocamdată, verifică întotdeauna că numitorii sunt la fel înainte de a scădea.