Funcția afină ca model: costuri, tarife, viteze

Urci într-un taxi și, înainte să pornească mașina, aparatul arată deja $5$ lei. După fiecare kilometru, suma crește cu $2,50$ lei. Cei $5$ lei sunt „tariful de pornire" — îi plătești chiar dacă mașina nu se mișcă deloc. Restul depinde de drum. Dacă notezi cu $x$ numărul de kilometri parcurși și cu $T(x)$ suma afișată, relația este $T(x)=5+2,5x$. Ai scris o funcție afină fără să te gândești la matematică — pur și simplu ai pus în formulă o regulă de tarifare.

Structura aceasta — o parte fixă, plus o parte care crește constant — se repetă în locuri surprinzător de diferite: factura de apă, salariul în acord, costul de producție al unei fabrici, distanța parcursă de un tren cu viteză constantă, nivelul dintr-un rezervor care se golește uniform. Toate se descriu cu aceeași formulă, $f(x)=ax+b$, studiată în lecția despre funcția afină. Lecția de față nu adaugă teorie nouă: te învață să treci din lumea reală în formulă și înapoi, adică să modelezi. Iar întrebările la care vei răspunde sunt cele din viața de zi cu zi — cât costă, când se ajunge, care ofertă e mai bună, de la ce prag începe profitul.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o situație care se modelează cu o funcție afină, după structura „parte fixă + parte proporțională".
• Vei ști să interpretezi coeficienții: $b$ ca valoare inițială (cost fix, poziție de start) și $a$ ca rată de variație (preț pe unitate, viteză), cu unitatea de măsură corectă.
• Vei ști să scrii funcția pornind de la un enunț, de la un tabel de valori sau de la un grafic.
• Vei ști să determini domeniul realist al modelului și să explici de ce nu e întotdeauna tot $\mathbb{R}$.
• Vei ști să compari două oferte găsind pragul de indiferență și să spui, pe intervale, care e mai avantajoasă.
• Vei ști să aplici modelul la mișcarea uniformă: distanță, timp, moment al întâlnirii.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „a modela" o situație

A modela înseamnă a înlocui o situație reală cu un obiect matematic care păstrează esențialul și ignoră restul. La taxi, esențialul este: tariful de pornire și prețul pe kilometru. Ignorăm traficul, semafoarele, dacă șoferul ascultă radio — nu pentru că nu contează în viață, ci pentru că nu schimbă formula de facturare.

Un model are trei părți pe care trebuie să le scrii explicit:

1. Variabila — ce alegi tu (numărul de kilometri, numărul de piese produse, timpul scurs). O notezi de obicei cu $x$ sau $t$ și îi precizezi unitatea.
2. Legea — formula care spune cum se calculează rezultatul: $f(x)=ax+b$.
3. Domeniul — valorile pe care variabila le poate lua în realitate. Nu poți parcurge $-3$ kilometri și, de obicei, nu produci $2,7$ piese.

Fără partea a treia, modelul devine periculos: formula continuă să dea numere și acolo unde situația nu mai are sens. Vom reveni la acest lucru în ultima subsecțiune.

2. Structura „fix + variabil" și sensul coeficienților

Scriem modelul standard:

$$f(x)=ax+b,x\in D.$$

Termenul liber $b$ este valoarea funcției pentru $x=0$, deoarece $f(0)=b$. În limbaj practic: costul plătit înainte să consumi ceva, poziția de la care pleci, cantitatea inițială din rezervor. Pe grafic, $b$ este ordonata punctului în care dreapta taie axa $Oy$.

Coeficientul $a$ este rata de variație: cu cât se schimbă rezultatul când variabila crește cu o unitate. Într-adevăr,

$$f(x+1)-f(x)=(a(x+1)+b)-(ax+b)=a.$$

Această egalitate este semnătura funcției afine: creșteri egale ale variabilei produc creșteri egale ale rezultatului. La taxi, fiecare kilometru adaugă exact $2,50$ lei, indiferent dacă e primul sau al zecelea. Geometric, $a$ este panta dreptei, noțiune studiată la panta unei drepte; practic, $a$ vine cu o unitate de măsură: lei/km, lei/minut, km/h, litri/minut.

Semnul lui $a$ decide și povestea: $a>0$ înseamnă creștere (cost care urcă, distanță care se acumulează), $a<0$ înseamnă scădere (rezervor care se golește, lumânare care arde), iar $a=0$ înseamnă mărime constantă (abonament nelimitat, la preț fix). Legătura cu monotonia funcției afine este imediată.

3. Costuri: partea fixă și partea variabilă

Cel mai frecvent tipar din economie este costul total:

$$C(x)=\underset{\text{chirie, utilaje, abonament}}{\underbrace{C_{\text{fix}}}}+\underset{\text{materiale, manopera˘}}{\underbrace{c\cdot x}}$$

Exemplu. Un mic atelier plătește lunar $1200$ de lei costuri fixe și consumă $35$ de lei de materiale pentru fiecare obiect produs. Costul total este $C(x)=1200+35x$. Dacă fiecare obiect se vinde cu $60$ de lei, venitul este $V(x)=60x$, iar profitul este diferența:

$$P(x)=V(x)-C(x)=60x-(1200+35x)=25x-1200.$$

Observă că profitul este tot o funcție afină, cu rata $25$ lei pe obiect — adică marja pe bucată. Pragul de rentabilitate este valoarea de la care profitul devine nenegativ: $25x-1200\ge 0\Rightarrow x\ge 48$. La exact $48$ de obiecte, veniturile acoperă costurile: $C(48)=1200+35\cdot 48=2880$ lei și $V(48)=60\cdot 48=2880$ lei. ✓ De la $49$ de obiecte, atelierul iese pe plus; la $100$ de obiecte profitul e $25\cdot 100-1200=1300$ de lei.

Un al doilea tipar apare la salariul în acord: $S(x)=1800+45x$ lei, unde $x$ este numărul de piese realizate peste normă. Aici $b=1800$ este salariul de bază, iar $a=45$ lei/piesă este stimulentul.

4. Tarife: compararea a două oferte

Aici modelul afin își arată adevărata putere, pentru că răspunde la o întrebare care nu are răspuns unic: care ofertă e mai bună?

Exemplu. Două firme de taxi: firma $X$ ia $6$ lei pornire și $2$ lei/km; firma $Y$ ia $3$ lei pornire și $2,50$ lei/km. Modelele sunt $X(d)=6+2d$ și $Y(d)=3+2,5d$, cu $d\ge 0$ măsurat în kilometri.

Căutăm pragul de indiferență, adică distanța la care costurile coincid:

$$6+2d=3+2,5d⟺3=0,5d⟺d=6\text{ km}.$$

La $6$ km ambele costă $18$ lei: $6+2\cdot 6=18$ și $3+2,5\cdot 6=18$. ✓ Sub $6$ km e mai ieftină firma $Y$ (are pornire mai mică), peste $6$ km e mai ieftină firma $X$ (are preț mai mic pe kilometru). Concluzia se scrie ca discuție pe intervale — exact tipul de răspuns cerut la ecuații și inecuații rezolvate grafic, doar că acum are și un înțeles economic.

Regula de interpretare, valabilă la orice comparație de acest fel: partea fixă domină la consum mic, rata de variație domină la consum mare. Cine are pornirea mai mică e avantajat pe distanțe scurte; cine are prețul pe unitate mai mic câștigă pe termen lung. Punctul de indiferență e locul unde se schimbă avantajul.

5. Viteze: mișcarea uniformă ca funcție afină

În fizică, un mobil care se deplasează rectiliniu cu viteză constantă are legea de mișcare

$$d(t)=d_0+v\cdot t,$$

unde $d_0$ este poziția (sau distanța) inițială, iar $v$ este viteza. Recunoști imediat structura afină: $b=d_0$, $a=v$. Rata de variație are aici cel mai concret sens posibil — viteza este panta graficului distanță–timp.

Exemplu. Un autoturism se află la $240$ km de destinație și rulează cu $80$ km/h spre ea. Distanța rămasă este $d(t)=240-80t$, cu $t$ în ore. Viteza apare cu semnul minus pentru că distanța scade. Momentul sosirii este soluția ecuației $d(t)=0$: $240-80t=0\Rightarrow t=3$ ore. După o oră mai are $160$ km, după două ore $80$ km.

Exemplu de întâlnire. Două vehicule pornesc simultan unul spre celălalt de la capetele unui drum de $150$ km: primul cu $60$ km/h, al doilea cu $40$ km/h. Măsurând poziția de la primul capăt: $p_1(t)=60t$ și $p_2(t)=150-40t$. Se întâlnesc când $p_1(t)=p_2(t)$:

$$60t=150-40t⟺100t=150⟺t=1,5\text{ ore}.$$

Poziția întâlnirii: $p_1(1,5)=90$ km, iar verificarea pe cealaltă lege dă $150-40\cdot 1,5=90$ km. ✓ Abscisa punctului de intersecție este momentul, ordonata este locul — o distincție care se cere adesea explicit în enunțuri.

6. De la date la formulă: cum găsești $a$ și $b$

Deseori nu primești formula, ci două informații numerice. Metoda are doi pași.

Pasul 1 — rata. Dacă știi valorile în două momente, $f(x_1)=y_1$ și $f(x_2)=y_2$, atunci

$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Pasul 2 — termenul liber. Înlocuiești $a$ într-una din relații și scoți $b$. E același procedeu ca la ecuația dreptei prin două puncte, doar cu alte cuvinte.

Exemplu clasic — scările de temperatură. Se știe că $0^{\circ }\text{C}$ înseamnă $32^{\circ }\text{F}$ și că $100^{\circ }\text{C}$ înseamnă $212^{\circ }\text{F}$, iar legătura este afină. Atunci

$$a=\frac{212-32}{100-0}=\frac{180}{100}=1,8,b=32,$$

deci $F(C)=1,8C+32$. Verificăm pe o valoare cunoscută: $F(20)=1,8\cdot 20+32=68$, iar temperatura corpului, $37^{\circ }\text{C}$, devine $1,8\cdot 37+32=98,6^{\circ }\text{F}$ ✓ — exact numărul care apare pe termometrele americane. Ca bonus: cele două scări arată la fel doar la $-40$, pentru că $1,8C+32=C$ dă $0,8C=-32$, deci $C=-40$.

7. Domeniul realist și limitele modelului

Formula nu știe nimic despre realitate; tu trebuie să-i pui granițe.

• Mărimi nenegative. La taxi, $d\ge 0$; la producție, $x\ge 0$. Graficul nu e o dreaptă întreagă, ci o semidreaptă.
• Mărimi discrete. Numărul de obiecte produse, de bilete, de persoane sunt numere naturale. Graficul devine un șir de puncte izolate situate pe o dreaptă — legătura cu progresiile aritmetice, unde termenii cresc tot cu pas constant, o vezi în lecția despre progresii aritmetice în costuri.
• Domeniu mărginit de context. Modelul $d(t)=240-80t$ este valabil doar pentru $t\in [0,3]$; la $t=5$ formula ar da $-160$ km, adică o distanță negativă — semn că mașina a ajuns demult, nu că a intrat în alt univers.
• Model doar aproximativ. Consumul unei mașini nu crește perfect liniar cu viteza, iar prețul energiei are praguri. Funcția afină este adesea o aproximare bună pe un interval, nu adevărul absolut. A ști unde se oprește modelul face parte din a-l ști.

Ultima capcană se numește extrapolare: folosirea modelului mult în afara zonei din care ai luat datele. Dacă un puiet crește cu $30$ cm pe an în primii trei ani, formula $h(t)=40+30t$ nu îți spune că peste $200$ de ani va avea $60$ de metri. Modelele afine sunt oneste doar aproape de datele care le-au născut.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Taxiul, în ambele sensuri

Un taxi percepe $5$ lei la pornire și $2,50$ lei pe kilometru. a) Scrieți funcția de cost și calculați prețul unei curse de $12$ km. b) Câți kilometri poți parcurge cu $30$ de lei?

Rezolvare. a) $T:[0,\infty )\to \mathbb{R}$, $T(x)=5+2,5x$, cu $x$ în kilometri și $T(x)$ în lei. Atunci $T(12)=5+2,5\cdot 12=5+30=35$ de lei.

b) Rezolvăm $T(x)=30$: $5+2,5x=30\Rightarrow 2,5x=25\Rightarrow x=10$ km. Verificare: $5+2,5\cdot 10=30$ ✓.

Observă cele două tipuri de întrebare: „cât costă" înseamnă a calcula o valoare a funcției, iar „cât pot parcurge" înseamnă a rezolva o ecuație. Sunt drumurile invers unul altuia pe același model.

Exemplul 2 — Pragul de rentabilitate

Un atelier are costuri fixe de $1200$ de lei pe lună și cheltuiește $35$ de lei pe obiect. Prețul de vânzare este $60$ de lei. a) Scrieți costul, venitul și profitul ca funcții de numărul $x$ de obiecte. b) De la câte obiecte atelierul iese pe profit? c) Ce profit aduc $100$ de obiecte?

Rezolvare. a) $C(x)=1200+35x$, $V(x)=60x$, $P(x)=V(x)-C(x)=25x-1200$, cu $x\in \mathbb{N}$.

b) Cerem $P(x)\ge 0$: $25x\ge 1200\Rightarrow x\ge 48$. La $x=48$ profitul e exact $0$ (se acoperă costurile), deci primul lună profitabilă începe de la $49$ de obiecte vândute.

c) $P(100)=25\cdot 100-1200=1300$ de lei.

Grafic: dreptele $C$ și $V$ se intersectează în punctul $(48,2880)$ — sub el costul e deasupra venitului (pierdere), deasupra lui venitul depășește costul (profit).

Exemplul 3 — Care abonament e mai bun

Doi furnizori de internet mobil: $A$ cere $60$ de lei abonament plus $0,20$ lei pentru fiecare gigabyte suplimentar; $B$ cere $20$ de lei plus $0,60$ lei pe gigabyte. a) Găsiți consumul la care costurile sunt egale. b) Pentru ce consum e mai avantajos fiecare furnizor?

Rezolvare. a) $A(x)=60+0,2x$ și $B(x)=20+0,6x$, cu $x\ge 0$ în gigabytes. Din $60+0,2x=20+0,6x$ obținem $40=0,4x$, deci $x=100$ GB. Costul comun este $A(100)=60+20=80$ de lei $=B(100)=20+60=80$ de lei. ✓

b) Comparăm diferența: $A(x)-B(x)=40-0,4x$, pozitivă pentru $x<100$ și negativă pentru $x>100$. Deci:

• pentru $x\in [0,100)$ este mai ieftin $B$ (la $50$ GB: $B=50$ lei față de $A=70$ lei);
• pentru $x\in (100,\infty )$ este mai ieftin $A$ (la $200$ GB: $A=100$ lei față de $B=140$ lei);
• la exact $100$ GB costă la fel.

Exemplul 4 — Întâlnirea a două vehicule

Două vehicule pornesc simultan de la capetele unui drum de $150$ km, unul spre celălalt, cu vitezele de $60$ km/h și $40$ km/h. După cât timp se întâlnesc și la ce distanță de primul capăt?

Rezolvare. Măsurăm poziția de la capătul de unde pleacă primul vehicul: $p_1(t)=60t$ și $p_2(t)=150-40t$, $t$ în ore.

Întâlnirea înseamnă poziții egale: $60t=150-40t\Rightarrow 100t=150\Rightarrow t=1,5$ ore, adică o oră și jumătate.

Locul: $p_1(1,5)=90$ km de la primul capăt; controlul pe a doua lege dă $150-40\cdot 1,5=90$ km ✓. Distanța până la al doilea capăt este $150-90=60$ km, ceea ce se potrivește: al doilea vehicul, mai lent, a parcurs mai puțin.

Exemplul 5 — Modelul construit din tabel

Nivelul apei dintr-un bazin scade uniform. La momentul $t=2$ ore erau $460$ de litri, iar la $t=5$ ore erau $400$ de litri. a) Scrieți nivelul ca funcție de timp. b) Cât era la început? c) Când se golește bazinul?

Rezolvare. a) Rata de variație: $a=\frac{400-460}{5-2}=\frac{-60}{3}=-20$ litri/oră (semnul minus arată scăderea). Din $N(2)=460$: $-20\cdot 2+b=460\Rightarrow b=500$. Deci $N(t)=500-20t$.

b) Nivelul inițial este $N(0)=500$ de litri.

c) $500-20t=0\Rightarrow t=25$ de ore. Modelul are sens pentru $t\in [0,25]$; dincolo de $25$ de ore formula ar da valori negative, imposibile fizic.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

O tipografie facturează $250$ de lei pregătirea tiparului și $1,20$ lei pentru fiecare exemplar tipărit. a) Scrieți funcția de cost $C:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ și calculați costul pentru $500$ de exemplare. b) Determinați numărul maxim de exemplare care se pot tipări cu un buget de $850$ de lei. c) Arătați că prețul mediu pe exemplar scade atunci când numărul de exemplare crește, comparând situațiile cu $100$ și cu $500$ de exemplare.

Rezolvare. a) $C(n)=250+1,2n$. Pentru $n=500$: $C(500)=250+600=850$ de lei.

b) Cerem $250+1,2n\le 850$, deci $1,2n\le 600$, adică $n\le 500$. Cum $n$ este natural, numărul maxim este $n=500$ exemplare (bugetul se consumă exact).

c) Prețul mediu este $\frac{C(n)}{n}=\frac{250}{n}+1,2$. Pentru $n=100$: $\frac{250+120}{100}=3,70$ lei pe exemplar. Pentru $n=500$: $\frac{850}{500}=1,70$ lei pe exemplar. Costul fix se împarte la mai multe exemplare, deci partea $\frac{250}{n}$ scade, iar media se apropie de $1,20$ lei fără să coboare vreodată sub această valoare. Aceasta este explicația matematică a „economiei de scară". $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă scrie explicit variabila cu unitatea ei, legea și domeniul realist — apoi răspunde la întrebări.

1. Un abonament de telefonie costă $25$ de lei pe lună plus $0,15$ lei pe minut de convorbire. Scrie funcția de cost și calculează factura pentru $400$ de minute.

2. Cu datele de la exercițiul 1, câte minute poți vorbi cu $55$ de lei?

3. Factura la apă este $F(x)=15+6,5x$ lei, unde $x$ este consumul în metri cubi. Ce reprezintă $15$ și ce reprezintă $6,5$? Calculează factura pentru $8$ metri cubi.

4. O lumânare are $24$ cm și arde uniform, scurtându-se cu $3$ cm pe oră. Scrie înălțimea ca funcție de timp, calculează înălțimea după $5$ ore și află după câte ore se stinge.

5. Un tren merge cu viteza constantă de $90$ km/h. Scrie distanța parcursă ca funcție de timp și calculează distanța după $2$ ore și jumătate.

6. Salariul unui muncitor este $S(x)=1800+45x$ lei, unde $x$ este numărul de piese realizate peste normă. a) Care e salariul fără piese suplimentare? b) Câte piese trebuie realizate pentru un salariu de $3060$ de lei?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un model afin, dublarea variabilei duce la dublarea rezultatului."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă rata de variație este negativă, mărimea modelată scade cu aceeași cantitate la fiecare creștere cu o unitate a variabilei."

9. Un abonament la sala de sport costă $200$ de lei pe lună, nelimitat, iar intrarea individuală costă $25$ de lei. De la câte intrări pe lună devine abonamentul mai avantajos?

10. (Problemă aplicată.) Două firme de închiriat mașini: firma $M$ cere $150$ de lei pe zi plus $0,50$ lei pe kilometru, firma $N$ cere $90$ de lei pe zi plus $1,10$ lei pe kilometru. Găsește kilometrajul de indiferență și spune care firmă e mai avantajoasă pe fiecare interval.

11. Temperatura aerului scade, în troposferă, cu aproximativ $6^{\circ }\text{C}$ la fiecare kilometru de altitudine. Dacă la sol sunt $20^{\circ }\text{C}$, scrie temperatura ca funcție de altitudinea $h$ (în kilometri) și calculează temperatura la $5$ km.

12. Un rezervor conține $500$ de litri și pierde $20$ de litri pe oră. a) Scrie modelul. b) Când mai are jumătate din conținut? c) Care este domeniul realist al funcției?

13. Legătura dintre gradele Celsius și Fahrenheit este afină, cu $F(0)=32$ și $F(100)=212$. Determină formula și calculează la câte grade Fahrenheit corespund $25^{\circ }\text{C}$.

14. O plantă avea $12$ cm la începutul observației și $27$ cm după $5$ săptămâni, crescând aproximativ uniform. a) Scrie modelul. b) Ce înălțime avea după $3$ săptămâni? c) De ce nu are sens să folosești modelul pentru $t=200$ de săptămâni?

15. (Problemă aplicată.) Un magazin vinde un produs cu $60$ de lei bucata; costurile sunt $1200$ de lei fixe plus $35$ de lei pe bucată. Câte bucăți trebuie vândute pentru un profit de exact $800$ de lei?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră funcțiile de cost $f,g:[0,\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=40+3x$ și $g(x)=10+6x$, exprimate în lei. a) Determinați valoarea lui $x$ pentru care costurile sunt egale. b) Determinați valorile lui $x$ pentru care $f(x)<g(x)$. c) Calculați cu cât este mai mic costul mai avantajos la $x=20$.

17. (Raționament.) Explică de ce, la compararea a două oferte afine cu rate diferite, există întotdeauna exact un prag de indiferență, și de ce oferta cu rata mai mică ajunge inevitabil mai ieftină pentru consumuri suficient de mari.

18. (Provocare.) O firmă de curierat oferă două planuri: planul $P$ cu $x$ lei taxă fixă și $4$ lei pe colet, planul $Q$ cu $120$ de lei taxă fixă și $2,50$ lei pe colet. Determină valorile lui $x$ pentru care planul $P$ este mai ieftin decât planul $Q$ la exact $40$ de colete, apoi arată că, oricare ar fi $x>0$, planul $Q$ devine mai ieftin de la un anumit număr de colete încolo.

Răspunsuri și explicații

1. $C(m)=25+0,15m$, cu $m\ge 0$ minute. $C(400)=25+60=85$ de lei.

2. $25+0,15m=55\Rightarrow 0,15m=30\Rightarrow m=200$ de minute. Verificare: $25+0,15\cdot 200=55$ ✓.

3. $15$ lei este partea fixă (abonamentul, plătit chiar la consum zero), iar $6,5$ lei/m³ este rata de variație, adică prețul unui metru cub. $F(8)=15+52=67$ de lei.

4. $h(t)=24-3t$ cm, $t\ge 0$ ore. $h(5)=24-15=9$ cm. Se stinge când $h(t)=0$: $t=8$ ore. Domeniul realist: $t\in [0,8]$.

5. $d(t)=90t$ km, cu $t\ge 0$ ore (aici partea fixă este $0$, deci modelul este chiar de proporționalitate directă). $d(2,5)=225$ km.

6. a) $S(0)=1800$ de lei. b) $1800+45x=3060\Rightarrow 45x=1260\Rightarrow x=28$ de piese. Verificare: $1800+45\cdot 28=1800+1260=3060$ ✓.

7. Fals. Dublarea rezultatului ar cere $f(2x)=2f(x)$, adică $2ax+b=2ax+2b$, deci $b=0$. Proprietatea este adevărată doar pentru funcții de proporționalitate directă. Contraexemplu: $T(x)=5+2,5x$ dă $T(4)=15$ și $T(8)=25\ne 30$ — tariful de pornire se plătește o singură dată.

8. Adevărat. Din $f(x+1)-f(x)=a$, cu $a<0$, rezultă că fiecare creștere cu o unitate a variabilei scade rezultatul cu exact $|a|$. Este cazul lumânării ($-3$ cm/oră) sau al rezervorului ($-20$ litri/oră).

9. Costul cu intrări individuale este $25n$; abonamentul, $200$. Din $25n=200$ rezultă $n=8$. Pentru $n\le 7$ e mai ieftin cu intrări separate, la $n=8$ costă la fel, iar de la $9$ intrări abonamentul e mai avantajos.

10. $M(x)=150+0,5x$, $N(x)=90+1,1x$. Din $150+0,5x=90+1,1x$ obținem $60=0,6x$, deci $x=100$ km, cu cost comun $200$ de lei. Sub $100$ km e mai ieftină firma $N$ (la $50$ km: $145$ față de $175$ lei), peste $100$ km e mai ieftină firma $M$ (la $200$ km: $250$ față de $310$ lei).

11. $T(h)=20-6h$, cu $h\ge 0$ în kilometri. $T(5)=20-30=-10^{\circ }\text{C}$. (Modelul e valabil doar în troposferă, adică până la circa $11$ km — mai sus, legea se schimbă.)

12. a) $V(t)=500-20t$ litri. b) $500-20t=250\Rightarrow 20t=250\Rightarrow t=12,5$ ore. c) Domeniul realist: $t\in [0,25]$, pentru că la $t=25$ rezervorul e gol, iar după aceea formula ar da volume negative.

13. $a=\frac{212-32}{100}=1,8$ și $b=32$, deci $F(C)=1,8C+32$. Pentru $C=25$: $F(25)=45+32=77^{\circ }\text{F}$.

14. a) $a=\frac{27-12}{5}=3$ cm/săptămână și $b=12$, deci $h(t)=12+3t$. b) $h(3)=12+9=21$ cm. c) Pentru $t=200$ formula ar da $612$ cm, adică peste $6$ metri — o extrapolare absurdă: planta își încetinește sau își oprește creșterea, deci modelul afin este valabil doar pe intervalul din care au fost luate datele.

15. $P(x)=25x-1200=800\Rightarrow 25x=2000\Rightarrow x=80$ de bucăți. Verificare: venit $60\cdot 80=4800$ lei, cost $1200+35\cdot 80=4000$ lei, profit $800$ lei ✓.

16. a) $40+3x=10+6x\Rightarrow 30=3x\Rightarrow x=10$, cu cost comun $70$ de lei. b) $f(x)-g(x)=30-3x<0⟺x>10$, deci $x\in (10,\infty )$. c) La $x=20$: $f(20)=100$ de lei, $g(20)=130$ de lei, deci varianta $f$ este mai ieftină cu $30$ de lei.

17. Dacă ratele sunt $a_1\ne a_2$, ecuația $a_{1}x+b_1=a_{2}x+b_2$ se scrie $(a_1-a_2)x=b_2-b_1$ și, coeficientul fiind nenul, are exact o soluție: pragul de indiferență. Geometric, două drepte cu pante diferite se taie într-un singur punct. Pentru consumuri mari domină termenul $ax$, pentru că partea fixă rămâne constantă, în timp ce diferența dintre părțile variabile, $(a_1-a_2)x$, crește nemărginit — deci oferta cu rata mai mică ajunge inevitabil mai ieftină.

18. La $40$ de colete: $P(40)=x+160$ și $Q(40)=120+100=220$. Condiția $P(40)<Q(40)$ dă $x+160<220$, deci $x<60$ de lei. Pentru partea a doua: $P(n)-Q(n)=(x-120)+1,5n$. Coeficientul lui $n$ este $1,5>0$, deci diferența crește nemărginit și devine pozitivă începând cu $n>\frac{120-x}{1,5}$ — de la acel număr de colete, planul $Q$ este mai ieftin, oricât de mică ar fi taxa fixă $x$. Rata mai mare pe colet nu poate fi compensată la nesfârșit de o taxă fixă mai mică.

De reținut

• Modelul afin descrie situațiile de tip „parte fixă + parte proporțională": $f(x)=ax+b$, unde $b=f(0)$ este valoarea inițială, iar $a$ este rata de variație.
• Rata $a$ are unitate de măsură (lei/km, litri/oră, km/h) și înseamnă „cât se schimbă rezultatul când variabila crește cu o unitate": $f(x+1)-f(x)=a$.
• Compararea a două oferte se face rezolvând $f(x)=g(x)$: pragul de indiferență împarte axa în zona în care câștigă partea fixă mai mică și zona în care câștigă rata mai mică.
• Mișcarea uniformă este model afin: $d(t)=d_0+vt$, viteza fiind panta graficului distanță–timp; momentul întâlnirii e abscisa punctului de intersecție, locul e ordonata lui.
• Domeniul realist face parte din model: mărimile fizice nu sunt negative, unele variabile sunt naturale, iar extrapolarea departe de datele inițiale falsifică rezultatul.

Greșeli frecvente

• Uiți partea fixă la a doua întrebare. „De două ori distanța, de două ori prețul" e fals când există tarif de pornire: $T(8)=25$ de lei, nu $2\cdot T(4)=30$ de lei.
• Confunzi rata cu valoarea. Rata $a$ spune cu cât crește, nu cât este. La $S(x)=1800+45x$, cei $45$ de lei nu sunt salariul, ci sporul pentru fiecare piesă.
• Ignori unitățile de măsură. Dacă viteza e în km/h, timpul trebuie în ore, nu în minute. Amestecul de unități e cea mai frecventă sursă de răspunsuri absurde la problemele de mișcare.
• Nu precizezi domeniul realist. O soluție ca $t=-2$ ore sau $x=7,3$ obiecte trebuie respinsă explicit, cu justificarea „variabila reprezintă timp scurs / număr de obiecte".
• Răspunzi cu ordonata în loc de abscisă. La întâlnirea vehiculelor, $t=1,5$ ore este momentul, iar $90$ km este locul. Citește cu atenție ce se cere.

Aplică acasă

1. Factura ta, transformată în funcție. Ia o factură de utilități (apă, gaz, energie) și identifică partea fixă și prețul pe unitate. Scrie funcția de cost, desenează graficul pe hârtie milimetrică și calculează cât ai plăti dacă ai consuma cu $20\%$ mai mult. Compară rezultatul cu ce ți-ar spune intuiția.

2. Cronometrează o mișcare uniformă. Mergi pe un traseu drept (un coridor, o alee) cu pas constant și notează distanța din $10$ în $10$ secunde. Trece punctele pe grafic: dacă mersul a fost uniform, ele se așază aproape pe o dreaptă. Determină viteza ca pantă și prezice unde vei fi după $2$ minute — apoi verifică.

3. Bătălia abonamentelor. Găsește două oferte reale pentru același serviciu (transport, telefonie, streaming, tipar foto), scrie-le ca funcții afine și calculează pragul de indiferență. Estimează-ți consumul lunar real și decide, cu argumentul matematic scris în două rânduri, care ofertă ți se potrivește.

Pentru părinți și profesori

Lecția mută accentul de la calcul la modelare: elevul nu mai primește o funcție gata scrisă, ci trebuie să o construiască dintr-un enunț, un tabel sau un grafic, respectând programa clasei a IX-a, care cere explicit exemplificarea funcției afine prin situații de costuri, cu evidențierea pantei și a intersecției cu axa $Oy$. Este momentul în care matematica devine, pentru mulți elevi, vizibil utilă.

Întrebări bune de control: „Ce reprezintă termenul liber în problema ta și în ce unitate se măsoară?"; „Ce înseamnă concret panta $-20$ într-un model de rezervor?"; „De ce dublarea numărului de kilometri nu dublează prețul cursei?"; „Până unde are sens modelul?". Semne că a înțeles: scrie variabila cu unitatea ei, precizează domeniul realist fără să i se ceară, interpretează pragul de indiferență în cuvinte („peste $100$ GB devine mai ieftin furnizorul $A$") și respinge singur soluțiile fără sens fizic.

La examen, aceste probleme apar în partea aplicativă a subiectelor și în enunțuri de tip „un producător…", „un furnizor oferă…", unde se cer valoarea funcției, soluția unei ecuații și interpretarea unei inecuații. Deprinderea de a citi structura „fix + variabil" se transferă apoi în clasele mari, la funcția de gradul al doilea (costuri cu economii de scară), la progresii și la modelarea exponențială. Legătura cu geometria analitică — determinarea funcției din două puncte — este exact procedeul de la ecuația dreptei prin două puncte.

Întrebări frecvente

Ce este o funcție afină folosită ca model? Este o funcție de forma $f(x)=ax+b$ prin care descriem o situație reală în care o mărime pornește de la o valoare inițială $b$ și se modifică cu aceeași cantitate $a$ la fiecare creștere cu o unitate a variabilei — de exemplu, costul unei curse de taxi sau distanța parcursă cu viteză constantă.

Ce reprezintă coeficienții a și b într-o problemă practică? $b$ este valoarea de pornire: tariful de pornire, costul fix lunar, poziția inițială, cantitatea din rezervor la momentul zero. $a$ este rata de variație: prețul pe kilometru, costul pe bucată, viteza, debitul — și se exprimă întotdeauna cu o unitate compusă, de tip „lei pe km".

Cum compar două oferte cu ajutorul funcțiilor afine? Scrii câte o funcție de cost pentru fiecare ofertă, rezolvi ecuația $f(x)=g(x)$ și găsești pragul de indiferență. Sub prag e mai avantajoasă oferta cu partea fixă mai mică, peste prag cea cu rata pe unitate mai mică.

De ce este mișcarea uniformă o funcție afină? Pentru că, la viteză constantă, distanța crește cu aceeași cantitate în fiecare unitate de timp: $d(t)=d_0+vt$. Viteza este chiar panta graficului distanță–timp, iar poziția inițială este termenul liber.

Ce este pragul de rentabilitate și cum îl calculez? Este numărul de produse de la care veniturile acoperă costurile. Scrii profitul ca diferență, $P(x)=V(x)-C(x)$, și rezolvi $P(x)\ge 0$. La $C(x)=1200+35x$ și $V(x)=60x$, pragul este $x=48$ de produse.

De ce trebuie să precizez domeniul funcției într-o problemă practică? Pentru că formula funcționează și acolo unde realitatea nu: ar accepta timp negativ, kilometri negativi sau jumătăți de obiect. Domeniul realist ($t\ge 0$, $x\in \mathbb{N}$, un interval mărginit de context) transformă o formulă corectă într-un model corect.

Ce înseamnă extrapolare și de ce e riscantă? Înseamnă folosirea modelului mult în afara intervalului din care provin datele. O plantă care crește $3$ cm pe săptămână nu va avea $6$ metri peste patru ani: creșterea încetinește. Modelele afine sunt de încredere doar aproape de datele care le-au generat.

Poate o funcție afină să aibă rata egală cu zero? Da, și atunci mărimea este constantă: abonamentul nelimitat la preț fix, temperatura menținută de un termostat. Graficul este o dreaptă orizontală, iar în comparațiile de oferte acesta e cazul în care una dintre oferte nu depinde deloc de consum.