Într-un model de tarifare $$T(x) = ax+b$$, unde $$x$$ este numărul de kilometri parcurși, ce reprezintă coeficientul $$a$$?

rata de variație: cu cât crește costul la fiecare kilometru parcurs în plus

tariful de pornire, plătit chiar dacă nu te miști

numărul maxim de kilometri permis de firmă

profitul obținut de firmă la o cursă

Cum scriu costul unui abonament ca funcție?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția afină: costuri, tarife, viteze

Un cost cu o parte fixă și una care crește proporțional se scrie $C (x) = a x + b$ : $b$ este suma plătită chiar și pentru zero unități, iar $a$ arată cât se adaugă la fiecare unitate în plus. Pentru un atelier cu $800$ de lei pe lună și $20$ de lei pe obiect rezultă $C (x) = 20 x + 800$ ; la $x = 0$ costul rămâne $800$ , iar la zece obiecte ajunge la $1000$ de lei.

Multe situații din viața reală au structura „parte fixă + parte proporțională”, care se modelează cu o funcție afină $f (x) = a x + b$ . Termenul liber $b = f (0)$ este valoarea inițială — tariful de pornire, costul fix lunar, poziția de start —, iar coeficientul $a$ este rata de variație: cât se schimbă rezultatul la fiecare unitate în plus a variabilei, $f (x + 1) - f (x) = a$ , cu unitate de măsură proprie (lei/km, lei/bucată, km/h).

La costuri, scriem $C (x) = C_{fix} + c \cdot x$ ; dacă prețul de vânzare este cunoscut, profitul $P (x) = V (x) - C (x)$ este tot o funcție afină, iar pragul de rentabilitate este soluția inecuației $P (x) \geq 0$ . La compararea a două oferte, din $f (x) = g (x)$ se găsește pragul de indiferență: sub prag câștigă oferta cu partea fixă mai mică, peste prag câștigă cea cu rata mai mică, pentru că pe termen lung rata domină întotdeauna. La mișcarea uniformă, $d (t) = d_{0} + v t$ , viteza fiind panta graficului distanță-timp; întâlnirea a două mobile înseamnă poziții egale.

Orice model afin cere și un domeniu realist: mărimi nenegative, uneori discrete, valabile doar pe un interval — dincolo de el apare extrapolarea, care falsifică rezultatul.

De reținut

$f (x) = a x + b$ : $b$ este valoarea la zero, $a$ este schimbarea la o unitate
profit = venit minus cost, tot funcție afină
modelul are sens doar pe un domeniu realist

Greșeala tipică

Coeficienții se pun invers, cu partea fixă înmulțită cu variabila; verifică punând $x = 0$ , unde rezultatul trebuie să fie exact suma plătită înainte de a consuma ceva.

Exerciții din această mini-lecție

Un atelier are costuri fixe de $800$ de lei pe lună și cheltuiește $20$ de lei pentru fiecare obiect produs. Care este funcția de cost $C (x)$ , cu $x$ numărul de obiecte?
- a) $C (x) = 800 x + 20$
- b) $C (x) = 20 x + 800$
- c) $C (x) = 800 - 20 x$
- d) $C (x) = 20 x - 800$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $C (x) = 20 x + 800$

Costul fix (plătit chiar la $x = 0$ ) este termenul liber, $800$ lei, iar costul pe obiect, $20$ lei, este rata de variație, adică panta. Deci $C (x) = 20 x + 800$ : la $x = 0$ , $C (0) = 800$ ✓, iar la fiecare obiect în plus costul crește cu $20$ lei.
Într-un model de tarifare $T (x) = a x + b$ , unde $x$ este numărul de kilometri parcurși, ce reprezintă coeficientul $a$ ?
- a) tariful de pornire, plătit chiar dacă nu te miști
- b) rata de variație: cu cât crește costul la fiecare kilometru parcurs în plus
- c) numărul maxim de kilometri permis de firmă
- d) profitul obținut de firmă la o cursă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) rata de variație: cu cât crește costul la fiecare kilometru parcurs în plus

Din $T (x + 1) - T (x) = a (x + 1) + b - (a x + b) = a$ rezultă că $a$ este exact creșterea costului atunci când $x$ crește cu o unitate, adică prețul pe kilometru — rata de variație. Termenul $b$ , nu $a$ , este tariful de pornire (valoarea $T (0)$ ).
Un atelier are costul $C (x) = 900 + 30 x$ lei și venitul $V (x) = 50 x$ lei, unde $x$ este numărul de obiecte vândute. Care este pragul de rentabilitate (numărul minim de obiecte de la care profitul devine nenegativ)?
- a) $30$
- b) $40$
- c) $45$
- d) $50$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $45$

Profitul este $P (x) = V (x) - C (x) = 50 x - (900 + 30 x) = 20 x - 900$ . Condiția $P (x) \geq 0$ dă $20 x \geq 900$ , deci $x \geq 45$ . La $x = 45$ : $C (45) = 900 + 1350 = 2250$ lei și $V (45) = 50 \cdot 45 = 2250$ lei — profitul e exact $0$ , deci pragul este $45$ de obiecte.

Întrebări conexe

Ce unitate de măsură are rata unei funcții afine folosite ca model?

Rata arată cât se schimbă rezultatul la o unitate în plus din variabilă, deci unitatea ei este un raport: lei pe kilometru la un taxi, lei pe bucată la o comandă, kilometri pe oră la o deplasare. Dacă unitatea nu iese un raport, ai încurcat ce ai pus pe fiecare axă.

Cum aflu valoarea de pornire a unui model afin dintr-un tabel?

Cauți rândul în care variabila este zero: valoarea de acolo este termenul liber. Dacă tabelul nu îl conține, iei două perechi, calculezi rata ca raport între creșterea rezultatului și creșterea variabilei, apoi scazi rata înmulțită cu variabila dintr-o valoare cunoscută.

Cum verific dacă niște date reale se potrivesc cu un model afin?

Te uiți dacă la pași egali ai variabilei rezultatul crește cu aceeași cantitate. Diferențe constante înseamnă model afin; diferențe care se măresc sau se micșorează arată altceva. La măsurători din realitate accepți mici abateri, dar tendința trebuie să rămână liniară.

Ce înseamnă rată negativă într-un model afin?

Înseamnă că mărimea scade pe măsură ce variabila crește: un rezervor care se golește, o datorie care se micșorează, o distanță rămasă până la destinație. Graficul coboară de la stânga la dreapta, iar modelul are sens doar până când rezultatul ajunge la zero.

Cum răspund la o problemă cu tarif de taxi folosind o funcție?

Notezi cu $x$ numărul de kilometri, scrii tariful ca pornire plus preț pe kilometru înmulțit cu $x$ , apoi înlocuiești distanța cerută. Pentru $5$ lei pornire și $2$ lei pe kilometru, o cursă de $7$ km costă $5 + 14 = 19$ lei.

Cum aflu de câte unități am nevoie ca să ating un cost dat?

Pui costul cerut în locul rezultatului și rezolvi ecuația de gradul întâi obținută. Dacă bugetul este o limită, scrii inecuație: din $300 + 1, 5 n \leq 900$ obții $n \leq 400$ , deci cel mult $400$ de exemplare. Răspunsul se rotunjește în jos, fiindcă bucățile sunt întregi.

Oamenii mai întreabă și: cost fix plus cost pe unitate · funcție afină pentru tarife · cum modelez un tarif cu o funcție · formula costului lunar