Unghiul exterior al unui triunghi. Teorema unghiului exterior

Imaginează-ți că mergi pe o latură a unui triunghi și, când ajungi într-un vârf, în loc să te oprești, continui drept înainte, depășind vârful. Drumul tău nu se mai întoarce înăuntru — el iese în afara triunghiului. Exact între acest „drum mai departe" și latura următoare se naște un unghi nou: unghiul exterior al triunghiului. În lecția de astăzi vei descoperi ce este acest unghi, de ce el ascunde o legătură surprinzător de simplă cu unghiurile dinăuntrul triunghiului și cum o poți folosi ca să afli rapid măsuri de unghiuri. Este una dintre cele mai elegante și mai utile teoreme de geometrie din clasa a VI-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești unghiul exterior al unui triunghi și să-l desenezi corect prin prelungirea unei laturi.
• Vei ști că un unghi exterior și unghiul interior alăturat lui sunt suplementare (au suma 180°).
• Vei ști să enunți și să aplici teorema unghiului exterior: el este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente.
• Vei ști să calculezi măsuri de unghiuri în probleme folosind unghiul exterior.
• Vei ști să recunoști și să eviți greșelile frecvente legate de unghiurile neadiacente.

Hai să descoperim împreună

Ne reamintim ce știm deja

Înainte de a porni, să strângem uneltele de care avem nevoie. Le-ai întâlnit în lecțiile anterioare, deci îți vor fi prietene cunoscute.

Unul. Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este mereu 180°. Ai învățat asta la lecția Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi. Adică, dacă un triunghi are unghiurile $A$, $B$ și $C$, atunci:

$$m(\angle A)+m(\angle B)+m(\angle C)=180°.$$

Doi. Două unghiuri se numesc suplementare dacă suma măsurilor lor este 180°. Le-ai studiat la Unghiuri complementare și suplementare. Când două unghiuri sunt și adiacente (au un vârf comun și o latură comună), și împreună formează un unghi alungit (un unghi de 180°, cât o linie dreaptă), atunci ele sunt automat suplementare.

Trei. Știm să recunoaștem vârfurile și laturile unui triunghi din lecția Triunghiul: definiție, elemente și clasificare.

Cu aceste trei unelte în mână, suntem gata să construim ceva nou.

Cum se naște un unghi exterior

Pornim de la un triunghi obișnuit, pe care îl numim $ABC$.

Alegem un vârf, să zicem vârful $C$. În acel vârf se întâlnesc două laturi: latura $BC$ și latura $AC$. Unghiul dinăuntrul triunghiului, format de aceste două laturi, este unghiul interior $\angle ACB$ (sau, mai scurt, unghiul $C$).

Acum vine ideea-cheie. Luăm latura $BC$ și o prelungim dincolo de vârful $C$. Adică ducem mai departe semidreapta, ca și cum am continua să mergem pe drumul $B\to C$ și nu ne-am opri în $C$, ci am ieși afară. Notăm cu $D$ un punct pe această prelungire, dincolo de $C$.

S-a format un unghi nou: unghiul $\angle ACD$. El are vârful tot în $C$, o latură este $CA$ (o latură a triunghiului), iar cealaltă latură este $CD$ (prelungirea laturii $BC$). Acest unghi nou, $\angle ACD$, este un unghi exterior al triunghiului $ABC$, corespunzător vârfului $C$.

Definiție. Se numește unghi exterior al unui triunghi unghiul format de o latură a triunghiului și de prelungirea unei alte laturi, dincolo de vârful comun celor două laturi.

Cu alte cuvinte: stai într-un vârf, ții o latură pe loc și prelungești cealaltă latură. Unghiul dintre latura ținută pe loc și prelungire este unghiul exterior.

Unghiul exterior și „fratele" lui dinăuntru sunt suplementare

Privește cu atenție vârful $C$. Acolo, pe linia dreaptă $BD$ (pe care stau $B$, $C$ și $D$, în această ordine), semidreapta $CA$ împarte unghiul alungit $\angle BCD$ în două bucăți:

• bucata dinspre interior, unghiul interior $\angle ACB$;
• bucata dinspre exterior, unghiul exterior $\angle ACD$.

Dar un unghi alungit, cât o linie dreaptă, are exact 180°. Iar cele două bucăți, $\angle ACB$ și $\angle ACD$, sunt adiacente și împreună formează acea linie. Prin urmare:

$$m(\angle ACB)+m(\angle ACD)=180°.$$

Aceasta este prima proprietate importantă:

Proprietate. Un unghi exterior al unui triunghi și unghiul interior alăturat lui (cel din același vârf) sunt suplementare: suma măsurilor lor este 180°.

De exemplu, dacă unghiul interior $C$ are 70°, atunci unghiul exterior din $C$ are $180°-70°=110°$. Dacă unghiul interior este 90°, unghiul exterior este tot 90°. Iar dacă unghiul interior este mic, de pildă 30°, unghiul exterior este mare, $180°-30°=150°$. Vezi cum unul scade când celălalt crește? Ele se „împart" mereu pe 180°.

Câte unghiuri exterioare are un triunghi?

Aici trebuie să fim atenți. În fiecare vârf putem prelungi oricare dintre cele două laturi. Dacă în vârful $C$ prelungim latura $BC$ dincolo de $C$, obținem un unghi exterior. Dacă în schimb prelungim latura $AC$ dincolo de $C$, obținem alt unghi exterior, de cealaltă parte.

Cele două unghiuri exterioare din același vârf sunt opuse la vârf, deci sunt congruente (au aceeași măsură) — îți amintești de la Unghiuri opuse la vârf și congruența lor. Deoarece au aceeași măsură, de obicei vorbim despre „unghiul exterior din vârful $C$" ca despre o singură valoare, fără să ne pese pe care latură am prelungit-o.

Așadar, în fiecare vârf avem un unghi exterior (cu măsura sa). Triunghiul are 3 vârfuri, deci vom vorbi despre 3 unghiuri exterioare: cel din $A$, cel din $B$ și cel din $C$.

Marea descoperire: teorema unghiului exterior

Acum vine partea cu adevărat frumoasă. Să încercăm să aflăm cât are unghiul exterior din $C$ folosind unghiurile dinăuntrul triunghiului.

Notăm, ca să scriem mai ușor:

• $m(\angle A)=a$,
• $m(\angle B)=b$,
• $m(\angle C)=c$.

Știm două lucruri adevărate în același timp.

Adevărul nr. 1 (suma unghiurilor triunghiului): $$a+b+c=180°.$$

Adevărul nr. 2 (unghiul exterior din C este suplementar cu unghiul interior C): dacă notăm cu $e$ măsura unghiului exterior din $C$, atunci $$c+e=180°.$$

Acum punem cele două adevăruri față în față. Amândouă dau 180°, deci părțile lor stângi sunt egale între ele:

$$a+b+c=c+e.$$

Pe ambele părți apare $c$. Îl putem scoate (îl „tăiem") din ambele părți, fiindcă scădem aceeași valoare din ambele. Rămâne:

$$a+b=e.$$

Adică:

$$e=a+b.$$

Uimitor de simplu! Măsura unghiului exterior din $C$ este egală cu suma celor două unghiuri din celelalte vârfuri, $A$ și $B$. Aceste două unghiuri, $A$ și $B$, sunt unghiurile interioare care nu se află lângă unghiul exterior — le numim unghiuri interioare neadiacente.

Teorema unghiului exterior. Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu suma măsurilor celor două unghiuri interioare neadiacente cu el.

Care sunt unghiurile „neadiacente"?

Cuvântul neadiacent înseamnă „care nu este alăturat", „care nu stă lângă". Unghiul exterior se naște în vârful $C$. Lângă el, în același vârf, stă unghiul interior $C$ — acela este adiacent (alăturat). Pe acesta NU îl folosim în sumă.

Celelalte două unghiuri ale triunghiului, cele din vârfurile $A$ și $B$, sunt departe, în colțurile opuse. Pe acestea le numim neadiacente și exact ele se adună ca să dea unghiul exterior.

O regulă scurtă de ținut minte: unghiul exterior = suma celor două unghiuri din colțurile depărtate (cele în care el „nu stă").

Hai să o probăm pe un caz concret. Presupunem că într-un triunghi $ABC$ avem $m(\angle A)=35°$, $m(\angle B)=85°$ și $m(\angle C)=60°$. Pentru unghiul exterior din $C$, „colțurile depărtate" sunt $A$ și $B$, deci el are $35°+85°=120°$. Observă că nu am folosit deloc unghiul din $C$ (cel de $60°$), tocmai pentru că el este adiacent, nu neadiacent. Și totuși, dacă vrem o verificare, $180°-60°=120°$ — aceeași valoare. Cele două drumuri dau mereu același număr.

O verificare care ne dă încredere

Teorema se potrivește perfect cu ce știam deja. Unghiul exterior din $C$ este $e=a+b$. Dar din suma unghiurilor avem $a+b=180°-c$. Deci $e=180°-c$, exact ce ne spunea proprietatea cu suplementarele. Cele două căi duc în același loc — semn bun că totul este corect.

Mai există și o consecință drăguță: deoarece $e=a+b$, iar $a$ și $b$ sunt măsuri de unghiuri (numere strict mai mari ca 0°), unghiul exterior $e$ este mai mare decât fiecare dintre unghiurile $A$ și $B$ luate separat. Un unghi exterior al unui triunghi este întotdeauna mai mare decât oricare dintre cele două unghiuri interioare neadiacente cu el. Vei folosi această idee mai târziu, la Inegalități între laturile și unghiurile triunghiului.

Două drumuri spre același răspuns

Reține că ai mereu două metode pentru a afla un unghi exterior, și ele trebuie să dea același rezultat:

1. Metoda suplementarului: unghi exterior $=180°-$ unghiul interior alăturat.
2. Metoda teoremei: unghi exterior $=$ suma celor două unghiuri interioare neadiacente.

Dacă într-o problemă cunoști unghiul interior din același vârf, e mai rapidă metoda 1. Dacă cunoști celelalte două unghiuri ale triunghiului, e mai rapidă metoda 2. Iar dacă le poți folosi pe amândouă, o folosești pe una și verifici cu cealaltă — un mic truc al elevilor atenți.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cel mai simplu: aplicăm direct teorema

În triunghiul $ABC$ avem $m(\angle A)=50°$ și $m(\angle B)=65°$. Prelungim latura $BC$ dincolo de $C$ și obținem unghiul exterior din $C$. Cât are el?

Rezolvare. Unghiul exterior din $C$ are ca unghiuri interioare neadiacente exact unghiurile $A$ și $B$. Aplicăm teorema: $$\text{unghi exterior din }C=m(\angle A)+m(\angle B)=50°+65°=115°.$$

Răspuns: unghiul exterior din $C$ are 115°.

Verificare rapidă: unghiul interior $C$ are $180°-50°-65°=65°$, iar suplementarul lui este $180°-65°=115°$. Aceeași valoare — perfect.

Exemplul 2 — Aflăm un unghi interior pornind de la exterior

Într-un triunghi $MNP$, unghiul exterior din vârful $P$ are $120°$, iar $m(\angle M)=45°$. Cât are unghiul $N$?

Rezolvare. Unghiul exterior din $P$ este egal cu suma unghiurilor neadiacente, adică $M$ și $N$: $$m(\angle M)+m(\angle N)=120°.$$ Înlocuim $m(\angle M)=45°$: $$45°+m(\angle N)=120°.$$ Scădem 45° din ambele părți: $$m(\angle N)=120°-45°=75°.$$

Răspuns: $m(\angle N)=75°$.

Exemplul 3 — Folosim suplementarul

În triunghiul $ABC$, unghiul interior $A$ are $72°$. Prelungim latura $BA$ dincolo de $A$ și se formează un unghi exterior din $A$. Cât are el?

Rezolvare. Unghiul exterior din $A$ și unghiul interior $A$ sunt suplementare (împreună fac o linie dreaptă): $$\text{unghi exterior din }A=180°-m(\angle A)=180°-72°=108°.$$

Răspuns: unghiul exterior din $A$ are 108°.

Exemplul 4 — O ecuație micuță cu necunoscuta $x$

În triunghiul $ABC$ avem $m(\angle A)=2x$, $m(\angle B)=3x$, iar unghiul exterior din $C$ are $100°$. Află $x$ și apoi măsurile celor trei unghiuri ale triunghiului.

Rezolvare. Unghiul exterior din $C$ este suma unghiurilor neadiacente $A$ și $B$: $$2x+3x=100°.$$ $$5x=100°⟹x=20°.$$ Acum aflăm unghiurile:

• $m(\angle A)=2x=2\cdot 20°=40°$;
• $m(\angle B)=3x=3\cdot 20°=60°$;
• $m(\angle C)=180°-100°=80°$ (suplementarul unghiului exterior).

Verificare: $40°+60°+80°=180°$. Corect.

Răspuns: $x=20°$, iar unghiurile sunt $40°$, $60°$ și $80°$.

Exemplul 5 — Triunghi isoscel cu unghi exterior

Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $m(\angle B)=m(\angle C)$. Unghiul exterior din $A$ are $116°$. Află toate unghiurile triunghiului.

Rezolvare. Unghiul exterior din $A$ este suma unghiurilor neadiacente $B$ și $C$: $$m(\angle B)+m(\angle C)=116°.$$ Dar cele două sunt egale, deci fiecare este jumătate: $$m(\angle B)=m(\angle C)=116°:2=58°.$$ Unghiul $A$ este suplementarul exteriorului din $A$: $$m(\angle A)=180°-116°=64°.$$

Verificare: $64°+58°+58°=180°$. Corect.

Răspuns: $m(\angle A)=64°$, $m(\angle B)=m(\angle C)=58°$.

Exemplul 6 — Două unghiuri exterioare deodată

În triunghiul $ABC$, unghiul exterior din $A$ are $130°$, iar unghiul exterior din $B$ are $110°$. Află cele trei unghiuri interioare și unghiul exterior din $C$.

Rezolvare. Trecem mai întâi de la unghiurile exterioare la cele interioare, prin suplementare: $$m(\angle A)=180°-130°=50°,$$ $$m(\angle B)=180°-110°=70°.$$ Al treilea unghi, $C$, iese din suma 180°: $$m(\angle C)=180°-50°-70°=60°.$$ Unghiul exterior din $C$ este suma neadiacentelor $A$ și $B$: $$50°+70°=120°,$$ și, ca verificare, $180°-60°=120°$. Se potrivește.

Răspuns: $m(\angle A)=50°$, $m(\angle B)=70°$, $m(\angle C)=60°$, iar unghiul exterior din $C$ are $120°$.

Observație frumoasă: suma celor trei unghiuri exterioare ale unui triunghi (câte unul în fiecare vârf) este mereu $360°$ — aici, $130°+110°+120°=360°$. Acesta este un rezultat valabil pentru orice triunghi — nu e o coincidență!

Exemplul 7 — Ecuație cu expresii pe ambele „colțuri depărtate"

În triunghiul $ABC$ avem $m(\angle A)=(2x+10)°$, $m(\angle B)=3x°$, iar unghiul exterior din $C$ are $95°$. Află $x$ și apoi cele trei unghiuri ale triunghiului.

Rezolvare. Unghiul exterior din $C$ se sprijină pe unghiurile neadiacente $A$ și $B$, deci este suma lor. Punem teorema în ecuație: $$(2x+10)+3x=95.$$ Adunăm termenii cu $x$ și pe cei liberi separat: $$5x+10=95.$$ Scădem $10$ din ambele părți, apoi împărțim la $5$: $$5x=85⟹x=17.$$ Acum înlocuim:

• $m(\angle A)=2x+10=2\cdot 17+10=44°$;
• $m(\angle B)=3x=3\cdot 17=51°$;
• $m(\angle C)=180°-95°=85°$ (suplementarul unghiului exterior din $C$).

Verificare: $44°+51°+85°=180°$, iar $44°+51°=95°$ — exact unghiul exterior din $C$. Totul se leagă.

Răspuns: $x=17$, iar unghiurile sunt $44°$, $51°$ și $85°$.

Exemplul 8 — O problemă din viața reală

Un acoperiș în formă de triunghi are la baza din stânga, în vârful $B$, un unghi de $35°$, iar la baza din dreapta, în vârful $C$, un unghi de $40°$. Un dulgher prelungește grinda de jos $BC$ dincolo de $C$ ca să fixeze o consolă și vrea să știe ce unghi face grinda înclinată $CA$ cu această prelungire. Cât este acel unghi?

Rezolvare. Unghiul cerut, dintre latura $CA$ și prelungirea lui $BC$ dincolo de $C$, este chiar unghiul exterior din $C$. Unghiurile interioare neadiacente cu el sunt cele din $A$ și $B$. Pe $B$ îl știm ($35°$), dar pe $A$ nu — îl aflăm întâi din suma unghiurilor: $$m(\angle A)=180°-35°-40°=105°.$$ Acum aplicăm teorema unghiului exterior: $$\text{unghi exterior din }C=m(\angle A)+m(\angle B)=105°+35°=140°.$$

Verificare cu metoda suplementarului: unghiul interior $C$ are $40°$, iar $180°-40°=140°$. Aceeași valoare — dulgherul poate avea încredere în măsură.

Răspuns: grinda $CA$ face cu prelungirea un unghi de 140°.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Fă un desen acolo unde te ajută.

1. Completează: Unghiul exterior al unui triunghi este format de o latură și de ............ unei alte laturi.

2. Adevărat sau fals? Un unghi exterior și unghiul interior alăturat lui sunt complementare (au suma 90°).

3. În triunghiul $ABC$, $m(\angle A)=40°$ și $m(\angle B)=55°$. Cât are unghiul exterior din $C$?

4. Unghiul interior $C$ al unui triunghi are $73°$. Cât are unghiul exterior din $C$?

5. Încercuiește răspunsul corect. Unghiul exterior din $A$ este egal cu suma unghiurilor:     a) $A$ și $B$    b) $B$ și $C$    c) $A$ și $C$

6. În triunghiul $MNP$, unghiul exterior din $P$ are $135°$, iar $m(\angle M)=60°$. Află $m(\angle N)$.

7. Adevărat sau fals? Un unghi exterior al unui triunghi este întotdeauna mai mare decât fiecare dintre cele două unghiuri interioare neadiacente cu el.

8. Unghiul exterior din $B$ are $95°$. Cât are unghiul interior $B$?

9. Potrivește fiecare unghi interior din coloana stângă cu unghiul exterior corespunzător din coloana dreaptă:     A) 30°        1) 115°     B) 110°     2) 150°     C) 90°        3) 90°     D) 65°        4) 70°

10. În triunghiul $ABC$, $m(\angle A)=3x$, $m(\angle B)=2x$, iar unghiul exterior din $C$ are $100°$. Află $x$ și apoi cele trei unghiuri.

11. Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $m(\angle B)=m(\angle C)$. Unghiul exterior din $A$ are $140°$. Află toate unghiurile triunghiului.

12. Desenează un triunghi $ABC$, apoi prelungește latura $AB$ dincolo de $B$ și marchează unghiul exterior din $B$. Notează care sunt cele două unghiuri interioare neadiacente cu el.

13. Într-un triunghi, unghiul exterior din $A$ are $125°$, iar $m(\angle B)=65°$. Află $m(\angle C)$.

14. Adevărat sau fals? Suma celor trei unghiuri exterioare ale unui triunghi (câte unul în fiecare vârf) este $180°$.

15. În triunghiul $ABC$, unghiul exterior din $C$ are $(2x+10)°$, iar unghiurile neadiacente sunt $m(\angle A)=x°$ și $m(\angle B)=50°$. Află $x$, măsura unghiului exterior din $C$ și cele trei unghiuri interioare.

16. Unghiul exterior din $A$ al unui triunghi are $120°$. Unul dintre cele două unghiuri interioare neadiacente este de două ori mai mare decât celălalt. Află cele două unghiuri interioare neadiacente.

17. Problemă. Un teren are forma unui triunghi $ABC$. Inginerul măsoară unghiul exterior din colțul $A$ și obține $150°$, iar unghiul interior din colțul $B$ este $40°$. Cât are unghiul interior din colțul $C$?

18. Provocare. În triunghiul $ABC$, unghiul exterior din $A$ are $112°$, iar unghiul exterior din $B$ are $138°$. Află cele trei unghiuri interioare și verifică suma lor.

19. În triunghiul $ABC$, $m(\angle A)=2x$, $m(\angle B)=(x+20)°$, iar unghiul exterior din $C$ are $110°$. Află $x$ și cele trei unghiuri ale triunghiului.

20. Adevărat sau fals? Într-un triunghi dreptunghic, unghiul exterior din vârful cu unghiul drept are tot $90°$.

21. Unghiul exterior din $A$ are $100°$, iar cele două unghiuri interioare neadiacente cu el sunt egale între ele. Cât are fiecare?

Răspunsuri și explicații

1. prelungirea. Definiția: unghiul exterior e format de o latură și de prelungirea altei laturi.

2. Fals. Ele sunt suplementare (suma 180°), nu complementare. Împreună formează o linie dreaptă.

3. $40°+55°=95°$. Unghiul exterior din $C$ = suma unghiurilor neadiacente $A$ și $B$.

4. $180°-73°=107°$. Folosim suplementarul unghiului interior $C$.

5. b) $B$ și $C$. Unghiul exterior din $A$ este suma unghiurilor din celelalte două vârfuri (neadiacente), adică $B$ și $C$.

6. Unghiul exterior din $P$ = $m(\angle M)+m(\angle N)$, deci $135°=60°+m(\angle N)$, de unde $m(\angle N)=135°-60°=75°$.

7. Adevărat. Deoarece unghiul exterior este suma a două unghiuri pozitive, el este mai mare decât fiecare dintre ele.

8. $180°-95°=85°$. Interiorul și exteriorul din același vârf sunt suplementare.

9. A–2 ($180°-30°=150°$); B–4 ($180°-110°=70°$); C–3 ($180°-90°=90°$); D–1 ($180°-65°=115°$). Pentru fiecare unghi interior calculăm exteriorul cu regula $180°-\text{interior}$ (interiorul și exteriorul din același vârf sunt suplementare).

10. $3x+2x=100°\Rightarrow 5x=100°\Rightarrow x=20°$. Atunci $m(\angle A)=60°$, $m(\angle B)=40°$, $m(\angle C)=180°-100°=80°$. Verificare: $60°+40°+80°=180°$.

11. $m(\angle B)+m(\angle C)=140°$, deci fiecare are $140°:2=70°$. $m(\angle A)=180°-140°=40°$. Verificare: $40°+70°+70°=180°$.

12. Unghiul exterior din $B$ se obține prelungind $AB$ dincolo de $B$. Cele două unghiuri interioare neadiacente sunt $\angle A$ și $\angle C$. (Unghiul interior $B$ este cel adiacent, deci NU intră în sumă.)

13. Unghiul exterior din $A$ = $m(\angle B)+m(\angle C)$, deci $125°=65°+m(\angle C)$, de unde $m(\angle C)=125°-65°=60°$.

14. Fals. Suma celor trei unghiuri exterioare este $360°$, nu 180°.

15. Unghiul exterior din $C$ este suma unghiurilor neadiacente $A$ și $B$: $(2x+10)°=x°+50°$. Scădem $x$ din ambele părți: $x+10=50$, deci $x=40$. Atunci unghiul exterior din $C$ are $2x+10=2\cdot 40+10=90°$. Unghiurile interioare: $m(\angle A)=x=40°$, $m(\angle B)=50°$, iar $m(\angle C)=180°-90°=90°$ (suplementarul exteriorului). Verificare: $40°+50°+90°=180°$, iar $40°+50°=90°$ = exteriorul din $C$. Corect.

16. Cele două unghiuri interioare neadiacente cu unghiul exterior din $A$ sunt $B$ și $C$, iar suma lor este egală cu unghiul exterior: $m(\angle B)+m(\angle C)=120°$. Unul este de două ori mai mare decât celălalt; notăm cu $u$ pe cel mic, atunci celălalt este $2u$. Avem $u+2u=120°$, deci $3u=120°$ și $u=40°$. Cele două unghiuri interioare neadiacente sunt $40°$ și $80°$. Verificare: $40°+80°=120°$ = unghiul exterior din $A$. Corect.

17. Unghiul exterior din $A$ = $m(\angle B)+m(\angle C)$, deci $150°=40°+m(\angle C)$, de unde $m(\angle C)=150°-40°=110°$.

18. Trecem la interioare: $m(\angle A)=180°-112°=68°$; $m(\angle B)=180°-138°=42°$; $m(\angle C)=180°-68°-42°=70°$. Verificare: $68°+42°+70°=180°$. Corect.

19. Unghiul exterior din $C$ = suma neadiacentelor $A$ și $B$: $2x+(x+20)=110$, deci $3x+20=110$, de unde $3x=90$ și $x=30$. Atunci $m(\angle A)=2x=60°$, $m(\angle B)=x+20=50°$, iar $m(\angle C)=180°-110°=70°$. Verificare: $60°+50°+70°=180°$ și $60°+50°=110°$. Corect.

20. Adevărat. Unghiul interior drept are $90°$, iar exteriorul din același vârf este suplementarul lui: $180°-90°=90°$. Este singurul caz în care interiorul și exteriorul sunt egale.

21. Cele două unghiuri neadiacente se adună și dau unghiul exterior din $A$, adică $100°$. Fiind egale, fiecare are jumătate: $100°:2=50°$.

De reținut

• Unghiul exterior al unui triunghi se formează între o latură și prelungirea altei laturi, în același vârf.
• Un unghi exterior și unghiul interior din același vârf sunt suplementare: suma lor este $180°$.
• Teorema unghiului exterior: un unghi exterior $=$ suma celor două unghiuri interioare neadiacente (cele din colțurile depărtate).
• Un unghi exterior este mai mare decât fiecare dintre cele două unghiuri interioare neadiacente cu el.
• Suma celor trei unghiuri exterioare (câte unul în fiecare vârf) este mereu $360°$.

Greșeli frecvente

• Confuzia adiacent/neadiacent. Mulți adună din greșeală și unghiul interior din același vârf. NU! În sumă intră doar cele două unghiuri din celelalte vârfuri. Cel din vârful unghiului exterior este adiacent și se exclude.
• Cred că exterior = interior. Unghiul exterior NU este egal cu unghiul interior din același vârf; ele sunt suplementare. Sunt egale doar într-un caz special: când amândouă au $90°$ (interior drept).
• Suma 180° în loc de 360° la cele trei exterioare. Cele trei unghiuri interioare dau 180°; cele trei exterioare dau 360°. Nu le amesteca.
• Prelungesc greșit latura. Prelungirea se face dincolo de vârf, pe aceeași dreaptă cu latura, nu „în lateral". Dacă desenul nu arată trei puncte coliniare ($B$, $C$, $D$ în linie), unghiul nu este exterior.

Joc acasă

1. Construcția cu rigla. Desenează pe o foaie un triunghi $ABC$ oarecare. Cu rigla, prelungește pe rând fiecare latură dincolo de un vârf și colorează cele trei unghiuri exterioare. Măsoară-le cu raportorul, adună-le și verifică dacă obții aproximativ $360°$. (Mici diferențe vin de la măsurare.)

2. Verificarea teoremei cu raportorul. În același triunghi, măsoară unghiurile interioare $A$ și $B$, apoi măsoară direct unghiul exterior din $C$. Verifică dacă unghiul exterior din $C$ este aproape egal cu suma $A+B$. Notează rezultatele într-un mic tabel.

3. Triunghiul din benzi. Folosește trei creioane (sau bețe de înghețată) ca laturi ale unui triunghi, pe masă. Mută încet vârful de sus în jos, micșorând unghiul de acolo, și observă cum unghiul exterior corespunzător crește — exact ca două vase comunicante care împart 180°.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă două idei pe care copilul le cunoaște deja — suma unghiurilor unui triunghi (180°) și unghiurile suplementare — într-un rezultat nou și foarte util. Cheia înțelegerii este desenul corect: insistați ca elevul să prelungească latura dincolo de vârf, astfel încât trei puncte să fie coliniare. Fără acest desen, noțiunea de „neadiacent" rămâne abstractă.

Întrebări utile pe care le puteți pune:

• „Arată-mi pe desen care unghi este adiacent unghiului exterior și care sunt cele neadiacente."
• „Dacă mărim unghiul interior din vârf, ce se întâmplă cu unghiul exterior? De ce?"
• „Poți afla acest unghi exterior în două moduri? Dau ele același rezultat?"

Pentru a verifica înțelegerea, cereți-i să justifice teorema cu cele „două adevăruri de 180°" (suma unghiurilor și suplementarele), nu doar să o memoreze. Dacă elevul poate explica de ce $a+b=e$, atunci a înțeles cu adevărat. Încurajați obiceiul verificării (suma celor trei unghiuri să dea 180°) la finalul fiecărei probleme — este o autoverificare valoroasă pentru Evaluarea Națională.

Întrebări frecvente

Ce este unghiul exterior al unui triunghi în clasa a 6-a? Este unghiul format de o latură a triunghiului și de prelungirea unei alte laturi, dincolo de vârful lor comun. El se află în afara triunghiului și are vârful într-unul dintre vârfurile triunghiului.

Care este teorema unghiului exterior? Teorema unghiului exterior spune că măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu suma măsurilor celor două unghiuri interioare neadiacente cu el (cele din celelalte două vârfuri).

Ce înseamnă unghiuri interioare neadiacente? Sunt cele două unghiuri interioare ale triunghiului care NU se află în același vârf cu unghiul exterior. Unghiul interior care stă lângă cel exterior (în același vârf) se numește adiacent și nu intră în sumă.

De ce unghiul exterior și cel interior din același vârf sunt suplementare? Pentru că latura și prelungirea ei formează o linie dreaptă, adică un unghi de 180°. Unghiul interior și cel exterior împart împreună această linie, deci suma lor este 180°.

Cum aflu unghiul exterior dacă știu unghiul interior? Scazi unghiul interior din 180°. De exemplu, dacă unghiul interior are 70°, unghiul exterior are $180°-70°=110°$, deoarece cele două sunt suplementare.

Câte unghiuri exterioare are un triunghi? În fiecare vârf se pot forma două unghiuri exterioare opuse la vârf, deci congruente. Practic vorbim despre câte un unghi exterior (cu o singură valoare) în fiecare dintre cele trei vârfuri, iar suma celor trei este 360°.

Unghiul exterior este mai mare sau mai mic decât cel interior? Depinde. Dacă unghiul interior este ascuțit (sub 90°), exteriorul este obtuz și mai mare. Dacă interiorul este obtuz, exteriorul este ascuțit și mai mic. Dacă interiorul are exact 90°, atunci și exteriorul are 90° (sunt egale).

La ce îmi folosește teorema unghiului exterior? Te ajută să afli rapid o măsură de unghi fără să calculezi întâi toate unghiurile interioare. Apare des în probleme de geometrie, în demonstrații despre inegalități în triunghi și la subiectele de la Evaluarea Națională.