Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi

Ai desenat vreodată un triunghi pe o foaie și te-ai întrebat cât „adună" la un loc cele trei colțuri ale lui? Indiferent că este mic ca un vârf de creion sau mare cât toată pagina, ascuțit sau lăbărțat, răspunsul este mereu același număr magic: 180°. În această lecție vei descoperi de ce se întâmplă asta, vei învăța să afli un unghi al triunghiului când le cunoști pe celelalte și vei vedea ce se petrece special în triunghiul dreptunghic. Este una dintre cele mai folosite proprietăți din toată geometria — o vei întâlni la fiecare problemă cu triunghiuri de acum înainte.

Ce vei învăța

• Vei ști că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180°, oricare ar fi triunghiul.
• Vei ști să justifici intuitiv această teoremă, ducând o paralelă printr-un vârf.
• Vei ști să afli un unghi al triunghiului atunci când le cunoști pe celelalte două.
• Vei ști că în triunghiul dreptunghic cele două unghiuri ascuțite sunt complementare (adună 90°).
• Vei ști să rezolvi probleme în care unghiurile sunt date prin sume, diferențe sau rapoarte.

Hai să descoperim împreună

Un mic experiment cu hârtia

Înainte de orice formulă, hai să „simțim" rezultatul cu mâinile. Ia o foaie de hârtie și desenează un triunghi oarecare, cu vârfurile $A$, $B$ și $C$. Nu contează cum arată — fă-l strâmb, asimetric, cum vrei tu. Colorează fiecare colț (fiecare unghi) cu altă culoare: roșu la $A$, albastru la $B$, verde la $C$.

Acum rupe cu mâna cele trei colțuri ale triunghiului (fiecare colț cu unghiul lui). Așază-le unul lângă altul, vârf lângă vârf, pe o linie dreaptă, lipindu-le ca pe niște felii de pizza care pornesc din același punct.

Ce observi? Cele trei unghiuri, puse cap la cap, acoperă exact o linie dreaptă, fără să rămână goluri și fără să se suprapună. Iar o linie dreaptă reprezintă un unghi alungit, care are măsura de 180°. Așadar, cele trei unghiuri ale triunghiului adunate dau 180°. Repetă experimentul cu un alt triunghi, cu totul diferit — vei obține tot 180°. Asta nu e o întâmplare; este o teoremă.

Enunțul teoremei

Teoremă (suma unghiurilor unui triunghi): În orice triunghi, suma măsurilor celor trei unghiuri este egală cu 180°.

În limbaj simbolic, pentru un triunghi $ABC$:

$$m(\angle A)+m(\angle B)+m(\angle C)=180°$$

Adesea, ca să scriem mai scurt, notăm măsurile unghiurilor cu litere mici: $m(\angle A)=a$, $m(\angle B)=b$, $m(\angle C)=c$. Atunci teorema se scrie pe scurt:

$$a+b+c=180°$$

Cuvântul-cheie aici este „orice". Nu contează dacă triunghiul este ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic; dacă este mare sau mic; dacă este isoscel, echilateral sau oarecare. Suma este mereu 180°. Asta îți dă o putere uriașă: dacă știi două unghiuri, al treilea este deja decis — nu mai ai libertatea să-l alegi.

De ce 180°? Justificarea cu paralela dusă printr-un vârf

Experimentul cu hârtia ne-a convins. Dar la geometrie nu ne mulțumim doar să „vedem" — vrem să înțelegem de ce. Justificarea folosește o idee genială: ducem o dreaptă paralelă cu o latură, printr-un vârf.

Pornim de la triunghiul $ABC$. Prin vârful $A$ ducem o dreaptă $d$ paralelă cu latura $BC$ (adică $d\parallel BC$).

În vârful $A$, dreapta $d$ se desparte în două semidrepte. Latura $AB$ și latura $AC$ pornesc tot din $A$. Astfel, în jurul lui $A$, deasupra dreptei $d$, se formează trei unghiuri așezate unul lângă altul: să le numim $x$ (la stânga, între $d$ și $AB$), unghiul $A$ al triunghiului (la mijloc, între $AB$ și $AC$) și $y$ (la dreapta, între $AC$ și $d$).

Pentru că $x$, $\angle A$ și $y$ sunt unghiuri așezate unul lângă altul pe o dreaptă (dreapta $d$), suma lor este 180°:

$$x+m(\angle A)+y=180°(1)$$

Acum vine partea frumoasă. Folosim ce ai învățat în lecția despre unghiurile formate de două drepte paralele tăiate de o secantă:

• Latura $AB$ este o secantă care taie cele două drepte paralele $d$ și $BC$. Unghiul $x$ (la vârful $A$) și unghiul $B$ (la vârful $B$) sunt unghiuri alterne interne, deci sunt congruente: $x=m(\angle B)$.
• La fel, latura $AC$ este o secantă care taie $d$ și $BC$. Unghiul $y$ (la vârful $A$) și unghiul $C$ (la vârful $C$) sunt tot unghiuri alterne interne, deci $y=m(\angle C)$.

Înlocuim $x$ cu $m(\angle B)$ și $y$ cu $m(\angle C)$ în relația $(1)$:

$$m(\angle B)+m(\angle A)+m(\angle C)=180°$$

Adică exact ce voiam să arătăm:

$$m(\angle A)+m(\angle B)+m(\angle C)=180°$$

Gata! Am „demonstrat" că suma este 180°, folosind doar paralela printr-un vârf și unghiurile alterne interne. De acum poți folosi rezultatul cu deplină încredere la orice problemă.

Aflarea unui unghi când cunoști celelalte două

Aceasta este cea mai des întâlnită aplicație. Logica este foarte simplă: dacă cele trei unghiuri adună 180°, atunci unul dintre ele = 180° − (celelalte două).

$$m(\angle A)=180°-(m(\angle B)+m(\angle C))$$

Pas cu pas:

1. Aduni cele două unghiuri pe care le cunoști.
2. Scazi rezultatul din 180°.
3. Ai aflat al treilea unghi.

De exemplu, dacă într-un triunghi $m(\angle B)=70°$ și $m(\angle C)=50°$, atunci:

• Aduni: $70°+50°=120°$.
• Scazi: $180°-120°=60°$.
• Deci $m(\angle A)=60°$.

Verificare rapidă: $60°+70°+50°=180°$. Corect!

Ce se întâmplă în triunghiul dreptunghic

Un triunghi dreptunghic are un unghi drept, adică un unghi de 90°. Să-l numim $\angle A=90°$. Atunci, din teoremă:

$$90°+m(\angle B)+m(\angle C)=180°$$

Scădem 90° din ambele părți:

$$m(\angle B)+m(\angle C)=180°-90°=90°$$

Iată un rezultat foarte util de reținut:

Într-un triunghi dreptunghic, cele două unghiuri ascuțite sunt complementare (suma lor este 90°).

Îți amintești din lecția despre unghiuri complementare și suplementare că două unghiuri sunt complementare dacă adună 90°. Deci, în triunghiul dreptunghic, dacă știi un singur unghi ascuțit, îl afli imediat pe celălalt: îl scazi din 90°. De exemplu, dacă un unghi ascuțit are 35°, celălalt are $90°-35°=55°$.

Câteva consecințe pe care e bine să le observi

Teorema sumei ascunde câteva adevăruri pe care e util să le ții minte:

• Un triunghi nu poate avea două unghiuri drepte. Două unghiuri de 90° ar da deja 180°, iar al treilea ar trebui să fie 0° — imposibil pentru un unghi al triunghiului.
• Un triunghi nu poate avea două unghiuri obtuze. Două unghiuri mai mari de 90° ar depăși împreună 180°.
• Un triunghi are cel mult un unghi drept sau cel mult un unghi obtuz. Restul sunt mereu ascuțite. Deci orice triunghi are cel puțin două unghiuri ascuțite.
• În triunghiul echilateral, cele trei unghiuri sunt egale, deci fiecare are $180°:3=60°$.

Ține minte ideea de bază a întregii lecții, repetată cu alte cuvinte: oricare triunghi ai desena, cele trei unghiuri ale lui sunt „prinse" împreună de regula celor 180°. Dacă unul crește, celelalte trebuie să scadă, ca să rămână suma neschimbată. Triunghiul este, în acest sens, ca un buget fix de 180° pe care cele trei unghiuri și-l împart.

O analogie cu banii de buzunar

Imaginează-ți că ai exact 180 de lei pe care trebuie să-i împarți în trei plicuri: plicul $A$, plicul $B$ și plicul $C$. Cei 180 de lei reprezintă totalul fix (cele 180°), iar fiecare plic reprezintă un unghi. Poți pune cât vrei în fiecare plic, dar suma celor trei plicuri trebuie să fie mereu 180 de lei. Dacă pui mai mult într-un plic, îți rămâne mai puțin pentru celelalte două.

La fel se întâmplă și cu unghiurile: dacă „mărești" un unghi al triunghiului (de exemplu îl faci obtuz), atunci celelalte două trebuie să se „micșoreze", pentru că împreună toate trei nu pot depăși 180°. Iată de ce, dacă un triunghi are un unghi mare (obtuz), celelalte două sunt obligatoriu mici (ascuțite). Această imagine cu „bugetul fix" te va ajuta să-ți dai seama rapid când un set de unghiuri este posibil și când nu.

De ce este atât de utilă această teoremă

Poate te întrebi de ce insistăm atât pe o singură regulă. Răspunsul este că teorema sumei unghiurilor este una dintre uneltele de bază ale întregii geometrii care urmează. Iată câteva locuri unde o vei folosi:

• La clasificarea triunghiurilor după unghiuri (ascuțitunghic, dreptunghic, obtuzunghic): ca să decizi tipul, trebuie să cunoști toate unghiurile, iar pe al treilea îl afli mereu cu această teoremă.
• La problemele cu triunghiuri isoscele și echilaterale, unde două sau trei unghiuri sunt egale și suma de 180° îți permite să le afli pe toate dintr-o singură informație.
• Mai târziu, la unghiul exterior al unui triunghi și la suma unghiurilor unui patrulater (care, vei vedea, este $360°$, adică două triunghiuri lipite).
• În probleme practice: la acoperișuri, ferme metalice, plase de triunghiuri folosite în construcții și chiar în desenul tehnic, unde unghiurile trebuie să „se închidă" perfect.

Cu alte cuvinte, nu înveți o curiozitate izolată, ci o cheie pe care o vei folosi la aproape fiecare lecție de geometrie de aici înainte. Merită să o știi pe de rost și să o poți justifica.

Pași de lucru pe care îi vei folosi mereu

Ca să nu te încurci la probleme, ține minte rețeta de bază în patru pași:

1. Scrie teorema pentru triunghiul tău: $a+b+c=180°$.
2. Înlocuiește ce cunoști (numere sau expresii cu necunoscuta $x$).
3. Rezolvă ecuația care rezultă (adunări, scăderi, eventual împărțiri).
4. Verifică la final: adună cele trei unghiuri găsite și asigură-te că dau fix 180°.

Această rețetă funcționează la toate tipurile de probleme din lecție: când lipsește un unghi, când unghiurile sunt date prin sume și diferențe, când sunt proporționale sau când triunghiul este isoscel ori dreptunghic. Singurul lucru care se schimbă este forma ecuației de la pasul 2; restul rămâne la fel.

Cum traduci cuvintele problemei în ecuație

Cele mai multe greșeli la aceste probleme nu sunt de calcul, ci de traducere: nu reușești să transformi propoziția din română într-o expresie matematică. Dacă înveți câteva „traduceri" standard, jumătate din muncă e gata. Iată cele mai întâlnite, presupunând că unghiul de bază (cel mai mic, de obicei) îl notezi cu $x$:

• „un unghi este cu $k$ grade mai mare decât altul" → $x+k$ (de exemplu, cu $20°$ mai mare → $x+20°$);
• „un unghi este cu $k$ grade mai mic decât altul" → $x-k$;
• „un unghi este de $n$ ori mai mare decât altul" → $n\cdot x$ (de două ori mai mare → $2x$, de trei ori mai mare → $3x$);
• „două unghiuri egale" (ca la triunghiul isoscel) → le notezi pe amândouă cu același $x$;
• „unghiuri proporționale cu $p,q,r$" → $pk$, $qk$, $rk$, cu același $k$;
• „un unghi este jumătate din altul" → $\frac{x}{2}$;
• „triunghi dreptunghic" → unul dintre unghiuri este $90°$, pe care îl pui direct în ecuație.

După ce ai scris fiecare unghi în funcție de $x$, le aduni, pui suma egală cu $180°$ și rezolvi. Trucul este să citești problema rar, frază cu frază, și să notezi pe margine traducerea fiecărei informații înainte de a aduna. Vei vedea acest tipar repetat în exemplele de mai jos.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — aflarea unghiului al treilea

Într-un triunghi $MNP$ se cunosc $m(\angle M)=64°$ și $m(\angle N)=81°$. Cât măsoară $\angle P$?

Rezolvare. Știm că suma celor trei unghiuri este 180°. Adunăm întâi unghiurile cunoscute: $$64°+81°=145°.$$ Apoi scădem din 180°: $$m(\angle P)=180°-145°=35°.$$ Verificare: $64°+81°+35°=180°$. ✔ Răspuns: $m(\angle P)=35°$.

Exemplul 2 — triunghi dreptunghic

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ (adică $m(\angle A)=90°$) și are $m(\angle B)=27°$. Cât măsoară $\angle C$?

Rezolvare. Într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite sunt complementare, deci adună 90°: $$m(\angle B)+m(\angle C)=90°.$$ De aici: $$m(\angle C)=90°-27°=63°.$$ Verificare: $90°+27°+63°=180°$. ✔ Răspuns: $m(\angle C)=63°$. (Puteam afla la fel și scăzând direct din 180°: $180°-90°-27°=63°$.)

Exemplul 3 — un unghi mai mare cu 20° decât altul

Într-un triunghi, unghiul $A$ este cu 20° mai mare decât unghiul $B$, iar unghiul $C$ are 80°. Află $\angle A$ și $\angle B$.

Rezolvare. Notăm $m(\angle B)=b$. Atunci $m(\angle A)=b+20°$. Folosim teorema: $$m(\angle A)+m(\angle B)+m(\angle C)=180°$$ $$(b+20°)+b+80°=180°$$ $$2b+100°=180°$$ $$2b=80°\Rightarrow b=40°.$$ Deci $m(\angle B)=40°$ și $m(\angle A)=40°+20°=60°$. Verificare: $60°+40°+80°=180°$. ✔ Răspuns: $m(\angle A)=60°$, $m(\angle B)=40°$.

Exemplul 4 — unghiuri proporționale

Unghiurile unui triunghi sunt direct proporționale cu numerele 2, 3 și 4. Cât măsoară fiecare unghi?

Rezolvare. „Proporționale cu 2, 3, 4" înseamnă că măsurile sunt $2k$, $3k$ și $4k$, unde $k$ este o valoare comună (aici exprimată în grade). Suma lor este 180°: $$2k+3k+4k=180°$$ $$9k=180°\Rightarrow k=20°.$$ Atunci unghiurile sunt: $$2k=40°,3k=60°,4k=80°.$$ Verificare: $40°+60°+80°=180°$. ✔ Răspuns: unghiurile au $40°$, $60°$ și $80°$.

Exemplul 5 — triunghi isoscel

Într-un triunghi isoscel, unghiul de la vârf are 50°. Cele două unghiuri de la bază sunt egale între ele. Cât măsoară fiecare?

Rezolvare. Triunghiul isoscel are două unghiuri egale (cele de la bază). Notăm fiecare cu $x$. Suma celor trei unghiuri este 180°, iar unghiul de la vârf are 50°: $$50°+x+x=180°$$ $$50°+2x=180°$$ $$2x=130°\Rightarrow x=65°.$$ Verificare: $50°+65°+65°=180°$. ✔ Răspuns: fiecare unghi de la bază are $65°$.

Exemplul 6 — verificarea existenței unui triunghi

Poate exista un triunghi cu unghiurile de 95°, 70° și 20°?

Rezolvare. Verificăm dacă suma dă 180°: $$95°+70°+20°=185°.$$ Suma este 185°, diferită de 180°. Prin urmare, nu poate exista un astfel de triunghi. Răspuns: Nu, deoarece suma unghiurilor unui triunghi trebuie să fie fix 180°, iar aici se obține 185°.

Exemplul 7 — un unghi exprimat în funcție de altul

Într-un triunghi $ABC$, unghiul $B$ este de trei ori mai mare decât unghiul $A$, iar unghiul $C$ este cu $20°$ mai mare decât unghiul $A$. Află cele trei unghiuri.

Rezolvare. Pornim de la cel mai „mic" unghi și exprimăm totul în funcție de el. Notăm $m(\angle A)=a$. Atunci:

• $m(\angle B)=3a$ (de trei ori mai mare),
• $m(\angle C)=a+20°$ (cu $20°$ mai mare).

Aplicăm teorema: $$a+3a+(a+20°)=180°$$ $$5a+20°=180°$$ $$5a=160°\Rightarrow a=32°.$$ Acum aflăm fiecare unghi: $$m(\angle A)=32°,m(\angle B)=3\cdot 32°=96°,m(\angle C)=32°+20°=52°.$$ Verificare: $32°+96°+52°=180°$. ✔ Observă că triunghiul are un unghi obtuz ($96°$), deci este obtuzunghic. Răspuns: $32°$, $96°$ și $52°$.

Exemplul 8 — relație între unghiurile ascuțite ale unui dreptunghic

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$. Unghiul $B$ este cu $16°$ mai mare decât unghiul $C$. Află $m(\angle B)$ și $m(\angle C)$.

Rezolvare. Pentru că triunghiul este dreptunghic în $A$, cele două unghiuri ascuțite sunt complementare: $m(\angle B)+m(\angle C)=90°$. Notăm $m(\angle C)=x$; atunci $m(\angle B)=x+16°$ (cu $16°$ mai mare). Înlocuim: $$(x+16°)+x=90°$$ $$2x+16°=90°$$ $$2x=74°\Rightarrow x=37°.$$ Deci $m(\angle C)=37°$ și $m(\angle B)=37°+16°=53°$. Verificare: $90°+53°+37°=180°$. ✔ Răspuns: $m(\angle B)=53°$, $m(\angle C)=37°$.

Exemplul 9 — o problemă din viața reală (acoperișul)

Acoperișul unei case are forma unui triunghi isoscel. Cele două unghiuri de la bază (la streașină) sunt egale și au fiecare $35°$. Cât măsoară unghiul din vârful acoperișului?

Rezolvare. Notăm unghiul din vârf cu $v$. Cele două unghiuri de la bază au împreună $35°+35°=70°$. Din teoremă: $$v+35°+35°=180°$$ $$v+70°=180°$$ $$v=180°-70°=110°.$$ Verificare: $110°+35°+35°=180°$. ✔ Unghiul din vârf este obtuz, deci acoperișul este, după unghiuri, un triunghi obtuzunghic. Răspuns: unghiul din vârful acoperișului are $110°$.

Exemplul 10 — unghiuri date prin sumă și diferență

Suma a două unghiuri ale unui triunghi este $130°$, iar diferența lor este $30°$. Află toate cele trei unghiuri ale triunghiului.

Rezolvare. Mai întâi aflăm al treilea unghi, pentru că totalul este $180°$: dacă două dintre ele adună $130°$, atunci al treilea are $$180°-130°=50°.$$ Acum aflăm cele două unghiuri care adună $130°$ și diferă cu $30°$. Cel mai mare este jumătate din sumă plus jumătate din diferență: $$\text{cel mare}=\frac{130°+30°}{2}=\frac{160°}{2}=80°,$$ $$\text{cel mic}=\frac{130°-30°}{2}=\frac{100°}{2}=50°.$$ Verificare: cele două adună $80°+50°=130°$ ✔ și diferă cu $80°-50°=30°$ ✔; împreună cu al treilea: $80°+50°+50°=180°$ ✔. Răspuns: unghiurile au $80°$, $50°$ și $50°$ (triunghiul este chiar isoscel, fiindcă are două unghiuri egale de $50°$).

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde ți se cere, desenează triunghiul și notează măsurile.

1. Într-un triunghi $ABC$, $m(\angle A)=50°$ și $m(\angle B)=60°$. Cât este $m(\angle C)$?

2. Un triunghi are unghiurile de $33°$ și $47°$. Află al treilea unghi.

3. Completează: în orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor este ________°.

4. Triunghiul $DEF$ este dreptunghic în $D$ și are $m(\angle E)=38°$. Cât este $m(\angle F)$?

5. Adevărat sau fals? Un triunghi poate avea unghiurile de $90°$, $60°$ și $40°$.

6. Adevărat sau fals? Într-un triunghi dreptunghic, cele două unghiuri ascuțite sunt suplementare.

7. Încercuiește triunghiul imposibil:   a) $70°,70°,50°$    b) $100°,50°,30°$    c) $90°,45°,45°$

8. Două unghiuri ale unui triunghi au împreună $118°$. Cât are al treilea?

9. Într-un triunghi echilateral, cât măsoară fiecare unghi? Explică în cuvinte.

10. Un triunghi dreptunghic are un unghi ascuțit de $52°$. Află celălalt unghi ascuțit.

11. Într-un triunghi, unghiul $B$ este de două ori mai mare decât unghiul $A$, iar $m(\angle C)=90°$. Află $m(\angle A)$ și $m(\angle B)$.

12. Potrivește fiecare triunghi cu eticheta corectă (după unghiuri):   A: $80°,60°,40°$   B: $90°,35°,55°$   C: $120°,40°,20°$   Etichete: dreptunghic, obtuzunghic, ascuțitunghic.

13. Unghiurile unui triunghi sunt proporționale cu $1,2,3$. Cât măsoară fiecare? Ce fel de triunghi este (după unghiuri)?

14. Într-un triunghi isoscel, fiecare unghi de la bază are $72°$. Cât are unghiul de la vârf?

15. Suma a două unghiuri ale unui triunghi este egală cu al treilea unghi. Cât măsoară al treilea unghi? (Indiciu: notează al treilea unghi cu $x$.)

16. Desenează un triunghi, măsoară cu raportorul cele trei unghiuri și adună-le. Cât de aproape de $180°$ ai ajuns? Explică de ce poate apărea o mică diferență.

17. Într-un triunghi $ABC$, $m(\angle A)=2x$, $m(\angle B)=3x$ și $m(\angle C)=4x$. Află $x$ și apoi cele trei unghiuri.

18. Un unghi al unui triunghi are $40°$. Celelalte două sunt egale între ele. Cât măsoară fiecare dintre ele?

19. Într-un triunghi $ABC$, unghiul $A$ este de trei ori mai mare decât unghiul $C$, iar unghiul $B$ are $80°$. Află $m(\angle A)$ și $m(\angle C)$.

20. Adevărat sau fals? Există un triunghi cu toate cele trei unghiuri egale cu $60°$. Justifică.

Răspunsuri și explicații

1. $m(\angle C)=180°-(50°+60°)=180°-110°=70°$.

2. $180°-(33°+47°)=180°-80°=100°$.

3. $180$ (grade). Este teorema sumei unghiurilor unui triunghi.

4. Triunghi dreptunghic în $D$, deci $\angle E$ și $\angle F$ sunt complementare: $m(\angle F)=90°-38°=52°$.

5. Fals. $90°+60°+40°=190°\ne 180°$. Un astfel de triunghi nu există.

6. Fals. Sunt complementare (adună $90°$), nu suplementare. Suplementare ar însemna $180°$, ceea ce ar lăsa unghiul drept fără „loc".

7. Imposibil este a): $70°+70°+50°=190°\ne 180°$, deci un astfel de triunghi nu poate exista. Verificăm și celelalte două: b) $100°+50°+30°=180°$ ✔ (posibil), c) $90°+45°+45°=180°$ ✔ (posibil). Reține lecția ascunsă: nu te lăsa păcălit de cum „arată" numerele — adună-le mereu și compară cu $180°$.

8. $180°-118°=62°$.

9. Fiecare unghi are $60°$, deoarece cele trei unghiuri sunt egale și $180°:3=60°$.

10. Unghiurile ascuțite sunt complementare: $90°-52°=38°$.

11. Notăm $m(\angle A)=a$, atunci $m(\angle B)=2a$. Avem $a+2a+90°=180°$, deci $3a=90°$, $a=30°$. Așadar $m(\angle A)=30°$ și $m(\angle B)=60°$.

12. A ($80°,60°,40°$, toate sub $90°$) → ascuțitunghic; B (are $90°$) → dreptunghic; C (are $120°>90°$) → obtuzunghic.

13. Unghiurile sunt $1k,2k,3k$, cu $1k+2k+3k=6k=180°$, deci $k=30°$. Unghiurile sunt $30°,60°,90°$ — triunghi dreptunghic.

14. $180°-(72°+72°)=180°-144°=36°$.

15. Fie al treilea unghi $x$. Atunci primele două adună tot $x$, iar suma totală este $x+x=2x=180°$, deci $x=90°$. Al treilea unghi are $90°$ (triunghiul este dreptunghic).

16. În teorie suma este exact $180°$. În practică poți obține, de exemplu, $179°$ sau $181°$ din cauza micilor erori de citire a raportorului și de desen. Diferența mică confirmă, de fapt, teorema.

17. $2x+3x+4x=9x=180°$, deci $x=20°$. Unghiurile sunt $40°,60°,80°$.

18. Fie fiecare dintre cele două unghiuri egale $x$. Atunci $40°+x+x=180°$, deci $2x=140°$, $x=70°$. Fiecare are $70°$.

19. Notăm $m(\angle C)=c$, atunci $m(\angle A)=3c$. Avem $3c+80°+c=180°$, deci $4c=100°$, $c=25°$. Așadar $m(\angle C)=25°$ și $m(\angle A)=75°$.

20. Adevărat. $60°+60°+60°=180°$, deci suma este corectă; este chiar triunghiul echilateral.

De reținut

• În orice triunghi, $m(\angle A)+m(\angle B)+m(\angle C)=180°$.
• Un unghi necunoscut se află scăzând din $180°$ suma celorlalte două: $180°-(\text{unghi}+\text{unghi})$.
• În triunghiul dreptunghic, cele două unghiuri ascuțite sunt complementare (adună $90°$).
• Justificarea folosește o paralelă dusă printr-un vârf și unghiurile alterne interne.
• Un triunghi nu poate avea două unghiuri drepte sau două obtuze; are mereu cel puțin două unghiuri ascuțite.

Greșeli frecvente

• Confuzia 180° cu 360°. Suma unghiurilor unui triunghi este $180°$, nu $360°$. (Cei $360°$ apar la unghiurile din jurul unui punct sau la patrulater, nu la triunghi.) Reține: triunghi → $180°$.
• „Complementar" în loc de „suplementar" (și invers). În triunghiul dreptunghic, unghiurile ascuțite sunt complementare (adună $90°$), nu suplementare. Verifică: dacă ar aduna $180°$, n-ar mai rămâne loc pentru unghiul drept.
• Uiți să verifici suma. Înainte să accepți un set de unghiuri ca fiind ale unui triunghi, adună-le: dacă nu dau exact $180°$, triunghiul nu există. Mereu verifică la final.
• Greșeli de scădere din 180°. Scrie operația pe caiet, nu „din cap": $180°-(\text{suma celor doua˘})$. O scădere greșită strică tot rezultatul.

Joc acasă

1. Triunghiul rupt. Decupează din carton trei triunghiuri diferite (mic, mare, strâmb). La fiecare, rupe cele trei colțuri și lipește-le pe o foaie, vârf lângă vârf, pe o linie dreaptă. De fiecare dată ar trebui să acopere exact o dreaptă (un unghi de $180°$). Notează ce observi pentru toate trei.

2. Detectivul de unghiuri. Caută prin casă obiecte triunghiulare: un colț de echer, o felie de pizza, un triunghi muzical, un semn rutier triunghiular dintr-o poză. Pentru fiecare, măsoară cu raportorul două unghiuri și „ghicește" al treilea folosind regula celor $180°$. Apoi măsoară-l ca să verifici cât de bun detectiv ai fost.

3. Provocarea celor 60°. Desenează un triunghi echilateral cu rigla și raportorul, în care fiecare unghi să aibă exact $60°$. Compară cu un triunghi desenat „din ochi" și vezi cât de aproape de $60°$ ai nimerit. Cine din familie desenează echilateralul cel mai precis?

Pentru părinți și învățători

Această lecție introduce una dintre cele mai folosite teoreme din geometria de gimnaziu. Recomandăm să porniți de la experimentul cu hârtia (ruperea colțurilor), pentru că oferă o convingere fizică, palpabilă, înainte de raționamentul formal. Abia după ce copilul „vede" rezultatul, treceți la justificarea cu paralela printr-un vârf, care se sprijină pe unghiurile alterne interne studiate la paralelism.

Întrebări utile pe care le puteți pune:

• „Dacă mărim un unghi al triunghiului, ce trebuie să se întâmple cu celelalte ca suma să rămână $180°$?" (Răspuns: împreună trebuie să scadă cu același număr de grade.)
• „De ce un triunghi nu poate avea două unghiuri drepte?" (Două de $90°$ dau deja $180°$, nu mai rămâne nimic pentru al treilea.)
• „În triunghiul dreptunghic, dacă un unghi ascuțit are $40°$, cât are celălalt?" (Răspuns: $50°$, fiindcă adună $90°$.)

Verificați înțelegerea cerând copilului să inventeze el un triunghi cu suma corectă și apoi unul „imposibil", explicând de ce. Dacă apar greșeli, cel mai des sunt erori de scădere din $180°$ sau confuzia complementar/suplementar — insistați pe scrierea operației pe caiet și pe verificarea finală a sumei. Conexiuni utile: lecția despre unghiuri complementare și suplementare și cea despre unghiurile formate de paralele cu o secantă.

Întrebări frecvente

Cât este suma unghiurilor unui triunghi? Suma măsurilor celor trei unghiuri ale oricărui triunghi este exact $180°$. Această regulă este valabilă pentru orice triunghi, indiferent de formă sau de mărime.

De ce suma unghiurilor unui triunghi este 180°? Pentru că, dacă ducem printr-un vârf o dreaptă paralelă cu latura opusă, cele trei unghiuri ale triunghiului „se mută" pe acea dreaptă (prin unghiuri alterne interne) și acoperă exact un unghi alungit, care are $180°$. Așa se justifică teorema.

Cum aflu un unghi al triunghiului dacă le știu pe celelalte două? Aduni cele două unghiuri cunoscute și scazi rezultatul din $180°$. De exemplu, dacă două unghiuri au $70°$ și $50°$, al treilea are $180°-120°=60°$.

Cât adună cele două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic? Adună $90°$, deci sunt unghiuri complementare. Asta se întâmplă pentru că unghiul drept ia deja $90°$ din cei $180°$ totali, iar restul de $90°$ se împarte între cele două unghiuri ascuțite.

Poate un triunghi să aibă două unghiuri drepte? Nu. Două unghiuri de $90°$ adună deja $180°$, ceea ce nu lasă niciun grad pentru al treilea unghi. Orice triunghi are cel mult un unghi drept.

Cât are fiecare unghi într-un triunghi echilateral? Fiecare unghi are $60°$, fiindcă cele trei unghiuri sunt egale, iar $180°:3=60°$.

Cum verific dacă trei valori pot fi unghiurile unui triunghi? Le aduni: dacă suma este exact $180°$, ele pot fi unghiurile unui triunghi; dacă suma este altceva (mai mult sau mai puțin de $180°$), un astfel de triunghi nu poate exista.

Suma unghiurilor depinde de mărimea triunghiului? Nu. Fie triunghiul mic cât o monedă, fie mare cât un teren de sport, suma unghiurilor lui rămâne mereu $180°$. Mărimea schimbă lungimile laturilor, nu suma unghiurilor.