Înmulțirea cu un număr de două cifre

Bine ai venit la una dintre cele mai utile lecții de matematică din clasa a IV-a! Până acum ai învățat să înmulțești un număr mare cu un număr de o singură cifră. Astăzi facem un pas mai departe și învățăm înmulțirea cu un număr de două cifre, cum ar fi 34 · 12. Pare mai greu, dar îți promit un secret: tot ce ai nevoie știi deja! Vom împărți înmulțirea cea mare în două înmulțiri mici și apoi le adunăm. Hai să descoperim împreună cum funcționează acest mic truc puternic.

Ce vei învăța

• Vei ști să înmulțești un număr de două sau trei cifre cu un număr de două cifre.
• Vei ști să calculezi produsele parțiale: mai întâi cu unitățile, apoi cu zecile.
• Vei ști de ce al doilea rând se scrie decalat (mutat cu o căsuță spre stânga).
• Vei ști să aduni produsele parțiale ca să afli rezultatul final.
• Vei înțelege legătura cu distributivitatea: 34 · 12 = 34 · 10 + 34 · 2.

Hai să descoperim împreună

O poveste ca să pornim

Maria are o grădină cu lalele. Ea le plantează frumos, în rânduri. Sunt 12 rânduri, iar în fiecare rând pune câte 34 de lalele. Câte lalele are în total grădina Mariei?

Ca să afli, trebuie să calculezi 34 · 12. Adică „de 12 ori câte 34". Dacă ar fi fost doar 34 · 2, ai fi rezolvat în câteva secunde. Dar 34 · 12? Aici intervine ideea genială a lecției de azi.

Marele secret: spargem numărul în bucăți

Numărul 12 este format din 1 zece și 2 unități. Adică 12 = 10 + 2.

Atunci „de 12 ori câte 34" înseamnă de fapt „de 10 ori câte 34" plus „de 2 ori câte 34". Scriem așa:

34 · 12 = 34 · 10 + 34 · 2

Aceasta se numește distributivitate — un cuvânt mare pentru o idee simplă: putem împrăștia (distribui) înmulțirea pe bucățile numărului. Ai mai văzut acest truc în lecția Proprietățile înmulțirii și distributivitatea.

Hai să calculăm cele două bucăți:

• 34 · 2 = 68 (de 2 ori câte 34)
• 34 · 10 = 340 (de 10 ori câte 34 — adaugi un zero, ca în lecția Înmulțirea cu 10, 100 și 1000)

Acum le adunăm:

68 + 340 = 408

Deci 34 · 12 = 408. Grădina Mariei are 408 lalele! Vezi? Nu a fost magie, doar două înmulțiri mici și o adunare.

Cele două bucăți se numesc produse parțiale

Fii atent la un cuvânt nou, foarte important în lecția de azi: produse parțiale.

• „Produs" înseamnă rezultatul unei înmulțiri.
• „Parțial" înseamnă „o parte, nu tot".

Deci produsele parțiale sunt rezultatele celor două înmulțiri mici. La exemplul nostru:

• Primul produs parțial este 68 (când înmulțim cu unitățile, adică cu 2).
• Al doilea produs parțial este 340 (când înmulțim cu zecile, adică cu 10).

La sfârșit, adunăm produsele parțiale și obținem produsul final: 408.

Cum așezăm înmulțirea în coloană

Tu știi deja să așezi numerele unul sub altul, frumos, pe ordine — unități sub unități, zeci sub zeci. Ai folosit asta la înmulțirea unui număr mare cu o cifră. Acum facem la fel, dar avem două rânduri de produse parțiale.

Iată cum arată calculul 34 · 12 în coloană:

      3 4
   ×  1 2
   -------
      6 8   ← 34 · 2  (înmulțim cu unitățile)
    3 4 0   ← 34 · 10 (înmulțim cu zecile, decalat)
   -------
    4 0 8   ← adunăm produsele parțiale

De ce al doilea rând este decalat (mutat spre stânga)?

Aceasta este întrebarea cea mai importantă din lecție, așa că o explicăm rar și clar.

Când înmulțim cu cifra zecilor (cu 2 din 12, care de fapt valorează 20, pentru că stă la locul zecilor), rezultatul adevărat nu este 68, ci 680. De aceea trebuie să mutăm rândul cu o căsuță spre stânga: ca să arătăm că acolo se ascunde un zero la unități.

Mulți copii preferă să scrie chiar acel zero, ca să nu greșească:

      3 4
   ×  1 2
   -------
      6 8   ← 34 · 2
    6 8 0   ← 34 · 20  (am scris zeroul la unități!)
   -------
    7 4 8 ?

Stai puțin! Aici am scris 34 · 20, dar mai sus aveam 34 · 10. Care e corect? Hai să fim foarte atenți, pentru că este locul unde greșim cel mai des.

În 34 · 12, cifra zecilor este 1 (un singur zece). Deci trebuie să înmulțim 34 · 1 = 34, iar apoi adăugăm zeroul: 340. NU 34 · 2. Cifra 2 sunt unitățile, cifra 1 sunt zecile. Atenție mare la ce cifră folosești!

Corect este așa:

      3 4
   ×  1 2
   -------
      6 8   ← 34 · 2 (unitățile: cifra 2)
    3 4 0   ← 34 · 1, apoi adaug zeroul = 340 (zecile: cifra 1)
   -------
    4 0 8

Pașii pe care îi urmezi de fiecare dată

Hai să strângem totul într-o rețetă scurtă, ca o rețetă de prăjitură. Urmează mereu acești pași:

1. Așază numerele în coloană, unul sub altul, pe ordine.
2. Înmulțește cu cifra unităților (cifra din dreapta a numărului de jos). Scrie rezultatul — acesta este primul produs parțial.
3. Pune un zero pe rândul de dedesubt, la locul unităților (sau lasă acea căsuță goală).
4. Înmulțește cu cifra zecilor (cifra din stânga a numărului de jos). Scrie rezultatul după zero — acesta este al doilea produs parțial.
5. Adună cele două produse parțiale. Gata, ai produsul final!

Să mai facem unul împreună, încet

Calculăm 27 · 13.

Pasul 1 — așezăm:

      2 7
   ×  1 3

Pasul 2 — înmulțim cu unitățile (cu 3): 27 · 3 = 81. Scriem 81.

      2 7
   ×  1 3
   -------
      8 1   ← 27 · 3

Pasul 3 — punem un zero pe rândul următor, la unități.

Pasul 4 — înmulțim cu zecile (cu 1): 27 · 1 = 27. Scriem 27 în fața zeroului, deci 270.

      2 7
   ×  1 3
   -------
      8 1   ← 27 · 3
    2 7 0   ← 27 · 1, cu zero la unități = 270

Pasul 5 — adunăm produsele parțiale: 81 + 270 = 351.

      2 7
   ×  1 3
   -------
      8 1
    2 7 0
   -------
    3 5 1

Deci 27 · 13 = 351. Bravo! Ai stăpânit deja jumătate din lecție.

Încă unul, ca să prinzi bine ritmul

Hai să mai facem unul împreună, fără grabă: 42 · 23.

Pasul 1 — așezăm numerele unul sub altul:

      4 2
   ×  2 3

Pasul 2 — înmulțim cu unitățile (cu 3): 42 · 3 = 126. Cum gândim? 2 · 3 = 6 (scriem 6), apoi 4 · 3 = 12 (scriem 12). Iese 126. Acesta este primul produs parțial.

Pasul 3 — punem un zero la rândul de jos, la locul unităților.

Pasul 4 — înmulțim cu zecile (cu 2): 42 · 2 = 84. Scriem 84 în fața zeroului, deci 840. Acesta este al doilea produs parțial.

Pasul 5 — adunăm: 126 + 840 = 966.

      4 2
   ×  2 3
   -------
    1 2 6   ← 42 · 3
    8 4 0   ← 42 · 2, cu zero = 840
   -------
    9 6 6

Deci 42 · 23 = 966. Ai văzut? Mereu aceiași 5 pași, ca o melodie pe care o știi deja pe de rost. Cu cât exersezi mai mult, cu atât mâna ta merge singură.

Trucul: scrii numărul mai mare deasupra

Un mic sfat de la matematicieni: când înmulțești, e mai comod să pui numărul mai mare deasupra și pe cel mai mic dedesubt. De ce? Pentru că atunci ai de făcut mai puține produse parțiale lungi. La 12 · 34, e mai ușor să calculezi 34 · 12 decât 12 · 34 — rezultatul este același, fiindcă înmulțirea nu se schimbă dacă schimbi locul factorilor (34 · 12 = 12 · 34 = 408). Asta ai învățat în lecția Proprietățile înmulțirii: înmulțirea este comutativă.

Verificăm cu o estimare (ca să prindem greșelile)

Înainte sau după ce calculezi, e bine să estimezi rezultatul. Adică să ghicești cam cât ar trebui să iasă, rotunjind. La 27 · 13, gândim: „27 e aproape de 30, 13 e aproape de 10... deci undeva pe la 30 · 10 = 300". Noi am obținut 351, aproape de 300 — pare corect! Dacă ne-ar fi ieșit 35 sau 3510, am ști imediat că am greșit ceva. Vei învăța mai multe despre asta în lecția Estimarea ordinului de mărime a unui produs.

Și dacă numărul de sus are trei cifre?

Vestea bună: pașii sunt exact aceiași! Doar că înmulțim un număr de trei cifre. De exemplu 123 · 14:

• 123 · 4 = 492 (primul produs parțial)
• 123 · 1 = 123, cu zero la unități → 1230 (al doilea produs parțial)
• 492 + 1230 = 1722

Deci 123 · 14 = 1722. Vom mai exersa în exemplele de mai jos. Înmulțirea cu numere și mai mari o vei vedea în lecția următoare, Înmulțirea când factorii au cel mult trei cifre.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: 46 · 21

Gândim pas cu pas. Cifra unităților lui 21 este 1, cifra zecilor este 2.

• Înmulțim cu unitățile: 46 · 1 = 46.
• Înmulțim cu zecile: 46 · 2 = 92, cu zero la unități → 920.
• Adunăm: 46 + 920 = 966.

      4 6
   ×  2 1
   -------
      4 6   ← 46 · 1
    9 2 0   ← 46 · 2, cu zero = 920
   -------
    9 6 6

Răspuns: 46 · 21 = 966. (Estimare: 50 · 20 = 1000, aproape — corect!)

Exemplul 2: 58 · 25

• Unitățile lui 25 sunt 5: 58 · 5 = 290.
• Zecile sunt 2: 58 · 2 = 116, cu zero → 1160.
• Adunăm: 290 + 1160 = 1450.

      5 8
   ×  2 5
   -------
    2 9 0   ← 58 · 5
  1 1 6 0   ← 58 · 2, cu zero = 1160
   -------
  1 4 5 0

Răspuns: 58 · 25 = 1450.

Exemplul 3: 73 · 30 (un zero la coadă)

Când numărul de jos se termină în zero, putem fi isteți. 73 · 30 înseamnă 73 · 3 și apoi un zero la coadă.

• 73 · 3 = 219
• Adăugăm zeroul: 2190

Răspuns: 73 · 30 = 2190. (Produsul parțial cu unitățile este 0, fiindcă 73 · 0 = 0, așa că putem sări direct la trucul cu zeroul.)

Exemplul 4: 123 · 14 (număr de trei cifre)

• Unitățile lui 14 sunt 4: 123 · 4 = 492.
• Zecile sunt 1: 123 · 1 = 123, cu zero → 1230.
• Adunăm: 492 + 1230 = 1722.

    1 2 3
  ×    1 4
  ---------
    4 9 2   ← 123 · 4
  1 2 3 0   ← 123 · 1, cu zero = 1230
  ---------
  1 7 2 2

Răspuns: 123 · 14 = 1722.

Exemplul 5: 205 · 32 (cu un zero în interior)

• Unitățile lui 32 sunt 2: 205 · 2 = 410.
• Zecile sunt 3: 205 · 3 = 615, cu zero → 6150.
• Adunăm: 410 + 6150 = 6560.

    2 0 5
  ×    3 2
  ---------
    4 1 0   ← 205 · 2
  6 1 5 0   ← 205 · 3, cu zero = 6150
  ---------
  6 5 6 0

Răspuns: 205 · 32 = 6560.

Exemplul 6: O mică problemă

O cutie de creioane colorate conține 18 creioane. Doamna învățătoare cumpără 24 de cutii pentru clasă. Câte creioane sunt în total?

Calculăm 18 · 24:

• Unitățile lui 24 sunt 4: 18 · 4 = 72.
• Zecile sunt 2: 18 · 2 = 36, cu zero → 360.
• Adunăm: 72 + 360 = 432.

Răspuns: În total sunt 18 · 24 = 432 de creioane colorate. (Estimare: 20 · 24 = 480, aproape — corect!)

Să exersăm

Ia un caiet cu pătrățele și un creion. Așază fiecare înmulțire în coloană și calculează produsele parțiale. Mergem de la ușor la greu.

1. Calculează: 21 · 13 = ?

2. Calculează: 32 · 12 = ?

3. Calculează: 14 · 21 = ?

4. Calculează: 43 · 22 = ?

5. Calculează: 26 · 31 = ?

6. Completează produsele parțiale pentru 35 · 14: 35 · 4 = \_\_\_ ; 35 · 10 = \_\_\_ ; suma = \_\_\_

7. Calculează: 47 · 15 = ?

8. Calculează: 52 · 24 = ?

9. Calculează: 68 · 30 = ?

10. Adevărat sau Fals? În 56 · 13, primul produs parțial (cu unitățile) este 56 · 1 = 56.

11. Încercuiește răspunsul corect pentru 25 · 16: a) 400 b) 410 c) 4000

12. Calculează (număr de trei cifre): 112 · 13 = ?

13. Calculează: 124 · 21 = ?

14. Calculează: 203 · 14 = ?

15. Problemă. Un autocar are 45 de locuri. Câți pasageri pot călători în 23 de autocare pline?

16. Problemă. O carte are 96 de pagini. Câte pagini au în total 12 cărți la fel?

17. Problemă. Ana economisește câte 15 lei pe lună. Câți lei strânge în 24 de luni (2 ani)?

18. Provocare. Fără să calculezi exact, estimează: 38 · 19 este mai aproape de 400, de 800 sau de 4000?

19. Potrivește fiecare înmulțire cu rezultatul ei: a) 25 · 12 b) 30 · 14 c) 16 · 25 Rezultate de potrivit: 400 ; 300 ; 420

20. Problemă. O grădiniță primește 18 lăzi cu mere. În fiecare ladă sunt 35 de mere. Câte mere a primit grădinița în total?

21. Adevărat sau Fals? 34 · 12 este același lucru cu 12 · 34.

Răspunsuri și explicații

1. 21 · 13 = 273. Produse parțiale: 21 · 3 = 63 și 21 · 10 = 210; 63 + 210 = 273.

2. 32 · 12 = 384. 32 · 2 = 64 și 32 · 10 = 320; 64 + 320 = 384.

3. 14 · 21 = 294. 14 · 1 = 14 și 14 · 20 = 280; 14 + 280 = 294.

4. 43 · 22 = 946. 43 · 2 = 86 și 43 · 20 = 860; 86 + 860 = 946.

5. 26 · 31 = 806. 26 · 1 = 26 și 26 · 30 = 780; 26 + 780 = 806.

6. 35 · 4 = 140; 35 · 10 = 350; suma = 140 + 350 = 490. Deci 35 · 14 = 490.

7. 47 · 15 = 705. 47 · 5 = 235 și 47 · 10 = 470; 235 + 470 = 705.

8. 52 · 24 = 1248. 52 · 4 = 208 și 52 · 20 = 1040; 208 + 1040 = 1248.

9. 68 · 30 = 2040. Truc: 68 · 3 = 204, apoi adaug un zero → 2040.

10. Fals. Atenție! Unitățile lui 13 sunt cifra 3, nu 1. Primul produs parțial este 56 · 3 = 168. Cifra 1 reprezintă zecile.

11. Răspuns corect: a) 400. 25 · 6 = 150 și 25 · 10 = 250; 150 + 250 = 400.

12. 112 · 13 = 1456. 112 · 3 = 336 și 112 · 10 = 1120; 336 + 1120 = 1456.

13. 124 · 21 = 2604. 124 · 1 = 124 și 124 · 20 = 2480; 124 + 2480 = 2604.

14. 203 · 14 = 2842. 203 · 4 = 812 și 203 · 10 = 2030; 812 + 2030 = 2842.

15. 45 · 23 = 1035 pasageri. 45 · 3 = 135 și 45 · 20 = 900; 135 + 900 = 1035.

16. 96 · 12 = 1152 pagini. 96 · 2 = 192 și 96 · 10 = 960; 192 + 960 = 1152.

17. 15 · 24 = 360 lei. 15 · 4 = 60 și 15 · 20 = 300; 60 + 300 = 360.

18. Mai aproape de 800. Rotunjim: 38 ≈ 40 și 19 ≈ 20, deci 40 · 20 = 800. (Exact, 38 · 19 = 722, chiar lângă 800.)

19. a) 25 · 12 = 300 ; b) 30 · 14 = 420 ; c) 16 · 25 = 400. Deci: a→300, b→420, c→400.

20. 35 · 18 = 630 mere. 35 · 8 = 280 și 35 · 10 = 350; 280 + 350 = 630.

21. Adevărat. Înmulțirea este comutativă: poți schimba locul factorilor, iar rezultatul rămâne 408. 34 · 12 = 12 · 34 = 408.

De reținut

• Ca să înmulțești cu un număr de două cifre, spargi numărul: 34 · 12 = 34 · 10 + 34 · 2.
• Calculezi două produse parțiale: întâi cu unitățile, apoi cu zecile.
• Produsul parțial cu zecile se scrie decalat (mutat o căsuță spre stânga) sau cu un zero la unități.
• La final aduni produsele parțiale ca să afli produsul final.
• Verifică mereu cu o estimare, ca să prinzi greșelile.

Greșeli frecvente

• Confunzi cifra unităților cu cifra zecilor. În 34 · 12, înmulțești cu 2 (unități) și cu 1 (zeci) — nu de două ori cu 2! Pune un deget pe fiecare cifră ca să nu te încurci.
• Uiți zeroul (sau decalajul) la al doilea rând. Dacă scrii al doilea produs parțial tot la unități, aduni greșit. Scrie întâi un zero la unități, apoi numărul.
• Aduni înainte să termini înmulțirile. Mai întâi calculezi ambele produse parțiale, abia apoi le aduni. Nu sări peste pași.
• Uiți să aduni „ce ții în minte" la fiecare înmulțire mică. Când înmulțești cu o cifră, ține minte transportul, ca în lecția Înmulțirea unui număr cu o cifră.

Joc acasă

1. Jocul rândurilor de bomboane. Pune pe masă mai multe șiruri de obiecte mici (nasturi, fasole, bomboane) — de exemplu 12 rânduri a câte 13 obiecte. Întreabă copilul: „Câte sunt în total?". Lăsați-l să ghicească, apoi verificați calculând 13 · 12 = 156. Comparați estimarea cu rezultatul.

2. Cumpărături la magazinul de acasă. Scrieți pe bilețele „prețuri": un baton 14 lei, o jucărie 23 lei. Cereți copilului să afle cât costă 15 batoane sau 12 jucării, folosind înmulțirea cu două cifre. Plătiți cu bani de hârtie din joacă.

3. Provocarea de un minut. Scrieți 5 înmulțiri cu două cifre pe o foaie. Copilul le rezolvă, iar părintele verifică pe calculator. Pentru fiecare răspuns corect, o bulină. La 5 buline — un premiu mic!

Pentru părinți și învățători

Această lecție este un pas-cheie: este prima dată când copilul combină înmulțirea cu adunarea într-un singur algoritm pe mai multe rânduri. Cea mai mare dificultate nu este calculul în sine, ci înțelegerea valorii de poziție — de ce al doilea rând este decalat.

Cum predați pas cu pas:

• Începeți de la distributivitate, cu numere mici: arătați concret că 34 · 12 = 34 · 10 + 34 · 2. Folosiți obiecte sau desene cu rânduri.
• Permiteți copilului, la început, să scrie explicit zeroul la al doilea produs parțial. Este mai sigur decât „să mute o căsuță" și previne greșeala cea mai comună.
• Insistați pe identificarea cifrelor: „Care e cifra unităților? Care e cifra zecilor?" înainte de orice calcul.

Întrebări utile de pus:

• „Cu ce cifră înmulțim prima dată?" (răspuns: cu unitățile)
• „De ce punem un zero pe al doilea rând?" (pentru că înmulțim cu zecile, adică de fapt cu un număr terminat în zero)
• „Cam cât ar trebui să iasă?" (estimare prin rotunjire)

Cum verificați înțelegerea: cereți copilului să vă explice cu cuvintele lui de ce 34 · 12 nu este pur și simplu 34 · 1 plus 34 · 2. Dacă poate explica rolul zeroului, a înțeles esența. Reluați estimarea de fiecare dată — este plasa de siguranță împotriva greșelilor mari.

Întrebări frecvente

Cum se face înmulțirea cu un număr de două cifre la clasa a 4-a? Spargi numărul de jos în zeci și unități. Înmulțești numărul de sus mai întâi cu unitățile, apoi cu zecile (adăugând un zero), și aduni cele două rezultate. De exemplu, 34 · 12 = 34 · 2 + 34 · 10 = 68 + 340 = 408.

Ce sunt produsele parțiale? Produsele parțiale sunt rezultatele înmulțirilor mici pe care le faci pe drum: unul când înmulțești cu cifra unităților, altul când înmulțești cu cifra zecilor. La final le aduni ca să obții produsul final. Sunt „bucățile" din care se adună răspunsul.

De ce se pune un zero la al doilea rând? Pentru că la al doilea rând înmulțești cu cifra zecilor, care valorează de fapt zeci, nu unități. Zeroul (sau decalajul cu o căsuță) arată că rezultatul stă la locul zecilor. Fără el, aduni cifrele pe ordine greșite și obții un răspuns prea mic.

Cât face 34 · 12? 34 · 12 = 408. Calculezi 34 · 2 = 68 și 34 · 10 = 340, apoi le aduni: 68 + 340 = 408. Poți verifica și prin estimare: 34 e aproape de 30, 12 e aproape de 10, deci undeva pe la 300-400 — se potrivește.

Pot să înmulțesc întâi cu zecile și apoi cu unitățile? Da, rezultatul este același, pentru că adunarea nu se schimbă dacă schimbi ordinea. Totuși, la clasa a IV-a este recomandat să începi cu unitățile, ca să respecți algoritmul standard și să nu te încurci la transport.

Cum verific dacă am calculat corect? Folosește estimarea prin rotunjire înainte sau după calcul. Rotunjește factorii la zeci și înmulțește-i în minte; rezultatul tău adevărat trebuie să fie aproape de această estimare. Poți afla mai mult în lecția Estimarea ordinului de mărime a unui produs.

Ce fac dacă numărul de jos se termină în zero, ca 30 sau 40? Este chiar mai ușor: înmulțești cu cifra zecilor și adaugi un zero la coadă. De exemplu, calculezi întâi 73 · 3 = 219, apoi înmulțești cu 10: 73 · 30 = 219 · 10 = 2190. Produsul parțial cu unitățile este zero, așa că îl poți sări.

Cum înmulțesc un număr de trei cifre cu un număr de două cifre? Exact la fel ca la două cifre — pașii nu se schimbă. Înmulțești numărul de trei cifre întâi cu unitățile, apoi cu zecile (cu zero), și aduni. De exemplu 123 · 14 = 492 + 1230 = 1722. Vei exersa mai mult în lecția Înmulțirea când factorii au cel mult trei cifre.