Scrierea unui număr ca produs de factori

Salut, micule matematician! Astăzi descoperim un mic truc de fermecat numerele: vom învăța să scriem un număr ca produs de factori. Sună complicat, dar e ca atunci când spargi o ciocolată mare în bucățele: numărul rămâne același, doar că îl vezi altfel. Iar acest mic truc te ajută să faci calcule grele cu mintea, repede și fără greșeli. Hai să-l deslușim împreună, pas cu pas!

Ce vei învăța

Vei ști să scrii un număr ca produs de doi sau mai mulți factori.
Vei ști să recunoști factorii unui număr (numerele care, înmulțite, îți dau acel număr).
Vei ști să alegi factorii care fac calculul mai ușor, ca la 25 · 16.
Vei ști să folosești descompunerea ca să obții numere rotunde (10, 100, 1000) și să calculezi mai repede.
Vei ști să verifici dacă descompunerea ta este corectă.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „factori"?

Îți amintești de la lecția despre proprietățile înmulțirii? Când înmulțim două numere, fiecare dintre ele se numește factor, iar rezultatul se numește produs.

De exemplu, în 3 · 4 = 12:

3 este un factor,
4 este un factor,
12 este produsul.

Până acum, mai mereu ți s-au dat factorii și ai aflat produsul. Astăzi facem drumul invers: pornim de la un număr (produsul) și căutăm factorii care, înmulțiți, ne dau acel număr. Asta înseamnă să scriem un număr ca produs de factori.

Spargem numărul în bucățele

Gândește-te la numărul 12. În câte feluri putem aranja 12 bomboane în rânduri egale?

Un singur rând de 12 bomboane: 1 · 12.
Două rânduri de câte 6: 2 · 6.
Trei rânduri de câte 4: 3 · 4.
Patru rânduri de câte 3: 4 · 3.
Șase rânduri de câte 2: 6 · 2.

Toate aceste aranjări au în total tot 12 bomboane! Deci putem scrie:

12 = 1 · 12 = 2 · 6 = 3 · 4

Vezi? Același număr, 12, se poate scrie în mai multe feluri ca produs de doi factori. E ca și cum ai îmbrăca același copil în haine diferite — copilul rămâne același.

Cum verificăm dacă am găsit factori corecți?

Foarte simplu: înmulțim factorii la loc și vedem dacă obținem numărul de la care am pornit.

Dacă spun că 15 = 3 · 5, verific: 3 · 5 = 15. Corect! Înseamnă că 3 și 5 sunt chiar factori ai lui 15.

Dacă cineva ar spune 15 = 3 · 6, verificăm: 3 · 6 = 18, nu 15. Deci e greșit. Verificarea prin înmulțire e prietena ta — folosește-o mereu.

Putem sparge în mai mult de doi factori

Bucățile se pot sparge și ele mai departe! Hai să luăm iar pe 12.

Știm că 12 = 2 · 6. Dar 6 se poate sparge la rândul lui: 6 = 2 · 3. Atunci putem scrie:

12 = 2 · 6 = 2 · 2 · 3

Acum 12 este scris ca produs de trei factori: 2 · 2 · 3. Hai să verificăm: 2 · 2 = 4, apoi 4 · 3 = 12. Perfect!

Acest desen se numește copacul factorilor. Pornești de la număr și îl tot spargi până nu mai poți. E ca atunci când rupi o tabletă de ciocolată în pătrățele tot mai mici.

Hai să mai facem un copac, cu numărul 24. Întâi îl sparg: 24 = 4 · 6. Apoi sparg fiecare ramură: 4 = 2 · 2 și 6 = 2 · 3. Atunci:

24 = 2 · 2 · 2 · 3

Verific cu răbdare: 2 · 2 = 4, apoi 4 · 2 = 8, apoi 8 · 3 = 24. Corect! Numărul 24 este acum scris ca produs de patru factori mici. Vezi ce departe poți merge cu spartul?

De ce avem nevoie de toate astea? Truc magic pentru calcul!

Acum vine partea cea mai utilă. Imaginează-ți că trebuie să calculezi 25 · 16. Pare greu, nu-i așa? Trebuie să înmulțești în coloană, cu trecere peste ordin... Dar stai să vezi trucul!

Numărul 16 se poate scrie ca produs de factori: 16 = 4 · 4. Atunci:

25 · 16 = 25 · 4 · 4

Acum calculez pas cu pas, alegând o ordine deșteaptă. Întâi 25 · 4:

25 · 4 = 100

Ai văzut? A ieșit un număr rotund, 100! Iar înmulțirea cu numere rotunde e ușoară. Mai departe:

100 · 4 = 400

Deci 25 · 16 = 400, și am aflat asta aproape din minte! Magia stă în faptul că 25 · 4 face exact 100. Am ales factorii ca să obținem un număr rotund.

Acest truc se sprijină pe o regulă pe care o știi: la înmulțire putem grupa factorii cum vrem, rezultatul nu se schimbă (proprietatea de asociativitate). Așa că alegem gruparea care ne ușurează viața.

Perechile prietene care dau numere rotunde

Ca să folosești trucul, e bine să ții minte câteva perechi prietene — numere care, înmulțite, dau rotund:

2 · 5 = 10
4 · 25 = 100
8 · 125 = 1000
5 · 20 = 100
50 · 2 = 100

Când vezi un 25 într-un calcul, ochii tăi trebuie să caute imediat un 4 (sau să-l fabrice spărgând alt număr). Când vezi un 5, cauți un 2. Când vezi un 125, cauți un 8. Astea sunt perechile care fac numere rotunde, iar numerele rotunde se înmulțesc cât ai clipi.

O poveste scurtă: brutarul deștept

Era odată un brutar pe nume Matei. Într-o zi a primit o comandă: 8 cutii, fiecare cu 125 de covrigi. Câți covrigi trebuie să facă?

Matei trebuia să calculeze 8 · 125. Un brutar leneș ar fi numărat la nesfârșit. Dar Matei era deștept și știa perechea prietenă: 8 · 125 = 1000! Așa că a făcut liniștit 1000 de covrigi și a plecat acasă mai devreme.

A doua zi a primit altă comandă: 16 cutii de câte 125 de covrigi. Matei a spart numărul: 16 = 2 · 8. Atunci:

16 · 125 = 2 · 8 · 125 = 2 · (8 · 125) = 2 · 1000 = 2000

Matei a calculat din minte că trebuie 2000 de covrigi. Vezi cum descompunerea în factori l-a ajutat? Și tu poți fi un brutar deștept!

Pas cu pas: cum scriu un număr ca produs

Hai să strângem totul într-o rețetă pe care o poți urma mereu:

Privește numărul și întreabă-te: prin ce numere se împarte exact?
Găsește o pereche de factori (două numere care, înmulțite, dau numărul). Verifică prin înmulțire.
Dacă vrei mai mulți factori, sparge un factor mai departe, până ajungi la numere mici.
Pentru calcul ușor, caută perechile prietene (2·5, 4·25, 8·125) ca să obții numere rotunde.
Grupează deștept și calculează, lăsând numărul rotund la urmă.

Atenție: ordinea factorilor nu schimbă produsul

Poate scrii 12 = 3 · 4, iar colegul tău scrie 12 = 4 · 3. Amândoi aveți dreptate! La înmulțire, ordinea factorilor nu schimbă rezultatul (proprietatea de comutativitate, pe care ai întâlnit-o la proprietățile înmulțirii). Deci nu te speria dacă tu și un coleg ați scris factorii în altă ordine.

La fel, 1 este un factor cam plictisitor: 7 = 1 · 7. E adevărat, dar nu prea ne ajută, fiindcă 1 nu sparge cu adevărat numărul. De obicei căutăm factori mai mari decât 1, ca să descompunem cu folos.

Și dacă numărul nu se sparge frumos?

Unele numere sunt mici „încăpățânate": nu se pot scrie decât ca 1 · numărul. De pildă, 7 se scrie doar 1 · 7, iar 13 doar 1 · 13. Sunt numere care nu vor să se spargă în bucăți mai mari de 1. Nu-i nimic! Nu orice număr trebuie descompus. Trucul cu factori îl folosim mai ales când vrem să calculăm ușor, iar atunci spargem celălalt factor din înmulțire.

De exemplu, dacă am de calculat 7 · 20, nu sparg pe 7 (nu pot frumos), ci sparg pe 20: 20 = 2 · 10. Atunci 7 · 20 = 7 · 2 · 10 = 14 · 10 = 140. Vezi? Mereu putem alege numărul care se sparge frumos și care ne aduce o pereche prietenă.

Trucul „fabricării" perechii prietene

Uneori perechea prietenă nu sare în ochi din prima, dar o putem fabrica noi, spărgând cu grijă un factor. Asta e cea mai isteață mișcare!

Hai să calculăm 25 · 12. Văd un 25 și știu că lui îi place 4. Dar unde e 4? Îl fabric! Sparg pe 12 în 4 · 3, fiindcă vreau neapărat să apară acel 4:

25 · 12 = 25 · 4 · 3 = (25 · 4) · 3 = 100 · 3 = 300

Am fabricat perechea 25 · 4 = 100 exact când aveam nevoie de ea. Regula de aur este: întâi te uiți ce pereche prietenă vrei, apoi spargi un număr ca să o obții. Când vezi 25, fabrici un 4; când vezi 5, fabrici un 2; când vezi 125, fabrici un 8.

De ce ne este voie să grupăm cum vrem?

Poate te întrebi: de unde știm că putem schimba ordinea grupării fără să stricăm rezultatul? Hai să vedem pe un exemplu mic, ca să fim siguri. Luăm 2 · 3 · 5.

Dacă grupez (2 · 3) · 5 = 6 · 5 = 30.
Dacă grupez 2 · (3 · 5) = 2 · 15 = 30.
Dacă grupez (2 · 5) · 3 = 10 · 3 = 30.

Oricum aș lega factorii, rezultatul iese 30. Aceasta este proprietatea de asociativitate a înmulțirii: contează ce numere înmulțești, nu în ce ordine le legi între ele. De aceea avem voie să tragem întâi perechea prietenă într-un colț, s-o transformăm în număr rotund și abia apoi să terminăm calculul. Nu e o șmecherie interzisă — e o regulă adevărată a matematicii!

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Scriem 18 ca produs de doi factori

Vrem să scriem 18 ca produs de doi factori.

Mă gândesc: prin ce se împarte 18? Se împarte la 2: 18 : 2 = 9. Deci o pereche este 2 · 9.

Verific: 2 · 9 = 18. Corect!

Mai există și alte perechi: 3 · 6 (fiindcă 3 · 6 = 18) și plictisitorul 1 · 18.

Răspuns: 18 = 2 · 9 = 3 · 6 (și 1 · 18).

Exemplul 2 — Scriem 20 ca produs de trei factori

Vreau 20 ca produs de trei factori.

Întâi îl sparg în doi: 20 = 4 · 5. Acum sparg pe 4: 4 = 2 · 2. Atunci:

20 = 2 · 2 · 5

Verific: 2 · 2 = 4, apoi 4 · 5 = 20. Corect!

Răspuns: 20 = 2 · 2 · 5.

Exemplul 3 — Calculăm 25 · 16 cu trucul magic

Trebuie să calculez 25 · 16 cât mai ușor.

Văd un 25, deci ochii mei caută un 4. Sparg pe 16: 16 = 4 · 4. Scriu:

25 · 16 = 25 · 4 · 4

Grupez deștept, ca să iasă numărul rotund întâi:

= (25 · 4) · 4 = 100 · 4 = 400

Răspuns: 25 · 16 = 400. Am calculat aproape din minte, mulțumită perechii prietene 25 · 4 = 100.

Exemplul 4 — Calculăm 35 · 20 prin descompunere

Vreau 35 · 20 ușor.

Sparg pe 20 într-o pereche prietenă: 20 = 2 · 10. Atunci:

35 · 20 = 35 · 2 · 10

Calculez pe rând: 35 · 2 = 70, apoi 70 · 10 = 700.

Răspuns: 35 · 20 = 700. Înmulțirea cu 10 doar adaugă un zero la coadă — îți amintești de la lecția înmulțirea cu 10, 100 și 1000?

Exemplul 5 — Calculăm 125 · 24 ca un brutar deștept

Trebuie 125 · 24. Pare foarte greu! Dar văd un 125, deci caut un 8.

Sparg pe 24: 24 = 8 · 3. Scriu:

125 · 24 = 125 · 8 · 3

Grupez perechea prietenă întâi: 125 · 8 = 1000. Apoi:

1000 · 3 = 3000

Răspuns: 125 · 24 = 3000. Vezi ce ușor a devenit un calcul care părea foarte greu?

Exemplul 6 — Recunoaștem care produs dă număr rotund

Care dintre produsele de mai jos dă un număr rotund (care se termină în 0)? 4 · 5, 3 · 7, 2 · 5.

4 · 5 = 20 → se termină în 0, rotund.
3 · 7 = 21 → se termină în 1, nu e rotund.
2 · 5 = 10 → se termină în 0, rotund.

Răspuns: 4 · 5 și 2 · 5 dau numere rotunde. Secretul: când unul dintre factori e 5 și celălalt e par (2, 4, 6...), produsul iese rotund.

Exemplul 7 — Două drumuri spre același produs

Calculează 25 · 8 · 4 în două feluri și vezi că rezultatul e același.

Primul drum: grupez (25 · 8) · 4 = 200 · 4 = 800. Al doilea drum: grupez 25 · (8 · 4) = 25 · 32... mai greu. Hai mai bine (25 · 4) · 8 = 100 · 8 = 800.

Răspuns: 25 · 8 · 4 = 800, oricum aș grupa. Cel mai ușor drum este cel care scoate întâi un număr rotund, ca 25 · 4 = 100. Alege mereu drumul cu pereche prietenă!

Exemplul 8 — Fabricăm perechea pentru 24 · 25

Trebuie să calculez 24 · 25. Văd un 25, deci vreau un 4. Îl fabric spărgând pe 24: 24 = 4 · 6. Scriu:

24 · 25 = 4 · 6 · 25

Grupez perechea prietenă întâi, ca să iasă numărul rotund:

= (4 · 25) · 6 = 100 · 6 = 600

Răspuns: 24 · 25 = 600. Am fabricat singur perechea 4 · 25 = 100, iar restul s-a rezolvat de la sine.

Exemplul 9 — Un număr care nu se sparge frumos

Calculează 7 · 40 cât mai ușor.

Numărul 7 este încăpățânat: se scrie doar 1 · 7, deci nu-l sparg pe el. Sparg, în schimb, pe 40: 40 = 4 · 10. Atunci:

7 · 40 = 7 · 4 · 10 = (7 · 4) · 10 = 28 · 10 = 280

Răspuns: 7 · 40 = 280. Când un factor nu se sparge frumos, spargem mereu celălalt factor.

Să exersăm

Ia un creion și un caiet. Lucrează cu răbdare, iar la final verifică-te la „Răspunsuri și explicații".

1. Completează factorii care lipsesc: a) 10 = 2 · ___ b) 15 = 3 · ___ c) 21 = 3 · ___

2. Scrie numărul 14 ca produs de doi factori (alții decât 1 · 14).

3. Adevărat sau fals? 24 = 4 · 6. Verifică prin înmulțire.

4. Încercuiește perechea prietenă care dă un număr rotund: 3 · 4, 4 · 25, 6 · 7.

5. Completează: 2 · 5 = ___, 4 · 25 = ___, 8 · 125 = ___.

6. Scrie numărul 30 ca produs de doi factori în două feluri diferite.

7. Scrie numărul 8 ca produs de trei factori.

8. Calculează ușor, spărgând al doilea factor: 25 · 12. (Indiciu: 12 = 4 · 3.)

9. Calculează ușor: 5 · 18. (Indiciu: 18 = 2 · 9.)

10. Potrivește fiecare număr cu un produs de factori corect: a) 16 → ( ) 3 · 9 b) 27 → ( ) 2 · 8 c) 45 → ( ) 5 · 9

11. Adevărat sau fals? Numărul 100 se poate scrie 4 · 25. Dar 5 · 20?

12. Calculează ca un brutar deștept: 125 · 16. (Indiciu: 16 = 8 · 2.)

13. Care produs dă număr rotund? 2 · 6, 5 · 8, 3 · 9. Încercuiește-le pe cele rotunde.

14. Scrie numărul 36 ca produs de trei factori. (Indiciu: pornește de la 36 = 4 · 9.)

15. Mică problemă: La un magazin sunt 4 rafturi, fiecare cu 25 de borcane de miere. Câte borcane sunt în total? Calculează folosind perechea prietenă.

16. Mică problemă: Un brutar coace 8 tăvi, fiecare cu 125 de biscuiți. Câți biscuiți a copt? Folosește descompunerea în factori.

17. Calculează ușor: 45 · 20. (Indiciu: 20 = 2 · 10.)

18. Provocare: Calculează 25 · 8 · 5. Grupează deștept ca să iasă cât mai ușor.

19. Calculează ușor: 24 · 25. (Indiciu: fabrică un 4 spărgând pe 24 = 4 · 6.)

20. Scrie numărul 40 ca produs de trei factori. (Indiciu: pornește de la 40 = 4 · 10.)

21. Calculează 9 · 50 cât mai ușor. (Indiciu: numărul 9 nu se sparge frumos, deci sparge celălalt factor: 50 = 5 · 10.)

22. Mică problemă: O grădină are 25 de straturi, fiecare cu 8 lalele. Câte lalele sunt în total? Folosește perechea prietenă.

Răspunsuri și explicații

1. a) 10 = 2 · 5 (fiindcă 2 · 5 = 10). b) 15 = 3 · 5 (fiindcă 3 · 5 = 15). c) 21 = 3 · 7 (fiindcă 3 · 7 = 21).

2. 14 = 2 · 7. Verificare: 2 · 7 = 14. Corect!

3. Adevărat. 4 · 6 = 24, exact numărul cerut.

4. Perechea prietenă este 4 · 25, fiindcă 4 · 25 = 100 (număr rotund). 3 · 4 = 12 și 6 · 7 = 42 nu sunt rotunde.

5. 2 · 5 = 10; 4 · 25 = 100; 8 · 125 = 1000. Acestea sunt cele trei perechi prietene de aur.

6. De exemplu: 30 = 5 · 6 și 30 = 3 · 10 (sau 2 · 15). Toate sunt corecte; verifică prin înmulțire.

7. 8 = 2 · 2 · 2. Verificare: 2 · 2 = 4, apoi 4 · 2 = 8. Corect!

8. 25 · 12 = 25 · 4 · 3 = (25 · 4) · 3 = 100 · 3 = 300. Perechea 25 · 4 = 100 a făcut totul ușor.

9. 5 · 18 = 5 · 2 · 9 = (5 · 2) · 9 = 10 · 9 = 90. Perechea 5 · 2 = 10 a ajutat.

10. a) 16 → 2 · 8 (fiindcă 2 · 8 = 16). b) 27 → 3 · 9 (fiindcă 3 · 9 = 27). c) 45 → 5 · 9 (fiindcă 5 · 9 = 45).

11. Ambele adevărate: 4 · 25 = 100 și 5 · 20 = 100. Numărul 100 are mai multe descompuneri în factori.

12. 125 · 16 = 125 · 8 · 2 = (125 · 8) · 2 = 1000 · 2 = 2000. Perechea de brutar 125 · 8 = 1000.

13. Un număr este rotund când se termină în 0. Calculez fiecare produs: 2 · 6 = 12 (se termină în 2, nu e rotund); 5 · 8 = 40 (se termină în 0, rotund); 3 · 9 = 27 (se termină în 7, nu e rotund). Răspuns: doar 5 · 8 dă număr rotund (40).

14. 36 = 4 · 9 = 2 · 2 · 9 (sau 4 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3). Verificare pentru 2 · 2 · 9: 2 · 2 = 4, apoi 4 · 9 = 36. Corect!

15. 4 · 25 = 100 borcane. Perechea prietenă 4 · 25 = 100 rezolvă pe loc.

16. 8 · 125 = 1000 biscuiți. Perechea de brutar 8 · 125 = 1000.

17. 45 · 20 = 45 · 2 · 10 = (45 · 2) · 10 = 90 · 10 = 900.

18. 25 · 8 · 5. Grupez deștept: (25 · 8) · 5? Asta dă 200 · 5 = 1000. Sau 25 · (8 · 5) = 25 · 40 = 1000. Oricum grupez, rezultatul este 1000. Vezi că ordinea grupării nu schimbă produsul!

19. 24 · 25 = 4 · 6 · 25 = (4 · 25) · 6 = 100 · 6 = 600. Am fabricat perechea 4 · 25 = 100.

20. 40 = 2 · 4 · 5 (sau 2 · 2 · 10). Verificare pentru 2 · 4 · 5: 2 · 4 = 8, apoi 8 · 5 = 40. Corect!

21. 9 · 50 = 9 · 5 · 10 = (9 · 5) · 10 = 45 · 10 = 450. Numărul 9 a rămas întreg, am spart doar pe 50.

22. Trebuie 25 · 8. Sparg pe 8 = 4 · 2 ca să fabric perechea: 25 · 8 = 25 · 4 · 2 = (25 · 4) · 2 = 100 · 2 = 200. Sunt 200 de lalele.

De reținut

Factorii sunt numerele care, înmulțite, dau un anumit număr (produsul). A scrie un număr ca produs de factori înseamnă a-l sparge în bucățele care se înmulțesc.
Un număr se poate scrie ca produs în mai multe feluri și cu doi sau mai mulți factori (de exemplu 12 = 2 · 6 = 2 · 2 · 3).
Verifici descompunerea înmulțind factorii la loc: dacă obții numărul de pornire, e corect.
Perechile prietene 2 · 5 = 10, 4 · 25 = 100, 8 · 125 = 1000 te ajută să obții numere rotunde și să calculezi din minte.
La înmulțire poți grupa factorii cum vrei; rezultatul rămâne același. Alege gruparea care face calculul mai ușor.

Greșeli frecvente

Confunzi factorul cu suma. 12 = 3 · 4, nu 12 = 3 + 4 (asta ar fi 7). Factorii se înmulțesc, nu se adună. Verifică mereu cu semnul ·.
Crezi că rezultatul se schimbă dacă schimbi ordinea factorilor. 3 · 4 și 4 · 3 dau același 12. Ordinea factorilor nu schimbă produsul.
Alegi factori greșiți și nu verifici. Dacă scrii 18 = 3 · 5, calculează: 3 · 5 = 15, nu 18. Verificarea prin înmulțire prinde greșeala.
Uiți să cauți perechea prietenă. Când vezi 25, caută 4; când vezi 5, caută 2; când vezi 125, caută 8. Așa apar numerele rotunde și calculul devine ușor.

Joc acasă

1. Copacul factorilor. Ia o foaie și scrie sus un număr, de exemplu 24. Spargeți-l împreună cu părintele în doi factori, apoi spargeți fiecare factor mai departe, până ajungeți la numere mici. Desenați ramurile ca la un copac. Apoi încercați cu 30, 36, 40. Cine găsește mai multe descompuneri?

2. Vânătoarea de perechi prietene. Scrieți pe cartonașe numerele 2, 4, 5, 8, 20, 25, 125. Amestecați-le și trageți câte două. Dacă formează o pereche prietenă (dau 10, 100 sau 1000), câștigi un punct! Cine adună primul 5 puncte câștigă.

3. Brutarul deștept. Părintele spune o „comandă": de exemplu „16 cutii de câte 25 de covrigi". Tu sparți numărul (16 = 4 · 4) și calculezi din minte câți covrigi sunt (25 · 4 · 4 = 400). Schimbați rolurile și inventați comenzi tot mai mari.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă înmulțirea de descompunere și pune bazele pentru divizibilitate (clasa a V-a). Scopul nu este memorarea, ci înțelegerea faptului că un număr poate fi „văzut" ca produs și că alegerea factorilor potriviți ușurează calculul mental.

Cum să predați:

Începeți concret, cu obiecte aranjate în rânduri egale (boabe de fasole, nasturi, piese Lego). Aranjarea în „dreptunghiuri" arată vizual de ce 12 = 3 · 4 și 12 = 2 · 6.
Treceți apoi la copacul factorilor pe hârtie. Lăsați copilul să spargă numărul singur și să descopere că poate continua până la factori mici.
Insistați pe verificarea prin înmulțire — e cel mai bun obicei și previne erorile.

Întrebări utile de pus:

„Prin ce numere se împarte exact acest număr?"
„Mai poți sparge factorul acesta o dată?"
„Vezi vreo pereche prietenă care să dea un număr rotund?"
„Dacă schimbi ordinea factorilor, se schimbă rezultatul?" (Răspunsul așteptat: nu.)

Cum verificați înțelegerea: cereți copilului să calculeze 25 · 16 sau 125 · 24 fără calcul în coloană, doar prin descompunere. Dacă alege singur perechea prietenă și ajunge la numărul rotund, a înțeles esența. Pentru continuare firească, mergeți la lecția estimarea ordinului de mărime a unui produs.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să scrii un număr ca produs de factori? Înseamnă să găsești două sau mai multe numere care, înmulțite, dau acel număr. De exemplu, 12 = 3 · 4 sau 12 = 2 · 2 · 3. Numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar numărul obținut este produsul.

Cum descompun un număr în factori la clasa a 4-a? Întreabă-te prin ce numere se împarte exact numărul tău și formează perechi. De exemplu, 20 se împarte la 4 și obții 20 = 4 · 5. Poți sparge factorii mai departe: 4 = 2 · 2, deci 20 = 2 · 2 · 5. Verifică mereu înmulțind factorii la loc.

De ce e util să scriu 16 ca 4 · 4 când calculez 25 · 16? Pentru că 25 · 4 = 100, un număr rotund cu care e foarte ușor de înmulțit. Așa, 25 · 16 = 25 · 4 · 4 = 100 · 4 = 400, și faci calculul aproape din minte, fără înmulțire în coloană.

Care sunt perechile de numere care dau rezultate rotunde? Cele mai folositoare sunt 2 · 5 = 10, 4 · 25 = 100 și 8 · 125 = 1000. Tot rotund dau și 5 · 20 = 100 sau 50 · 2 = 100. Le numim perechi prietene, fiindcă fac calculul mult mai ușor.

Un număr poate fi scris ca produs în mai multe feluri? Da. De exemplu, 30 = 2 · 15 = 3 · 10 = 5 · 6. Toate sunt corecte și dau 30. Pentru calcul rapid alegi descompunerea care îți aduce o pereche prietenă sau un număr rotund.

Contează ordinea factorilor? Nu. 3 · 4 și 4 · 3 dau amândouă 12. La înmulțire, ordinea factorilor nu schimbă produsul. La fel, poți grupa factorii cum vrei, rezultatul rămâne același.

Cum verific dacă am descompus corect un număr în factori? Înmulțește factorii pe care i-ai găsit. Dacă obții exact numărul de la care ai pornit, descompunerea este corectă. De exemplu, pentru 18 = 2 · 9 verifici 2 · 9 = 18. Corect!

Ce legătură are descompunerea în factori cu înmulțirea cu 10, 100 și 1000? Strânsă! Perechile prietene transformă calculul într-o înmulțire cu 10, 100 sau 1000, care se face adăugând zerouri. Poți recapitula la lecția înmulțirea cu 10, 100 și 1000 și apoi exersa descompunerea pentru calcule mai grele.

Ce este copacul factorilor? Este un desen prin care spargi un număr în factori tot mai mici. Scrii numărul sus, îl ramifici în doi factori, apoi spargi fiecare factor mai departe, până ajungi la numere care nu se mai pot sparge. De exemplu, pentru 24 obții ramurile 24 = 4 · 6, apoi 4 = 2 · 2 și 6 = 2 · 3, deci 24 = 2 · 2 · 2 · 3. E o metodă vizuală foarte bună pentru a vedea toți factorii mici dintr-un număr.

Ce fac dacă numărul nu se poate scrie decât ca 1 ori el însuși? Atunci numărul pur și simplu nu se sparge frumos (așa sunt 7, 11, 13). Nu te îngrijora: nu orice număr trebuie descompus. Dacă îl ai într-o înmulțire și vrei să calculezi ușor, lasă-l întreg și sparge celălalt factor, cum am făcut la 7 · 40 = 7 · 4 · 10 = 280.