Înmulțirea când factorii au cel mult trei cifre

Ai învățat deja să înmulțești un număr mare cu o singură cifră și apoi cu un număr de două cifre. Acum facem pasul cel mare și frumos: vom înmulți două numere de câte trei cifre. Pare greu? Nu este deloc! Vom împărți totul în trei bucățele mici, ușoare, și la sfârșit le adunăm. Hai să descoperim împreună cum se face înmulțirea cu trei cifre la clasa a 4-a, pas cu pas, fără grabă.

Ce vei învăța

Vei ști să înmulțești două numere de câte trei cifre, cu rezultat până la un milion.
Vei ști să afli cele trei produse parțiale: cu cifra unităților, cu cifra zecilor și cu cifra sutelor.
Vei ști să așezi corect produsele parțiale, fiecare decalat (mutat) spre stânga.
Vei ști să rezolvi cazurile cu zerouri în factori, cum este 203 · 140.
Vei ști să verifici dacă rezultatul tău este aproape de cel corect, folosind estimarea.

Hai să descoperim împreună

Ne amintim ce înseamnă „factor" și „produs"

Când spunem 3 · 4 = 12, numerele 3 și 4 se numesc factori, iar 12 se numește produs. La fel rămâne și acum, doar că factorii noștri sunt mai mari: au câte trei cifre fiecare.

În lecția trecută ai înmulțit cu un număr de două cifre. Acolo aveai două produse parțiale (unul cu unitățile, unul cu zecile). Acum, pentru că al doilea factor are trei cifre, vom avea trei produse parțiale. Asta e tot secretul!

Secretul cel mare: rupem numărul în trei

Un număr de trei cifre, de exemplu 123, este de fapt format din trei părți:

cifra 3 stă la unități (înseamnă 3);
cifra 2 stă la zeci (înseamnă 20);
cifra 1 stă la sute (înseamnă 100).

Deci 123 = 100 + 20 + 3.

Când înmulțim cu 123, este ca și cum am înmulți de trei ori: o dată cu 3, o dată cu 20 și o dată cu 100. La final adunăm cele trei rezultate. Exact așa funcționează produsele parțiale.

Gândește-te la o poveste. Vrei să aduci 123 de mere acasă, dar coșul tău nu le ține pe toate odată. Atunci faci trei drumuri: la primul aduci 3 mere, la al doilea aduci 20 de mere, la al treilea aduci 100 de mere. La sfârșit, toate merele de pe masă sunt 3 + 20 + 100 = 123. Nu ai pierdut niciun măr! La fel facem și cu înmulțirea: rupem munca în trei drumuri ușoare.

Cum așezăm numerele unul sub altul

Așezăm cei doi factori unul sub altul, cu unitățile sub unități, zecile sub zeci și sutele sub sute. Tragem o linie dedesubt. Sub linie vom scrie cele trei produse parțiale.

Cei trei pași ai înmulțirii cu trei cifre

Hai să luăm un exemplu blând, fără rețineri (fără „treceri peste ordin"), ca să vedem clar mecanismul. Calculăm 123 · 212.

Pasul 1 — Înmulțim cu cifra UNITĂȚILOR (2 de la 212). Înmulțim 123 · 2 = 246. Scriem 246 sub linie. Acesta este primul produs parțial.

Pasul 2 — Înmulțim cu cifra ZECILOR (1 de la 212). Cifra 1 înseamnă de fapt 10. De aceea, rezultatul îl așezăm mutat cu o căsuță spre stânga. Calculăm 123 · 1 = 123. Scriem 123, dar începem să-l scriem sub coloana zecilor. Mulți copii pun aici un 0 la unități ca să nu greșească așezarea. Acesta este al doilea produs parțial.

Pasul 3 — Înmulțim cu cifra SUTELOR (2 de la 212). Cifra 2 înseamnă de fapt 200. De aceea, rezultatul îl așezăm mutat cu două căsuțe spre stânga. Calculăm 123 · 2 = 246. Scriem 246, începând sub coloana sutelor. Acesta este al treilea produs parțial.

Pasul 4 — Adunăm cele trei produse parțiale.

      1 2 3
   ·  2 1 2
   ---------
      2 4 6      ← 123 · 2 (unități)
    1 2 3        ← 123 · 1 (zeci, mutat o căsuță)
  2 4 6          ← 123 · 2 (sute, mutat două căsuțe)
  -----------
  2 6 0 7 6

Adunăm: 246 + 1230 + 24600 = 26 076.

Vezi cum produsele parțiale formează o scară care urcă spre stânga? Primul stă jos, al doilea urcă o treaptă, al treilea urcă încă o treaptă. Această așezare decalată este cea mai importantă regulă a lecției.

De ce mutăm spre stânga?

Pentru că cifra zecilor înseamnă de zece ori mai mult, iar cifra sutelor înseamnă de o sută de ori mai mult. Când muți un număr o căsuță la stânga, este ca și cum l-ai înmulțit cu 10. Când îl muți două căsuțe la stânga, este ca și cum l-ai înmulțit cu 100. Ține minte din lecția despre înmulțirea cu 10, 100 și 1000: a muta la stânga = a adăuga zerouri. Locul gol din dreapta este, de fapt, un zero.

Hai să mai privim o dată ideea cu altă poveste, ca să rămână bine în minte. Închipuie-ți că ai trei cutii cu bomboane: una mică, una mijlocie și una mare. Cutia mică ține câte o bomboană, cutia mijlocie ține câte zece bomboane, iar cutia mare ține câte o sută de bomboane. Când înmulțești cu cifra unităților, umpli cutiile mici. Când înmulțești cu cifra zecilor, umpli cutiile mijlocii — și de aceea rezultatul „cântărește" de zece ori mai mult, deci urcă o treaptă. Când înmulțești cu cifra sutelor, umpli cutiile mari, care „cântăresc" de o sută de ori mai mult, deci urcă două trepte. La final pui toate bomboanele la un loc: aceasta este adunarea produselor parțiale.

Important: numărul de sus rămâne mereu același la toate cele trei produse parțiale. Se schimbă doar cifra cu care înmulțim, luată pe rând din numărul de jos. Mulți copii se grăbesc și schimbă numărul de sus — fii atent, el nu se mișcă deloc!

Truc de aur: pune zerourile ca să nu greșești

Ca să nu te încurci la așezare, poți scrie tu zerourile care „țin locul":

la al doilea produs parțial pui un zero la unități;
la al treilea produs parțial pui două zerouri (la unități și la zeci).

Așa, fiecare produs parțial stă fix la locul lui, ca soldații în rând.

Ce se întâmplă dacă UITĂM să mutăm? (greșeala care strică tot)

Hai să vedem, ca să nu pățești și tu, ce iese dacă un copil grăbit scrie cele trei produse parțiale unul sub altul, fără să le mute. Luăm tot 123 · 212.

Cele trei produse parțiale corecte sunt 246, 123 și 246. Copilul grăbit le scrie aliniate la dreapta și le adună așa:

   2 4 6
   1 2 3
   2 4 6
   -------
   6 1 5   ← GREȘIT!

Îi iese 615. Dar noi știm că rezultatul corect este 26 076. Diferența este uriașă! De ce? Pentru că, fără mutare, cifra zecilor (1) a fost tratată ca și cum ar fi valorat doar 1, nu 10, iar cifra sutelor (2) ca și cum ar fi valorat 2, nu 200. Numerele au „pierdut" zerourile lor de poziție și au devenit mult prea mici.

Cum prindem imediat o astfel de greșeală? Cu estimarea. Gândim repede: 123 este cam 120, iar 212 este cam 200, deci rezultatul ar trebui să fie aproape de 120 · 200 = 24 000. Un rezultat de 615 este de zeci de ori prea mic — semn sigur că am uitat să mutăm produsele parțiale. Vezi ce paznic bun este estimarea? Ea nu calculează în locul tău, dar îți spune dacă rezultatul are mărimea potrivită.

Ține minte regula de aur: fiecare produs parțial urcă o treaptă mai sus decât cel dinaintea lui. Dacă rândurile tale stau toate la același nivel, ceva e sigur greșit.

Și când avem rețineri (treceri peste ordin)?

La fel ca până acum! Când la o înmulțire dai peste un număr de două cifre (de exemplu 7 · 8 = 56), scrii cifra unităților și reții cifra zecilor, pe care o aduni la pasul următor. Reținerea o faci pentru fiecare produs parțial separat. Vom vedea asta în exemplele rezolvate.

Atenție la zerourile din factori (cazul 203 · 140)

Uneori factorii au chiar ei un zero în interior sau la coadă. Nu te speria, devine chiar mai ușor!

Dacă o cifră a factorului de jos este 0, produsul parțial respectiv este 0 (poți să-l sari, dar nu uita decalarea).
Dacă factorul se termină în 0 (ca 140), poți înmulți mai întâi fără zeroul de la coadă și să adaugi zeroul la final.

Vom rezolva chiar exemplul 203 · 140 mai jos, încet și clar.

Cum verificăm că nu am greșit prea tare: estimarea

Înainte sau după calcul, rotunjește factorii și fă o înmulțire ușoară în minte. De exemplu, pentru 198 · 203, gândești „cam 200 · 200 = 40 000". Dacă rezultatul tău e aproape de 40 000, ești pe drumul bun. Dacă îți iese 4 000 sau 400 000, sigur ai greșit o decalare. Vei aprofunda asta în lecția estimarea ordinului de mărime a unui produs.

Câte cifre va avea răspunsul?

Iată un mic truc de detectiv care te ajută foarte mult. Înainte să calculezi, poți ghici câte cifre va avea rezultatul. Doi factori de câte trei cifre dau întotdeauna un produs cu 5 sau 6 cifre.

De ce? Hai să privim marginile:

Cel mai mic produs posibil cu doi factori de trei cifre este 100 · 100 = 10 000, adică un număr de 5 cifre.
Cel mai mare produs posibil este 999 · 999 = 998 001, adică un număr de 6 cifre.

Așadar, orice ai înmulți (cât timp ambii factori au trei cifre), răspunsul stă undeva între 10 000 și 998 001. Niciodată nu trece de un milion — exact de aceea lucrăm liniștiți în concentrul 0 – 1 000 000.

Folosește asta ca verificare: dacă la 245 · 136 îți iese un număr de doar 4 cifre (de exemplu 3 332), știi sigur că ai pierdut o cifră pe drum. Și dacă îți iese un număr de 7 cifre, ai adăugat un zero în plus undeva. Numărul corect, 33 320, are 5 cifre — exact cât ne așteptam.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Fără rețineri: 123 · 212

      1 2 3
   ·  2 1 2
   ---------
      2 4 6      ← 123 · 2
    1 2 3 0      ← 123 · 1, cu un 0 de poziție
  2 4 6 0 0      ← 123 · 2, cu două 0-uri de poziție
  -----------
  2 6 0 7 6

Povestit: înmulțesc 123 cu 2 (unități) și obțin 246. Înmulțesc 123 cu 1 (zeci) și obțin 123, pe care îl mut o căsuță și pun un zero: 1230. Înmulțesc 123 cu 2 (sute) și obțin 246, pe care îl mut două căsuțe și pun două zerouri: 24600. Adun: 246 + 1230 + 24600 = 26 076.

Exemplul 2 — Cu rețineri: 234 · 123

Produsul parțial 1: 234 · 3. 3 · 4 = 12, scriu 2, rețin 1. 3 · 3 = 9, plus 1 reținut = 10, scriu 0, rețin 1. 3 · 2 = 6, plus 1 = 7. Rezultat: 702.

Produsul parțial 2: 234 · 2 (zeci). 2 · 4 = 8. 2 · 3 = 6. 2 · 2 = 4. Rezultat: 468, mutat o căsuță → 4680.

Produsul parțial 3: 234 · 1 (sute). 234 · 1 = 234, mutat două căsuțe → 23400.

      2 3 4
   ·  1 2 3
   ---------
      7 0 2
    4 6 8 0
  2 3 4 0 0
  -----------
  2 8 7 8 2

Adun: 702 + 4680 + 23400 = 28 782.

Exemplul 3 — Zero în mijlocul factorului: 324 · 203

Al doilea factor este 203. Cifra zecilor lui este 0.

Produsul parțial 1: 324 · 3. 3 · 4 = 12, scriu 2, rețin 1. 3 · 2 = 6, plus 1 = 7. 3 · 3 = 9. Rezultat: 972.

Produsul parțial 2: 324 · 0 (zeci). 324 · 0 = 0. Tot rândul este zero → 0 (mutat o căsuță, dar e plin de zerouri).

Produsul parțial 3: 324 · 2 (sute). 324 · 2 = 648, mutat două căsuțe → 64800.

      3 2 4
   ·  2 0 3
   ---------
      9 7 2
    0 0 0 0
  6 4 8 0 0
  -----------
  6 5 7 7 2

Adun: 972 + 0 + 64800 = 65 772. Vezi cât de ușor a fost? Rândul cu zero nu adaugă nimic.

Exemplul 4 — Factor terminat în zero: 203 · 140

Acesta este chiar exemplul din programă. Numărul 140 se termină în 0. Truc: înmulțim mai întâi cu 14, apoi adăugăm la final zeroul de la coadă.

Mai întâi 203 · 14:

203 · 4 = 812. 203 · 1 (zeci) = 203, mutat → 2030. 812 + 2030 = 2842.

Acum adăugăm zeroul de la coada lui 140: 2842 · 10 = 28 420.

      2 0 3
   ·  1 4 0
   ---------
      0 0 0      ← 203 · 0 (unități)
    8 1 2        ← 203 · 4 (zeci)
  2 0 3          ← 203 · 1 (sute)
  -----------
  2 8 4 2 0

Așadar 203 · 140 = 28 420. Observă că primul produs parțial (cu zeroul de la unități) este tot zero.

Exemplul 5 — Problemă din viață: cărțile bibliotecii

O bibliotecă primește 245 de cutii. În fiecare cutie sunt câte 136 de cărți. Câte cărți a primit biblioteca în total?

Calculăm 245 · 136.

245 · 6 = 1470. 245 · 3 (zeci) = 735 → 7350. 245 · 1 (sute) = 245 → 24500.

      2 4 5
   ·  1 3 6
   ---------
    1 4 7 0
    7 3 5 0
  2 4 5 0 0
  -----------
  3 3 3 2 0

Adun: 1470 + 7350 + 24500 = 33 320.

Răspuns: Biblioteca a primit 33 320 de cărți.

Exemplul 6 — Spre un milion: 950 · 800

Amândoi factorii se termină în zerouri. Înmulțim părțile „scurte" și adăugăm zerourile.

95 · 8 = 760. Apoi adăugăm zerourile: 950 are un zero, 800 are două zerouri, deci în total trei zerouri. 760 + trei zerouri = 760 000.

Așadar 950 · 800 = 760 000, un rezultat aproape de un milion, dar tot mai mic decât 1 000 000. Frumos, nu?

Exemplul 7 — Problemă cu multe rețineri: pachetele de creioane

Un magazin a primit 175 de pachete de creioane. În fiecare pachet sunt câte 168 de creioane. Câte creioane are magazinul în total?

Calculăm 175 · 168. Acest exemplu are rețineri la fiecare pas, așa că mergem foarte încet.

Produsul parțial 1: 175 · 8 (unități). 8 · 5 = 40, scriu 0, rețin 4. 8 · 7 = 56, plus 4 reținut = 60, scriu 0, rețin 6. 8 · 1 = 8, plus 6 reținut = 14. Rezultat: 1400.

Produsul parțial 2: 175 · 6 (zeci). 6 · 5 = 30, scriu 0, rețin 3. 6 · 7 = 42, plus 3 = 45, scriu 5, rețin 4. 6 · 1 = 6, plus 4 = 10. Rezultat 1050, mutat o căsuță → 10 500.

Produsul parțial 3: 175 · 1 (sute). 175 · 1 = 175, mutat două căsuțe → 17 500.

      1 7 5
   ·  1 6 8
   ---------
    1 4 0 0
    1 0 5 0 0
  1 7 5 0 0
  -----------
  2 9 4 0 0

Adun: 1400 + 10 500 + 17 500 = 29 400.

Răspuns: Magazinul are 29 400 de creioane. Verificăm cu estimarea: 175 este cam 180, 168 este cam 170, deci aproximativ 180 · 170 = 30 600. Rezultatul nostru, 29 400, este foarte aproape — semn că am calculat corect.

Exemplul 8 — Cum verificăm schimbând ordinea factorilor

Înmulțirea are o proprietate prietenoasă: dacă schimbi ordinea factorilor, produsul rămâne același. Asta înseamnă că poți reface un calcul „pe dos", ca să te asiguri că nu ai greșit.

Să luăm 213 · 122 = 25 986 (l-am calculat mai sus). Acum îl refacem ca 122 · 213, punând 122 sus și 213 jos:

122 · 3 = 366. 122 · 1 (zeci) = 122 → 1220. 122 · 2 (sute) = 244 → 24 400.

Adun: 366 + 1220 + 24 400 = 25 986. Același rezultat! Dacă cele două calcule nu dau la fel, înseamnă că undeva s-a strecurat o greșeală și merită să le mai privești o dată. Este metoda cea mai sigură de autocontrol.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, așezând numerele unul sub altul și scriind cele trei produse parțiale.

1. Calculează: 123 · 213

2. Calculează: 214 · 132

3. Calculează: 305 · 211

4. Calculează (zero în factor): 142 · 304

5. Calculează (factori cu zerouri la coadă): 230 · 120

6. Calculează: 401 · 220

7. Calculează: 152 · 143

8. Calculează: 256 · 124

9. Adevărat sau fals? 200 · 300 = 60 000

10. Adevărat sau fals? 123 · 100 = 1 230

11. Completează produsele parțiale pentru 213 · 122, apoi adună:

213 · 2 = ____ (unități)
213 · 2 = ____ (zeci, mutat o căsuță)
213 · 1 = ____ (sute, mutat două căsuțe)
Total = ____

12. Problemă: O fabrică face 144 de jucării pe zi. Câte jucării face în 125 de zile?

13. Problemă: Într-o livadă sunt 215 rânduri de pomi, cu câte 124 de pomi pe rând. Câți pomi are livada?

14. Problemă: O sală de spectacole are 320 de locuri. La 105 spectacole cu sala plină, câți spectatori au venit în total?

15. Estimează întâi (rotunjind la sute), apoi calculează exact: 198 · 203

16. Mai greu: 487 · 213

17. Mai greu: 624 · 315

18. Provocare spre un milion: 950 · 800. Este rezultatul mai mic decât 1 000 000?

19. Calculează: 263 · 124

20. Problemă (zero în primul factor): Un stadion are câte 408 locuri pe fiecare sector. Câte locuri sunt în 215 sectoare?

Răspunsuri și explicații

1. 123 · 213 = 26 199. Produse parțiale: 369 + 1230 + 24600.

2. 214 · 132 = 28 248. Produse parțiale: 428 + 6420 + 21400.

3. 305 · 211 = 64 355. Produse parțiale: 305 + 3050 + 61000.

4. 142 · 304 = 43 168. Cifra zecilor lui 304 este 0, deci al doilea produs parțial este 0: 568 + 0 + 42600.

5. 230 · 120 = 27 600. Trucul zerourilor: 23 · 12 = 276, plus două zerouri = 27 600.

6. 401 · 220 = 88 220. Produse parțiale: 0 (cu unitatea 0 a lui 220) + 8020 + 80200.

7. 152 · 143 = 21 736. Produse parțiale: 456 + 6080 + 15200.

8. 256 · 124 = 31 744. Produse parțiale: 1024 + 5120 + 25600.

9. Adevărat. 200 · 300 = 60 000 (2 · 3 = 6, plus patru zerouri).

10. Fals. 123 · 100 = 12 300, nu 1 230 (la înmulțirea cu 100 adăugăm două zerouri).

11. 213 · 122: 213 · 2 = 426; 213 · 2 (zeci) = 4260; 213 · 1 (sute) = 21300. Total = 426 + 4260 + 21300 = 25 986.

12. 144 · 125 = 18 000 de jucării. (144 · 125: 720 + 2880 + 14400.)

13. 215 · 124 = 26 660 de pomi. (Produse parțiale: 860 + 4300 + 21500.)

14. 320 · 105 = 33 600 de spectatori. (Cifra zecilor lui 105 este 0: 1600 + 0 + 32000.)

15. Estimare: 200 · 200 = 40 000. Calcul exact: 198 · 203 = 40 194. Vezi cât de aproape e de estimare? Asta arată că ai calculat bine.

16. 487 · 213 = 103 731. Produse parțiale: 1461 + 4870 + 97400.

17. 624 · 315 = 196 560. Produse parțiale: 3120 + 6240 + 187200.

18. 950 · 800 = 760 000. Da, este mai mic decât 1 000 000.

19. 263 · 124 = 32 612. Produse parțiale: 1052 + 5260 + 26300.

20. 408 · 215 = 87 720 de locuri. Aici zeroul este în primul factor (408), așa că nu apare un rând de zerouri, dar ai grijă la rețineri. Produse parțiale: 2040 + 4080 + 81600. (La 408 · 5: 5 · 8 = 40, scrii 0 și reții 4; 5 · 0 = 0, plus 4 reținut = 4; 5 · 4 = 20 → 2040.)

De reținut

Când al doilea factor are trei cifre, ai trei produse parțiale: cu unitățile, cu zecile și cu sutele.
Fiecare produs parțial se așază decalat spre stânga: al doilea cu o căsuță, al treilea cu două căsuțe. Locurile goale sunt zerouri.
La final, aduni cele trei produse parțiale.
Dacă o cifră a factorului de jos este 0, produsul parțial este 0; dacă factorul se termină în 0, înmulțește fără zerouri și adaugă-le la final.
Estimează rotunjind, ca să verifici dacă rezultatul tău are mărimea potrivită.

Greșeli frecvente

Așezarea dreaptă a produselor parțiale. Mulți copii scriu toate cele trei rânduri unul sub altul, fără să le mute. Atunci suma iese greșită. Cum eviți: scrie zerourile de poziție (unul la al doilea rând, două la al treilea) ca să nu te încurci.
Uiți reținerea. Când un produs dă peste 9 (de exemplu 7 · 6 = 42), trebuie să reții cifra zecilor. Cum eviți: scrie reținerea mic, deasupra cifrei următoare, și nu uita s-o aduni.
Te sperii de zero. Crezi că 203 sau 140 sunt „prea greu". De fapt zerourile fac calculul mai ușor, pentru că rândul respectiv e plin de zerouri. Cum eviți: scrie liniștit rândul cu zerouri sau folosește trucul de la coadă.
Confunzi numărul de zerouri la sfârșit. La 230 · 120 trebuie să adaugi două zerouri (unul de la fiecare factor). Cum eviți: numără atent zerourile din ambii factori înainte de a le pune la coada produsului.
Uiți reținerea de la ULTIMA cifră. Când ultima înmulțire dintr-un produs parțial dă un număr de două cifre (de exemplu 8 · 1 = 8, plus 6 reținut = 14), trebuie să scrii ambele cifre, nu doar 4. Mulți copii scriu doar unitatea și „pierd" zecea din față. Cum eviți: la ultima cifră nu mai ai unde să reții, așa că scrie întreg numărul obținut.
Schimbi numărul de sus în timpul calculului. Numărul de deasupra rămâne mereu același la toate cele trei produse parțiale; se schimbă doar cifra de jos cu care înmulțești. Cum eviți: ține un deget pe numărul de sus și amintește-ți că doar el „lucrează" de fiecare dată.

Joc acasă

Jocul „Trei drumuri cu coșul". Ia 9 mărgele sau nasturi și o foaie. Scrie o înmulțire de trei cifre, de exemplu 124 · 213. Copilul calculează separat cele trei produse parțiale și le scrie pe trei bilețele („drumul unităților", „drumul zecilor", „drumul sutelor"). La final lipiți bilețelele ca pe niște trepte de scară, mutate spre stânga, și adunați. Câștigați împreună când suma e corectă!

Jocul „Detectivul de zerouri". Părintele scrie pe rând înmulțiri cu zerouri: 203 · 140, 305 · 120, 401 · 300. Copilul trebuie să spună înainte de calcul câte zerouri va avea rezultatul la coadă și care produs parțial va fi zero. Apoi verifică prin calcul. Fiecare ghicire corectă valorează un punct.

Jocul „Cât de aproape?" (estimare). Părintele spune o înmulțire, de exemplu 198 · 203. Copilul nu calculează exact, ci estimează rotunjind (200 · 200 = 40 000) și o scrie. Apoi calculați exact și vedeți cât de aproape a fost estimarea. Cu cât mai aproape, cu atât mai mulți pași faci cu piciorul prin cameră, ca premiu!

Pentru părinți și învățători

Această lecție este vârful unității de înmulțire: copilul reunește tot ce a învățat la înmulțirea cu o cifră și la înmulțirea cu două cifre. Cheia este așezarea decalată a celor trei produse parțiale.

Cum să sprijiniți copilul:

Mergeți încet la primul exemplu fără rețineri (123 · 212), ca mecanismul să fie clar înainte de a adăuga dificultăți.
Insistați pe zerourile de poziție. Lăsați copilul să scrie efectiv zeroul de la al doilea rând și cele două zerouri de la al treilea. Erorile de aliniere dispar aproape complet astfel.
Verificați cu estimarea. După fiecare exercițiu, întrebați: „Cam cât ar trebui să iasă?". Aceasta dezvoltă simțul mărimii numerelor și prinde greșelile grosolane.
Folosiți foaie cu pătrățele sau caiet de matematică, cu o cifră în fiecare pătrățel. Coloanele aliniate sunt jumătate din succes.

Întrebări utile pentru verificarea înțelegerii:

„Câte produse parțiale avem și de ce?" (Trei, pentru că al doilea factor are trei cifre.)
„De ce mutăm al treilea rând cu două căsuțe la stânga?" (Pentru că cifra sutelor înseamnă de o sută de ori mai mult.)
„Ce se întâmplă cu produsul parțial când cifra de jos este 0?" (Devine zero.)

Semn că a înțeles: rezolvă corect un caz cu rețineri (ex. 234 · 123) și un caz cu zerouri (ex. 203 · 140), explicând cu cuvintele lui de ce mută rândurile.

Întrebări frecvente

Cum se face înmulțirea cu un număr de trei cifre la clasa a 4-a? Așezi factorii unul sub altul și calculezi trei produse parțiale: înmulțești numărul de sus pe rând cu cifra unităților, cu cifra zecilor și cu cifra sutelor din numărul de jos. Al doilea produs parțial îl muți o căsuță spre stânga, al treilea două căsuțe. La final aduni cele trei rezultate.

De ce avem trei produse parțiale la înmulțirea cu trei cifre? Pentru că al doilea factor are trei cifre: una la unități, una la zeci și una la sute. Înmulțim numărul de sus cu fiecare dintre aceste cifre, deci obținem trei produse parțiale, câte unul pentru fiecare cifră.

De ce mut produsele parțiale spre stânga? Pentru că cifra zecilor valorează de 10 ori mai mult, iar cifra sutelor de 100 de ori mai mult. A muta un număr o căsuță la stânga înseamnă a-l înmulți cu 10, iar două căsuțe înseamnă a-l înmulți cu 100. Spațiile goale din dreapta sunt, de fapt, zerouri.

Cum înmulțesc numere cu zerouri, ca 203 · 140? Dacă o cifră din factorul de jos este 0, produsul parțial respectiv este 0 și nu adaugă nimic la sumă. Dacă factorul se termină în 0 (ca 140), înmulțești fără acel zero și apoi adaugi zeroul la coada rezultatului. Astfel 203 · 140 = 28 420.

Poate rezultatul să treacă de un milion? La clasa a IV-a lucrăm în concentrul 0 – 1 000 000, deci alegem factori de trei cifre al căror produs rămâne sub un milion. De exemplu 950 · 800 = 760 000, care este mai mic decât 1 000 000. Cel mai mare produs posibil cu doi factori de trei cifre, 999 · 999, este 998 001, tot sub un milion.

Ce fac dacă greșesc adunarea produselor parțiale? Verifică întâi dacă fiecare produs parțial este așezat corect, cu zerourile de poziție la locul lor. Apoi adună din nou cu atenție, de la dreapta la stânga, fără să uiți reținerile. Poți face și o estimare rotunjind factorii, ca să vezi dacă rezultatul are mărimea potrivită.

Cum verific dacă am calculat corect o înmulțire cu trei cifre? Folosește estimarea: rotunjește factorii la sute și înmulțește-i în minte (de exemplu 198 · 203 ≈ 200 · 200 = 40 000). Dacă rezultatul tău este aproape de această valoare, ești pe drumul bun. Poți reface și calculul schimbând ordinea factorilor, deoarece înmulțirea dă același rezultat indiferent de ordine.

Contează ordinea factorilor la înmulțire? Nu, produsul este același: 213 · 122 = 122 · 213. Această proprietate se numește comutativitate și o poți folosi ca să pui dedesubt factorul cu mai puține cifre „grele", făcând calculul mai ușor. Vei aprofunda asta în lecția despre proprietățile înmulțirii.