Interpretarea indicatorilor tendinței centrale. Aplicații de statistică

Imaginează-ți că vezi la știri titlul „Salariul mediu în firma X este de 4750 de lei”, iar apoi afli că, de fapt, aproape toți angajații câștigă 2500 de lei, iar un singur director ia 25000. Cine minte? Nimeni — cifra este corectă, dar a fost aleasă indicatorul greșit pentru situație. În lecțiile anterioare ai învățat, pe rând, să calculezi media aritmetică, mediana, modul și amplitudinea. Acum vine partea cu adevărat importantă pentru viață și pentru Evaluarea Națională: să știi ce înseamnă aceste numere, care dintre ele descrie cel mai bine o situație și ce concluzie corectă poți trage din ele. Hai să învățăm să „citim” datele ca un expert.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi toți cei patru indicatori (medie, mediană, mod, amplitudine) pentru același set de date și să-i așezi într-un tablou complet.
• Vei ști să alegi și să justifici indicatorul cel mai potrivit pentru o situație dată, mai ales când apar valori extreme.
• Vei ști să extragi date din tabele, diagrame cu bare și diagrame circulare și să calculezi indicatorii din ele.
• Vei ști să interpretezi date reale din sport, meteo, sondaje, note și prețuri și să formulezi concluzii corecte.
• Vei ști să redactezi îngrijit răspunsul, pentru punctaj maxim la itemii de statistică din examen.

Hai să descoperim împreună

1. Recapitulare comparativă: cei patru indicatori pe scurt

Înainte să interpretăm, să adunăm într-un singur loc „uneltele” pe care le avem. Pentru un set de date numerice, folosim patru indicatori. Primii trei — media, mediana și modul — se numesc indicatori ai tendinței centrale, pentru că încearcă să răspundă la aceeași întrebare: „care este valoarea tipică, din centrul datelor?”. Al patrulea, amplitudinea, măsoară altceva: cât de împrăștiate sunt datele.

Să le reactivăm pe un exemplu concret. Fie notele obținute de un elev la 8 lucrări: $$7,9,10,8,9,6,9,8.$$

Pasul 1 — ordonăm datele (crescător). Ordonarea ne ajută la mediană, la mod și la amplitudine: $$6,7,8,8,9,9,9,10.$$

Media: adunăm toate valorile și împărțim la $8$: $$\overline{x}=\frac{6+7+8+8+9+9+9+10}{8}=\frac{66}{8}=8,25.$$

Mediana: sunt $n=8$ valori (număr par), deci mediana este media celor două valori din mijloc, de pe pozițiile a $4$-a și a $5$-a: $8$ și $9$. $$M_e=\frac{8+9}{2}=8,5.$$

Modul: valoarea care apare cel mai des este $9$ (de trei ori), deci $M_o=9$.

Amplitudinea: $A=10-6=4$.

Observă un lucru esențial chiar de la început: cei trei indicatori de tendință centrală au dat trei numere diferite ($8,25$; $8,5$; $9$). Nu e o greșeală — este normal. Fiecare privește datele din alt unghi. Toată lecția de azi este despre a înțelege ce unghi și când ne folosește.

2. Ce „spune” de fapt fiecare indicator

Ca să alegi indicatorul potrivit, trebuie mai întâi să înțelegi sensul fiecăruia. Iată intuiția din spate:

• Media este ca și cum ai lua toate valorile, le-ai pune „într-o oală” și le-ai reîmpărți în mod egal. Dacă $10$ copii au împreună $46$ de bomboane, media $4,6$ înseamnă: „dacă am împărți egal, fiecare ar primi $4,6$ bomboane”. Media ține cont de toate valorile, deci și de cele foarte mari sau foarte mici.
• Mediana este „copilul din mijloc”: împarte datele ordonate în două jumătăți egale — jumătate din valori sunt sub ea, jumătate deasupra. Ea nu se uită la cât de mari sunt valorile extreme, ci doar la poziția lor. De aceea este rezistentă la valori extreme.
• Modul răspunde la „ce se întâmplă cel mai des?”. Este singurul indicator care are sens și pentru date care nu sunt numere (culori, sporturi, mărimi de pantofi ca preferință).
• Amplitudinea nu ne spune nimic despre „centru”, ci despre întindere: o amplitudine mare înseamnă date foarte diferite între ele; una mică înseamnă date apropiate, „strânse”.

3. Efectul valorilor extreme: de ce media poate „minți”

Aici este miezul lecției. O valoare extremă (sau valoare aberantă) este o valoare mult mai mare sau mult mai mică decât restul. Să vedem ce le face indicatorilor.

Un produs este vândut în $6$ magazine la prețurile (în lei): $$40,42,41,43,42,90.$$

Ultimul magazin are un preț mult mai mare (poate e într-o zonă turistică). Să calculăm.

Ordonăm: $40,41,42,42,43,90$.

Media: $$\overline{x}=\frac{40+42+41+43+42+90}{6}=\frac{298}{6}\approx 49,67\text{ lei}.$$

Mediana: $n=6$ (par), pozițiile $3$ și $4$ sunt $42$ și $42$: $$M_e=\frac{42+42}{2}=42\text{ lei}.$$

Gândește-te ce s-a întâmplat: media a ieșit aproape $50$ de lei, deși $5$ din $6$ magazine vând sub $43$ de lei! Prețul de $90$ a „tras media în sus”, chiar dacă e un caz izolat. Mediana, în schimb, a rămas $42$ — exact în zona unde se află majoritatea prețurilor.

Concluzie de interpretare: când într-un set apar valori extreme, mediana descrie mai fidel valoarea tipică decât media. Media rămâne corectă matematic, dar poate fi înșelătoare dacă o folosim ca „preț obișnuit”.

Reține regula de aur:

Media este sensibilă la valorile extreme; mediana nu este. Dacă datele au o valoare mult mai mare/mică decât restul, preferă mediana pentru a descrie „normalul”.

Amplitudinea acestui set, $A=90-40=50$, este un semnal în sine: o amplitudine atât de mare față de valorile obișnuite ne avertizează că undeva există o valoare extremă. Amplitudinea mare + diferență mare între medie și mediană = indiciu clar de valoare aberantă.

4. Cum alegem indicatorul potrivit — ghid practic

Nu există un indicator „cel mai bun” în general; depinde de întrebare. Iată un ghid pe care îl poți folosi la examen:

• Vrei valoarea tipică, iar datele sunt „echilibrate” (fără extreme)? → folosește media. Ea folosește toată informația și e cel mai des cerută (note, temperaturi obișnuite, consum).
• Datele au valori extreme (salarii cu un director, prețuri cu un caz aberant, timpi cu o întârziere uriașă)? → folosește mediana, ca să nu fii înșelat.
• Datele nu sunt numere (culoare preferată, sport favorit, mărime de tricou cea mai cerută)? → singurul care are sens este modul. Nu poți calcula „media culorilor”.
• Te interesează cea mai populară / cea mai cerută opțiune (ce produs se vinde cel mai mult, ce număr la loto iese cel mai des)? → modul.
• Te interesează cât de omogene / stabile sunt datele (un jucător constant vs. unul imprevizibil, o temperatură stabilă vs. una capricioasă)? → amplitudinea (împreună cu tendința centrală).

Un exemplu care leagă totul. Doi elevi au aceeași medie la cinci teste, dar sunt foarte diferiți:

• Elevul $A$: $8,8,8,9,7$ — suma $40$, media $\frac{40}{5}=8$.
• Elevul $B$: $10,10,6,5,9$ — suma $40$, media $\frac{40}{5}=8$.

Media nu-i deosebește deloc (ambii au $8$). Dar amplitudinile spun povestea reală: $$A_A=9-7=2,A_B=10-5=5.$$ Elevul $A$ este constant (note apropiate), elevul $B$ este inegal (are și note foarte mari, și foarte mici). Dacă un profesor caută un elev pe care se poate baza, media singură nu ajunge — amplitudinea face diferența. Aceasta este exact ideea pe care examenul vrea să o vadă: nu doar să calculezi, ci să interpretezi.

5. Extragerea datelor din tabele de frecvențe

De multe ori, datele nu-ți sunt date ca listă, ci într-un tabel de frecvențe: pe un rând valorile, pe altul de câte ori apare fiecare (frecvența absolută, pe care ai studiat-o în lecția despre frecvența absolută și relativă). Trebuie să știi să lucrezi direct din tabel, fără să scrii toate valorile una câte una.

Exemplu — numărul de goluri marcate de o echipă în $20$ de meciuri:

Numărul total de date este suma frecvențelor: $3+5+7+3+2=20$ meciuri. (Verifică mereu întâi totalul!)

Media — fiecare valoare se înmulțește cu frecvența ei, aduni, apoi împarți la total: $$\overline{x}=\frac{0\cdot 3+1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 3+4\cdot 2}{20}=\frac{0+5+14+9+8}{20}=\frac{36}{20}=1,8\text{ goluri/meci}.$$

Modul — valoarea cu frecvența cea mai mare. Frecvența maximă este $7$, la valoarea $2$, deci $M_o=2$ goluri.

Mediana — avem $n=20$ valori (par), deci mediana e media valorilor de pe pozițiile a $10$-a și a $11$-a în șirul ordonat. Nu scriem toate cele $20$ de numere; folosim frecvențele cumulate:

• valoarea $0$ ocupă pozițiile $1$–$3$ (primele $3$),
• valoarea $1$ ocupă pozițiile $4$–$8$ (următoarele $5$),
• valoarea $2$ ocupă pozițiile $9$–$15$ (următoarele $7$).

Pozițiile $10$ și $11$ cad amândouă în dreptul valorii $2$, deci $M_e=\frac{2+2}{2}=2$ goluri.

Amplitudinea: $A=4-0=4$ goluri.

Interpretare: echipa marchează în medie $1,8$ goluri pe meci, dar cel mai des ($M_o=2$) și „la mijloc” ($M_e=2$) marchează $2$ goluri. Cei trei indicatori sunt apropiați → datele sunt echilibrate, fără valori extreme, deci putem folosi liniștiți media.

6. Extragerea datelor din diagrame cu bare

O diagramă cu bare (coloane) arată aceleași frecvențe, dar ca înălțimi de bare. Pași: citești înălțimea fiecărei bare, reconstruiești tabelul de frecvențe, apoi calculezi ca mai sus.

Exemplu — câte cărți au citit $25$ de elevi într-o lună:

Din diagramă citim tabelul:

Total: $5+8+6+3+3=25$ elevi. ✓

Media: $$\overline{x}=\frac{1\cdot 5+2\cdot 8+3\cdot 6+4\cdot 3+5\cdot 3}{25}=\frac{5+16+18+12+15}{25}=\frac{66}{25}=2,64\text{ ca˘rți}.$$

Modul: bara cea mai înaltă este la $2$ cărți (frecvența $8$), deci $M_o=2$.

Mediana: $n=25$ (impar), poziția din mijloc este $\frac{25+1}{2}=13$. Frecvențe cumulate: $1\to$ poz. $1$–$5$; $2\to$ poz. $6$–$13$. Poziția $13$ cade la valoarea $2$, deci $M_e=2$ cărți.

Amplitudinea: $A=5-1=4$ cărți.

7. Extragerea datelor din diagrame circulare

O diagramă circulară („plăcintă”) împarte un disc în felii, fiecare felie fiind o categorie. Mărimea feliei arată proporția categoriei. Reține trei legături utile:

• Întregul cerc are $360°$ și reprezintă $100\%$ din date.
• Unghiul unei felii $=\text{procentul}\times 360°$. De exemplu, $25\%$ înseamnă $0,25\times 360°=90°$.
• Numărul de date dintr-o felie $=\text{procentul}\times \text{total}$. De exemplu, $25\%$ din $200$ înseamnă $0,25\times 200=50$.

Atenție la un lucru important: diagramele circulare arată adesea date calitative (categorii care nu sunt numere: sport, culoare, mijloc de transport). Pentru astfel de date, media și mediana nu au sens — nu poți aduna „fotbal + tenis” și împărți la $2$. Singurul indicator care se aplică este modul: categoria cu cea mai mare felie.

Exemplu — un sondaj pe $200$ de elevi despre sportul preferat, prezentat astfel:

Transformăm procentele în număr de elevi (înmulțim cu $200$): $$\text{Fotbal}=80,\text{Baschet}=50,\text{Tenis}=40,\text{Iˆnot}=30.(80+50+40+30=200✓)$$

Unghiul feliei „Fotbal”: $40\%\times 360°=0,4\times 360°=144°$.

Modul (categoria dominantă) este Fotbal, cu $80$ de elevi. Aici nu calculăm medie sau mediană, pentru că sporturile nu sunt numere. Concluzia corectă: „Cel mai preferat sport este fotbalul, ales de $80$ dintre cei $200$ de elevi, adică $40\%$.”

8. Formularea concluziilor corecte

Ultimul pas — și cel mai valoros — este să transformi cifrele într-o frază-concluzie clară și corectă. La examen, un item cere adesea „interpretați rezultatul” sau „ce puteți spune despre …”. O concluzie bună:

1. Numește indicatorul și valoarea („media este $8,25$”).
2. Îl traduce în cuvinte pentru situația reală („în medie, elevul ia peste $8$”).
3. Alege indicatorul potrivit și explică de ce, mai ales dacă există valori extreme.

Evită concluziile greșite frecvente, de exemplu: „media este $7$, deci cineva a luat $7$” (fals — media poate să nu apară deloc în set!) sau „prețul obișnuit este $50$ de lei” când media a fost umflată de o valoare extremă. O concluzie corectă ține cont de forma datelor, nu doar de un număr scos din calculator.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toți cei patru indicatori pentru un set

Timpii (în minute) în care $8$ elevi au rezolvat un test: $$6,7,7,8,8,8,9,11.$$ Calculează media, mediana, modul și amplitudinea și spune ce observi.

Rezolvare. Datele sunt deja ordonate crescător.

Media: $\overline{x}=\frac{6+7+7+8+8+8+9+11}{8}=\frac{64}{8}=8$ minute.

Mediana: $n=8$ (par), pozițiile $4$ și $5$ sunt $8$ și $8$, deci $M_e=\frac{8+8}{2}=8$ minute.

Modul: cel mai des apare $8$ (de trei ori), deci $M_o=8$ minute.

Amplitudinea: $A=11-6=5$ minute.

Interpretare: cei trei indicatori de tendință centrală coincid ($8=8=8$), semn că datele sunt bine echilibrate în jurul valorii $8$. Un elev tipic rezolvă testul în aproximativ $8$ minute.

Exemplul 2 — Efectul unei valori extreme

Într-o lună, un magazin online a vândut un ghiozdan la prețurile (în lei) practicate de $6$ concurenți: $$40,42,41,43,42,90.$$ Care indicator descrie mai bine „prețul obișnuit”? Justifică.

Rezolvare. Ordonat: $40,41,42,42,43,90$.

Media: $\overline{x}=\frac{298}{6}\approx 49,67$ lei. Mediana: pozițiile $3$ și $4$ sunt $42$ și $42$, deci $M_e=42$ lei. Modul: $M_o=42$ lei. Amplitudinea: $A=90-40=50$ lei.

Justificare: valoarea $90$ este o valoare extremă (mult peste restul). Ea a împins media spre $50$, deși $5$ din $6$ prețuri sunt sub $43$. Prin urmare, mediana ($42$ lei) descrie mai fidel prețul obișnuit. Amplitudinea mare ($50$) confirmă existența unei valori aberante.

Exemplul 3 — Calcul dintr-un tabel de frecvențe

Notele la un test, pentru $25$ de elevi:

Calculează media, mediana și modul.

Rezolvare. Total: $1+2+4+6+5+4+3=25$ elevi. ✓

Media: $$\overline{x}=\frac{4\cdot 1+5\cdot 2+6\cdot 4+7\cdot 6+8\cdot 5+9\cdot 4+10\cdot 3}{25}=\frac{4+10+24+42+40+36+30}{25}=\frac{186}{25}=7,44.$$

Modul: frecvența maximă este $6$, la nota $7$, deci $M_o=7$.

Mediana: $n=25$ (impar), poziția $\frac{25+1}{2}=13$. Frecvențe cumulate: $4\to 1$; $5\to 2$–$3$; $6\to 4$–$7$; $7\to 8$–$13$. Poziția $13$ cade la nota $7$, deci $M_e=7$.

Interpretare: media $7,44$, mediana $7$ și modul $7$ sunt apropiate → clasă omogenă, fără valori extreme; nota tipică este $7$.

Exemplul 4 — Interpretarea unei diagrame cu bare

O diagramă arată câți frați/surori au cei $30$ de elevi ai unei clase:

Câți elevi au cel mult un frate? Care este numărul mediu de frați? Dar modul?

Rezolvare. Tabelul citit din diagramă:

Total: $6+10+8+4+2=30$. ✓

„Cel mult un frate” înseamnă $0$ sau $1$: $6+10=16$ elevi.

Media: $\overline{x}=\frac{0\cdot 6+1\cdot 10+2\cdot 8+3\cdot 4+4\cdot 2}{30}=\frac{0+10+16+12+8}{30}=\frac{46}{30}\approx 1,53$ frați.

Modul: frecvența maximă $10$, la valoarea $1$, deci $M_o=1$ frate. (Cei mai mulți elevi au exact un frate.)

Exemplul 5 — Diagramă circulară cu date calitative

Un sondaj pe $300$ de elevi despre disciplina preferată:

a) Câți elevi au ales Sportul? b) Ce unghi are felia „Matematică”? c) Ce indicator al tendinței centrale are sens aici și care este valoarea lui?

Rezolvare.

a) $25\%\times 300=0,25\times 300=75$ elevi au ales Sportul.

b) Unghiul feliei „Matematică”: $30\%\times 360°=0,3\times 360°=108°$.

c) Datele sunt calitative (discipline, nu numere), deci media și mediana nu au sens. Are sens doar modul: disciplina cu felia cea mai mare este Matematica ($30\%$, adică $0,3\times 300=90$ elevi). Concluzie: cei mai mulți elevi preferă matematica.

Exemplul 6 — Aceeași medie, consistență diferită

Doi baschetbaliști au marcat, în $5$ meciuri, punctele:

• Jucătorul $X$: $12,14,13,15,16$.
• Jucătorul $Y$: $5,20,8,25,12$.

Compară-i folosind indicatorii potriviți.

Rezolvare.

Media $X$: $\frac{12+14+13+15+16}{5}=\frac{70}{5}=14$ puncte. Media $Y$: $\frac{5+20+8+25+12}{5}=\frac{70}{5}=14$ puncte.

Aceeași medie! Ne uităm la amplitudine: $A_X=16-12=4$, iar $A_Y=25-5=20$.

Concluzie: deși media este identică ($14$ puncte), jucătorul $X$ este mult mai constant (amplitudine mică, $4$), pe când $Y$ este imprevizibil (amplitudine mare, $20$: are și meciuri slabe de $5$ puncte, și explozii de $25$). Un antrenor care vrea siguranță îl alege pe $X$; media singură nu i-ar fi arătat diferența.

Să exersăm

1. Pentru setul $6,7,7,8,8,8,9,11$ calculează media, mediana, modul și amplitudinea.

2. Prețurile (în lei) ale unui joc de societate în $7$ magazine sunt: $15,16,15,17,16,15,60$. Calculează media și mediana. Care indicator descrie mai bine prețul obișnuit și de ce?

3. Notele la un test sunt date în tabel:

Câți elevi au fost testați? Calculează media, mediana și modul.

4. O diagramă cu bare arată câți frați au $30$ de elevi: $0$ frați — $6$ elevi, $1$ — $10$, $2$ — $8$, $3$ — $4$, $4$ — $2$. Calculează media, mediana, modul și amplitudinea numărului de frați.

5. Într-un sondaj pe $300$ de elevi despre materia preferată: Matematică $30\%$, Română $25\%$, Engleză $20\%$, Sport $25\%$. Câți elevi preferă Sportul? Ce unghi are felia „Matematică”? Care indicator al tendinței centrale are sens și cât este?

6. Adevărat sau fals? Justifică fiecare răspuns. a) Media unui set poate fi o valoare care nu apare printre date. b) Mediana este întotdeauna una dintre valorile setului. c) Un set de date poate avea mai multe moduri. d) Amplitudinea poate fi un număr negativ. e) Valorile extreme afectează mai mult media decât mediana.

7. Doi elevi au aceeași medie la $5$ teste. Elevul $M$: $12,14,13,15,16$; elevul $N$: $5,20,8,25,12$ (puncte la un concurs). Calculează media fiecăruia și amplitudinile. Care elev este mai constant?

8. Media a $4$ note este $8$. Trei dintre note sunt $7,9,10$. Cât este a patra notă?

9. Media a $5$ numere este $20$. Patru dintre ele sunt $15,18,22,25$. Află al cincilea număr.

10. Setul de temperaturi (°C) la prânz într-o săptămână este $20,22,21,23,24$. Calculează media și mediana. Apoi se adaugă o zi cu $50°$C (eroare de senzor). Recalculează media și mediana și spune care s-a modificat mai mult.

11. Cantitatea de precipitații (mm) în $5$ zile: $0,2,0,15,3$. Calculează media, mediana, modul și amplitudinea. Care indicator descrie cel mai bine „o zi obișnuită” și de ce?

12. (Tip Evaluare Națională) Notele la o lucrare, într-o clasă:

a) Câți elevi sunt în clasă? b) Calculează media notelor. c) Care este mediana? d) Care este modul? e) Ce procent dintre elevi au luat cel puțin nota $7$?

13. Un elev afirmă: „Media notelor clasei mele este $7$, deci sigur cel puțin un coleg a luat exact $7$.” Are dreptate? Justifică printr-un exemplu.

14. Găsește un exemplu de $5$ numere naturale care au mediana $7$, cea mai mare valoare $15$ și media $8$.

15. (Tip Evaluare Națională) O diagramă circulară arată cum ajung la școală $240$ de elevi: pe jos $25\%$, cu autobuzul $35\%$, cu mașina $30\%$, cu bicicleta $10\%$. a) Câți elevi vin cu autobuzul? b) Ce unghi are felia „autobuz”? c) Care este mijlocul de transport cel mai folosit (modul)?

16. O firmă are $10$ angajați: $9$ muncitori câștigă câte $2500$ de lei, iar directorul câștigă $25000$ de lei. Calculează media și mediana salariilor. Firma anunță „salariul mediu $4750$ de lei”. Este corect? Ce indicator ar descrie mai onest salariul unui angajat obișnuit?

Răspunsuri și explicații

1. Suma $=64$, media $=64:8=8$. Mediana (poz. $4,5$): $\frac{8+8}{2}=8$. Modul $=8$ (apare de $3$ ori). Amplitudinea $=11-6=5$. Cei trei indicatori centrali coincid → date echilibrate.

2. Ordonat: $15,15,15,16,16,17,60$. Suma $=154$, media $=154:7=22$ lei. Mediana (poz. $4$ din $7$) $=16$ lei. Mediana descrie mai bine prețul obișnuit, pentru că valoarea extremă $60$ a umflat media; majoritatea prețurilor sunt în jur de $15$–$16$ lei.

3. Total $=1+2+4+6+5+4+3=25$ elevi. Media $=\frac{4+10+24+42+40+36+30}{25}=\frac{186}{25}=7,44$. Mediana: poziția $13\Rightarrow$ nota $7$. Modul $=7$ (frecvența maximă $6$).

4. Total $30$. Media $=\frac{0\cdot 6+1\cdot 10+2\cdot 8+3\cdot 4+4\cdot 2}{30}=\frac{46}{30}\approx 1,53$. Mediana: $n=30$, pozițiile $15$ și $16$; cumulat $0\to$1–6, $1\to$7–16, deci ambele cad la valoarea $1\Rightarrow M_e=1$. Modul $=1$ (frecvența $10$). Amplitudinea $=4-0=4$.

5. Sport: $0,25\times 300=75$ elevi. Unghi „Matematică”: $0,30\times 360°=108°$. Datele sunt calitative → are sens doar modul: Matematica (cea mai mare felie, $30\%$, adică $90$ elevi).

6. a) Adevărat — ex.: $6,7,8,8,9,9,9,10$ are media $8,25$, care nu apare în set. b) Fals — la un număr par de date, mediana este media celor două din mijloc și poate să nu fie în set (ex. mediana $8,5$). c) Adevărat — dacă două valori au aceeași frecvență maximă, setul are două moduri (este bimodal). d) Fals — amplitudinea $=\max -\min \ge 0$, mereu nenegativă. e) Adevărat — media ține cont de mărimea tuturor valorilor, deci extremele o „trag”; mediana depinde doar de poziție, deci le rezistă.

7. Ambele medii: $\frac{70}{5}=14$ puncte. $A_M=16-12=4$; $A_N=25-5=20$. Elevul $M$ este mai constant (amplitudine mult mai mică).

8. Suma celor $4$ note $=8\times 4=32$. Cele trei cunoscute: $7+9+10=26$. A patra $=32-26=6$.

9. Suma $=20\times 5=100$. Cele patru: $15+18+22+25=80$. Al cincilea $=100-80=20$.

10. Inițial: suma $=110$, media $=22$; ordonat $20,21,22,23,24$, mediana $=22$. După adăugarea lui $50$: $6$ valori, suma $=160$, media $=\frac{160}{6}\approx 26,67$; ordonat $20,21,22,23,24,50$, mediana (poz. $3,4$) $=\frac{22+23}{2}=22,5$. Media s-a schimbat mult ($+4,67$), mediana aproape deloc ($+0,5$) → mediana rezistă la valoarea extremă.

11. Ordonat: $0,0,2,3,15$. Suma $=20$, media $=4$ mm. Mediana (poz. $3$) $=2$ mm. Modul $=0$ (apare de $2$ ori). Amplitudinea $=15-0=15$. „O zi obișnuită” e descrisă mai bine de mediană ($2$ mm) sau mod ($0$ mm): media $4$ este umflată de ziua ploioasă cu $15$ mm.

12. a) $2+3+5+8+4+3=25$ elevi. b) Media $=\frac{5\cdot 2+6\cdot 3+7\cdot 5+8\cdot 8+9\cdot 4+10\cdot 3}{25}=\frac{10+18+35+64+36+30}{25}=\frac{193}{25}=7,72$. c) Mediana: poziția $13$; cumulat $5\to$1–2, $6\to$3–5, $7\to$6–10, $8\to$11–18, deci poz. $13\Rightarrow M_e=8$. d) Modul $=8$ (frecvența maximă $8$). e) Cel puțin $7$: $5+8+4+3=20$ elevi din $25$, adică $\frac{20}{25}=0,8=80\%$.

13. Nu are dreptate. Media nu trebuie să apară printre date. Contraexemplu: notele $6,8,6,8$ au media $\frac{28}{4}=7$, dar nimeni nu a luat $7$.

14. Numerele trebuie ordonate $a\le b\le 7\le d\le 15$, cu al treilea egal cu $7$ (mediana), maximul $15$ și suma $=8\times 5=40$. Deci $a+b+d=40-7-15=18$. Un exemplu: $4,7,7,7,15$ (suma $40$, mediana $7$, max $15$, media $8$). ✓ (Există și alte răspunsuri corecte, ex. $3,6,7,9,15$.)

15. a) Autobuz: $0,35\times 240=84$ elevi. b) Unghi „autobuz”: $0,35\times 360°=126°$. c) Modul $=$ autobuzul (procentul cel mai mare, $35\%$).

16. Suma salariilor $=9\times 2500+25000=22500+25000=47500$. Media $=\frac{47500}{10}=4750$ lei — deci anunțul e corect matematic. Mediana: $10$ valori ordonate, pozițiile $5$ și $6$ sunt ambele $2500$, deci $M_e=2500$ lei. Modul $=2500$. Un angajat obișnuit câștigă $2500$ de lei; mediana (sau modul) descrie mai onest realitatea, pentru că salariul directorului este o valoare extremă care umflă media.

De reținut

• Toți indicatorii se calculează pentru același set: media $=\frac{\text{suma}}{n}$; mediana $=$ valoarea (sau media celor două) din mijloc după ordonare; modul $=$ valoarea cea mai frecventă; amplitudinea $=\max -\min$.
• Media este sensibilă la valorile extreme; mediana și modul nu sunt. Când apar valori aberante, mediana descrie mai fidel „valoarea tipică”.
• Pentru date calitative (categorii care nu sunt numere) are sens doar modul; media și mediana nu se pot calcula.
• În diagrama circulară: unghi $=$ procent $\times 360°$ și număr $=$ procent $\times$ total.
• O concluzie corectă nu se oprește la un număr: alege indicatorul potrivit situației și îl traduce în cuvinte.

Greșeli frecvente

• „Media apare mereu printre date.” Fals — media poate fi o valoare care nu există în set (ex. $8,25$). La fel, mediana la număr par de date poate fi între două valori.
• Folosirea mediei acolo unde sunt valori extreme. Cea mai frecventă capcană de examen: media „umflată” de un salariu/preț/timp aberant. Verifică diferența dintre medie și mediană și amplitudinea; dacă sunt mari, preferă mediana.
• Calcularea unei „medii” pentru date calitative. Nu poți face media culorilor, a sporturilor sau a mărimilor de tricou ca preferință — pentru ele folosești modul.
• Uitarea înmulțirii cu frecvența la tabele. La un tabel de frecvențe, media NU este suma valorilor distincte împărțită la câte sunt, ci $\frac{\sum (x\cdot \text{frecvența})}{\text{total}}$. Verifică mereu întâi totalul (suma frecvențelor).

Aplică acasă

• Bugetul familiei. Notează, timp de $7$ zile, cât cheltuiți zilnic pe cumpărături. Calculează media, mediana și amplitudinea. Dacă într-o zi ați făcut o cumpărătură mare (ex. o factură), observă cum media crește, dar mediana rămâne aproape neschimbată — și explică părinților care cifră reflectă mai bine „o zi obișnuită”.
• Sondaj în clasă. Întreabă $20$ de colegi care este sportul (sau muzica) preferat(ă). Fă un tabel de frecvențe și o diagramă circulară cu procente și unghiuri. Care este modul? Explică de ce aici media nu are sens.
• Analiză sportivă/meteo. Ia de pe internet punctele marcate de echipa ta favorită în ultimele $10$ meciuri (sau temperaturile din ultimele $10$ zile). Calculează toți patru indicatorii și scrie o concluzie de $2$–$3$ fraze despre cât de „constantă” a fost echipa/vremea, folosind amplitudinea.

Pentru părinți și profesori

Această lecție încheie unitatea de statistică și mută accentul de la calcul la interpretare — exact competența pe care o testează Evaluarea Națională: elevul trebuie să extragă date dintr-un tabel sau o diagramă, să calculeze corect indicatorii și, mai ales, să tragă o concluzie potrivită. Itemii de statistică apar aproape la fiecare examen, de regulă cu punctaj accesibil, deci merită stăpâniți sigur.

Cum sprijiniți elevul acasă:

• Puneți întrebări de tipul „ce număr descrie mai bine situația și de ce?”, nu doar „cât e media?”. Cereți justificarea alegerii indicatorului.
• Verificați dacă înțelege sensul diferenței dintre medie și mediană printr-un exemplu cu o valoare extremă (salariul directorului, prețul aberant). Dacă poate explica de ce media „minte”, a înțeles esențialul.
• Testați reflexul de la tabele: „media se calculează înmulțind fiecare valoare cu frecvența ei” — o greșeală des întâlnită este împărțirea la numărul de valori distincte.
• La diagrame circulare, verificați dacă știe relațiile procent–unghi ($\times 360°$) și procent–număr ($\times$ total) și dacă recunoaște că pentru categorii se folosește doar modul.

Un semn clar că elevul a înțeles: poate lua un set cu o valoare extremă, poate calcula corect toți indicatorii ȘI poate spune, în cuvintele lui, care indicator recomandă și de ce.

Întrebări frecvente

Când folosesc media și când mediana? Folosește media când datele sunt echilibrate, fără valori mult mai mari sau mai mici decât restul (note obișnuite, temperaturi normale). Folosește mediana când există valori extreme care ar distorsiona media (salarii cu un director, prețuri cu un caz aberant, timpi cu o întârziere uriașă). Mediana descrie atunci mai fidel „valoarea tipică”.

Care este diferența dintre medie, mediană și mod, pe scurt? Media este suma valorilor împărțită la numărul lor (valoarea de echilibru). Mediana este valoarea de la mijloc după ordonare (împarte datele în două jumătăți). Modul este valoarea care apare cel mai des. Pot fi trei numere diferite pentru același set, iar fiecare privește datele din alt unghi.

De ce valorile extreme afectează media, dar nu mediana? Media se calculează adunând toate valorile, deci mărimea fiecărei valori contează: o valoare foarte mare crește suma și „trage” media spre ea. Mediana depinde doar de poziția valorii în șirul ordonat, nu de cât de mare este, așa că o valoare extremă nu o clintește aproape deloc.

Pot calcula media pentru date care nu sunt numere (culori, sporturi)? Nu. Pentru date calitative (categorii) media și mediana nu au sens, pentru că nu poți aduna categorii și împărți la numărul lor. Singurul indicator care se aplică este modul: categoria cea mai frecventă.

Cum aflu un indicator dintr-un tabel de frecvențe? Media este $\frac{\sum (x\cdot \text{frecvența})}{\text{totalul frecvențelor}}$. Modul este valoarea cu frecvența cea mai mare. Pentru mediană, folosești frecvențele cumulate ca să găsești poziția din mijloc, fără să rescrii toate valorile. Verifică întâi totalul (suma frecvențelor).

Cum transform procentele dintr-o diagramă circulară în număr de date sau în unghi? Numărul de date dintr-o felie $=$ procent $\times$ total (ex. $25\%$ din $200=50$). Unghiul feliei $=$ procent $\times 360°$ (ex. $25\%\times 360°=90°$). Suma tuturor procentelor trebuie să fie $100\%$, iar suma unghiurilor $360°$.

Ce indicator arată cât de „împrăștiate” sunt datele? Amplitudinea, egală cu diferența dintre valoarea maximă și cea minimă. O amplitudine mare înseamnă date foarte diferite (neomogene, imprevizibile); una mică înseamnă date apropiate (constante). Ea completează indicatorii de tendință centrală, arătând stabilitatea datelor.

Poate media să fie o valoare care nu apare printre date? Da. De exemplu, notele $6,8,6,8$ au media $7$, deși nimeni nu a luat $7$. La fel, mediana la un număr par de valori poate fi între două date. Din acest motiv, afirmații de tipul „media e $7$, deci cineva a luat $7$” sunt greșite.