Acasă · Clasa a VIII-a · Lecții · Elemente de statistică. Frecvența absolută și frecvența relativă a unui set de date

Elemente de statistică. Frecvența absolută și frecvența relativă a unui set de date

Deschide orice ziar, aplicație de vreme sau site sportiv și vei da imediat peste numere care „povestesc” ceva: câți oameni preferă o echipă, ce procent dintre elevi au trecut un examen, cât de des plouă într-o lună. În spatele acestor cifre se ascunde statistica, ramura matematicii care ne ajută să adunăm, să organizăm și să înțelegem datele din jurul nostru. În această lecție înveți două noțiuni fundamentale: frecvența absolută (de câte ori apare o valoare) și frecvența relativă (cât de mare este acea apariție în raport cu întregul, exprimată ca fracție, zecimală sau procent). Sunt idei simple, dar puternice: cu ele poți transforma o grămadă dezordonată de numere într-un tabel clar și într-o diagramă pe care oricine o citește dintr-o privire. Statistica apare constant la Evaluarea Națională, iar aici pui bazele pentru lecțiile următoare despre medie, mediană, mod și amplitudine.

Ce vei învăța

Vei ști să identifici populația statistică, caracteristica studiată și valorile unui set de date.
Vei ști să calculezi frecvența absolută a fiecărei valori dintr-o serie de date.
Vei ști să calculezi frecvența relativă și să o exprimi ca fracție, zecimală și procent.
Vei ști să organizezi datele într-un tabel de frecvențe și să verifici că suma frecvențelor relative este $1$ (adică $100%$ ).
Vei ști să citești și să construiești o diagramă cu bare și o diagramă circulară.

Hai să descoperim împreună

Ce este un set de date și de unde vine

Imaginează-ți că profesoara diriginte întreabă fiecare elev din clasă ce sport preferă. Ea notează răspunsurile, iar la final are o listă. În limbaj statistic:

populația statistică = mulțimea tuturor elementelor studiate. Aici: toți elevii din clasă.
caracteristica (sau variabila statistică) = însușirea pe care o observăm. Aici: sportul preferat.
datele (sau seria de date) = răspunsurile efective, în ordinea în care au fost culese.
valorile = variantele distincte care apar. Aici: fotbal, baschet, tenis, volei etc.

Să luăm o listă concretă. Zece elevi răspund, în ordine, așa:

$fotbal, baschet, fotbal, tenis, baschet, fotbal, volei, tenis, fotbal, baschet$

Această listă brută nu ne spune mare lucru dintr-o privire. Ca să o înțelegem, o organizăm: numărăm de câte ori apare fiecare valoare.

Frecvența absolută: „de câte ori apare”

Definiție. Frecvența absolută a unei valori este numărul care arată de câte ori apare acea valoare în setul de date. O notăm de obicei cu $f$ sau $n_{i}$ .

Numărăm din lista de mai sus:

fotbal apare de $4$ ori $\Rightarrow$ frecvența absolută este $4$ ;
baschet apare de $3$ ori $\Rightarrow$ frecvența absolută este $3$ ;
tenis apare de $2$ ori $\Rightarrow$ frecvența absolută este $2$ ;
volei apare $1$ dată $\Rightarrow$ frecvența absolută este $1$ .

Observă un lucru esențial: dacă adunăm toate frecvențele absolute, obținem numărul total de date:

$4 + 3 + 2 + 1 = 10.$

Acesta nu e un accident. Suma frecvențelor absolute este mereu egală cu numărul total de date, notat cu $n$ (aici $n = 10$ ). E o verificare rapidă pe care merită să o faci mereu: dacă suma nu dă $n$ , ai numărat greșit undeva.

Frecvența absolută este întotdeauna un număr natural ( $0, 1, 2, 3, \dots$ ), pentru că este o numărătoare. Nu are cum să fie $2, 5$ sau o fracție — nu poți avea „doi elevi și jumătate” care preferă tenisul.

Frecvența relativă: „cât de mult din întreg”

Frecvența absolută ne spune un număr, dar de multe ori vrem să știm cât de important este acel număr față de întreg. Dacă îți spun că $4$ elevi preferă fotbalul, e mult sau puțin? Depinde: $4$ din $10$ e cu totul altceva decât $4$ din $1000$ . De aceea introducem frecvența relativă.

Definiție. Frecvența relativă a unei valori este raportul dintre frecvența absolută a acelei valori și numărul total de date: $f_{r} = \frac{frecven ț a absolut a ˘}{num a ˘ rul total de date} = \frac{f}{n} .$

Pentru fotbal: $f_{r} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0, 4 = 40%.$

Vezi că aceeași frecvență relativă poate fi scrisă în trei moduri, toate corecte:

ca fracție: $\frac{4}{10}$ (de preferat simplificată, $\frac{2}{5}$ );
ca zecimală: $0, 4$ (împarți efectiv numărătorul la numitor);
ca procent: $40%$ (înmulțești zecimala cu $100$ : $0, 4 \cdot 100 = 40$ ).

Reține trecerea de la zecimală la procent: înmulțești cu $100$ și adaugi semnul $%$ . Invers, un procent se transformă în zecimală împărțind la $100$ : $40% = \frac{40}{100} = 0, 4$ .

Să calculăm frecvențele relative pentru toate valorile ( $n = 10$ ):

baschet: $\frac{3}{10} = 0, 3 = 30%$ ;
tenis: $\frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0, 2 = 20%$ ;
volei: $\frac{1}{10} = 0, 1 = 10%$ .

Tabelul de frecvențe și verificarea sumei

Toate aceste informații se strâng frumos într-un tabel de frecvențe, care are pe rânduri valorile, iar pe coloane frecvența absolută și frecvența relativă.

Valoarea (sportul)	Frecvența absolută $f$	Frecvența relativă $f_{r}$	În procente
fotbal	4	$0, 4$	$40%$
baschet	3	$0, 3$	$30%$
tenis	2	$0, 2$	$20%$
volei	1	$0, 1$	$10%$
Total	10	1	100%

Uită-te la ultima linie. Ea ascunde cea mai importantă verificare din această lecție:

Proprietate. Suma tuturor frecvențelor relative este întotdeauna egală cu $1$ (adică $100%$ ).

De ce? Pentru că adunând toate rapoartele $\frac{f}{n}$ obținem $\frac{f _{1} + f _{2} + \dots}{n} = \frac{n}{n} = 1$ . Numărătorul (suma frecvențelor absolute) este exact $n$ , deci fracția se simplifică la $1$ . Verificarea noastră:

$0, 4 + 0, 3 + 0, 2 + 0, 1 = 1 sau 40% + 30% + 20% + 10% = 100%. ✓$

Dacă la un exercițiu suma procentelor tale nu dă $100%$ , ai o greșeală de calcul. (Excepție firească: la rotunjiri, când valorile nu sunt „rotunde”, suma poate ieși $99, 9%$ sau $100, 1%$ — e normal și se explică prin rotunjire.)

Un exemplu numeric mai bogat

Datele nu sunt mereu cuvinte; foarte des sunt numere. Să luăm notele obținute de $20$ de elevi la un test:

Nota	4	5	6	7	8	9	10
$f$	1	2	3	4	5	3	2

Verificăm totalul: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 3 + 2 = 20 = n .$ ✔️ Acum frecvențele relative, împărțind fiecare la $20$ :

Nota	$f$	$f_{r}$ (zecimală)	Procent
4	1	$0, 05$	$5%$
5	2	$0, 10$	$10%$
6	3	$0, 15$	$15%$
7	4	$0, 20$	$20%$
8	5	$0, 25$	$25%$
9	3	$0, 15$	$15%$
10	2	$0, 10$	$10%$
Total	20	1	100%

Suma procentelor: $5% + 10% + 15% + 20% + 25% + 15% + 10% = 100%.$ ✔️ Dintr-o privire vedem acum că nota cea mai des întâlnită este $8$ (un sfert din clasă), iar notele mici sunt rare.

Reprezentarea grafică: diagrama cu bare

Un tabel e clar, dar un desen se citește și mai repede. Diagrama cu bare (numită și diagramă cu coloane) reprezintă fiecare valoare printr-o bară a cărei înălțime este proporțională cu frecvența.

Reguli pentru o diagramă cu bare corectă:

toate barele au aceeași lățime;
înălțimea barei = frecvența valorii (poți folosi frecvența absolută sau cea relativă, dar aceeași pe tot graficul);
axele sunt etichetate (ce reprezintă și în ce unitate), iar scara pe verticală este uniformă;
între bare lași spații egale.

Reprezentarea grafică: diagrama circulară

Diagrama circulară (popular, „diagrama plăcintă”) împarte un cerc întreg în sectoare, fiecare sector reprezentând o valoare. Aici frecvența relativă strălucește: cercul întreg are $360°$ și reprezintă $100%$ din date. Prin urmare:

Regulă. Măsura unghiului la centru al unui sector este: $unghi = f_{r} \cdot 360° = \frac{f}{n} \cdot 360°.$

Să revenim la exemplul cu sporturile ( $n = 10$ ):

fotbal: $0, 4 \cdot 360° = 144°$ ;
baschet: $0, 3 \cdot 360° = 108°$ ;
tenis: $0, 2 \cdot 360° = 72°$ ;
volei: $0, 1 \cdot 360° = 36°$ .

Verificare: $144° + 108° + 72° + 36° = 360°.$ ✔️ (Ca și la procente, suma unghiurilor trebuie să dea exact $360°$ .)

Când folosești fiecare tip de diagramă? Diagrama cu bare e bună pentru a compara mărimi (care valoare e mai mare?). Diagrama circulară e bună pentru a arăta cum se împarte întregul (ce parte din total reprezintă fiecare). Ambele pornesc din același tabel de frecvențe — de aceea tabelul e piesa centrală.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Frecvența absolută dintr-o listă brută

Enunț. Douăzeci de elevi au fost întrebați câți frați au. Răspunsurile, în ordine, sunt: $1, 0, 2, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 1, 4, 1, 2, 0, 3, 1, 2, 0, 1, 1.$ Determină frecvența absolută a fiecărei valori.

Rezolvare. Valorile distincte care apar sunt $0, 1, 2, 3, 4$ . Numărăm atent (poți tăia câte un element pe măsură ce îl bifezi, ca să nu greșești):

valoarea $0$ apare de $5$ ori;
valoarea $1$ apare de $8$ ori;
valoarea $2$ apare de $4$ ori;
valoarea $3$ apare de $2$ ori;
valoarea $4$ apare $1$ dată.

Verificare: $5 + 8 + 4 + 2 + 1 = 20 = n .$ ✔️ Deci am numărat corect toate cele $20$ de răspunsuri.

Exemplul 2 — Frecvența relativă în trei forme

Enunț. Pentru datele din Exemplul 1, calculează frecvența relativă a valorii $1$ (elevii cu exact un frate), exprimată ca fracție simplificată, zecimală și procent.

Rezolvare. Frecvența absolută a valorii $1$ este $8$ , iar totalul este $n = 20$ . $f_{r} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0, 4 = 40%.$ Am simplificat fracția $\frac{8}{20}$ cu $4$ , am împărțit $2 : 5 = 0, 4$ , apoi am înmulțit cu $100$ pentru procent. Așadar $40%$ dintre elevi au exact un frate.

Exemplul 3 — Tabel de frecvențe complet și verificarea sumei

Enunț. Un zar a fost aruncat de $25$ de ori, obținându-se rezultatele: $4, 2, 6, 1, 3, 4, 2, 5, 4, 6, 3, 2, 1, 4, 6, 2, 3, 3, 4, 6, 5, 2, 1, 4, 6.$ Alcătuiește tabelul de frecvențe (absolută și relativă în procente) și verifică suma frecvențelor relative.

Rezolvare. Numărăm aparițiile fiecărei fețe $1, 2, 3, 4, 5, 6$ :

Fața	$f$	$f_{r} = \frac{f}{25}$	Procent
1	3	$0, 12$	$12%$
2	5	$0, 20$	$20%$
3	4	$0, 16$	$16%$
4	6	$0, 24$	$24%$
5	2	$0, 08$	$8%$
6	5	$0, 20$	$20%$
Total	25	1	100%

Verificare totaluri: frecvențe absolute $3 + 5 + 4 + 6 + 2 + 5 = 25 = n$ ✔️; procente $12% + 20% + 16% + 24% + 8% + 20% = 100%$ ✔️. Fața cea mai des obținută a fost $4$ (de $6$ ori, adică $24%$ ).

Exemplul 4 — Unghiurile unei diagrame circulare

Enunț. Un chestionar despre mijlocul de transport spre școală, aplicat la $30$ de elevi, a dat: pe jos $12$ , cu autobuzul $9$ , cu mașina $6$ , cu bicicleta $3$ . Calculează măsurile unghiurilor sectoarelor pentru o diagramă circulară.

Rezolvare. Mai întâi frecvențele relative ( $n = 30$ ), apoi le înmulțim cu $360°$ .

Transport	$f$	$f_{r}$	Unghi $= f_{r} \cdot 360°$
pe jos	12	$\frac{12}{30} = 0, 4$	$0, 4 \cdot 360° = 144°$
autobuz	9	$\frac{9}{30} = 0, 3$	$0, 3 \cdot 360° = 108°$
mașină	6	$\frac{6}{30} = 0, 2$	$0, 2 \cdot 360° = 72°$
bicicletă	3	$\frac{3}{30} = 0, 1$	$0, 1 \cdot 360° = 36°$

Verificare: $144° + 108° + 72° + 36° = 360°.$ ✔️ Cu un raportor, ai putea acum desena exact cercul împărțit.

Exemplul 5 — Probleme „inverse” cu frecvențe

Enunț. a) Într-un set de date, o valoare are frecvența relativă $20%$ și frecvența absolută $7$ . Câte date are setul? b) Un alt set are $50$ de date. O valoare are frecvența relativă $24%$ . Care este frecvența ei absolută?

Rezolvare. a) Din $f_{r} = \frac{f}{n}$ rezultă $n = \frac{f}{f _{r}}$ . Cu $f = 7$ și $f_{r} = 20% = 0, 2$ : $n = \frac{7}{0 , 2} = 35.$ Setul are $35$ de date. (Verificare: $\frac{7}{35} = 0, 2 = 20%$ ✔️.)

b) Din $f_{r} = \frac{f}{n}$ rezultă $f = f_{r} \cdot n$ . Cu $f_{r} = 0, 24$ și $n = 50$ : $f = 0, 24 \cdot 50 = 12.$ Frecvența absolută este $12$ . Reține relația-cheie: din oricare două dintre mărimile $f$ , $f_{r}$ , $n$ o poți afla pe a treia.

Exemplul 6 — Item tip Evaluarea Națională: citirea unei diagrame

Enunț. Diagrama cu bare de mai jos arată numărul de cărți citite într-o lună de elevii unei clase.

a) Câți elevi are clasa? b) Care este frecvența relativă (în procente) a elevilor care au citit exact $2$ cărți? c) Ce procent dintre elevi au citit cel puțin $2$ cărți?

Rezolvare. a) Numărul total de elevi = suma frecvențelor: $5 + 9 + 4 + 2 = 20$ elevi.

b) „Exact $2$ cărți” are frecvența absolută $4$ , deci $f_{r} = \frac{4}{20} = 0, 2 = 20%$ .

c) „Cel puțin $2$ cărți” înseamnă $2$ sau $3$ cărți: $4 + 2 = 6$ elevi. Frecvența relativă: $\frac{6}{20} = 0, 3 = 30%$ . Așadar $30%$ dintre elevi au citit cel puțin două cărți.

Să exersăm

1. Culoarea preferată a $10$ elevi este, în ordine: roșu, albastru, roșu, verde, albastru, roșu, galben, verde, roșu, albastru. Determină frecvența absolută a fiecărei culori.

2. Pentru setul de la exercițiul 1, calculează frecvența relativă a fiecărei culori, ca zecimală și ca procent.

3. Verifică, prin adunare, că suma frecvențelor relative de la exercițiul 2 este $100%$ .

4. Un zar a fost aruncat de $20$ de ori, obținându-se: $6, 3, 1, 4, 6, 2, 5, 6, 3, 4, 6, 1, 2, 6, 3, 5, 4, 6, 2, 6.$ Alcătuiește tabelul de frecvențe (frecvența absolută și frecvența relativă în procente).

5. Într-o clasă de $25$ de elevi, $10$ au ales limba franceză ca a doua limbă străină. Care este frecvența relativă a elevilor care au ales franceza, ca fracție simplificată, zecimală și procent?

6. Frecvența relativă a unei valori dintr-un set de date este $20%$ , iar frecvența ei absolută este $7$ . Câte date are setul?

7. Un set are $40$ de date. O valoare are frecvența relativă $35%$ . Care este frecvența ei absolută?

8. Un set de date are patru valori, cu frecvențele relative $25%$ , $25%$ , $30%$ și $20%$ . Calculează măsurile unghiurilor sectoarelor pentru o diagramă circulară.

9. Adevărat sau fals? Motivează fiecare răspuns. a) Suma frecvențelor absolute este egală cu numărul total de date. b) Frecvența relativă a unei valori poate fi mai mare decât $1$ . c) Suma frecvențelor relative exprimate în procente este $100%$ . d) Frecvența absolută poate fi un număr zecimal, de exemplu $3, 5$ .

10. Un set de $50$ de date are valorile $A, B, C, D$ cu frecvențele absolute $12$ , $15$ , $8$ și, respectiv, o valoare necunoscută. Află frecvența absolută a lui $D$ și apoi frecvențele relative (în procente) ale tuturor valorilor.

11. Într-un sondaj cu $200$ de persoane, $45%$ preferă ceaiul, $35%$ preferă cafeaua, iar restul nu preferă niciuna. Câte persoane sunt în fiecare categorie?

12. Un baschetbalist a marcat, în $10$ meciuri, următoarele punctaje: $12, 15, 15, 20, 12, 18, 15, 20, 15, 18$ . Alcătuiește tabelul de frecvențe și precizează câte puncte a marcat cel mai frecvent.

13. (Tip EN) O diagramă cu bare arată numărul de mesaje trimise într-o oră de un grup de elevi: „ $0$ mesaje” → $4$ elevi, „ $1$ mesaj” → $8$ elevi, „ $2$ mesaje” → $6$ elevi, „ $3$ mesaje” → $2$ elevi. a) Câți elevi sunt în grup? b) Care este frecvența relativă (în procente) a elevilor care au trimis exact $2$ mesaje? c) Ce procent dintre elevi au trimis cel puțin $2$ mesaje?

14. Într-o diagramă circulară, sectorul elevilor care merg pe jos are unghiul la centru de $90°$ . Ce frecvență relativă (în procente) reprezintă acest sector? Dacă în total sunt $40$ de elevi, câți merg pe jos?

15. Un set de date are patru valori. Frecvențele lor relative sunt $30%$ , $25%$ , $x %$ și $2 x %$ . Determină $x$ , apoi calculează frecvențele absolute ale celor patru valori dacă setul are $n = 40$ de date.

16. Într-o zi, un magazin a vândut $80$ de înghețate: $24$ de vanilie, $20$ de ciocolată, $16$ de căpșuni, iar restul de fistic. a) Câte înghețate de fistic s-au vândut? b) Calculează frecvența relativă (în procente) a fiecărui sortiment. c) Ce măsură are unghiul sectorului pentru vanilie într-o diagramă circulară?

Răspunsuri și explicații

1. roșu $\to 4$ ; albastru $\to 3$ ; verde $\to 2$ ; galben $\to 1$ . Verificare: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ . ✔️

2. Împărțim fiecare la $n = 10$ : roșu $\frac{4}{10} = 0, 4 = 40%$ ; albastru $0, 3 = 30%$ ; verde $0, 2 = 20%$ ; galben $0, 1 = 10%$ .

3. $40% + 30% + 20% + 10% = 100%$ . ✔️ Suma dă exact întregul, deci calculele sunt corecte.

4. Numărând aparițiile ( $n = 20$ ):

Fața	1	2	3	4	5	6
$f$	2	3	3	3	2	7
Procent	$10%$	$15%$	$15%$	$15%$	$10%$	$35%$

Verificare: $2 + 3 + 3 + 3 + 2 + 7 = 20$ ✔️ și $10% + 15% + 15% + 15% + 10% + 35% = 100%$ ✔️.

5. $\frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0, 4 = 40%$ . (Am simplificat fracția cu $5$ .)

6. $n = \frac{f}{f _{r}} = \frac{7}{0 , 2} = 35$ date. Verificare: $\frac{7}{35} = 0, 2 = 20%$ . ✔️

7. $f = f_{r} \cdot n = 0, 35 \cdot 40 = 14$ .

8. Înmulțim fiecare frecvență relativă cu $360°$ : primul sector $0, 25 \cdot 360° = 90°$ ; al doilea, tot $25%$ , $0, 25 \cdot 360° = 90°$ ; al treilea $0, 30 \cdot 360° = 108°$ ; al patrulea $0, 20 \cdot 360° = 72°$ . Verificare: $90° + 90° + 108° + 72° = 360°$ . ✔️

9. a) Adevărat. Prin definiție, adunând de câte ori apare fiecare valoare obținem numărul total de date. b) Fals. Frecvența relativă este un raport $\frac{f}{n}$ cu $0 \leq f \leq n$ , deci este mereu cuprinsă între $0$ și $1$ ; nu poate depăși $1$ (adică $100%$ ). c) Adevărat. Suma frecvențelor relative este $\frac{n}{n} = 1 = 100%$ . d) Fals. Frecvența absolută este o numărătoare, deci un număr natural; nu poate fi $3, 5$ .

10. $D = 50 - 12 - 15 - 8 = 15$ . Frecvențe relative ( $n = 50$ ): $A = \frac{12}{50} = 24%$ ; $B = \frac{15}{50} = 30%$ ; $C = \frac{8}{50} = 16%$ ; $D = \frac{15}{50} = 30%$ . Verificare: $24% + 30% + 16% + 30% = 100%$ . ✔️

11. ceai: $0, 45 \cdot 200 = 90$ persoane; cafea: $0, 35 \cdot 200 = 70$ persoane; restul: $100% - 45% - 35% = 20%$ , deci $0, 20 \cdot 200 = 40$ persoane. Verificare: $90 + 70 + 40 = 200$ . ✔️

12. Tabelul ( $n = 10$ ):

Puncte	12	15	18	20
$f$	2	4	2	2
Procent	$20%$	$40%$	$20%$	$20%$

Verificare: $2 + 4 + 2 + 2 = 10$ ✔️. Cel mai frecvent a marcat $15$ puncte (de $4$ ori) — este valoarea cu frecvența absolută cea mai mare.

13. a) $4 + 8 + 6 + 2 = 20$ elevi. b) exact $2$ mesaje: $\frac{6}{20} = 0, 3 = 30%$ . c) cel puțin $2$ mesaje ( $2$ sau $3$ ): $6 + 2 = 8$ elevi, deci $\frac{8}{20} = 0, 4 = 40%$ .

14. $f_{r} = \frac{90°}{360°} = \frac{1}{4} = 0, 25 = 25%$ . Numărul de elevi care merg pe jos: $0, 25 \cdot 40 = 10$ elevi.

15. Suma frecvențelor relative este $100%$ : $30 + 25 + x + 2 x = 100 \Rightarrow 55 + 3 x = 100 \Rightarrow 3 x = 45 \Rightarrow x = 15$ . Deci procentele sunt $30%$ , $25%$ , $15%$ , $30%$ . Frecvențe absolute ( $n = 40$ ): $0, 30 \cdot 40 = 12$ ; $0, 25 \cdot 40 = 10$ ; $0, 15 \cdot 40 = 6$ ; $0, 30 \cdot 40 = 12$ . Verificare: $12 + 10 + 6 + 12 = 40$ . ✔️

16. a) fistic: $80 - 24 - 20 - 16 = 20$ înghețate. b) vanilie $\frac{24}{80} = 30%$ ; ciocolată $\frac{20}{80} = 25%$ ; căpșuni $\frac{16}{80} = 20%$ ; fistic $\frac{20}{80} = 25%$ . Verificare: $30% + 25% + 20% + 25% = 100%$ . ✔️ c) unghiul pentru vanilie: $0, 30 \cdot 360° = 108°$ .

De reținut

Frecvența absolută $f$ = de câte ori apare o valoare în setul de date; este mereu un număr natural, iar suma tuturor frecvențelor absolute este numărul total de date, $n$ .
Frecvența relativă: $f_{r} = \frac{f}{n}$ , exprimabilă ca fracție, zecimală sau procent. Trecerea zecimală $\to$ procent se face înmulțind cu $100$ .
Suma frecvențelor relative este întotdeauna $1$ (adică $100%$ ) — verificarea ta principală la orice tabel de frecvențe.
Din relația $f_{r} = \frac{f}{n}$ afli oricare mărime dacă le știi pe celelalte două: $f = f_{r} \cdot n$ și $n = \frac{f}{f _{r}}$ .
În diagrama circulară, unghiul unui sector este $unghi = f_{r} \cdot 360°$ , iar suma unghiurilor este $360°$ . În diagrama cu bare, înălțimea barei este proporțională cu frecvența.

Greșeli frecvente

Confunzi frecvența absolută cu cea relativă. Absoluta e un simplu număr de apariții ( $f$ ); relativa e un raport față de total ( $f / n$ ), scris ca fracție, zecimală sau procent. Când problema cere „în procente”, răspunsul trebuie să aibă semnul $%$ .
Uiți să împarți la numărul total. Frecvența relativă NU este $f \cdot 100$ , ci $\frac{f}{n} \cdot 100%$ . Fără împărțirea la $n$ , procentul iese complet greșit.
Suma frecvențelor relative nu dă $100%$ și nu observi. Fă mereu adunarea de control. Dacă nu iese $100%$ (peste micile abateri de rotunjire), ai o eroare de numărare sau de calcul.
La diagrama circulară confunzi procentul cu unghiul. $25%$ nu înseamnă $25°$ , ci $0, 25 \cdot 360° = 90°$ . Cercul întreg are $360°$ , nu $100°$ .

Aplică acasă

Sondaj în familie. Întreabă $10$ – $15$ persoane (rude, colegi, vecini) ce anotimp preferă. Notează răspunsurile brute, apoi construiește tabelul de frecvențe cu frecvența absolută și cea relativă în procente. Verifică dacă suma procentelor dă $100%$ .
Statistica propriilor note. Ia toate notele tale la o materie din acest semestru. Alcătuiește tabelul de frecvențe și desenează o diagramă cu bare pe hârtie milimetrică. Care notă apare cel mai des? Ce procent din note sunt de $9$ sau $10$ ?
Diagramă circulară a timpului tău. Împarte o zi obișnuită (24 de ore) pe activități: somn, școală, teme, sport, timp liber, altele. Transformă fiecare număr de ore în frecvență relativă și apoi în unghi ( $f_{r} \cdot 360°$ ). Desenează cercul cu raportorul și colorează sectoarele. Verifică dacă unghiurile însumează $360°$ .

Pentru părinți și profesori

Această lecție este poarta de intrare în statistică și pregătește noțiunile de medie, mediană, mod și amplitudine din lecțiile următoare. Verificați înțelegerea cu întrebări simple, dar precise:

„Ce înseamnă că o valoare are frecvența absolută $6$ ?” (Apare de $6$ ori.)
„Dacă totalul este $30$ și o valoare apare de $6$ ori, ce frecvență relativă are, în procente?” (Răspuns: $20%$ ; important e reflexul de a împărți la total și de a înmulți cu $100$ .)
„Cât trebuie să dea suma tuturor procentelor dintr-un tabel de frecvențe?” ( $100%$ — dacă nu știe asta, reluați ideea că frecvențele relative acoperă întregul.)

Un semn clar că elevul a înțeles este că poate trece fluent între frecvență absolută, fracție, zecimală și procent și că folosește spontan verificarea „suma dă $n$ ” și „suma dă $100%$ ”. La Evaluarea Națională, statistica apare de regulă la Subiectul al II-lea (itemi cu răspuns scurt) și în probleme aplicate, cel mai des cerând citirea unei diagrame cu bare sau circulare, completarea unui tabel de frecvențe ori calculul unui procent — sarcini pe care le antrenăm direct în această lecție.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre frecvența absolută și frecvența relativă? Frecvența absolută spune de câte ori apare o valoare (un număr întreg de apariții), iar frecvența relativă spune ce parte din întreg reprezintă acea valoare, ca raport $\frac{f}{n}$ scris sub formă de fracție, zecimală sau procent. Pe scurt: absoluta e un număr de apariții, relativa e o proporție.

Cum se calculează frecvența relativă la clasa a 8-a? Împarți frecvența absolută la numărul total de date: $f_{r} = \frac{f}{n}$ . Rezultatul îl poți lăsa ca fracție, îl poți transforma în zecimală (împărțind efectiv) sau în procent (înmulțind zecimala cu $100$ și adăugând semnul $%$ ).

De ce suma frecvențelor relative este întotdeauna $100%$ ? Pentru că frecvențele relative împart întregul set de date în părți. Adunându-le, obții $\frac{f _{1} + f _{2} + \dots}{n} = \frac{n}{n} = 1$ , adică $100%$ . Este cea mai bună verificare a corectitudinii tabelului tău.

Poate frecvența relativă să fie mai mare decât 1 sau decât 100%? Nu. O valoare nu poate apărea de mai multe ori decât numărul total de date, deci $f \leq n$ , ceea ce dă $f_{r} = \frac{f}{n} \leq 1$ , adică cel mult $100%$ . O frecvență relativă este mereu între $0$ și $1$ .

Cum transform frecvența relativă în măsura unghiului dintr-o diagramă circulară? Înmulțești frecvența relativă cu $360°$ , pentru că întregul cerc ( $100%$ din date) are $360°$ . De exemplu, $25%$ înseamnă $0, 25 \cdot 360° = 90°$ . Suma tuturor unghiurilor trebuie să fie $360°$ .

Când folosesc diagrama cu bare și când pe cea circulară? Diagrama cu bare este potrivită pentru a compara mărimi (care valoare apare mai des), pentru că se compară ușor înălțimile. Diagrama circulară este potrivită pentru a arăta cum se împarte întregul în părți, adică ce procent reprezintă fiecare valoare din total.

Ce este un set (o serie) de date în statistică? Este colecția de valori culese pentru caracteristica studiată, în ordinea în care au fost observate — de exemplu, notele tuturor elevilor la un test sau răspunsurile la un sondaj. Din setul de date brut construiești tabelul de frecvențe.

Apare statistica la Evaluarea Națională? Da, elementele de statistică fac parte din programa clasei a VIII-a și apar frecvent la Evaluarea Națională, de obicei ca itemi de citire a unei diagrame, de completare a unui tabel de frecvențe sau de calcul al unui procent. Merită exersate, fiindcă sunt puncte care se obțin relativ ușor dacă stăpânești definițiile.