Mediana unui set de date

Imaginează-ți că, într-o clasă, aproape toți elevii au salarii viitoare „obișnuite", dar unul singur devine un mare antreprenor și câștigă de o mie de ori mai mult. Dacă vrei să descrii cât câștigă „un elev tipic" din acea clasă, media aritmetică te-ar induce în eroare: un singur câștig uriaș ar trage media în sus și ai crede că toți sunt bogați. Aici intervine mediana — valoarea care stă exact la mijloc atunci când așezi datele în ordine. Mediana nu se lasă „păcălită" de o singură valoare foarte mare sau foarte mică și de aceea este folosită enorm în viața reală: prețul median al locuințelor, salariul median dintr-o țară, nota mediană la un examen. În lecția de față înveți, pas cu pas, cum ordonezi datele și cum determini mediana atât pentru un număr impar, cât și pentru un număr par de valori.

Ce vei învăța

• Vei ști să ordonezi corect datele crescător înainte de a determina mediana.
• Vei ști să calculezi mediana când numărul de valori este impar (valoarea din mijloc).
• Vei ști să calculezi mediana când numărul de valori este par (media celor două valori centrale).
• Vei ști să compari mediana cu media aritmetică și să explici de ce mediana nu este influențată de valorile extreme.
• Vei ști să folosești mediana pentru a caracteriza tendința centrală a unui set de date, inclusiv la itemi de tip Evaluarea Națională.

Hai să descoperim împreună

De la medie la mediană: încă un indicator al tendinței centrale

În lecția despre media aritmetică a unui set de date ai învățat că media aduna toate valorile și le împarte la numărul lor, oferind un fel de „punct de echilibru" al datelor. Media este foarte utilă, dar are un punct slab: este sensibilă la valorile extreme (numite uneori și valori aberante sau outlieri). O singură valoare mult mai mare sau mult mai mică decât restul poate deplasa media considerabil.

Statisticienii au nevoie și de un indicator mai „stabil", care să spună unde se află centrul datelor, indiferent cât de ciudate ar fi câteva valori de la margini. Acest indicator este mediana.

Definiție. Mediana unui set de date este valoarea care se află exact la mijloc atunci când toate datele sunt așezate în ordine crescătoare (de la cea mai mică la cea mai mare). Ea împarte setul ordonat în două părți egale ca număr de valori: jumătate dintre date sunt mai mici sau egale cu mediana, iar cealaltă jumătate sunt mai mari sau egale cu ea.

Ca să înțelegi intuitiv, gândește-te la o coadă de oameni așezați crescător după înălțime. Persoana care stă fix în centrul cozii are înălțimea „mediană": la fel de mulți oameni sunt mai scunzi decât ea, la fel de mulți mai înalți. Nu contează cât de înalt e uriașul de la capăt — persoana din mijloc rămâne aceeași.

Pasul zero, obligatoriu: ordonarea datelor

Cea mai frecventă greșeală la mediană este să iei pur și simplu valoarea din mijlocul șirului așa cum este dat, fără să-l ordonezi. Reține regula de aur:

Înainte de a determina mediana, datele trebuie întotdeauna ordonate crescător.

Dacă datele nu sunt ordonate, „valoarea din mijloc" nu are niciun sens statistic. De exemplu, pentru datele $7,2,9$, valoarea scrisă la mijloc este $2$, dar $2$ este de fapt cea mai mică valoare — nu poate fi mediana. După ordonare obținem $2,7,9$, iar mediana este $7$.

Când ordonezi, păstrezi toate valorile, inclusiv pe cele care se repetă. Dacă o valoare apare de trei ori, o scrii de trei ori în șirul ordonat. Numărul total de valori din șirul ordonat trebuie să fie egal cu numărul de date din problemă.

Cazul 1: număr impar de date

Dacă setul are un număr impar de valori (adică $3,5,7,9,\dots$ valori), atunci există o singură valoare fix în mijloc. Aceea este mediana.

Cum găsești poziția din mijloc? Dacă ai $n$ valori, poziția medianei în șirul ordonat este:

$$\text{poziția medianei}=\frac{n+1}{2}.$$

De exemplu, pentru $n=7$ valori, poziția este $\frac{7+1}{2}=4$, deci mediana este a 4-a valoare din șirul ordonat. Într-adevăr, în stânga ei rămân 3 valori, iar în dreapta ei tot 3 valori — perfect echilibrat.

Să luăm datele: $12,5,8,20,5,14,9$. Avem $n=7$ valori.

1. Ordonăm crescător: $5,5,8,9,12,14,20$.
2. Poziția medianei: $\frac{7+1}{2}=4$, deci luăm a 4-a valoare.
3. Numărând: prima $5$, a doua $5$, a treia $8$, a patra $9$. Deci mediana este $\boxed{9}$.

Observă cum, indiferent de câte valori mari sunt la coadă, mediana rămâne valoarea centrală.

Cazul 2: număr par de date

Dacă setul are un număr par de valori (adică $4,6,8,10,\dots$ valori), nu există o singură valoare la mijloc — există două valori centrale. În acest caz, mediana este media aritmetică a celor două valori din mijloc.

Cele două poziții centrale, când ai $n$ valori (cu $n$ par), sunt poziția $\frac{n}{2}$ și poziția $\frac{n}{2}+1$. Mediana este:

$$\text{mediana}=\frac{\text{valoarea de pe poziția }\frac{n}{2}+\text{valoarea de pe poziția }\frac{n}{2}+1}{2}.$$

Să luăm datele: $10,3,7,15,8,4$. Avem $n=6$ valori.

1. Ordonăm crescător: $3,4,7,8,10,15$.
2. Pozițiile centrale: $\frac{6}{2}=3$ și $\frac{6}{2}+1=4$, deci a 3-a și a 4-a valoare.
3. A 3-a valoare este $7$, a 4-a valoare este $8$.
4. Mediana: $\frac{7+8}{2}=\frac{15}{2}=7,5$.

Observă un lucru important: mediana poate să nu fie una dintre valorile din set! Aici mediana este $7,5$, deși în date nu apare niciun $7,5$. Acest lucru este perfect normal atunci când numărul de valori este par.

Mediana față de media aritmetică: cine rezistă la valorile extreme?

Acesta este cel mai important motiv pentru care mediana există ca indicator separat. Hai să comparăm cele două pe același exemplu.

Notele a cinci elevi la un test sunt: $6,7,7,8,9$.

• Media: $\frac{6+7+7+8+9}{5}=\frac{37}{5}=7,4$.
• Mediana: șirul e deja ordonat, $n=5$, poziția $\frac{5+1}{2}=3$, deci a 3-a valoare, adică $7$.

Media $7,4$ și mediana $7$ sunt apropiate — semn că datele sunt „echilibrate", fără valori ciudate.

Acum schimbăm o singură notă: să presupunem că ultimul elev nu a luat $9$, ci a avut un rezultat excepțional și a primit... $100$ de puncte la un concurs (o valoare extremă, într-un alt sistem de notare). Setul devine $6,7,7,8,100$.

• Media nouă: $\frac{6+7+7+8+100}{5}=\frac{128}{5}=25,6$.
• Mediana nouă: poziția din mijloc este tot a 3-a valoare, adică $7$.

Iată contrastul: media a sărit de la $7,4$ la $25,6$ — o valoare care nu descrie deloc grupul, pentru că patru din cinci elevi au sub $8$. În schimb, mediana a rămas $7$, exact acolo unde se află „elevul tipic". Spunem că mediana este rezistentă (robustă) la valorile extreme, în timp ce media este sensibilă la ele.

Regula practică: dacă un set are câteva valori mult mai mari sau mult mai mici decât restul (venituri, prețuri de case, timpi de reacție), mediana descrie mai fidel un caz tipic decât media. De aceea, în presă și în economie auzi des expresia „salariu median" sau „preț median".

O metodă vizuală de a găsi mediana: tăierea de la capete

Există un truc simplu care funcționează în ambele cazuri (par și impar). După ce ordonezi datele, tai simultan câte o valoare de la fiecare capăt: cea mai mică și cea mai mare, apoi următoarele, și tot așa.

• Dacă rămâne o singură valoare în centru → aceea este mediana (caz impar).
• Dacă rămân două valori în centru → mediana este media lor (caz par).

De exemplu, pentru $2,4,5,5,9$: tai $2$ și $9$, rămâne $4,5,5$; tai $4$ și $5$ (ultimul), rămâne $5$. Mediana este $5$. Metoda tăierii de la capete e utilă când ai puține date și vrei să eviți numărarea pozițiilor.

Ce facem când datele sunt date printr-un tabel de frecvențe?

La frecvența absolută și relativă ai văzut că datele pot fi organizate în tabele. Dacă valorile sunt date cu frecvențele lor, „desfășori" tabelul: scrii fiecare valoare de atâtea ori câtă este frecvența ei, obținând tot un șir ordonat, apoi aplici aceleași reguli.

De exemplu, dacă la un chestionar valorile și frecvențele sunt: valoarea $1$ apare de $2$ ori, valoarea $2$ apare de $3$ ori, valoarea $3$ apare de $1$ dată, atunci șirul ordonat este $1,1,2,2,2,3$. Sunt $n=6$ valori (par), pozițiile centrale sunt a 3-a și a 4-a, adică $2$ și $2$, iar mediana este $\frac{2+2}{2}=2$.

Rezumatul metodei, în trei pași

Indiferent de problemă, procedezi mereu la fel:

1. Ordonează toate datele crescător (păstrând repetările).
2. Numără valorile: dacă $n$ este impar, ia valoarea din poziția $\frac{n+1}{2}$; dacă $n$ este par, ia media valorilor din pozițiile $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2}+1$.
3. Scrie clar mediana, cu unitatea de măsură dacă e cazul (ani, lei, cm etc.).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — număr impar, ordonare necesară

Se dau vârstele (în ani) a $9$ jucători dintr-o echipă: $17,15,21,16,15,19,22,18,16$. Determinați mediana.

Rezolvare. Ordonăm crescător: $15,15,16,16,17,18,19,21,22$. Avem $n=9$ (impar). Poziția medianei: $\frac{9+1}{2}=5$, deci a 5-a valoare. Numărând: $15$ (1), $15$ (2), $16$ (3), $16$ (4), $17$ (5). Mediana este $17$ ani.

Exemplul 2 — număr par, mediana nu apare în set

Prețurile (în lei) a $8$ produse dintr-un magazin sunt: $30,12,45,18,22,12,60,25$. Determinați mediana prețurilor.

Rezolvare. Ordonăm crescător: $12,12,18,22,25,30,45,60$. Avem $n=8$ (par). Pozițiile centrale: $\frac{8}{2}=4$ și $\frac{8}{2}+1=5$, deci a 4-a și a 5-a valoare. A 4-a valoare este $22$, a 5-a valoare este $25$. Mediana: $\frac{22+25}{2}=\frac{47}{2}=23,5$ lei. Deși $23,5$ nu apare printre prețuri, este mediana corectă.

Exemplul 3 — comparație medie–mediană cu o valoare extremă

Un magazin online a vândut într-o zi $6$ comenzi, cu valorile (în lei): $40,55,50,45,60,900$. a) Calculați media valorii comenzilor. b) Calculați mediana. c) Care indicator descrie mai bine o comandă „obișnuită"? Justificați.

Rezolvare. a) Media: $\frac{40+55+50+45+60+900}{6}=\frac{1150}{6}\approx 191,67$ lei. b) Ordonăm: $40,45,50,55,60,900$. Avem $n=6$ (par), pozițiile $3$ și $4$: valorile $50$ și $55$. Mediana: $\frac{50+55}{2}=\frac{105}{2}=52,5$ lei. c) Mediana ($52,5$ lei) descrie mai bine o comandă obișnuită. Comanda de $900$ lei este o valoare extremă care umflă media până la aproape $192$ lei, deși cinci din șase comenzi sunt sub $60$ de lei. Mediana nu este afectată de această valoare extremă.

Exemplul 4 — cu tabel de frecvențe

La un test cu note de la $1$ la $5$, rezultatele a $10$ elevi sunt organizate astfel: nota $2$ — $1$ elev; nota $3$ — $3$ elevi; nota $4$ — $4$ elevi; nota $5$ — $2$ elevi. Determinați mediana notelor.

Rezolvare. Desfășurăm tabelul în șir ordonat: $2,3,3,3,4,4,4,4,5,5$. Verificare: $1+3+4+2=10$ valori — corect, $n=10$ (par). Pozițiile centrale: $\frac{10}{2}=5$ și $\frac{10}{2}+1=6$, deci a 5-a și a 6-a valoare. A 5-a valoare este $4$, a 6-a valoare este $4$. Mediana: $\frac{4+4}{2}=4$.

Exemplul 5 — găsirea unei valori necunoscute din condiția asupra medianei

Un set de $5$ numere ordonate crescător este $3,7,x,12,15$, iar mediana lui este $10$. Aflați $x$, știind că valorile sunt deja în ordine crescătoare.

Rezolvare. Setul are $n=5$ valori (impar). Poziția medianei este $\frac{5+1}{2}=3$, deci mediana este a 3-a valoare, adică chiar $x$. Cum mediana este $10$, rezultă $x=10$. Verificare a ordinii: $3,7,10,12,15$ — crescător, corect (și $10$ respectă $7\le x\le 12$).

Exemplul 6 — item tip Evaluarea Națională

Într-o săptămână, un elev a citit în fiecare zi un număr de pagini: luni $18$, marți $25$, miercuri $0$, joi $30$, vineri $22$, sâmbătă $40$, duminică $28$. a) Determinați mediana numărului de pagini citite pe zi. b) Câte zile a citit elevul un număr de pagini cel puțin egal cu mediana?

Rezolvare. a) Ordonăm cele $7$ valori crescător: $0,18,22,25,28,30,40$. $n=7$ (impar), poziția $\frac{7+1}{2}=4$, deci a 4-a valoare: $25$. Mediana este $25$ de pagini. b) „Cel puțin egal cu mediana" înseamnă $\ge 25$. Valorile care îndeplinesc condiția sunt $25,28,30,40$ — adică $4$ zile.

Să exersăm

1. Ordonează crescător datele: $9,3,12,3,8$ și scrie șirul obținut.
2. Determină mediana setului $4,9,6,2,7$ (număr impar de valori).
3. Determină mediana setului $11,5,8,20$ (număr par de valori).
4. Câte valori sunt mai mici sau egale cu mediana într-un set cu $10$ valori distincte, ordonate?
5. Determină mediana notelor: $7,8,6,10,9,8,7,9$.
6. Se dau timpii (în secunde) la o probă sportivă: $13,15,14,30,13,16$. Calculează media și mediana, apoi spune care indicator este influențat de timpul mare de $30$ s.
7. Adevărat sau fals, cu justificare: „Mediana unui set de date face întotdeauna parte din setul de date."
8. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă schimbăm doar cea mai mare valoare a unui set cu una și mai mare, mediana nu se modifică (setul având număr impar de valori)."
9. Un set de $6$ numere ordonate crescător este $2,5,a,b,14,18$. Este posibil ca mediana să fie $9$, iar $a$ și $b$ să fie numere naturale consecutive cu $a<b$? Află $a$ și $b$ dacă da, sau explică de ce nu.
10. La un chestionar, numărul de frați ai elevilor este dat de tabel: $0$ frați — $4$ elevi; $1$ frate — $6$ elevi; $2$ frați — $3$ elevi; $3$ frați — $1$ elev. Determină mediana.
11. Un set are $5$ numere: $6,10,10,x,20$, ordonate crescător, cu mediana $10$. Ce valori poate lua $x$?
12. Determină mediana setului de $8$ valori: $100,45,60,55,48,52,300,50$. Explică de ce mediana este mai potrivită decât media pentru a descrie un caz obișnuit.
13. Salariile lunare (în lei) ale angajaților unei firme mici sunt: $3000,3200,3100,3500,3300,15000$. Calculează media și mediana. Care valoare ar folosi-o corect un ziarist ca să descrie „salariul obișnuit"?
14. Un set de $7$ numere are mediana $12$. Dacă adaug la fiecare valoare câte $5$, care devine noua mediană? Justifică fără să cunoști valorile.
15. Notele a $9$ elevi, ordonate crescător, sunt: $4,5,6,7,8,8,9,9,10$. Determină mediana. Câți elevi au notă strict mai mare decât mediana?
16. Item tip Evaluarea Națională. Temperaturile (în °C) măsurate la prânz timp de $10$ zile au fost: $18,21,20,19,22,25,20,23,19,24$. a) Determină mediana temperaturilor. b) În câte zile temperatura a fost strict mai mare decât mediana?
17. Construiește un set de $5$ numere naturale distincte care să aibă mediana $8$ și media $10$. (Există mai multe răspunsuri.)
18. Un set are $4$ numere: $x,7,11,20$, ordonate crescător ($x\le 7$), cu mediana $9$. Este posibil? Determină $x$ dacă da, sau explică de ce nu.

Răspunsuri și explicații

1. $3,3,8,9,12$. (Toate valorile păstrate, inclusiv $3$ repetat.)
2. Ordonat: $2,4,6,7,9$; $n=5$, poziția $3$, mediana $=6$.
3. Ordonat: $5,8,11,20$; $n=4$, pozițiile $2$ și $3$: $8$ și $11$; mediana $=\frac{8+11}{2}=9,5$.
4. $5$ valori (jumătate din $10$). Mediana împarte setul ordonat în două jumătăți egale ca număr.
5. Ordonat: $6,7,7,8,8,9,9,10$; $n=8$, pozițiile $4$ și $5$: $8$ și $8$; mediana $=\frac{8+8}{2}=8$.
6. Ordonat: $13,13,14,15,16,30$. Media $=\frac{13+13+14+15+16+30}{6}=\frac{101}{6}\approx 16,83$ s. Mediana ($n=6$, pozițiile $3$ și $4$): $\frac{14+15}{2}=14,5$ s. Media este influențată de timpul mare de $30$ s (o trage în sus, spre $16,83$), în timp ce mediana rămâne aproape de valorile obișnuite.
7. Fals. Când numărul de valori este par, mediana este media celor două valori centrale și poate să nu fie o valoare din set. Exemplu: $2,4,5,9$ are mediana $\frac{4+5}{2}=4,5$, care nu apare în set.
8. Adevărat. La un set cu număr impar de valori, mediana este valoarea din poziția centrală. Modificând doar cea mai mare valoare (o poziție de la capăt), valoarea centrală nu se schimbă, deci mediana rămâne aceeași. Aceasta arată robustețea medianei la valori extreme.
9. $n=6$, pozițiile centrale $3$ și $4$ sunt $a$ și $b$. Mediana: $\frac{a+b}{2}=9$, deci $a+b=18$. Numere consecutive înseamnă $b=a+1$, deci $a+(a+1)=18\Rightarrow 2a+1=18\Rightarrow 2a=17\Rightarrow a=8,5$, care nu este număr natural. Problema nu are soluție în numere naturale consecutive: suma a două numere consecutive este întotdeauna un număr impar, deci nu poate fi $18$ (par). (Exercițiu-capcană: verifică mereu paritatea la valori consecutive.)
10. Desfășurat: $0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,2,3$. Total $4+6+3+1=14$ valori (par). Pozițiile $7$ și $8$: a 7-a valoare este $1$, a 8-a valoare este $1$. Mediana $=\frac{1+1}{2}=1$.
11. Atenție la poziții: în șirul ordonat $6,10,10,x,20$, valoarea din mijloc (poziția $\frac{5+1}{2}=3$) este al doilea $10$, iar $x$ se află pe poziția a $4$-a. Prin urmare mediana este $10$ automat, oricât ar fi $x$ — condiția „mediana $=10$" este deja îndeplinită. Singura restricție vine din ordonarea crescătoare: $x$ trebuie să fie cel puțin cât valoarea dinaintea lui ($10$) și cel mult cât cea de după ($20$), adică $10\le x\le 20$. Deci $x$ poate lua orice valoare din intervalul $[10;20]$ (de exemplu $10$, $13$ sau $20$). Este același fenomen ca la exercițiul $18$: la un capăt al șirului, valoarea nu influențează mediana.
12. Ordonat: $45,48,50,52,55,60,100,300$; $n=8$, pozițiile $4$ și $5$: $52$ și $55$; mediana $=\frac{52+55}{2}=53,5$. Media ar fi $\frac{45+48+50+52+55+60+100+300}{8}=\frac{710}{8}=88,75$, mult umflată de valorile $100$ și $300$. Mediana ($53,5$) descrie mai bine cazul obișnuit, fiind rezistentă la valorile extreme.
13. Ordonat: $3000,3100,3200,3300,3500,15000$; $n=6$, pozițiile $3$ și $4$: $3200$ și $3300$; mediana $=\frac{3200+3300}{2}=3250$ lei. Media $=\frac{3000+3100+3200+3300+3500+15000}{6}=\frac{31100}{6}\approx 5183,33$ lei. Ziaristul ar trebui să folosească mediana ($3250$ lei): salariul de $15000$ lei (probabil al patronului) umflă media, dând impresia falsă că angajații câștigă peste $5000$ lei.
14. Noua mediană este $12+5=17$. Dacă adaugi aceeași constantă la toate valorile, ordinea lor nu se schimbă, iar valoarea din poziția centrală crește exact cu acea constantă. Deci mediana crește cu $5$.
15. $n=9$, poziția $5$: a 5-a valoare este $8$; mediana $=8$. Strict mai mari decât $8$ sunt $9,9,10$ — adică $3$ elevi. (Cei doi de $8$ nu se numără, fiind egali, nu strict mai mari.)
16. Ordonat: $18,19,19,20,20,21,22,23,24,25$; $n=10$, pozițiile $5$ și $6$: $20$ și $21$; a) mediana $=\frac{20+21}{2}=20,5$ °C. b) Strict mai mari decât $20,5$: $21,22,23,24,25$ — adică $5$ zile.
17. Un exemplu: $6,7,8,12,17$. Mediana (poziția $3$) $=8$; media $=\frac{6+7+8+12+17}{5}=\frac{50}{5}=10$. (Orice set de numere naturale distincte, ordonat crescător, cu a 3-a valoare $8$ și suma $50$ este corect, de exemplu și $5,6,8,13,18$.)
18. $n=4$, pozițiile centrale $2$ și $3$: $7$ și $11$. Mediana $=\frac{7+11}{2}=9$ — deja $9$, indiferent de $x$! Deci condiția asupra medianei este automat îndeplinită. Rămâne doar $x\le 7$ (din ordonarea crescătoare); orice $x\le 7$ este valid, de exemplu $x=5$. Mediana nu depinde de valorile de la capete la un set par, ci doar de cele două centrale.

De reținut

• Mediana este valoarea din mijloc a datelor ordonate crescător; ordonarea este obligatorie înainte de orice calcul.
• Număr impar de valori ($n$ impar): mediana este valoarea din poziția $\frac{n+1}{2}$.
• Număr par de valori ($n$ par): mediana este media valorilor din pozițiile $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2}+1$, deci $\frac{v_{n/2}+v_{n/2+1}}{2}$.
• La număr par, mediana poate să nu fie una dintre valorile setului.
• Mediana este rezistentă la valorile extreme, spre deosebire de media aritmetică, care se lasă influențată de ele; de aceea se folosește pentru venituri, prețuri și alte date cu „outlieri".

Greșeli frecvente

• Uiți să ordonezi datele. Iei valoarea scrisă la mijloc fără să fi așezat șirul crescător. Rezultatul e greșit. Ordonează întotdeauna mai întâi.
• Confuzia par/impar. La număr par iei o singură valoare din centru în loc să faci media celor două valori centrale. Numără valorile: dacă $n$ e par, ai nevoie de două valori și de media lor.
• Elimini valorile repetate la ordonare. Dacă o valoare apare de mai multe ori, o scrii de fiecare dată; altfel schimbi numărul total de date și poziția mijlocului.
• Confunzi mediana cu media. Sunt indicatori diferiți: media adună și împarte la număr, mediana caută valoarea centrală după ordonare. La date cu valori extreme, ele pot fi foarte diferite.

Aplică acasă

• Vârstele din familie. Notează vârstele tuturor membrilor familiei (și rudelor apropiate, dacă vrei mai multe date). Ordonează-le, calculează mediana și media, apoi compară-le. Dacă cineva foarte în vârstă sau un bebeluș „trage" media, observă cum mediana rămâne mai aproape de vârsta tipică.
• Prețuri la cumpărături. Alege o categorie de produse dintr-un magazin online (de exemplu $8$–$10$ modele de căști) și notează prețurile. Determină mediana prețurilor: ea îți spune ce înseamnă un preț „de mijloc" pentru acea categorie, ignorând un eventual model foarte scump.
• Timpi personali. Cronometrează cât îți ia să rezolvi câte o problemă de matematică, timp de $7$ zile. La final, calculează mediana timpilor. Este un exercițiu excelent de măsurare, ordonare și interpretare a tendinței centrale.

Pentru părinți și profesori

Mediana este, alături de medie, unul dintre indicatorii tendinței centrale prevăzuți în programa clasei a VIII-a și apare frecvent la Evaluarea Națională în itemii de statistică (adesea în subiectul I sau II, cu date prezentate ca șir sau ca tabel de frecvențe). Elevul trebuie să știe sigur două lucruri: (1) datele se ordonează întotdeauna înainte de calcul și (2) regula diferă între numărul par și cel impar de valori.

Întrebări bune de verificare a înțelegerii:

• „De ce trebuie să ordonezi datele înainte de a lua valoarea din mijloc?"
• „Când numărul de valori este par, câte valori sunt la mijloc și ce faci cu ele?"
• „Poți să-mi dai un exemplu în care media și mediana sunt foarte diferite? De ce se întâmplă asta?"

Semnul că a înțeles cu adevărat este când poate explica, nu doar calcula: de ce mediana nu se schimbă când modifici o valoare de la capăt (la set impar) și de ce mediana descrie mai fidel „cazul obișnuit" la date cu venituri sau prețuri. Dacă elevul confundă par cu impar, exersați împreună metoda tăierii de la capete — este vizuală și greu de greșit.

Întrebări frecvente

Ce este mediana unui set de date la clasa a 8-a? Mediana este valoarea care se află exact la mijloc atunci când datele sunt așezate în ordine crescătoare. Jumătate dintre valori sunt mai mici sau egale cu ea, iar cealaltă jumătate mai mari sau egale. Este un indicator al tendinței centrale, alături de medie și de mod.

Cum se calculează mediana când sunt un număr impar de date? Ordonezi datele crescător și iei valoarea din poziția din mijloc, adică poziția $\frac{n+1}{2}$, unde $n$ este numărul de valori. De exemplu, la $5$ valori, mediana este a 3-a valoare din șirul ordonat.

Cum aflu mediana când numărul de date este par? Ordonezi datele și identifici cele două valori din centru (pozițiile $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2}+1$). Mediana este media aritmetică a acestor două valori centrale, adică suma lor împărțită la $2$. Rezultatul poate fi un număr care nu apare în setul de date.

Care este diferența dintre mediană și media aritmetică? Media adună toate valorile și le împarte la numărul lor, în timp ce mediana este valoarea centrală a datelor ordonate. Principala diferență practică: media este influențată de valorile extreme, iar mediana nu. La date „echilibrate" ele sunt apropiate, dar la date cu outlieri pot diferi mult.

De ce mediana nu este afectată de valorile extreme? Pentru că mediana depinde doar de poziția din mijloc, nu de cât de mari sau mici sunt valorile de la capete. Poți mări oricât cea mai mare valoare sau micșora cea mai mică — atâta timp cât ordinea se păstrează, valoarea centrală rămâne aceeași. De aceea se spune că mediana este „robustă".

Trebuie neapărat să ordonez datele înainte de a găsi mediana? Da, este pasul obligatoriu. Fără ordonare, „valoarea din mijloc" nu are sens statistic și rezultatul este aproape sigur greșit. Ordonarea crescătoare este întotdeauna primul pas.

Poate mediana să fie o valoare care nu apare în setul de date? Da, atunci când numărul de valori este par. În acest caz mediana este media celor două valori centrale, iar această medie poate fi un număr diferit de toate valorile din set (de exemplu $7,5$ sau $23,5$).

Când folosesc mediana și când media? Folosești mediana când datele conțin valori extreme care ar denatura media (venituri, prețuri de locuințe, timpi neobișnuiți). Folosești media când datele sunt relativ omogene, fără valori aberante. În multe analize reale se raportează ambele, tocmai pentru a compara.