Modul și amplitudinea unui set de date

Imaginează-ți că lucrezi într-un magazin de pantofi sport. La sfârșitul zilei, patronul te întreabă: „Ce mărime s-a vândut cel mai des astăzi?” Nu te interesează media, nici mijlocul șirului — vrei să știi care valoare apare cel mai frecvent, ca să comanzi mai mult din ea. Exact acest lucru îl măsoară modul unui set de date. Iar dacă patronul te mai întreabă „Între ce mărimi s-au întins vânzările?”, vei calcula amplitudinea — diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare. Sunt doi indicatori simpli, dar foarte des întâlniți la Evaluarea Națională, și îi vei stăpâni complet până la finalul acestei lecții.

Până acum ai învățat despre frecvența absolută și frecvența relativă, despre media aritmetică și despre mediana unui set de date. Modul și amplitudinea completează trusa ta de instrumente statistice. Vei vedea că ele se citesc adesea dintr-o singură privire pe un tabel de frecvențe sau pe o diagramă cu bare.

Ce vei învăța

Vei ști să determini modul unui set de date, inclusiv când există mai multe moduri sau niciunul.
Vei ști să calculezi amplitudinea unui set de date și să o interpretezi ca împrăștiere (întindere) a datelor.
Vei ști să citești rapid modul și amplitudinea direct din tabelul de frecvențe sau din diagrama cu bare.
Vei ști să deosebești modul de medie și de mediană și să alegi indicatorul potrivit unei situații reale.
Vei ști să interpretezi ce spune amplitudinea despre cât de „strânse” sau „răsfirate” sunt datele.

Hai să descoperim împreună

Ce este modul unui set de date

Să pornim de la o situație concretă. La un antrenament de baschet, cei 11 jucători ai unei echipe au înscris, într-un meci amical, următoarele numere de coșuri:

$2, 5, 3, 2, 4, 2, 6, 5, 3, 2, 1.$

Ne întrebăm: care număr de coșuri apare cel mai des? Ca să răspundem ordonat, numărăm de câte ori apare fiecare valoare, adică îi calculăm frecvența absolută:

Coșuri	Frecvență absolută
1	1
2	4
3	2
4	1
5	2
6	1

Vedem imediat că valoarea $2$ apare de 4 ori, mai des decât oricare alta. Spunem că modul setului de date este $2$ .

Definiție. Modul (numit uneori și valoarea dominantă) al unui set de date este valoarea care are cea mai mare frecvență, adică valoarea care se repetă cel mai des.

Reține un lucru esențial: modul este o valoare din set, nu numărul care spune de câte ori apare. În exemplul de sus, modul este $2$ (numărul de coșuri), nu $4$ (de câte ori apare). Este o greșeală foarte frecventă, așa că fii atent la ea de la bun început.

O analogie simplă: modul este „campionul popularității”. Dacă întrebi 30 de colegi ce culoare preferă și cei mai mulți spun „albastru”, atunci modul preferințelor este albastru. Observă că modul se poate folosi și pentru date care nu sunt numere (culori, mărci, materii preferate) — spre deosebire de medie sau mediană, care cer neapărat numere. Acesta este un mare avantaj al modului.

Cum determinăm rapid modul

Pașii sunt simpli:

Organizează datele într-un tabel de frecvențe (sau ordonează-le crescător).
Caută frecvența cea mai mare.
Modul este valoarea (sau valorile) care are/au acea frecvență.

Când ai deja tabelul de frecvențe, modul se „vede” instant: e valoarea de pe rândul cu cel mai mare număr în coloana frecvenței.

Pe o diagramă cu bare, modul este pur și simplu valoarea de sub bara cea mai înaltă. E poate cea mai vizuală mărime din toată statistica: ochiul o găsește înaintea creionului.

Seturi fără mod, cu un mod sau cu mai multe moduri

Nu orice set de date are un singur mod. Să analizăm cele trei situații posibile.

a) Set unimodal (cu un singur mod). Este cazul cel mai des întâlnit: o singură valoare are frecvența cea mai mare. Exemplul de baschet de mai sus este unimodal, cu modul $2$ .

b) Set fără mod. Dacă toate valorile apar de același număr de ori, atunci niciuna nu este mai frecventă decât celelalte, deci setul nu are mod. De exemplu, notele:

$7, 8, 9, 10$

apar fiecare o singură dată. Nicio valoare nu domină, așa că acest set nu are mod. La fel, șirul $3, 3, 5, 5, 8, 8$ are toate valorile cu frecvența $2$ — și el este considerat fără mod, pentru că nicio valoare nu iese în evidență față de celelalte.

c) Set cu mai multe moduri (bimodal, multimodal). Dacă două sau mai multe valori împart la egalitate frecvența cea mai mare, atunci toate aceste valori sunt moduri. Un set cu exact două moduri se numește bimodal; cu mai multe, multimodal. De exemplu, numărul de frați ai elevilor dintr-un grup:

$0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3.$

Aici valoarea $1$ apare de $3$ ori și valoarea $3$ apare tot de $3$ ori, iar $2$ apare de $2$ ori. Frecvența maximă este $3$ și o ating două valori. Prin urmare, setul este bimodal, cu modurile $1$ și $3$ .

Rezumând, când cauți modul, întreabă-te mereu: care este frecvența cea mai mare și câte valori o ating? Răspunsul îți spune imediat dacă setul e unimodal, bimodal, multimodal sau fără mod.

Ce este amplitudinea unui set de date

Trecem la al doilea indicator al lecției. Să ne întoarcem la meciul de baschet: cel mai bun jucător a înscris $6$ coșuri, iar cel mai slab a înscris $1$ coș. Cât de „întinse” sunt rezultatele? Facem diferența:

$6 - 1 = 5.$

Spunem că amplitudinea setului este $5$ .

Definiție. Amplitudinea unui set de date este diferența dintre cea mai mare valoare și cea mai mică valoare a datelor: $A = x_{m a x} - x_{m i n} .$

Amplitudinea măsoară cât de întinse (împrăștiate) sunt datele — cât de mare este „distanța” dintre extreme. Este cea mai simplă măsură a împrăștierii.

Pași pentru calcul:

Găsește cea mai mare valoare din set, $x_{m a x}$ .
Găsește cea mai mică valoare din set, $x_{m i n}$ .
Scade: $A = x_{m a x} - x_{m i n}$ .

Observație importantă: amplitudinea are aceeași unitate de măsură ca datele. Dacă valorile sunt temperaturi în grade Celsius, amplitudinea este tot în grade Celsius; dacă sunt prețuri în lei, amplitudinea este în lei. Și încă ceva: amplitudinea este întotdeauna un număr pozitiv sau zero. Este $0$ doar atunci când toate valorile sunt egale (nu există nicio împrăștiere).

Ce ne spune amplitudinea: împrăștierea datelor

Amplitudinea completează imaginea pe care ți-o dau media, mediana și modul. Acelea îți spun unde se află centrul datelor; amplitudinea îți spune cât de răsfirate sunt ele în jurul acelui centru.

Gândește-te la două clase care au dat același test, notat de la $1$ la $10$ :

Clasa A: notele merg de la $6$ la $8$ → amplitudine $8 - 6 = 2$ . Notele sunt strânse, elevii au rezultate apropiate.
Clasa B: notele merg de la $2$ la $10$ → amplitudine $10 - 2 = 8$ . Notele sunt răsfirate, sunt și elevi foarte buni, și elevi cu dificultăți.

Chiar dacă cele două clase ar avea aceeași medie, ele sunt foarte diferite: în clasa B rezultatele sunt mult mai neomogene. O amplitudine mare înseamnă date împrăștiate; o amplitudine mică înseamnă date grupate, omogene. Iată de ce amplitudinea este utilă în practică: la controlul calității unei fabrici, la meteorologie (diferența dintre temperatura maximă și minimă a zilei), la analiza prețurilor.

Un avertisment util pentru mai târziu: amplitudinea se bazează doar pe cele două valori extreme, deci o singură valoare neobișnuită (foarte mare sau foarte mică) o poate modifica mult. Vom reveni asupra interpretării tuturor acestor indicatori împreună în lecția Interpretarea indicatorilor tendinței centrale.

Modul și amplitudinea dintr-un tabel de frecvențe

La examen, datele îți sunt adesea date deja într-un tabel de frecvențe. Iată cum extragi cei doi indicatori fără să rescrii tot șirul.

Presupunem că într-un bloc s-a notat câte persoane locuiesc în fiecare apartament:

Persoane în apartament	Frecvență (nr. apartamente)
1	3
2	5
3	8
4	6
5	2

Modul: caut frecvența cea mai mare din coloana a doua. Este $8$ , pe rândul valorii $3$ . Deci modul este $3$ persoane pe apartament — cel mai des întâlnit tip de apartament are $3$ locatari.

Amplitudinea: privesc prima coloană (valorile). Cea mai mare valoare este $5$ , cea mai mică este $1$ . Deci amplitudinea este $5 - 1 = 4$ persoane. Observă: pentru amplitudine mă interesează valorile, nu frecvențele; pentru mod mă uit la frecvențe ca să găsesc valoarea dominantă. Nu confunda cele două coloane — este cheia întregii lecții.

Cu asta ai toate uneltele. Trecem la exemple complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Modul unui set simplu

Enunț. Câte sărituri pe minut a făcut un elev la 9 reprize de sărituri cu coarda: $28, 31, 28, 25, 31, 28, 30, 27, 28$ . Determină modul.

Rezolvare. Numărăm aparițiile fiecărei valori:

Valoare	25	27	28	30	31
Frecvență	1	1	4	1	2

Frecvența cea mai mare este $4$ , atinsă doar de valoarea $28$ .

Răspuns. Modul este $28$ . Setul este unimodal.

Exemplul 2 — Amplitudinea unui set

Enunț. Temperaturile maxime (în $^{\circ}$ C) înregistrate într-o săptămână au fost: $19, 24, 22, 27, 18, 25, 21$ . Calculează amplitudinea și interpretează rezultatul.

Rezolvare. Găsim extremele: $x_{m a x} = 27, x_{m i n} = 18.$ Amplitudinea este: $A = x_{m a x} - x_{m i n} = 27 - 18 = 9^{\circ} C .$

Interpretare. Între ziua cea mai caldă și cea mai rece a fost o diferență de $9^{\circ}$ C — o săptămână cu variații moderate de temperatură.

Răspuns. $A = 9^{\circ}$ C.

Exemplul 3 — Set bimodal

Enunț. Notele obținute de o grupă la o testare au fost: $8, 9, 7, 9, 10, 8, 9, 7, 8, 6$ . Determină modul și precizează ce tip de set este.

Rezolvare. Tabelul de frecvențe:

Notă	6	7	8	9	10
Frecvență	1	2	3	3	1

Frecvența cea mai mare este $3$ și o ating două valori: $8$ și $9$ .

Răspuns. Setul este bimodal, cu modurile $8$ și $9$ .

Exemplul 4 — Modul și amplitudinea din tabel de frecvențe

Enunț. La un concurs, punctajele echipelor sunt strânse în tabelul:

Punctaj	12	14	15	18	20
Frecvență	2	4	7	4	1

Determină modul și amplitudinea.

Rezolvare.

Modul: frecvența maximă este $7$ , corespunzătoare punctajului $15$ . Deci modul este $15$ .
Amplitudinea: privim valorile punctajelor: $x_{m a x} = 20$ , $x_{m i n} = 12$ , deci $A = 20 - 12 = 8.$

Răspuns. Modul $= 15$ , amplitudinea $= 8$ puncte.

Exemplul 5 — Găsirea unei valori necunoscute (item tip Evaluarea Națională)

Enunț. Un set de date este format din numerele $5, 7, 7, x, 10$ , unde $x$ este un număr natural. Se știe că amplitudinea setului este $8$ și că modul este $7$ . Află valoarea lui $x$ .

Rezolvare. Analizăm pe rând cele două condiții.

Condiția de mod. Modul este $7$ , deci valoarea $7$ trebuie să rămână cea mai frecventă. Ea apare deja de două ori. Dacă $x$ ar fi egal cu o altă valoare astfel încât să apară și ea de două ori, am strica unicitatea modului. Reținem: $x$ nu trebuie să creeze un al doilea mod egal cu $7$ ca frecvență.

Condiția de amplitudine. Fără $x$ , valorile cunoscute merg de la $5$ la $10$ , deci ar da amplitudinea $10 - 5 = 5$ . Dar cerința este $8$ , mai mare. Asta înseamnă că $x$ trebuie să fie o valoare extremă care mărește întinderea la $8$ . Sunt două posibilități:

Dacă $x$ este noul maxim: $x - 5 = 8 \Rightarrow x = 13$ .
Dacă $x$ este noul minim: $10 - x = 8 \Rightarrow x = 2$ .

Verificăm ambele cu condiția de mod:

Pentru $x = 13$ : setul este $5, 7, 7, 10, 13$ . Valoarea $7$ apare de două ori, restul câte o dată → modul este $7$ . ✓
Pentru $x = 2$ : setul este $2, 5, 7, 7, 10$ . La fel, modul este $7$ . ✓

Ambele valori respectă cerințele.

Răspuns. $x = 13$ sau $x = 2$ .

Exemplul 6 — Compararea a două seturi

Enunț. Doi elevi, Ana și Bogdan, au notat câte minute au citit zilnic timp de $5$ zile: Ana: $30, 30, 30, 30, 30$ ; Bogdan: $10, 20, 30, 40, 50$ . Compară cele două seturi folosind modul și amplitudinea.

Rezolvare.

Ana: toate valorile sunt $30$ . Modul este $30$ (apare de $5$ ori). Amplitudinea este $30 - 30 = 0$ .
Bogdan: fiecare valoare apare o singură dată → fără mod. Amplitudinea este $50 - 10 = 40$ .

Interpretare. Deși ambii au aceeași medie ( $30$ de minute pe zi), ei sunt complet diferiți: Ana este foarte constantă (amplitudine $0$ ), pe când Bogdan are un program foarte neregulat (amplitudine $40$ ). Iată cum amplitudinea dezvăluie ce media ascunde.

Răspuns. Ana: mod $30$ , amplitudine $0$ ; Bogdan: fără mod, amplitudine $40$ .

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet, apoi verifică-te cu secțiunea de răspunsuri. Sunt gradate de la ușor la greu.

1. Determină modul setului: $4, 6, 4, 8, 4, 6, 9$ .

2. Calculează amplitudinea setului: $15, 8, 23, 11, 19$ .

3. Care este modul setului $2, 5, 5, 8, 8, 8, 12$ ? Cum se numește un astfel de set (după numărul de moduri)?

4. Arată că setul $3, 6, 9, 12$ nu are mod. Explică de ce.

5. Găsește modul (sau modurile) setului: $5, 7, 7, 9, 9, 11, 11$ . Ce fel de set este?

6. Într-o zi de iarnă, temperaturile orare au fost (în $^{\circ}$ C): $- 4, - 2, 0, 1, 3, 2, - 1, - 5$ . Calculează amplitudinea.

7. Notele la muzică ale unei grupe sunt: $9, 10, 8, 9, 7, 9, 10, 8, 9$ . Alcătuiește tabelul de frecvențe și determină modul și amplitudinea.

8. (Adevărat/Fals, cu motivare). Modul unui set de date este întotdeauna o valoare care apare în acel set. Justifică.

9. (Adevărat/Fals, cu motivare). Amplitudinea unui set poate fi un număr negativ. Justifică.

10. Numărul de mesaje trimise zilnic de un elev într-o săptămână:

Mesaje	5	8	10	12	15
Frecvență (zile)	1	2	2	1	1

Determină modul și amplitudinea din tabel.

11. Un set are $6$ valori: $3, 3, 5, 7, 7, x$ . Știind că setul are modul $3$ (unic), dă un exemplu de valoare posibilă pentru $x$ și explică ce valori nu sunt permise.

12. Prețurile (în lei) a $6$ caiete la papetării diferite: $4, 6, 5, 4, 7, 4$ . Calculează modul, amplitudinea și explică ce îți spune fiecare despre prețuri.

13. (Raționament). Un set de numere naturale are amplitudinea $0$ . Ce poți spune cu certitudine despre valorile setului?

14. (Item tip Evaluarea Națională). Setul de date $a, 9, 12, 12, 5$ conține numere naturale. Amplitudinea setului este $9$ , iar modul este $12$ . Determină toate valorile posibile ale lui $a$ .

15. Rezultatele la o probă de aruncare a mingii (în metri) sunt: $6, 2; 5, 8; 6, 2; 7, 1; 5, 8; 6, 2$ . Determină modul și amplitudinea.

16. (Problemă aplicată). Un magazin a vândut într-o zi tricouri de mărimile: $S, M, M, L, M, S, L, M, X L$ . Determină mărimea-mod. De ce nu putem calcula amplitudinea pentru aceste date? Poate fi modul folosit aici?

17. (Raționament mai greu). Un set cu $5$ numere are modul $4$ (unic) și amplitudinea $10$ . Cea mai mică valoare este $2$ . Construiește un astfel de set și verifică toate condițiile.

18. (Sinteză). Pentru setul $10, 14, 14, 18, 22, 22, 22, 26$ , determină modul, amplitudinea și precizează dacă setul este unimodal, bimodal sau fără mod.

Răspunsuri și explicații

1. Frecvențe: $4$ apare de $3$ ori, $6$ de $2$ ori, restul o dată. Modul $= 4$ .

2. $x_{m a x} = 23$ , $x_{m i n} = 8$ , deci $A = 23 - 8 = 15$ .

3. Valoarea $8$ apare de $3$ ori (frecvența maximă). Modul $= 8$ ; setul este unimodal.

4. Fiecare valoare ( $3, 6, 9, 12$ ) apare exact o dată, deci toate au aceeași frecvență ( $1$ ). Nicio valoare nu se repetă mai des decât altele, prin urmare setul nu are mod.

5. Valoarea $5$ apare o singură dată, iar $7$ , $9$ și $11$ apar fiecare de $2$ ori — frecvența maximă. Există trei moduri: $7, 9, 11$ . Setul este multimodal (trimodal). (Observă că nu toate valorile au aceeași frecvență — $5$ apare doar o dată —, deci setul nu este „fără mod”.)

6. $x_{m a x} = 3$ , $x_{m i n} = - 5$ , deci $A = 3 - (- 5) = 3 + 5 = 8^{\circ}$ C. Atenție la scăderea numărului negativ.

7. Tabel:

Notă	7	8	9	10
Frecvență	1	2	4	2

Frecvența maximă este $4$ → modul $= 9$ . Amplitudinea: $10 - 7 = 3$ .

8. Adevărat. Prin definiție, modul este una dintre valorile setului — cea cu frecvența cea mai mare. Nu poate fi o valoare care nu apare, pentru că frecvența ei ar fi $0$ .

9. Fals. Amplitudinea este $x_{m a x} - x_{m i n}$ , iar $x_{m a x} \geq x_{m i n}$ mereu, deci diferența este $\geq 0$ . Poate fi $0$ (când toate valorile sunt egale), dar niciodată negativă.

10. Frecvența maximă este $2$ , atinsă de valorile $8$ și $10$ → bimodal, moduri $8$ și $10$ . Amplitudinea: $15 - 5 = 10$ mesaje.

11. Atenție: în setul dat, $3$ apare de $2$ ori, dar și $7$ apare tot de $2$ ori — deocamdată sunt „la egalitate”. Dacă $x$ ar fi o valoare nouă, diferită de cele din set (de exemplu $x = 9$ ), frecvențele lui $3$ și $7$ ar rămâne egale, iar setul ar fi bimodal, nu cu modul $3$ unic. Dacă $x = 5$ , toate valorile ar avea frecvența $2$ și setul ar rămâne fără mod. Dacă $x = 7$ , atunci $7$ ar apărea de $3$ ori și modul ar deveni $7$ . Singura posibilitate este deci $x = 3$ : setul devine $3, 3, 3, 5, 7, 7$ , în care $3$ are frecvența $3$ , strict mai mare decât frecvența $2$ a lui $7$ → modul este $3$ , unic. ✓ Nu este permisă nicio valoare $x \neq = 3$ .

12. $4$ apare de $3$ ori → modul $= 4$ lei (prețul cel mai des întâlnit). Amplitudinea: $7 - 4 = 3$ lei (întinderea prețurilor). Modul spune ce preț se practică cel mai des; amplitudinea spune cât de mult diferă cel mai scump de cel mai ieftin.

13. Dacă $A = x_{m a x} - x_{m i n} = 0$ , atunci $x_{m a x} = x_{m i n}$ , deci toate valorile setului sunt egale între ele.

14. Condiția de mod: $12$ trebuie să rămână valoarea dominantă (apare de $2$ ori), deci $a$ nu poate crea un mod egal. Condiția de amplitudine, $A = 9$ : fără $a$ , valorile merg de la $5$ la $12$ (amplitudine $7$ ), prea mică. Deci $a$ este extremă.

Dacă $a$ este maxim: $a - 5 = 9 \Rightarrow a = 14$ . Setul $14, 9, 12, 12, 5$ : modul $= 12$ . ✓
Dacă $a$ este minim: $12 - a = 9 \Rightarrow a = 3$ . Setul $3, 9, 12, 12, 5$ : modul $= 12$ . ✓ Răspuns: $a = 14$ sau $a = 3$ .

15. Valoarea $6, 2$ apare de $3$ ori → modul $= 6, 2$ m. Amplitudinea: $7, 1 - 5, 8 = 1, 3$ m.

16. Mărimea $M$ apare de $4$ ori → mărimea-mod este $M$ . Nu putem calcula amplitudinea, pentru că datele nu sunt numerice (nu putem face scăderea $x_{m a x} - x_{m i n}$ pe litere de mărime). Da, modul se poate folosi și pentru date nenumerice — este marele lui avantaj față de medie și mediană.

17. Modul $4$ unic ⇒ $4$ apare de cel puțin $2$ ori; $x_{m i n} = 2$ și amplitudinea $10$ ⇒ $x_{m a x} = 2 + 10 = 12$ . Un exemplu valid: ${2, 4, 4, 7, 12}$ . Verificare: $4$ apare de $2$ ori (mod unic ✓), $x_{m i n} = 2$ ✓, $x_{m a x} = 12 \Rightarrow A = 10$ ✓. (Există și alte răspunsuri corecte, de exemplu ${2, 4, 4, 9, 12}$ .)

18. Frecvențe: $22$ apare de $3$ ori (maxim) → modul $= 22$ , deci set unimodal. Amplitudinea: $26 - 10 = 16$ .

De reținut

Modul = valoarea cu cea mai mare frecvență (valoarea care se repetă cel mai des). Este o valoare din set, nu numărul de apariții.
Un set poate fi unimodal (un singur mod), bimodal/multimodal (mai multe valori cu aceeași frecvență maximă) sau fără mod (toate valorile la fel de frecvente).
Amplitudinea: $A = x_{m a x} - x_{m i n}$ (cea mai mare minus cea mai mică valoare). Este mereu $\geq 0$ și are aceeași unitate de măsură ca datele.
Amplitudinea măsoară împrăștierea (întinderea) datelor: mare = date răsfirate, mică = date grupate; $A = 0$ înseamnă că toate valorile sunt egale.
Din tabelul de frecvențe: modul se citește în coloana frecvențelor (valoarea cu numărul cel mai mare), amplitudinea în coloana valorilor (max − min).

Greșeli frecvente

Confuzia mod ↔ frecvență. Mulți răspund cu numărul de apariții în loc de valoarea dominantă. Dacă valoarea $2$ apare de $4$ ori, modul este $2$ , nu $4$ . Întreabă-te mereu: „care valoare?”, nu „de câte ori?”.
A crede că orice set are mod. Dacă toate valorile au frecvențe egale, setul nu are mod. Nu forța un răspuns — scrie clar „setul nu are mod”.
Amplitudine calculată din frecvențe. Amplitudinea se calculează din valori (prima coloană a tabelului), nu din frecvențe. Nu scădea frecvențele între ele.
Greșeli de semn la scădere. Când apar numere negative, $x_{m a x} - x_{m i n}$ poate deveni $3 - (- 5) = 3 + 5 = 8$ . Nu uita regula semnelor; amplitudinea corectă este mereu pozitivă.

Aplică acasă

Garderoba-statistică. Notează mărimile la încălțăminte ale membrilor familiei (sau numerele de la $10$ perechi de pantofi din casă). Determină mărimea-mod (cea mai frecventă) și amplitudinea (max − min). Ce mărime ar fi cel mai util să existe „de rezervă” în casă?
Meteo o săptămână. Timp de $7$ zile, notează temperatura maximă anunțată la știri. La final, calculează amplitudinea săptămânii și compar-o cu a săptămânii următoare: care a fost mai „stabilă” din punct de vedere termic?
Cheltuieli zilnice. Notează cât cheltuiești zilnic timp de $10$ zile. Găsește suma-mod (cea mai des repetată) și amplitudinea. Discută în familie: o amplitudine mare arată cheltuieli neregulate — cum le poți echilibra?

Pentru părinți și profesori

Această lecție încheie „trio-ul” indicatorilor pe care elevul îl studiază la clasa a VIII-a: după medie și mediană, vin modul și amplitudinea. Ideea-cheie de consolidat este diferența de rol: media, mediana și modul descriu centrul datelor, în timp ce amplitudinea descrie împrăștierea lor.

Întrebări bune de verificare a înțelegerii:

„Care este diferența dintre modul $2$ și faptul că valoarea $2$ apare de $4$ ori?” (testează confuzia cea mai frecventă).
„Poate un set să aibă două moduri? Dar niciun mod? Dă-mi câte un exemplu.”
„Dacă amplitudinea este $0$ , ce știi despre date?”
„De ce nu putem calcula amplitudinea pentru culorile preferate, dar putem calcula modul?”

Veți ști că elevul a înțeles când extrage modul și amplitudinea direct dintr-un tabel de frecvențe, fără să rescrie tot șirul, și când motivează dacă un set este unimodal, bimodal sau fără mod. La Evaluarea Națională, aceste noțiuni apar frecvent în Subiectul I sau II: fie ca item scurt („determină modul/amplitudinea setului...”), fie într-un item cu o valoare necunoscută ce trebuie aflată din condiții date (vezi exercițiile 14 și 17), unde se punctează și raționamentul, nu doar rezultatul. Încurajați redactarea completă: enunțarea $A = x_{m a x} - x_{m i n}$ și indicarea clară a valorii-mod.

Întrebări frecvente

Ce este modul unui set de date la clasa a 8-a? Modul este valoarea care apare cel mai des într-un set de date, adică valoarea cu cea mai mare frecvență. De exemplu, în setul $2, 3, 2, 5, 2$ modul este $2$ , pentru că se repetă de trei ori.

Cum se calculează amplitudinea unui set de date? Amplitudinea se calculează cu formula $A = x_{m a x} - x_{m i n}$ , adică cea mai mare valoare minus cea mai mică valoare. De exemplu, pentru $8, 3, 5, 10$ amplitudinea este $10 - 3 = 7$ .

Un set de date poate avea mai multe moduri? Da. Dacă două sau mai multe valori au aceeași frecvență maximă, toate sunt moduri. Un set cu două moduri se numește bimodal, iar cu mai multe, multimodal.

Când un set de date nu are mod? Când toate valorile apar de același număr de ori, nicio valoare nu domină, deci setul nu are mod. De exemplu, $4, 5, 6, 7$ nu are mod, pentru că fiecare valoare apare o singură dată.

Care este diferența dintre mod, medie și mediană? Media este suma valorilor împărțită la numărul lor, mediana este valoarea din mijloc după ordonare, iar modul este valoarea cea mai frecventă. Toate trei descriu „centrul” datelor, dar în moduri diferite.

Poate amplitudinea să fie negativă sau zero? Amplitudinea nu poate fi niciodată negativă, pentru că valoarea maximă este mereu mai mare sau egală cu cea minimă. Poate fi zero, dar numai atunci când toate valorile din set sunt egale între ele.

Ce ne spune amplitudinea despre datele noastre? Amplitudinea arată cât de împrăștiate (întinse) sunt datele: o amplitudine mare înseamnă valori foarte diferite între ele, iar una mică înseamnă valori apropiate, omogene. Este cea mai simplă măsură a împrăștierii datelor.

Se poate calcula modul pentru date care nu sunt numere? Da, și acesta este marele avantaj al modului. Poți afla culoarea-mod, mărimea-mod sau materia preferată cel mai des, chiar dacă nu ai numere — spre deosebire de medie și amplitudine, care cer neapărat valori numerice.