Metoda comparației

Îți amintești cum, la cumpărături, compari două bonuri ca să-ți dai seama unde s-a scumpit ceva? Cam asta face și metoda comparației în matematică: pune față în față două situații aproape la fel, iar din mica diferență dintre ele scoate la iveală un număr ascuns. Este una dintre cele mai elegante metode aritmetice de rezolvare a problemelor din clasa a V-a, fiindcă rezolvă probleme cu două mărimi necunoscute fără ecuații, doar cu logică și câteva operații simple. În această lecție vei descoperi pas cu pas cum se aplică metoda comparației și vei rezolva singur multe probleme de clasa a V-a.

Ce vei învăța

Vei ști să compari două situații date și să observi ce le deosebește.
Vei ști să elimini o mărime ca să afli cealaltă mărime necunoscută.
Vei ști să aduci datele la aceeași cantitate dintr-una dintre mărimi, ca să poți compara corect.
Vei ști să afli o valoare necunoscută folosind diferența dintre cele două situații.
Vei ști să recunoști când o problemă se rezolvă prin metoda comparației și să-ți verifici rezultatul.

Hai să descoperim împreună

O problemă care pare imposibilă la prima vedere

Citește cu atenție:

La un magazin, 3 caiete și 2 pixuri costă împreună 19 lei. În aceeași zi, 3 caiete și 5 pixuri costă împreună 34 de lei. Cât costă un caiet și cât costă un pix?

La prima vedere pare imposibil: avem două mărimi necunoscute (prețul unui caiet și prețul unui pix) și niciuna nu ne este dată direct. Cum scoatem două necunoscute deodată? Aici intervine ideea genială a metodei comparației.

Ideea de bază: ce este la fel și ce este diferit

Așază cele două situații una sub alta, ca două rânduri într-un tabel:

Situația	Caiete	Pixuri	Cost total
A	3	2	19 lei
B	3	5	34 lei

Privește coloanele și pune-ți două întrebări simple:

Ce este la fel în ambele situații? Numărul de caiete: 3 caiete în A și 3 caiete în B. Identic!
Ce este diferit? Numărul de pixuri (2 față de 5) și costul total (19 față de 34).

Acesta este momentul-cheie. Dacă în ambele situații avem exact aceeași cantitate dintr-o mărime (aici, 3 caiete), atunci acea mărime nu poate fi cauza diferenței de preț. Cele 3 caiete „costă la fel" în ambele cazuri, deci diferența totală de bani vine numai de la pixuri.

Eliminarea unei mărimi prin scădere

Hai să gândim ca un detectiv. În situația B plătim mai mult decât în A. Cu cât mai mult?

$34 - 19 = 15 lei$

Acești 15 lei în plus nu pot veni de la caiete, pentru că am avut același număr de caiete (3) în ambele situații. Singurul lucru care s-a schimbat este numărul de pixuri: în B am avut 5 pixuri, iar în A doar 2 pixuri. Deci în B am cumpărat:

$5 - 2 = 3 pixuri \overset{ı}{ˆ} n plus$

Acum totul devine limpede. Cele 3 pixuri în plus au costat 15 lei în plus. Prin scăderea celor două situații, caietele au „dispărut" din calcul — spunem că am eliminat mărimea „caiete". A rămas o singură mărime: pixurile.

Aflarea valorii necunoscute

Dacă 3 pixuri costă 15 lei, atunci un pix costă:

$15 : 3 = 5 lei$

Am aflat prima mărime: un pix costă 5 lei. (Observă că aici am folosit, fără să-i mai spunem pe nume, ideea de la lecția anterioară, metoda reducerii la unitate: am împărțit ca să ajungem la valoarea unei singure bucăți.)

Acum ne întoarcem la oricare dintre situațiile date — să luăm situația A — și înlocuim ce am aflat. În A: 3 caiete și 2 pixuri costă 19 lei. Cele 2 pixuri costă:

$2 \times 5 = 10 lei$

Atunci cele 3 caiete costă restul:

$19 - 10 = 9 lei$

Iar un caiet costă:

$9 : 3 = 3 lei$

Gata! Un caiet costă 3 lei și un pix costă 5 lei. Hai să verificăm în situația B, pe care nu am folosit-o la final: $3 \times 3 + 5 \times 5 = 9 + 25 = 34$ lei. Exact totalul cerut! (Reține: la metoda comparației, după ce afli ambele mărimi, le pui mereu în situația rămasă, ca să fii sigur că rezultatul e corect.)

Pașii metodei comparației

Hai să strângem totul într-o rețetă clară pe care s-o poți aplica la orice problemă de clasa a V-a de acest tip:

Așază cele două situații una sub alta, de preferință într-un tabel cu mărimile pe coloane.
Caută mărimea care apare în aceeași cantitate în ambele situații. Dacă există, treci direct la pasul 4.
Dacă nicio mărime nu este egală, „aduci datele la aceeași cantitate" dintr-una dintre mărimi: înmulțești fiecare situație cu un număr potrivit, astfel încât una dintre mărimi să devină egală în ambele.
Scazi situația mai mică din cea mai mare. Mărimea egală se elimină (diferența ei este 0), iar tu rămâi cu o singură mărime necunoscută.
Afli valoarea unei singure unități din mărimea rămasă, prin împărțire.
Te întorci într-una dintre situațiile inițiale și afli și a doua mărime.
Verifici punând ambele valori în cealaltă situație, ca să dea exact totalul cerut.

Când mărimile nu sunt egale: aducerea la aceeași cantitate

Uneori ai noroc și o mărime e deja egală (ca în exemplul cu cele 3 caiete). Dar de multe ori nu e așa. Atunci folosești pasul cel mai isteț al metodei: aducerea datelor la aceeași cantitate. Hai să vedem cum.

2 mingi și 3 corzi costă 70 de lei. 4 mingi și 1 coardă costă 90 de lei.

Aici nici mingile (2 față de 4), nici corzile (3 față de 1) nu sunt egale. Cum egalizăm? Alegem o mărime — să zicem mingile — și o facem egală în ambele rânduri. În primul rând avem 2 mingi, în al doilea 4 mingi. Dacă înmulțim tot primul rând cu 2, vom avea și acolo 4 mingi:

Rândul 1 înmulțit cu 2: $2 \times 2 = 4$ mingi, $3 \times 2 = 6$ corzi, $70 \times 2 = 140$ lei.
Rândul 2 rămâne: 4 mingi, 1 coardă, 90 lei.

Situația	Mingi	Corzi	Cost
1 (×2)	4	6	140 lei
2	4	1	90 lei

De ce am voie să înmulțesc tot rândul cu 2? Pentru că este logic: dacă 2 mingi și 3 corzi costă 70 lei, atunci dublul — adică 4 mingi și 6 corzi — costă dublul banilor, 140 lei. Înmulțesc toate numerele din acel rând cu același număr, ca să păstrez adevărul.

Acum mingile sunt egale (4 = 4), așa că le pot elimina prin scădere:

$140 - 90 = 50 lei, 6 - 1 = 5 corzi$

Deci 5 corzi costă 50 de lei, adică o coardă costă $50 : 5 = 10$ lei. Mă întorc în rândul al doilea: 4 mingi și 1 coardă = 90 lei, deci 4 mingi = $90 - 10 = 80$ lei, iar o minge = $80 : 4 = 20$ lei. Verificare în rândul întâi: $2 \times 20 + 3 \times 10 = 40 + 30 = 70$ lei. Corect!

De ce funcționează metoda comparației?

Poate te întrebi: e doar un truc sau chiar e adevărat? Este perfect adevărat și logic. Ideea de fond este aceasta: dacă două grupe au exact aceeași cantitate dintr-un produs, atunci acel produs contribuie cu exact aceiași bani în ambele grupe. Când scazi cele două totaluri, partea comună se anulează (orice minus el însuși dă zero), iar diferența de bani este produsă doar de partea care a rămas diferită. Așa rămâi cu o singură necunoscută, pe care o poți afla prin împărțire. Nu e magie — e logică curată, exact genul de raționament pe care îl construim la gimnaziu (vezi și puntea spre gimnaziu: de la calcul la raționament).

Un sfat de aur

Înainte de a scădea, întreabă-te mereu: „Care mărime este egală în ambele situații?" Dacă răspunzi corect la asta, ai rezolvat 80% din problemă. Mărimea egală este cea care „dispare", iar mărimea diferită este cea pe care o vei afla prima. Restul sunt doar operații pe care le știi deja foarte bine: scădere, împărțire, înmulțire.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — mărime deja egală

5 tricouri și 2 șepci costă 190 de lei. 5 tricouri și 6 șepci costă 270 de lei. Cât costă un tricou și cât costă o șapcă?

Pasul 1 — așez în tabel:

Situația	Tricouri	Șepci	Cost
A	5	2	190 lei
B	5	6	270 lei

Pasul 2 — ce este egal? Tricourile: 5 = 5. Le pot elimina.

Pasul 3 — scad B − A:

Tricouri: $5 - 5 = 0$ (dispar).
Șepci: $6 - 2 = 4$ .
Cost: $270 - 190 = 80$ lei.

Deci 4 șepci costă 80 de lei.

Pasul 4 — o șapcă: $80 : 4 = 20$ lei.

Pasul 5 — mă întorc în A: 5 tricouri + 2 șepci = 190 lei. Cele 2 șepci costă $2 \times 20 = 40$ lei, deci 5 tricouri costă $190 - 40 = 150$ lei, iar un tricou $150 : 5 = 30$ lei.

Verificare în B: $5 \times 30 + 6 \times 20 = 150 + 120 = 270$ lei. ✓

Răspuns: un tricou costă 30 de lei, o șapcă costă 20 de lei.

Exemplul 2 — aducerea la aceeași cantitate

3 kg de mere și 4 kg de pere costă 38 de lei. 6 kg de mere și 5 kg de pere costă 61 de lei. Cât costă un kilogram de mere și unul de pere?

Pasul 1 — tabel:

Situația	Mere (kg)	Pere (kg)	Cost
A	3	4	38 lei
B	6	5	61 lei

Pasul 2 — nimic nu e egal. Egalizez merele: în A am 3 kg, în B am 6 kg. Înmulțesc tot rândul A cu 2.

Pasul 3 — rândul A ×2: $3 \times 2 = 6$ kg mere, $4 \times 2 = 8$ kg pere, $38 \times 2 = 76$ lei.

Situația	Mere	Pere	Cost
A (×2)	6	8	76 lei
B	6	5	61 lei

Pasul 4 — scad A(×2) − B: mere $6 - 6 = 0$ , pere $8 - 5 = 3$ , cost $76 - 61 = 15$ lei. Deci 3 kg pere = 15 lei, un kg pere $= 15 : 3 = 5$ lei.

Pasul 5 — mă întorc în A inițial: 3 kg mere + 4 kg pere = 38 lei. Perele: $4 \times 5 = 20$ lei, merele: $38 - 20 = 18$ lei, un kg mere $= 18 : 3 = 6$ lei.

Verificare în B: $6 \times 6 + 5 \times 5 = 36 + 25 = 61$ lei. ✓

Răspuns: merele 6 lei/kg, perele 5 lei/kg.

Exemplul 3 — egalizare prin înmulțirea ambelor situații

2 stilouri și 3 caiete costă 31 de lei. 3 stilouri și 2 caiete costă 34 de lei. Aflați prețul unui stilou și al unui caiet.

Aici nicio mărime nu e egală și niciuna nu e multiplu „curat" al celeilalte. Egalizez stilourile aducându-le la 6 (cel mai mic multiplu comun al lui 2 și 3): înmulțesc rândul A cu 3 și rândul B cu 2.

A ×3: $2 \times 3 = 6$ stilouri, $3 \times 3 = 9$ caiete, $31 \times 3 = 93$ lei.
B ×2: $3 \times 2 = 6$ stilouri, $2 \times 2 = 4$ caiete, $34 \times 2 = 68$ lei.

Situația	Stilouri	Caiete	Cost
A (×3)	6	9	93 lei
B (×2)	6	4	68 lei

Scad: stilouri $6 - 6 = 0$ , caiete $9 - 4 = 5$ , cost $93 - 68 = 25$ lei. Deci 5 caiete = 25 lei, un caiet $= 25 : 5 = 5$ lei.

Mă întorc în A inițial: 2 stilouri + 3 caiete = 31 lei. Caietele: $3 \times 5 = 15$ lei, stilourile: $31 - 15 = 16$ lei, un stilou $= 16 : 2 = 8$ lei.

Verificare în B: $3 \times 8 + 2 \times 5 = 24 + 10 = 34$ lei. ✓

Răspuns: stilou 8 lei, caiet 5 lei.

Exemplul 4 — context cu bilete și grupuri

La un meci, 4 bilete pentru adulți și 3 bilete pentru copii costă 74 de lei. 4 bilete pentru adulți și 5 bilete pentru copii costă 90 de lei. Cât costă un bilet de adult și unul de copil?

Biletele de adult sunt egale (4 = 4). Scad a doua situație minus prima:

Adulți: $4 - 4 = 0$ .
Copii: $5 - 3 = 2$ .
Cost: $90 - 74 = 16$ lei.

Deci 2 bilete de copil = 16 lei, un bilet de copil $= 16 : 2 = 8$ lei. Mă întorc în prima situație: 4 adulți + 3 copii = 74 lei. Copiii: $3 \times 8 = 24$ lei, adulții: $74 - 24 = 50$ lei, un bilet de adult $= 50 : 4 = 12, 5$ lei.

Hopa — iese 12,5 lei, un număr cu virgulă. La un bilet, prețul de 12,50 lei este perfect realist (ai învățat fracțiile zecimale), deci răspunsul e valid. Verificare: $4 \times 12, 5 + 5 \times 8 = 50 + 40 = 90$ lei. ✓

Răspuns: bilet adult 12,50 lei, bilet copil 8 lei. (Reține: nu orice problemă dă numere întregi; banii pot avea zecimale.)

Exemplul 5 — diferență dublă, găsim ambele

2 căști și 1 mouse costă 160 de lei. 2 căști și 4 mouse-uri costă 250 de lei. Cât costă o cască și un mouse?

Căștile sunt egale (2 = 2). Scad:

Căști: $0$ .
Mouse-uri: $4 - 1 = 3$ .
Cost: $250 - 160 = 90$ lei.

3 mouse-uri = 90 lei, un mouse $= 90 : 3 = 30$ lei. Mă întorc în prima situație: 2 căști + 1 mouse = 160 lei, deci 2 căști $= 160 - 30 = 130$ lei, o cască $= 130 : 2 = 65$ lei.

Verificare: $2 \times 65 + 4 \times 30 = 130 + 120 = 250$ lei. ✓

Răspuns: o cască 65 lei, un mouse 30 lei.

Exemplul 6 — problemă cu kilograme și egalizare pe a doua mărime

5 kg de cartofi și 2 kg de morcovi costă 22 de lei. 3 kg de cartofi și 4 kg de morcovi costă 30 de lei. Aflați prețul fiecărei legume.

De data asta egalizez morcovii (2 și 4) aducându-i la 4: înmulțesc rândul A cu 2.

A ×2: $5 \times 2 = 10$ kg cartofi, $2 \times 2 = 4$ kg morcovi, $22 \times 2 = 44$ lei.
B: 3 kg cartofi, 4 kg morcovi, 30 lei.

Scad A(×2) − B: cartofi $10 - 3 = 7$ , morcovi $4 - 4 = 0$ , cost $44 - 30 = 14$ lei. Deci 7 kg cartofi = 14 lei, un kg cartofi $= 14 : 7 = 2$ lei. Mă întorc în A inițial: 5 kg cartofi + 2 kg morcovi = 22 lei. Cartofii: $5 \times 2 = 10$ lei, morcovii: $22 - 10 = 12$ lei, un kg morcovi $= 12 : 2 = 6$ lei.

Verificare în B: $3 \times 2 + 4 \times 6 = 6 + 24 = 30$ lei. ✓

Răspuns: cartofi 2 lei/kg, morcovi 6 lei/kg.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, pas cu pas. Notează mereu tabelul, scaderea și verificarea.

1. Completează: la metoda comparației, mărimea care apare în ______ cantitate în ambele situații se ______ prin scădere.

2. Adevărat sau fals? „Dacă în ambele situații am 4 caiete, atunci diferența de bani vine de la caiete." (A/F)

3. Încercuiește operația cu care elimini o mărime egală din două situații: a) adunare; b) scădere; c) înmulțire.

4. 6 mere și 1 banană costă 13 lei; 6 mere și 4 banane costă 22 lei. Cât costă o banană?

5. 3 caiete și 2 pixuri costă 21 lei; 3 caiete și 5 pixuri costă 30 lei. Cât costă un pix? Dar un caiet?

6. 4 înghețate și 3 sucuri costă 36 lei; 4 înghețate și 7 sucuri costă 52 lei. Află prețul unui suc și al unei înghețate.

7. Potrivește fiecare pas cu acțiunea lui:

(a) Pasul „elimin o mărime" → ( ) împart la numărul de unități rămase
(b) Pasul „aflu o unitate" → ( ) scad cele două situații
(c) Pasul „aflu a doua mărime" → ( ) mă întorc într-o situație inițială

8. 2 kg roșii și 3 kg castraveți costă 27 lei; 4 kg roșii și 3 kg castraveți costă 39 lei. Cât costă un kg de roșii? (Indiciu: castraveții sunt deja egali.)

9. 2 mingi și 5 corzi costă 60 lei; 4 mingi și 5 corzi costă 90 lei. Află prețul unei mingi și al unei corzi.

10. Pentru a egaliza mărimile din situațiile „2 stilouri…" și „6 stilouri…", cu cât înmulțești primul rând? Încercuiește: ×2 / ×3 / ×4.

11. 3 kg mere și 2 kg pere costă 16 lei; 6 kg mere și 5 kg pere costă 37 lei. Află prețul fiecărui kilogram. (Indiciu: egalizează merele înmulțind primul rând cu 2.)

12. Desenează un tabel cu coloanele „Pizza", „Suc", „Cost" și completează-l cu datele: A — 2 pizza, 3 sucuri, 64 lei; B — 2 pizza, 5 sucuri, 80 lei. Apoi află prețul unui suc.

13. 5 bilete adult și 2 bilete copil costă 96 lei; 5 bilete adult și 6 bilete copil costă 128 lei. Cât costă fiecare bilet?

14. Adevărat sau fals? „Dacă nicio mărime nu e egală, problema nu se poate rezolva prin metoda comparației." (A/F)

15. 2 stilouri și 3 caiete costă 23 lei; 3 stilouri și 2 caiete costă 22 lei. Află prețul unui stilou și al unui caiet. (Indiciu: adu stilourile la 6.)

16. 4 kg portocale și 1 kg lămâi costă 29 lei; 2 kg portocale și 3 kg lămâi costă 27 lei. Află prețurile. (Indiciu: egalizează portocalele înmulțind al doilea rând cu 2.)

17. Mică problemă: Maria și Andrei cumpără rechizite din aceeași papetărie. Maria ia 3 markere și 2 radiere și plătește 26 lei. Andrei ia 3 markere și 5 radiere și plătește 38 lei. Cât costă un marker și o radieră?

18. Provocare: 3 căști și 2 tastaturi costă 430 lei; 5 căști și 2 tastaturi costă 590 lei. Cât costă o cască și o tastatură?

Răspunsuri și explicații

1. aceeași cantitate; se elimină prin scădere. (Mărimea egală dispare la scădere.)

2. F (Fals). Dacă numărul de caiete e același, caietele NU produc diferența de bani; diferența vine de la cealaltă mărime.

3. b) scădere. Scăzând cele două totaluri, mărimea egală se anulează.

4. Banane egalizate? Nu — merele sunt egale (6 = 6). Scad: $22 - 13 = 9$ lei pentru $4 - 1 = 3$ banane. O banană $= 9 : 3 =$ 3 lei.

5. Caietele egale (3=3). Scad: $30 - 21 = 9$ lei pentru $5 - 2 = 3$ pixuri → un pix $= 9 : 3 =$ 3 lei. În prima situație: 2 pixuri = 6 lei, 3 caiete $= 21 - 6 = 15$ lei, un caiet $= 15 : 3 =$ 5 lei. Verificare: $3 \times 5 + 5 \times 3 = 15 + 15 = 30$ . ✓

6. Înghețatele egale (4=4). Scad: $52 - 36 = 16$ lei pentru $7 - 3 = 4$ sucuri → un suc $= 16 : 4 =$ 4 lei. În prima: 3 sucuri = 12 lei, 4 înghețate $= 36 - 12 = 24$ lei, o înghețată $= 24 : 4 =$ 6 lei. Verificare: $4 \times 6 + 7 \times 4 = 24 + 28 = 52$ . ✓

7. (a) → scad cele două situații; (b) → împart la numărul de unități rămase; (c) → mă întorc într-o situație inițială.

8. Castraveții egali (3=3). Scad: $39 - 27 = 12$ lei pentru $4 - 2 = 2$ kg roșii → un kg roșii $= 12 : 2 =$ 6 lei.

9. Corzile egale (5=5). Scad: $90 - 60 = 30$ lei pentru $4 - 2 = 2$ mingi → o minge $= 30 : 2 =$ 15 lei. În prima: 2 mingi = 30 lei, 5 corzi $= 60 - 30 = 30$ lei, o coardă $= 30 : 5 =$ 6 lei. Verificare: $4 \times 15 + 5 \times 6 = 60 + 30 = 90$ . ✓

10. ×3. Astfel 2 stilouri devin 6 stilouri, egale cu celălalt rând.

11. Egalizez merele: rândul A ×2 → 6 kg mere, 4 kg pere, 32 lei. Scad cu B: pere $5 - 4 = 1$ , cost $37 - 32 = 5$ lei → un kg pere $=$ 5 lei. În A inițial: 2 kg pere = 10 lei, 3 kg mere $= 16 - 10 = 6$ lei, un kg mere $= 6 : 3 =$ 2 lei. Verificare în B: $6 \times 2 + 5 \times 5 = 12 + 25 = 37$ . ✓

12. Tabel completat; pizza egală (2=2). Scad: $80 - 64 = 16$ lei pentru $5 - 3 = 2$ sucuri → un suc $= 16 : 2 =$ 8 lei.

13. Biletele adult egale (5=5). Scad: $128 - 96 = 32$ lei pentru $6 - 2 = 4$ bilete copil → un bilet copil $= 32 : 4 =$ 8 lei. În prima: 2 copil = 16 lei, 5 adult $= 96 - 16 = 80$ lei, un bilet adult $= 80 : 5 =$ 16 lei. Verificare: $5 \times 16 + 6 \times 8 = 80 + 48 = 128$ . ✓

14. F (Fals). Dacă nicio mărime nu e egală, o aduci la aceeași cantitate prin înmulțire și apoi rezolvi normal.

15. Adu stilourile la 6: A ×3 → 6 stilouri, 9 caiete, 69 lei; B ×2 → 6 stilouri, 4 caiete, 44 lei. Scad: caiete $9 - 4 = 5$ , cost $69 - 44 = 25$ lei → un caiet $= 25 : 5 =$ 5 lei. În A inițial: 3 caiete = 15 lei, 2 stilouri $= 23 - 15 = 8$ lei, un stilou $= 8 : 2 =$ 4 lei. Verificare în B: $3 \times 4 + 2 \times 5 = 12 + 10 = 22$ . ✓

16. Egalizez portocalele: al doilea rând ×2 → 4 kg portocale, 6 kg lămâi, 54 lei. Scad cu primul (4 portocale, 1 lămâie, 29 lei): lămâi $6 - 1 = 5$ , cost $54 - 29 = 25$ lei → un kg lămâi $= 25 : 5 =$ 5 lei. În primul rând: 1 kg lămâi = 5 lei, 4 kg portocale $= 29 - 5 = 24$ lei, un kg portocale $= 24 : 4 =$ 6 lei. Verificare: $2 \times 6 + 3 \times 5 = 12 + 15 = 27$ . ✓

17. Markerele egale (3=3). Scad: $38 - 26 = 12$ lei pentru $5 - 2 = 3$ radiere → o radieră $= 12 : 3 =$ 4 lei. La Maria: 2 radiere = 8 lei, 3 markere $= 26 - 8 = 18$ lei, un marker $= 18 : 3 =$ 6 lei. Verificare la Andrei: $3 \times 6 + 5 \times 4 = 18 + 20 = 38$ . ✓

18. Tastaturile egale (2=2). Scad: $590 - 430 = 160$ lei pentru $5 - 3 = 2$ căști → o cască $= 160 : 2 =$ 80 lei. În prima: 3 căști = 240 lei, 2 tastaturi $= 430 - 240 = 190$ lei, o tastatură $= 190 : 2 =$ 95 lei. Verificare: $5 \times 80 + 2 \times 95 = 400 + 190 = 590$ . ✓

De reținut

Metoda comparației rezolvă probleme cu două mărimi punând față în față două situații.
Mărimea care apare în aceeași cantitate în ambele situații se elimină prin scădere.
Dacă nicio mărime nu e egală, o aduci la aceeași cantitate înmulțind un rând (sau ambele) cu un număr potrivit.
După scădere rămâne o singură mărime: afli o unitate prin împărțire, apoi te întorci într-o situație inițială pentru cealaltă mărime.
Verifică întotdeauna punând ambele valori în cealaltă situație — trebuie să dea exact totalul cerut.

Greșeli frecvente

Scazi doar banii, nu și cantitățile. Mulți elevi fac $38 - 23 = 15$ și uită că trebuie să scadă și pixurile ( $5 - 2 = 3$ ). Scade tot rândul: și mărimile, și costul.
Egalizezi mărimea greșită sau înmulțești doar o parte din rând. Când aduci la aceeași cantitate, înmulțește toate numerele din acel rând cu același număr (și cantitățile, și costul), altfel strici egalitatea.
Uiți să te întorci pentru a doua mărime. După ce afli prima valoare, ai rezolvat jumătate. Trebuie să revii într-o situație dată ca să afli și cealaltă mărime.
Nu verifici. Fără verificare, o mică greșeală de calcul trece neobservată. Pune mereu ambele valori în situația pe care n-ai folosit-o la final.

Joc acasă

1. Bonurile-mister. Cere-i unui părinte două bonuri reale (sau inventați-le) care conțin câte două produse, cu numărul scris și totalul. Acoperă prețurile unitare și încearcă să le afli prin metoda comparației. Apoi descoperă prețurile reale și verifică.

2. Comparație cu monede. Pune pe masă două „pungi": Punga A = 3 monede de un tip + 2 de alt tip, Punga B = 3 de primul tip + 5 de al doilea. Notează „valorile totale" (tu le alegi în secret), dă-i-le unui coleg/părinte și provoacă-l să afle valoarea fiecărei monede prin scădere.

3. Inventatorul de probleme. Creează tu o problemă cu două mărimi care iese cu numere întregi. Trucul: alege întâi prețurile (de exemplu suc 4 lei, gogoașă 3 lei), apoi compune două situații și calculează totalurile. Dă problema unui prieten și verifică dacă obține aceleași prețuri.

Pentru părinți și învățători

Metoda comparației dezvoltă gândirea structurată: copilul învață să organizeze datele, să identifice ce este invariant (egal) și ce variază, și să tragă o concluzie din diferență. Aceasta este o deprindere transferabilă mult dincolo de matematică.

Cum să sprijiniți eficient:

Începeți cu situații în care o mărime e deja egală (exemplele 1, 4, 5). Lăsați egalizarea prin înmulțire pentru după ce mecanismul scăderii e bine înțeles.
Insistați pe întrebarea-cheie: „Ce este la fel în ambele situații?" Dacă elevul răspunde corect, restul curge.
Cereți verificarea cu voce tare: „Pune valorile în cealaltă situație. Dă totalul cerut?" Verificarea construiește autonomie și încredere.
Atenție la rândul întreg: o greșeală tipică e să se scadă doar banii. Reamintiți: scădem și cantitățile, și costul.
Validați rezultatele cu virgulă. La prețuri, un rezultat ca 5,75 lei este realist; nu orice problemă trebuie să dea numere întregi.

Întrebări utile de pus: „De ce avem voie să înmulțim tot rândul cu 2?", „De ce dispar caietele când scădem?", „Cum afli a doua mărime după ce o știi pe prima?". Dacă elevul poate explica de ce funcționează (nu doar cum), a înțeles cu adevărat. Lecția se leagă firesc de metoda reducerii la unitate și pregătește terenul pentru metoda figurativă și metoda falsei ipoteze.

Întrebări frecvente

Ce este metoda comparației la clasa a V-a? Este o metodă aritmetică prin care rezolvi probleme cu două mărimi necunoscute comparând două situații date. Pui situațiile una sub alta, elimini mărimea care apare în aceeași cantitate (prin scădere) și afli cealaltă mărime, apoi te întorci pentru prima.

Când folosesc metoda comparației? O folosești când ai două situații cu aceleași două feluri de obiecte (de exemplu caiete și pixuri), cu cantități și totaluri diferite, și ți se cere prețul (valoarea) fiecărui obiect. Este ideală pentru probleme cu „atâtea x și atâtea y costă…".

Cum elimin o mărime în metoda comparației? Aranjezi cantitățile astfel încât una dintre mărimi să fie egală în ambele situații, apoi scazi situația mai mică din cea mai mare. Mărimea egală dă diferență zero, deci „dispare", și rămâi cu o singură necunoscută.

Ce fac dacă nicio mărime nu este egală? Aduci datele la aceeași cantitate: înmulțești un rând (sau ambele) cu numere potrivite, astfel încât una dintre mărimi să devină egală în ambele situații. Înmulțește toate numerele din acel rând cu același factor, apoi continuă normal cu scăderea.

De ce am voie să înmulțesc tot rândul cu un număr? Pentru că este logic și adevărat: dacă o anumită cantitate de produse costă o sumă, atunci dublul cantității costă dublul sumei, triplul costă triplul ș.a.m.d. Înmulțind toate numerele din rând cu același factor păstrezi egalitatea corectă.

Trebuie să iasă mereu numere întregi? Nu. La prețuri pot apărea rezultate cu virgulă, cum ar fi 5,75 lei sau 12,50 lei, care sunt perfect realiste pentru bani. Dacă însă o cantitate (de obiecte numărate) iese cu virgulă, înseamnă că ai o greșeală de calcul sau enunțul are date care nu se potrivesc.

Care e diferența dintre metoda comparației și metoda reducerii la unitate? La reducerea la unitate lucrezi de obicei cu o singură mărime și cobori la valoarea unei unități prin împărțire. La metoda comparației ai două mărimi și folosești compararea a două situații pentru a elimina una dintre ele; abia după aceea ajungi la o singură unitate.

Cum verific dacă rezultatul e corect? Iei situația pe care nu ai folosit-o la final, înlocuiești cele două valori găsite și calculezi totalul. Dacă obții exact suma din enunț, rezolvarea este corectă; dacă nu, reia scăderea și împărțirile.