Metoda mersului invers

Ți s-a întâmplat vreodată să ieși din casă, să mergi la magazin, apoi în parc, apoi la un prieten — și seara, când vrei să te întorci, să refaci drumul în sens invers? Pleci ultimul de unde ai ajuns ultima dată și te întorci pas cu pas până acasă. Exact așa funcționează și metoda mersului invers în matematică: cunoaștem rezultatul final al unei probleme și „mergem înapoi", desfăcând operațiile una câte una, până ajungem la numărul de la care s-a pornit. Este una dintre cele mai elegante metode aritmetice de rezolvare a problemelor din clasa a V-a și o vei folosi foarte des.

Ce vei învăța

• Vei ști să rezolvi probleme pornind de la rezultatul final către datele inițiale.
• Vei ști să recunoști și să aplici operațiile inverse: scăderea desface adunarea, împărțirea desface înmulțirea (și invers).
• Vei ști să parcurgi o problemă în ordine inversă, pas cu pas, fără să sari etape.
• Vei ști să-ți verifici singur soluția, parcurgând problema în sens direct.
• Vei ști să transformi un text într-un lanț de operații, ca să-l poți desface ușor.

Hai să descoperim împreună

O poveste ca să înțelegem ideea

Imaginează-ți un cufăr încuiat cu trei lacăte așezate unul peste altul: un lacăt verde pus primul, peste el un lacăt albastru, iar deasupra de tot un lacăt roșu, pus ultimul. Când vrei să deschizi cufărul, de unde începi? De la lacătul roșu, cel pus ultimul. Apoi cel albastru, apoi cel verde. Adică desfaci în ordine inversă față de cum ai pus.

În matematică, „lacătele" sunt operațiile. Dacă cineva ia un număr, îl adună cu ceva, apoi înmulțește rezultatul, tu — ca să afli numărul de la început — vei desface mai întâi înmulțirea (operația pusă ultima), apoi adunarea. Asta este toată ideea metodei mersului invers.

Ce înseamnă „operație inversă"

Fiecare operație matematică are o operație inversă, care o „anulează". Gândește-te la ele ca la perechi care se desfac una pe alta:

• Adunarea și scăderea sunt operații inverse. Dacă adaugi 7, ca să te întorci scazi 7. Exemplu: pornesc de la 20, adaug 7 și obțin 27; ca să mă întorc la 20, scad 7 din 27.
• Înmulțirea și împărțirea sunt operații inverse. Dacă înmulțești cu 5, ca să te întorci împarți la 5. Exemplu: pornesc de la 6, înmulțesc cu 5 și obțin 30; ca să mă întorc la 6, împart 30 la 5.

Reține tabelul mic de mai jos — este inima întregii lecții:

Ai mai întâlnit această idee la lecția Aflarea numărului necunoscut prin mersul invers, unde rezolvai ecuații simple cu un „x". Acum facem același lucru, dar pornind de la textul unei probleme, nu de la o ecuație gata scrisă.

Cum recunoști o problemă de „mersul invers"

O problemă se rezolvă frumos prin mersul invers atunci când:

1. Se pornește de la un număr necunoscut (pe care vrem să-l aflăm).
2. Asupra lui se fac, una după alta, mai multe operații (adună, scade, înmulțește, împarte).
3. La final ni se spune rezultatul la care s-a ajuns.

Cuvintele care te ajută să recunoști acest tip de problemă sunt: „m-am gândit la un număr…", „dacă mărim / micșorăm…", „la final am obținut…", „după toate acestea rezultatul este…". Practic, problema îți spune drumul și capătul drumului, iar tu trebuie să afli punctul de plecare.

Cei patru pași ai metodei

Ca să nu te încurci niciodată, urmează mereu acești patru pași:

Pasul 1 — Citește și notează lanțul de operații în ordine directă. Scrie, în ordinea în care apar, ce s-a făcut cu numărul necunoscut. De exemplu: „numărul necunoscut → +5 → ×3 → −4 → rezultatul 26".

Pasul 2 — Întoarce săgețile (mers invers). Pornește de la rezultat și mergi spre stânga, înlocuind fiecare operație cu inversa ei. Lanțul de mai sus devine: „26 → +4 → :3 → −5 → numărul necunoscut".

Pasul 3 — Calculează pas cu pas. Efectuează operațiile în ordinea inversă, una câte una, fără să sari nimic. Notează rezultatul fiecărei etape.

Pasul 4 — Verifică. Ia numărul găsit și parcurge problema în sens direct. Dacă ajungi exact la rezultatul din enunț, soluția este corectă. Verificarea nu este opțională — este partea care îți dă siguranță.

Foarte important: ce devine fiecare operație

Aici greșesc cei mai mulți elevi, așa că oprește-te o clipă. Când întorci săgeata:

• un + din mersul direct devine − la întoarcere;
• un − din mersul direct devine + la întoarcere;
• un × din mersul direct devine : la întoarcere;
• un : din mersul direct devine × la întoarcere.

Și încă ceva esențial: ordinea se inversează complet. Operația care s-a făcut ultima în problemă o desfaci prima. Operația care s-a făcut prima o desfaci ultima. Exact ca la lacătele cufărului.

Un exemplu lucrat foarte încet

Hai să luăm o problemă mică și să o desfacem cu răbdare, ca să vezi mecanismul.

M-am gândit la un număr. L-am înmulțit cu 4, apoi am adăugat 6 și am obținut 30. La ce număr m-am gândit?

Pasul 1 (lanțul direct): număr necunoscut → ×4 → +6 → 30.

Citește lanțul cu voce tare: „număr, ori 4, plus 6, egal 30". Ai notat tot ce s-a întâmplat, în ordine.

Pasul 2 (întorc săgețile): Pornesc de la 30. Ultima operație făcută a fost „+6", deci o desfac prima: scad 6. Penultima a fost „×4", deci o desfac a doua: împart la 4. Lanțul invers: 30 → −6 → :4 → numărul necunoscut.

Pasul 3 (calculez):

• 30 − 6 = 24
• 24 : 4 = 6

Numărul de la care s-a pornit este 6.

Pasul 4 (verific, mers direct): iau 6, îl înmulțesc cu 4 → 24; adaug 6 → 30. Am obținut exact 30, cât scria în enunț. Corect!

Observi cât de simplu devine totul când respecți ordinea? Nu ai avut nevoie de nicio formulă complicată — doar de operațiile inverse aplicate de la coadă spre cap.

Atenție la paranteze și la ordinea operațiilor

Uneori problema spune ceva de genul: „am adunat 3, apoi am înmulțit totul cu 5". Cuvântul „totul" ne spune că mai întâi s-a făcut adunarea și abia apoi înmulțirea — ca și cum adunarea ar fi într-o paranteză: (număr + 3) × 5. La mersul invers, desfaci întâi înmulțirea (împarți la 5), apoi scazi 3.

Dar dacă problema spune „am înmulțit numărul cu 5 și apoi am adunat 3", ordinea e alta: număr × 5, apoi + 3. Acum desfaci întâi adunarea (scazi 3), apoi împarți la 5.

Vezi cât de important e să citești cu atenție ordinea cuvintelor? Un singur cuvânt („totul", „apoi", „din rezultat") schimbă complet lanțul. Dacă vrei să-ți reamintești regulile de ordine a operațiilor și de paranteze, revezi lecția Ordinea efectuării operațiilor. Paranteze rotunde, pătrate și acolade.

Mersul invers cu „o parte din" (fracții simple ale unui întreg)

Multe probleme frumoase folosesc expresii ca „a cheltuit jumătate" sau „a rămas cu o treime". Și aici merge perfect mersul invers, dacă traduci corect:

• „a cheltuit jumătate, i-a rămas jumătate" → cât a rămas este jumătate din cât avea; deci ca să afli cât avea, înmulțești cu 2 suma rămasă;
• „a dat o treime, i-au rămas două treimi" → cât a rămas reprezintă două treimi din total.

Vom lucra un astfel de exemplu mai jos. Important e să reții că orice „luare a unei părți" se desface tot printr-o operație inversă potrivită.

De ce e atât de utilă verificarea

Mersul invers are un mare avantaj: îți oferă o verificare gratuită și sigură. Pentru că ai pornit de la rezultat, dacă refaci drumul în sens direct și nu ajungi la el, știi imediat că ai greșit undeva — cel mai des, ai uitat să inversezi o operație sau ai schimbat ordinea. Așa că verifică mereu. Un matematician bun nu este cel care nu greșește niciodată, ci cel care își prinde singur greșelile.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — lanț cu trei operații

Andrei se gândește la un număr. Îl mărește cu 8, înmulțește rezultatul cu 3 și apoi scade 5. Obține 40. La ce număr s-a gândit Andrei?

Lanțul direct: număr → +8 → ×3 → −5 → 40.

Lanțul invers (întorc săgețile, de la 40): 40 → +5 (desfac „−5") → :3 (desfac „×3") → −8 (desfac „+8") → număr.

Calculez:

• 40 + 5 = 45
• 45 : 3 = 15
• 15 − 8 = 7

Andrei s-a gândit la numărul 7.

Verific (direct): 7 + 8 = 15; 15 × 3 = 45; 45 − 5 = 40. ✓ Corect.

Exemplul 2 — ordinea cuvintelor contează

Un număr este înmulțit cu 6, apoi din rezultat se scade 12 și se obține 60. Află numărul.

Lanțul direct: număr → ×6 → −12 → 60.

Lanțul invers (de la 60): 60 → +12 → :6 → număr.

Calculez:

• 60 + 12 = 72
• 72 : 6 = 12

Numărul este 12.

Verific: 12 × 6 = 72; 72 − 12 = 60. ✓ Corect.

Exemplul 3 — problemă cu bani (context real)

Maria a primit bani de buzunar. A cheltuit 15 lei pe o carte, apoi bunica i-a mai dat bani și suma rămasă s-a dublat. La final avea 50 de lei. Câți lei a avut Maria la început?

Citim cu atenție. Mai întâi cheltuie 15 (scădere). Apoi „suma rămasă s-a dublat" — adică suma de după cheltuială se înmulțește cu 2. Rezultatul final: 50.

Lanțul direct: suma inițială → −15 → ×2 → 50.

Lanțul invers (de la 50): 50 → :2 → +15 → suma inițială.

Calculez:

• 50 : 2 = 25
• 25 + 15 = 40

Maria a avut la început 40 de lei.

Verific: 40 − 15 = 25; 25 × 2 = 50. ✓ Corect.

Exemplul 4 — cu „jumătate" (parte dintr-un întreg)

Un jucător are un număr de puncte într-un joc. Pierde jumătate dintre ele, apoi mai câștigă 30 de puncte. Acum are 80 de puncte. Câte puncte avea înainte de a pierde jumătate?

„Pierde jumătate" înseamnă că îi rămâne jumătate, adică se împarte la 2. Apoi câștigă 30 (adunare). Final: 80.

Lanțul direct: puncte → :2 → +30 → 80.

Lanțul invers (de la 80): 80 → −30 → ×2 → puncte.

Calculez:

• 80 − 30 = 50
• 50 × 2 = 100

Jucătorul avea 100 de puncte.

Verific: 100 : 2 = 50; 50 + 30 = 80. ✓ Corect.

Exemplul 5 — lanț cu patru operații

Mă gândesc la un număr. Îl împart la 5, adun 7, înmulțesc cu 2 și scad 4. Obțin 22. Care este numărul?

Lanțul direct: număr → :5 → +7 → ×2 → −4 → 22.

Lanțul invers (de la 22): 22 → +4 → :2 → −7 → ×5 → număr.

Calculez, etapă cu etapă:

• 22 + 4 = 26
• 26 : 2 = 13
• 13 − 7 = 6
• 6 × 5 = 30

Numărul este 30.

Verific: 30 : 5 = 6; 6 + 7 = 13; 13 × 2 = 26; 26 − 4 = 22. ✓ Corect.

Exemplul 6 — problemă „de toamnă" cu paranteză ascunsă

Un coș are un număr de mere. Bunicul adaugă 4 mere, apoi mută totul în două coșuri egale; într-un coș ajung 9 mere. Câte mere erau la început?

„Mută totul în două coșuri egale" înseamnă că suma de după adăugare se împarte la 2, iar un coș primește jumătate, adică 9.

Lanțul direct: mere → +4 → :2 → 9.

Lanțul invers (de la 9): 9 → ×2 → −4 → mere.

Calculez:

• 9 × 2 = 18
• 18 − 4 = 14

La început erau 14 mere.

Verific: 14 + 4 = 18; 18 : 2 = 9. ✓ Corect.

Exemplul 7 — lanț lung, cu cinci operații

Mă gândesc la un număr. Îl înmulțesc cu 2, adun 3, înmulțesc rezultatul cu 4, scad 8 și împart la 6. Obțin 6. La ce număr m-am gândit?

Pare lung, dar metoda este exact aceeași — doar lanțul are mai multe „lacăte". Scriem cu grijă toate operațiile, în ordine.

Lanțul direct: număr → ×2 → +3 → ×4 → −8 → :6 → 6.

Lanțul invers (de la 6, desfac de la coadă spre cap): 6 → ×6 (desfac „:6") → +8 (desfac „−8") → :4 (desfac „×4") → −3 (desfac „+3") → :2 (desfac „×2") → număr.

Calculez, etapă cu etapă:

• 6 × 6 = 36
• 36 + 8 = 44
• 44 : 4 = 11
• 11 − 3 = 8
• 8 : 2 = 4

Numărul de la care s-a pornit este 4.

Verific (direct): 4 × 2 = 8; 8 + 3 = 11; 11 × 4 = 44; 44 − 8 = 36; 36 : 6 = 6. ✓ Corect.

Observă că, oricât de lung ar fi lanțul, nu te poți încurca dacă respecți două reguli: inversezi fiecare operație și mergi strict de la ultima spre prima. Cu cât lanțul e mai lung, cu atât verificarea finală e mai prețioasă.

Exemplul 8 — cuvântul „totul" ascunde o paranteză

Un elev are un număr de timbre. Mai cumpără 7 timbre, apoi schimbă totul cu un prieten pe de 3 ori atâtea. Acum are 60 de timbre. Câte timbre avea la început?

Cuvântul-cheie este „totul": el ne spune că abia după adăugarea celor 7 timbre se face înmulțirea cu 3. Este, de fapt, o paranteză ascunsă: (număr + 7) × 3 = 60.

Lanțul direct: timbre → +7 → ×3 → 60.

Lanțul invers (de la 60): 60 → :3 → −7 → timbre.

Calculez:

• 60 : 3 = 20
• 20 − 7 = 13

La început elevul avea 13 timbre.

Verific: 13 + 7 = 20; 20 × 3 = 60. ✓ Corect. Dacă ai fi citit neatent și ai fi desfăcut întâi adunarea, ai fi greșit — de aceea subliniem mereu cuvinte ca „totul" și „apoi".

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Pentru fiecare problemă, scrie întâi lanțul direct, apoi lanțul invers, apoi calculează și verifică. Sunt așezate de la ușor la greu.

1. Un număr este mărit cu 9 și se obține 21. Află numărul.

2. Un număr este înmulțit cu 7 și se obține 56. Care este numărul?

3. Dintr-un număr se scade 13 și rezultatul este 40. Află numărul.

4. Un număr este împărțit la 6 și se obține 9. Care este numărul?

5. Adevărat sau fals? Operația inversă a înmulțirii cu 8 este împărțirea la 8.

6. Adevărat sau fals? La mersul invers, prima operație pe care o desfaci este cea care a fost făcută prima în problemă.

7. Completează lanțul invers: dacă mersul direct este număr → +5 → ×3 → 33, atunci mersul invers este 33 → ___ → ___ → număr.

8. Un număr este mărit cu 4, apoi rezultatul este înmulțit cu 5. Se obține 45. Află numărul.

9. Un număr este înmulțit cu 3, apoi se adaugă 8 și se obține 38. Care este numărul?

10. Mă gândesc la un număr. Îl împart la 4, apoi adaug 10 și obțin 16. La ce număr m-am gândit?

11. Un număr este micșorat cu 7, apoi rezultatul este înmulțit cu 6. Se obține 54. Află numărul.

12. Potrivește fiecare operație cu inversa ei: a) +12 b) ×9 c) −20 d) :3 I) ×3 II) −12 III) +20 IV) :9

13. Vlad are o sumă de bani. Cheltuie 20 de lei, apoi primește bani de la părinți și suma rămasă i se triplează. Acum are 90 de lei. Câți lei a avut la început?

14. Un număr este înmulțit cu 2, apoi se adaugă 6, apoi se împarte la 4 și se obține 5. Care este numărul?

15. O cutie cu bomboane: se mănâncă jumătate, apoi se mai adaugă 8 bomboane. Acum sunt 20. Câte bomboane erau la început?

16. Mă gândesc la un număr. Îl înmulțesc cu 5, scad 3, împart la 6 și obțin 7. Care este numărul?

17. Într-un rezervor este o cantitate de apă. Se scot 12 litri, apoi cantitatea rămasă se dublează, apoi se mai adaugă 5 litri. Acum sunt 35 de litri. Câți litri erau la început?

18. Problemă cu două desfaceri ascunse: un număr este mărit cu 11, rezultatul este împărțit la 2, apoi din nou înmulțit cu 9 și se obține 90. Află numărul. (Atenție la ordine!)

Răspunsuri și explicații

1. 12. Invers: 21 → −9 → 12. Verific: 12 + 9 = 21. ✓

2. 8. Invers: 56 → :7 → 8. Verific: 8 × 7 = 56. ✓

3. 53. Invers: 40 → +13 → 53. Verific: 53 − 13 = 40. ✓

4. 54. Invers: 9 → ×6 → 54. Verific: 54 : 6 = 9. ✓

5. Adevărat. Înmulțirea cu 8 se desface prin împărțirea la 8 — sunt operații inverse.

6. Fals. Prima pe care o desfaci este operația făcută ultima în problemă (ca la lacătele cufărului). Ordinea se inversează complet.

7. 33 → :3 → −5 → număr. Atenție: e o capcană de ordine! Lanțul direct este +5 apoi ×3, deci ultima operație făcută este „×3" și se desface prima (:3), iar „+5" se desface ultima (−5). Calcul: 33 : 3 = 11; 11 − 5 = 6. Numărul este 6. Verific (direct): 6 + 5 = 11; 11 × 3 = 33. ✓ (Dacă ai fi pus întâi −5, ai fi desfăcut operațiile în ordine greșită — desfaci mereu de la coadă spre cap.)

8. 5. Direct: număr → +4 → ×5 → 45. Invers: 45 → :5 → −4. Calcul: 45 : 5 = 9; 9 − 4 = 5. Verific: 5 + 4 = 9; 9 × 5 = 45. ✓

9. 10. Direct: număr → ×3 → +8 → 38. Invers: 38 → −8 → :3. Calcul: 38 − 8 = 30; 30 : 3 = 10. Verific: 10 × 3 = 30; 30 + 8 = 38. ✓

10. 24. Direct: număr → :4 → +10 → 16. Invers: 16 → −10 → ×4. Calcul: 16 − 10 = 6; 6 × 4 = 24. Verific: 24 : 4 = 6; 6 + 10 = 16. ✓

11. 16. Direct: număr → −7 → ×6 → 54. Invers: 54 → :6 → +7. Calcul: 54 : 6 = 9; 9 + 7 = 16. Verific: 16 − 7 = 9; 9 × 6 = 54. ✓

12. a–II, b–IV, c–III, d–I. Adunarea (+12) se desface prin scădere (−12); înmulțirea (×9) prin împărțire (:9); scăderea (−20) prin adunare (+20); împărțirea (:3) prin înmulțire (×3).

13. 50 de lei. Direct: sumă → −20 → ×3 → 90. Invers: 90 → :3 → +20. Calcul: 90 : 3 = 30; 30 + 20 = 50. Verific: 50 − 20 = 30; 30 × 3 = 90. ✓

14. 7. Direct: număr → ×2 → +6 → :4 → 5. Invers: 5 → ×4 → −6 → :2. Calcul: 5 × 4 = 20; 20 − 6 = 14; 14 : 2 = 7. Verific: 7 × 2 = 14; 14 + 6 = 20; 20 : 4 = 5. ✓

15. 24 de bomboane. „Se mănâncă jumătate" → rămâne jumătate (:2). Direct: nr → :2 → +8 → 20. Invers: 20 → −8 → ×2. Calcul: 20 − 8 = 12; 12 × 2 = 24. Verific: 24 : 2 = 12; 12 + 8 = 20. ✓

16. 9. Direct: număr → ×5 → −3 → :6 → 7. Invers: 7 → ×6 → +3 → :5. Calcul: 7 × 6 = 42; 42 + 3 = 45; 45 : 5 = 9. Verific: 9 × 5 = 45; 45 − 3 = 42; 42 : 6 = 7. ✓

17. 27 de litri. Direct: nr → −12 → ×2 → +5 → 35. Invers: 35 → −5 → :2 → +12. Calcul: 35 − 5 = 30; 30 : 2 = 15; 15 + 12 = 27. Verific (direct): 27 − 12 = 15; 15 × 2 = 30; 30 + 5 = 35. ✓ (Atenție: „cantitatea rămasă se dublează" = ×2, iar desfacerea ei la mersul invers este :2.)

18. 9. Direct: număr → +11 → :2 → ×9 → 90. Invers: 90 → :9 → ×2 → −11. Calcul: 90 : 9 = 10; 10 × 2 = 20; 20 − 11 = 9. Verific: 9 + 11 = 20; 20 : 2 = 10; 10 × 9 = 90. ✓

De reținut

• Metoda mersului invers rezolvă problema pornind de la rezultatul final și mergând spre datele inițiale.
• Fiecare operație are o operație inversă: + ↔ −, × ↔ :. La întoarcere, înlocuiești fiecare operație cu inversa ei.
• Ordinea se inversează: desfaci prima operația făcută ultima și ultima operația făcută prima (regula cufărului cu lacăte).
• Lucrează în trei pași: scrie lanțul direct, scrie lanțul invers, calculează pas cu pas.
• Verifică întotdeauna parcurgând problema în sens direct — dacă ajungi la rezultatul din enunț, soluția e corectă.

Greșeli frecvente

• Nu inversezi ordinea operațiilor. Mulți desfac operațiile în aceeași ordine în care apar în text. Greșit! Începe mereu de la ultima operație făcută. Gândește-te la lacăte: deschizi de sus în jos.
• Confunzi inversa operației. A scădea NU se desface tot prin scădere, ci prin adunare; a împărți se desface prin înmulțire. Ține tabelul perechilor în minte: + cu −, × cu :.
• Citești neatent ordinea cuvintelor. „Înmulțesc cu 5 și adun 3" e altceva decât „adun 3 și înmulțesc totul cu 5". Subliniază cuvintele „apoi", „totul", „din rezultat" — ele îți spun ordinea reală.
• Sari peste verificare. Verificarea în sens direct îți prinde greșelile în câteva secunde. Nu o sări niciodată; e plasa ta de siguranță.

Joc acasă

1. Jocul lacătelor (cu cutii). Ia 3 cutii goale (de la pantofi, de la ceai etc.) și pune-le una peste alta în ordine: verde, albastru, roșu. Spune cu voce tare cum le-ai pus. Apoi „deschide-le" și observă că le iei exact în ordine inversă: roșu, albastru, verde. Acum scrie un lanț de operații pe o foaie (de exemplu +5, ×2, −3) și desfă-l la fel ca pe cutii.

2. Ghicește numărul meu. Un membru al familiei se gândește la un număr (între 1 și 10), îi aplică în secret 2-3 operații și îți spune doar rezultatul final și ce operații a făcut (în ordine). Tu afli numărul prin mersul invers. Apoi schimbați rolurile. Cine găsește mai repede câștigă un punct.

3. Bani de buzunar inversați. Folosește monede de jucărie sau bilețele cu sume. Pleacă de la o sumă „de final" (de exemplu 30 de lei), inventează un drum (a primit dublu, a cheltuit 10, a primit 5) și roagă un părinte să afle suma de la început mergând invers. Verificați împreună parcurgând drumul în sens direct.

Pentru părinți și învățători

Această lecție întărește competența 6.1: modelarea matematică a unei situații și rezolvarea prin metode aritmetice. Metoda mersului invers este și un excelent antrenament de gândire logică, pentru că obligă copilul să identifice ordinea acțiunilor și să o răstoarne controlat.

Cum să predați pas cu pas:

• Începeți de la situații concrete din viața de zi cu zi: refacerea unui drum, deschiderea unui rucsac cu mai multe buzunare închise pe rând, „desfacerea" unei rețete.
• Insistați pe ideea că ultima acțiune se desface prima. Analogia cu lacătele suprapuse sau cu îmbrăcatul/dezbrăcatul (te dezbraci în ordine inversă față de cum te-ai îmbrăcat) este foarte intuitivă.
• Cereți copilului să scrie întotdeauna cele două lanțuri (direct și invers) înainte de a calcula. Acest obicei previne cele mai multe greșeli.

Întrebări bune de pus:

• „Care a fost ultima operație făcută? Cu ce o desfacem?"
• „Dacă s-a adunat, ce facem ca să ne întoarcem?"
• „Hai să verificăm: pornim de la numărul găsit și mergem înainte — ajungem la rezultatul din enunț?"

Cum verificați înțelegerea: dați-i o problemă nouă și cereți-i să o rezolve cu voce tare, explicând fiecare pas. Dacă poate justifica de ce a ales fiecare operație inversă și își verifică singur soluția, a înțeles metoda. Un semn de stăpânire avansată este când copilul recunoaște singur o „paranteză ascunsă" (cuvântul „totul"). Pentru continuare, urmează lecția Metoda falsei ipoteze, iar pentru recapitularea operațiilor inverse simple, Aflarea numărului necunoscut prin mersul invers.

Întrebări frecvente

Ce este metoda mersului invers la clasa a 5-a? Este o metodă aritmetică prin care rezolvi o problemă pornind de la rezultatul final și mergând înapoi, spre datele inițiale. Înlocuiești fiecare operație din problemă cu operația ei inversă și parcurgi etapele în ordine inversă, până afli numărul de la care s-a pornit.

Cum știu care este operația inversă? Operațiile se grupează în perechi: adunarea se desface prin scădere și invers, iar înmulțirea se desface prin împărțire și invers. Deci dacă în problemă s-a adunat, tu scazi; dacă s-a înmulțit, tu împarți; și așa mai departe.

În ce ordine desfac operațiile? Întotdeauna invers față de cum au fost făcute. Operația realizată ultima în problemă se desface prima, iar cea realizată prima se desface ultima. Gândește-te la trei lacăte puse unul peste altul: le deschizi în ordine inversă față de cum le-ai pus.

Cum recunosc o problemă care se rezolvă prin mersul invers? Caută enunțuri în care se pornește de la un număr necunoscut, asupra lui se fac mai multe operații una după alta, iar la final ți se spune rezultatul. Expresii ca „m-am gândit la un număr", „apoi", „din rezultat", „la final am obținut" sunt semnale clare.

De ce trebuie să verific soluția? Pentru că verificarea îți confirmă rezultatul fără efort: iei numărul găsit, parcurgi problema în sens direct și vezi dacă ajungi la rezultatul din enunț. Dacă da, soluția e corectă; dacă nu, ai greșit fie inversarea unei operații, fie ordinea.

Care e diferența dintre mersul invers și o ecuație cu „x"? Sunt foarte apropiate: ecuația scrie problema cu un necunoscut, iar mersul invers o rezolvă desfăcând operațiile de la rezultat spre necunoscut. La clasa a V-a folosim mersul invers ca metodă aritmetică, fără să scriem neapărat litera „x", dar ideea matematică este aceeași.

Ce fac dacă în problemă apare „jumătate" sau „o treime"? Le tratezi tot ca operații. „A rămas jumătate" înseamnă împărțire la 2, deci la întoarcere înmulțești cu 2. „A rămas o treime" înseamnă împărțire la 3, deci la întoarcere înmulțești cu 3. Citește atent ce parte rămâne și folosește operația inversă potrivită.

Pot folosi mersul invers la orice problemă? Nu la orice problemă, ci la cele în care un număr suferă un șir de operații succesive și cunoști rezultatul final. Pentru alte tipuri există metode diferite, precum metoda figurativă, metoda comparației sau metoda reducerii la unitate. Alegerea metodei potrivite o vei exersa în lecțiile următoare.