Metoda falsei ipoteze

Imaginează-ți că nu știi răspunsul unei probleme, dar îți dai voie să „ghicești" de la început. Apoi verifici cât de departe ai nimerit și folosești tocmai greșeala ta ca să găsești răspunsul corect. Pare un truc, dar este o metodă aritmetică serioasă, veche de mii de ani, numită metoda falsei ipoteze. În această lecție vei învăța cum o presupunere „falsă", făcută cu cap, te conduce sigur la soluția adevărată.

Ce vei învăța

• Vei ști să formulezi o presupunere inițială (o ipoteză) asupra unei mărimi din problemă.
• Vei ști să calculezi rezultatul pornind de la presupunere și să-l compari cu datele problemei.
• Vei ști să corectezi presupunerea folosind diferența obținută.
• Vei ști să aplici metoda în probleme cu două tipuri de obiecte (găini și iepuri, bilete ieftine și scumpe, monede de două feluri).
• Vei ști să verifici dacă răspunsul găsit respectă toate condițiile problemei.

Hai să descoperim împreună

O problemă care pare imposibilă la prima vedere

Hai să pornim de la o întâmplare. Andrei a fost la o fermă și a numărat animalele din curte: erau găini și iepuri, în total 20 de capete și 56 de picioare. Câte găini și câți iepuri erau în curte?

La prima vedere pare greu: avem două feluri de animale și nu știm câte sunt din fiecare. Dacă am ști, am putea verifica imediat. Dar tocmai asta nu știm. Aici intervine ideea genială a metodei: dacă nu știu, presupun ceva — chiar dacă presupunerea e probabil greșită — și apoi îmi corectez greșeala.

Pasul 1: Fac o presupunere (ipoteza)

Andrei își spune: „Hai să presupun, de probă, că toate cele 20 de animale sunt găini."

Este aproape sigur o presupunere falsă (de aici și numele metodei — falsa ipoteză). Dar nu contează că e falsă; contează că pot calcula ușor ce s-ar întâmpla dacă ar fi adevărată.

Pasul 2: Calculez rezultatul presupunerii

Dacă toate cele 20 de animale ar fi găini, fiecare având 2 picioare, atunci numărul de picioare ar fi:

$$20\times 2=40\text{ picioare.}$$

Pasul 3: Compar cu datele problemei

Problema spune că în realitate sunt 56 de picioare. Eu, din presupunerea mea, am obținut doar 40 de picioare. Deci îmi lipsesc niște picioare:

$$56-40=16\text{ picioare lipsa˘.}$$

De ce îmi lipsesc picioare? Pentru că am presupus că toate animalele au câte 2 picioare, dar de fapt unele sunt iepuri și au câte 4 picioare. Fiecare iepure pe care l-am „transformat" greșit în găină mi-a ascuns niște picioare.

Pasul 4: Corectez presupunerea cu ajutorul diferenței

Acum vine partea cea mai importantă. Mă întreb: cu cât crește numărul de picioare dacă schimb o găină cu un iepure?

• O găină are 2 picioare.
• Un iepure are 4 picioare.
• Diferența la o singură schimbare: $4-2=2$ picioare în plus.

Deci, de fiecare dată când înlocuiesc o presupusă găină cu un iepure adevărat, câștig 2 picioare. Iar mie îmi lipsesc 16 picioare. Câți iepuri trebuie să „aduc înapoi" ca să recuperez cele 16 picioare?

$$16:2=8\text{ iepuri.}$$

Deci sunt 8 iepuri. Iar restul, până la 20 de capete, sunt găini:

$$20-8=12\text{ ga˘ini.}$$

Pasul 5: Verific (pasul pe care campionii nu îl sar niciodată)

Verificăm dacă răspunsul respectă ambele condiții.

• Capete: $12+8=20$. ✔️ Corect.
• Picioare: $12\times 2+8\times 4=24+32=56$. ✔️ Corect.

Funcționează perfect! Presupunerea falsă (toate găini) ne-a dus, prin corectare, la răspunsul adevărat: 12 găini și 8 iepuri.

De ce funcționează metoda? (raționamentul, nu doar rețeta)

Ești la gimnaziu acum, așa că nu ne mulțumim cu „așa se face". Hai să înțelegem de ce merge.

Gândește-te că ai un grup de animale și „le așezi pe toate ca găini", adică le numeri câte 2 picioare fiecare. Atunci obții un număr de picioare prea mic, pentru că iepurii au în realitate mai multe picioare decât le-ai pus tu. Cu cât mai mic? Exact cu 2 picioare pentru fiecare iepure ascuns (diferența dintre 4 și 2).

Așadar:

$$\text{(picioare reale)}-\text{(picioare presupuse)}=2\times \text{(numa˘rul de iepuri)}.$$

Din această relație, numărul de iepuri se află împărțind diferența la 2. Metoda nu e magie: e o idee de comparație îmbrăcată într-o presupunere comodă.

Cele trei numere-cheie ale metodei

Ca să nu te încurci niciodată, reține că în orice problemă de acest tip lucrezi cu trei numere:

1. Diferența totală = (valoarea reală din problemă) − (valoarea obținută din presupunere). Este „cât îmi lipsește" sau „cât îmi prisosește".
2. Diferența pe o unitate = cu cât se schimbă rezultatul când înlocuiești un obiect de un fel cu unul de celălalt fel (la noi: $4-2=2$).
3. Răspunsul căutat = diferența totală împărțită la diferența pe o unitate.

Apoi celălalt număr se află prin scădere din total. Și, la final, verifici mereu.

Ce se întâmplă dacă presupun invers?

Andrei a presupus că toate sunt găini. Dar prietena lui, Maria, presupune invers: că toate cele 20 sunt iepuri. Să vedem că metoda merge la fel.

• Dacă toate ar fi iepuri (4 picioare): $20\times 4=80$ picioare.
• În realitate sunt 56. De data asta am prea multe picioare: $80-56=24$ picioare în plus.
• Înlocuind un iepure cu o găină, pierd $4-2=2$ picioare.
• Câte găini trebuie să aduc ca să scap de cele 24 de picioare în plus? $24:2=12$ găini.
• Iepuri: $20-12=8$.

Același răspuns: 12 găini și 8 iepuri. Observă diferența de limbaj: când presupui „totul mic" îți lipsesc unități; când presupui „totul mare" îți prisosesc unități. În ambele cazuri împarți la diferența pe o unitate. Frumusețea metodei e că poți alege presupunerea care ți se pare mai comodă.

Metoda nu e doar despre animale

„Găini și iepuri" e doar haina poveștii. Sub ea se ascunde un tipar care apare peste tot:

• bilete ieftine și bilete scumpe, cunoscând numărul total de bilete și suma totală de bani;
• monede de 50 de bani și de 5 lei, cunoscând câte sunt și cât fac la un loc;
• probleme cu răspunsuri corecte (care aduc puncte) și greșite (care scad puncte) la un concurs;
• cutii mari și cutii mici, cunoscând numărul cutiilor și numărul total de obiecte.

Oriunde ai două tipuri de obiecte, un total al bucăților și un total al unei mărimi (picioare, bani, puncte), metoda falsei ipoteze îți rezolvă problema. Aceasta este o metodă aritmetică la fel ca cele învățate deja: poți să-ți reamintești și de metoda comparației sau de metoda figurativă, care rezolvă probleme înrudite în alt mod.

Rețeta pe scurt (cardul tău de buzunar)

1. Citesc problema și identific cele două tipuri de obiecte, totalul bucăților și totalul mărimii (bani, picioare, puncte).
2. Presupun că toate bucățile sunt de un singur fel (de obicei alegi felul cu valoarea mai mică, ca să-ți fie lipsă, nu prisos).
3. Calculez mărimea totală în baza presupunerii.
4. Compar cu mărimea reală din problemă și aflu diferența totală.
5. Aflu diferența pe o unitate (cât se schimbă rezultatul la o singură înlocuire).
6. Împart diferența totală la diferența pe o unitate → obțin numărul obiectelor de celălalt fel.
7. Scad din total → obțin numărul obiectelor de primul fel.
8. Verific ambele condiții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Bilete la meci (clasic, cu bani)

La un meci s-au vândut 30 de bilete: unele de tribună, la 8 lei, altele la peluză, la 5 lei. Încasarea totală a fost de 195 de lei. Câte bilete de fiecare fel s-au vândut?

Presupunere: toate cele 30 de bilete sunt de peluză, la 5 lei (alegem valoarea mai mică).

Atunci încasarea ar fi: $30\times 5=150$ lei.

Comparație: în realitate s-au încasat 195 lei. Diferența: $195-150=45$ lei lipsă.

De ce lipsesc bani? Pentru că unele bilete sunt, de fapt, de tribună (mai scumpe). Diferența pe un bilet: $8-5=3$ lei.

Corectare: $45:3=15$ bilete de tribună.

Bilete de peluză: $30-15=15$.

Verificare: $15\times 8+15\times 5=120+75=195$ lei. ✔️ Și $15+15=30$. ✔️

Răspuns: 15 bilete de tribună și 15 de peluză.

Exemplul 2 — Problema cu animale, dar presupunere „mare"

Într-un țarc sunt rațe și capre, în total 14 capete și 38 de picioare. Câte rațe și câte capre sunt?

Presupunere: toate cele 14 sunt capre (4 picioare), ca să exersăm presupunerea „mare".

Picioare presupuse: $14\times 4=56$.

Comparație: în realitate sunt 38 de picioare. Avem prea multe: $56-38=18$ picioare în plus.

Înlocuind o capră cu o rață, pierdem $4-2=2$ picioare.

Corectare: $18:2=9$ rațe.

Capre: $14-9=5$.

Verificare: $9\times 2+5\times 4=18+20=38$. ✔️ Și $9+5=14$. ✔️

Răspuns: 9 rațe și 5 capre.

Exemplul 3 — Concurs cu puncte (mărimea poate „scădea")

La un concurs cu 20 de întrebări, pentru fiecare răspuns corect primești 5 puncte, iar pentru fiecare răspuns greșit pierzi 2 puncte. Dan a răspuns la toate cele 20 de întrebări și a obținut 58 de puncte. Câte răspunsuri corecte a dat Dan?

Aici „mărimea" e punctajul, iar greșelile scad puncte. Metoda merge la fel, dar să fim atenți la diferența pe o unitate.

Presupunere: Dan a răspuns corect la toate cele 20 de întrebări.

Punctaj presupus: $20\times 5=100$ puncte.

Comparație: în realitate are 58. Avem prea mult: $100-58=42$ puncte în plus (de „dat înapoi").

Ce se întâmplă când o întrebare „corectă" e de fapt greșită? Pierzi cele 5 puncte câștigate și mai scazi 2 puncte. Deci o singură schimbare costă: $5+2=7$ puncte.

Corectare: $42:7=6$ răspunsuri greșite.

Răspunsuri corecte: $20-6=14$.

Verificare: $14\times 5-6\times 2=70-12=58$. ✔️ Și $14+6=20$. ✔️

Răspuns: Dan a dat 14 răspunsuri corecte.

Atenție la acest exemplu! Mulți elevi pun diferența pe o unitate $5-2=3$, ceea ce e greșit. Când o mărime aduce puncte într-un caz și ia puncte în celălalt, diferența la o schimbare este suma lor: $5+2=7$.

Exemplul 4 — Pușculița cu monede

Ana are în pușculiță 25 de monede: de 1 leu și de 5 lei. În total are 73 de lei. Câte monede de fiecare fel are Ana?

Presupunere: toate cele 25 de monede sunt de 1 leu.

Sumă presupusă: $25\times 1=25$ lei.

Comparație: în realitate are 73 lei. Lipsă: $73-25=48$ lei.

Diferența pe o monedă: $5-1=4$ lei.

Corectare: $48:4=12$ monede de 5 lei.

Monede de 1 leu: $25-12=13$.

Verificare: $13\times 1+12\times 5=13+60=73$. ✔️ Și $13+12=25$. ✔️

Răspuns: 13 monede de 1 leu și 12 monede de 5 lei.

Exemplul 5 — Cutii mari și mici (numere mai mari)

Un depozit a primit 40 de cutii: cutii mari, cu câte 12 cărți, și cutii mici, cu câte 7 cărți. În total sunt 355 de cărți. Câte cutii de fiecare fel sunt?

Presupunere: toate cele 40 de cutii sunt mici, cu 7 cărți.

Cărți presupuse: $40\times 7=280$.

Comparație: în realitate sunt 355. Lipsă: $355-280=75$ cărți.

Diferența pe o cutie: $12-7=5$ cărți.

Corectare: $75:5=15$ cutii mari.

Cutii mici: $40-15=25$.

Verificare: $15\times 12+25\times 7=180+175=355$. ✔️ Și $15+25=40$. ✔️

Răspuns: 15 cutii mari și 25 cutii mici.

Exemplul 6 — Când diferența nu se împarte exact (capcană de gândit)

Un copil spune: „Am 10 animale, găini și iepuri, cu 27 de picioare." Câte sunt din fiecare?

Presupunere: toate găini → $10\times 2=20$ picioare. Lipsă: $27-20=7$. Diferența pe unitate: $4-2=2$.

Acum: $7:2$ nu este număr natural (7 nu se împarte exact la 2). Asta înseamnă ceva important: problema nu are soluție cu animale întregi! De ce? Pentru că numărul de picioare al unui amestec de găini și iepuri este întotdeauna par (2 și 4 sunt amândouă pare, iar suma unor numere pare e pară), iar 27 este impar.

Concluzie: dacă diferența totală nu se împarte exact la diferența pe o unitate, datele problemei sunt contradictorii — nu există răspuns. A ști să recunoști asta este la fel de valoros ca a rezolva. Vei aprofunda astfel de situații în lecția Probleme cu date insuficiente sau contradictorii.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. La fiecare problemă cu două feluri de obiecte, scrie presupunerea, diferența totală, diferența pe o unitate și verificarea.

1. Calculează diferența pe o unitate pentru: găini (2 picioare) și iepuri (4 picioare).

2. Adevărat sau fals: „În metoda falsei ipoteze, presupunerea trebuie să fie mereu corectă." Justifică.

3. Completează: dacă presupun că toate cele 15 animale sunt găini, numărul de picioare presupus este $15\times \cdots =\dots$.

4. Într-o curte sunt găini și iepuri: 12 capete și 34 de picioare. Câte sunt din fiecare?

5. La un stand s-au vândut 20 de bilete: la 4 lei și la 6 lei. Încasarea: 96 lei. Câte bilete de fiecare fel?

6. Într-un acvariu sunt caracatițe (8 brațe) și stele de mare (5 brațe), în total 9 viețuitoare și 57 de brațe. Câte sunt din fiecare?

7. Încercuiește răspunsul corect. Presupun toate iepuri și îmi ies prea multe picioare. Asta înseamnă că numărul de iepuri reali este: a) mai mare decât presupunerea; b) mai mic decât presupunerea; c) exact cât presupunerea.

8. Maria are 18 monede: de 2 lei și de 5 lei, în total 60 de lei. Câte monede de fiecare fel?

9. La un test cu 15 întrebări, fiecare răspuns corect aduce 4 puncte, iar fiecare greșit scade 1 punct. Un elev a răspuns la toate și a obținut 45 de puncte. Câte răspunsuri corecte a dat?

10. Află diferența pe o unitate pentru fiecare situație: (A) bilete de 3 lei și de 7 lei → ?; (B) monede de 1 leu și de 10 lei → ?; (C) la un concurs, corect +6 puncte / greșit −3 puncte → ?

11. Un fermier are vaci și gâște: 16 capete și 50 de picioare. Câte vaci și câte gâște?

12. Desenează schema metodei (cele trei cutii: diferență totală ÷ diferență pe o unitate = numărul căutat) pentru problema de la exercițiul 4.

13. O librărie a împachetat 30 de pachete: unele cu 5 cărți, altele cu 9 cărți, în total 190 de cărți. Câte pachete de fiecare fel?

14. Adevărat sau fals: „Dacă numărul de picioare al unui grup de găini și iepuri este impar, problema nu are soluție." Explică.

15. Un grup de 12 vehicule transportă 100 de persoane: autoturisme cu câte 4 persoane și microbuze cu câte 12 persoane. Câte vehicule de fiecare fel? (Indiciu: presupune toate autoturisme — și fii atent dacă răspunsul iese cu numere întregi.)

16. Compune tu o problemă de tip „falsa ipoteză" cu monede de 5 lei și de 10 lei, apoi rezolv-o.

17. La un concurs cu 25 de probleme, fiecare răspuns corect aduce 3 puncte, iar fiecare răspuns greșit scade 2 puncte. Un elev a răspuns la toate cele 25 de probleme și a obținut 54 de puncte. Câte răspunsuri corecte a dat? (Atenție la final!)

18. (Provocare) Andrei a presupus „toate găini" și a obținut diferența 18; diferența pe o unitate este 2, iar totalul capetelor este 15. Câte găini și câți iepuri? Verifică.

Răspunsuri și explicații

1. $4-2=2$ picioare. La fiecare schimbare găină → iepure se adaugă 2 picioare.

2. Fals. Tocmai de aceea se numește falsă ipoteză: presupunerea e aproape sigur greșită, dar o corectăm cu ajutorul diferenței și ajungem la răspunsul adevărat.

3. $15\times 2=30$ picioare.

4. Presupun toate găini: $12\times 2=24$. Lipsă: $34-24=10$. Pe unitate: $4-2=2$. Iepuri: $10:2=5$. Găini: $12-5=7$. Verificare: $7\times 2+5\times 4=14+20=34$. ✔️ 7 găini și 5 iepuri.

5. Presupun toate la 4 lei: $20\times 4=80$. Lipsă: $96-80=16$. Pe unitate: $6-4=2$. Bilete de 6 lei: $16:2=8$. Bilete de 4 lei: $20-8=12$. Verificare: $12\times 4+8\times 6=48+48=96$. ✔️ 12 bilete de 4 lei și 8 de 6 lei.

6. Presupun toate stele de mare (5 brațe): $9\times 5=45$. Lipsă: $57-45=12$. Pe unitate: $8-5=3$. Caracatițe: $12:3=4$. Stele: $9-4=5$. Verificare: $4\times 8+5\times 5=32+25=57$. ✔️ 4 caracatițe și 5 stele de mare.

7. b) mai mic decât presupunerea. Dacă presupui „toate iepuri" și ies prea multe picioare, înseamnă că de fapt unele sunt găini, deci iepuri reali sunt mai puțini decât ai presupus.

8. Presupun toate de 2 lei: $18\times 2=36$. Lipsă: $60-36=24$. Pe unitate: $5-2=3$. Monede de 5 lei: $24:3=8$. Monede de 2 lei: $18-8=10$. Verificare: $10\times 2+8\times 5=20+40=60$. ✔️ 10 monede de 2 lei și 8 de 5 lei.

9. Presupun toate corecte: $15\times 4=60$. Prisos: $60-45=15$. La o schimbare corect→greșit pierd $4+1=5$ puncte (pierd cele 4 câștigate și mai scad 1). Greșite: $15:5=3$. Corecte: $15-3=12$. Verificare: $12\times 4-3\times 1=48-3=45$. ✔️ 12 răspunsuri corecte.

10. (A) bilete 3 și 7 lei → $7-3=4$; (B) monede 1 și 10 lei → $10-1=9$; (C) corect +6 / greșit −3 → $6+3=9$ (se adună, pentru că unul aduce, celălalt ia).

11. Presupun toate gâște (2 picioare): $16\times 2=32$. Lipsă: $50-32=18$. Pe unitate: $4-2=2$. Vaci: $18:2=9$. Gâște: $16-9=7$. Verificare: $9\times 4+7\times 2=36+14=50$. ✔️ 9 vaci și 7 gâște.

12. Schema: „Diferență totală 10" ÷ „Diferență pe o unitate 2" = „Iepuri 5", apoi „Găini = 12 − 5 = 7". (Desen acceptat dacă apar aceste trei numere legate corect.)

13. Presupun toate cu 5 cărți: $30\times 5=150$. Lipsă: $190-150=40$. Pe unitate: $9-5=4$. Pachete cu 9: $40:4=10$. Pachete cu 5: $30-10=20$. Verificare: $20\times 5+10\times 9=100+90=190$. ✔️ 20 pachete cu 5 cărți și 10 cu 9 cărți.

14. Adevărat. Găinile au 2 picioare, iepurii 4 — ambele numere pare. Orice sumă de numere pare este pară. Un total impar de picioare nu poate apărea, deci datele sunt contradictorii și problema nu are soluție.

15. Presupun toate autoturisme (4 persoane): $12\times 4=48$. Lipsă: $100-48=52$. Pe unitate: $12-4=8$. Microbuze: $52:8=6,5$ — nu este număr natural, deci problema nu are soluție cu vehicule întregi. (Bun exercițiu de spirit critic: nu orice set de date are răspuns!)

16. Exemplu de răspuns: „Am 12 monede de 5 lei și de 10 lei, în total 85 de lei." Presupun toate de 5 lei: $12\times 5=60$. Lipsă: $85-60=25$. Pe unitate: $10-5=5$. Monede de 10 lei: $25:5=5$. Monede de 5 lei: $12-5=7$. Verificare: $7\times 5+5\times 10=35+50=85$. ✔️ (Orice problemă corect compusă și verificată este acceptată.)

17. Presupun toate corecte: $25\times 3=75$. Prisos: $75-54=21$. La o schimbare corect→greșit pierd $3+2=5$. Greșite: $21:5=4,2$ — nu e număr natural, deci, cu aceste reguli, punctajul 54 nu se poate obține. (Exercițiu de verificare critică.)

18. Iepuri: $18:2=9$. Găini: $15-9=6$. Verificare picioare: $6\times 2+9\times 4=12+36=48$; iar din presupunere „toate găini" picioarele presupuse erau $15\times 2=30$, plus diferența $18$ → $30+18=48$. ✔️ 6 găini și 9 iepuri.

De reținut

• Falsa ipoteză = pornești de la o presupunere (deseori „toate de un singur fel"), chiar dacă e greșită, apoi o corectezi.
• Lucrezi mereu cu trei numere: diferența totală, diferența pe o unitate și numărul căutat = diferența totală împărțită la diferența pe o unitate.
• Când o mărime aduce într-un caz și scade în celălalt (puncte), diferența pe o unitate este suma valorilor, nu diferența lor.
• Verifică întotdeauna ambele condiții; o problemă fără împărțire exactă nu are soluție cu numere întregi.
• Poți alege presupunerea „toate mici" (îți va lipsi) sau „toate mari" (îți va prisosi) — răspunsul iese la fel.

Greșeli frecvente

• Confuzia la diferența pe o unitate cu puncte. La problemele de concurs unde greșelile scad puncte, mulți pun $5-2=3$. Corect este $5+2=7$, fiindcă o schimbare pierde și ce câștigai, și mai scade. Întreabă-te mereu: „cât pierd, total, la o singură schimbare?"
• Uitarea pasului de verificare. Fără verificare nu știi dacă ai dat o valoare greșită presupunerii sau ai greșit o scădere. Verificarea pe ambele condiții (bucăți și mărime) prinde aproape orice greșeală.
• Atribuirea răspunsului felului greșit. Când presupui „toate găini", din împărțire îți iese numărul iepurilor (felul nepresupus), nu al găinilor. Notează clar pe caiet ce află împărțirea.
• Insistența pe o problemă fără soluție. Dacă împărțirea nu este exactă, nu „forța" un răspuns: datele sunt contradictorii. Recunoaște-o — este un răspuns matematic valid.

Joc acasă

1. Pușculița secretă. Pune într-o cutie un amestec de monede de două feluri (de exemplu de 1 leu și de 5 lei). Numără câte monede ai și ce sumă fac. Dă-i provocarea unui părinte sau prieten: „Am 15 monede, în total 39 de lei — câte de fiecare fel?" Apoi rezolvați împreună cu metoda falsei ipoteze și verificați deschizând cutia.

2. Ferma de hârtie. Decupează jetoane: pe unele desenezi o găină (2 picioare), pe altele un iepure (4 picioare). Amestecă un număr de jetoane, numără picioarele totale și provoacă un coleg să afle câte sunt din fiecare doar din „capete și picioare". Schimbați rolurile.

3. Concursul de puncte. Inventează un mini-quiz de 10 întrebări cu regula „corect +5, greșit −2". Lasă pe cineva să răspundă la toate, notează doar punctajul final, apoi află, fără să te uiți la foaie, câte a nimerit — folosind diferența pe o unitate $5+2=7$.

Pentru părinți și învățători

Metoda falsei ipoteze este, pentru mulți copii, primul moment în care „greșeala devine unealtă". Sprijiniți această idee: presupunerea nu trebuie să fie corectă; ea e doar un punct de plecare comod.

Cum predați pas cu pas:

• Începeți fizic: monede reale sau jetoane găină/iepure. Lăsați copilul să presupună „toate găini", să numere picioarele și să descopere singur că „lipsesc" picioare.
• Insistați pe întrebarea-cheie: „Cu cât se schimbă rezultatul dacă înlocuiesc un obiect cu celălalt?" Aici se naște diferența pe o unitate.
• Cereți mereu verificarea pe ambele condiții. Faceți din ea un ritual, nu un pas opțional.

Întrebări bune de pus:

• „De ce ai ales să presupui toate găini și nu toate iepuri?" (Răspuns: comoditate; ambele merg.)
• „Ce înseamnă că îți lipsesc 16 picioare?" (Arată legătura cu numărul de iepuri ascunși.)
• „Ce s-ar întâmpla dacă numărul de picioare ar fi impar?" (Conduce la ideea de date contradictorii.)

Cum verificați înțelegerea: dați o problemă nouă și cereți copilului să explice cu voce tare cei trei pași (diferență totală, diferență pe o unitate, împărțire). Dacă poate justifica de ce împarte, nu doar că împarte, a înțeles metoda. Conectați apoi cu metoda comparației și metoda figurativă, arătând că aceeași problemă poate fi atacată în mai multe feluri.

Întrebări frecvente

Ce este metoda falsei ipoteze la clasa a 5-a? Este o metodă aritmetică prin care rezolvi o problemă pornind de la o presupunere inițială (de obicei „toate obiectele sunt de un singur fel"), calculezi rezultatul presupunerii, îl compari cu datele reale și corectezi presupunerea folosind diferența obținută. Se numește „falsă" pentru că presupunerea e aproape sigur greșită, dar tocmai diferența ne arată răspunsul adevărat.

De ce presupunerea trebuie să fie „falsă"? Nu trebuie să fie falsă intenționat, ci pur și simplu este aproape mereu falsă, fiindcă nu cunoști răspunsul. Important este că poți calcula ușor ce s-ar întâmpla dacă ar fi adevărată, iar diferența dintre rezultatul presupus și cel real te conduce la soluția corectă.

Cum aleg ce să presupun, felul „mic" sau felul „mare"? Poți alege oricare; răspunsul iese identic. Mulți preferă să presupună felul cu valoarea mai mică (toate găini, toate bilete ieftine), pentru că atunci rezultatul presupus e prea mic și lucrezi cu o „lipsă", ceea ce pare mai natural. Dacă presupui felul „mare", vei lucra cu un „prisos".

Cum calculez diferența pe o unitate? Este cu cât se schimbă mărimea totală când înlocuiești un obiect de un fel cu unul de celălalt fel. La găini și iepuri este $4-2=2$ picioare. Atenție: la problemele cu puncte, unde un caz adaugă și celălalt scade, diferența pe o unitate este suma valorilor (de exemplu $5+2=7$).

Ce fac dacă împărțirea nu îmi dă un număr întreg? Înseamnă că problema nu are soluție cu numere întregi: datele sunt contradictorii. De exemplu, un grup de găini și iepuri are mereu un număr par de picioare, deci un total impar este imposibil. A recunoaște acest lucru este un răspuns matematic corect și valoros.

Metoda falsei ipoteze merge doar la problemele cu animale? Nu. „Găini și iepuri" e doar o poveste. Aceeași metodă rezolvă probleme cu bilete de două prețuri, monede de două feluri, cutii mari și mici, concursuri cu puncte — oriunde ai două tipuri de obiecte, un total al bucăților și un total al unei mărimi (bani, picioare, puncte).

Cum verific dacă răspunsul este corect? Verifici ambele condiții ale problemei: că suma bucăților dă totalul de capete și că mărimea totală (picioare, bani, puncte) corespunde datelor. Dacă amândouă ies, răspunsul e sigur corect. Verificarea nu este opțională — e pasul care prinde greșelile de calcul.

Care e diferența dintre metoda falsei ipoteze și metoda comparației? Ambele rezolvă probleme cu două tipuri de obiecte, dar abordarea diferă: la metoda comparației compari direct două situații pentru a elimina o necunoscută, iar la falsa ipoteză pornești de la o presupunere și o corectezi cu diferența. Adesea, aceeași problemă poate fi rezolvată prin oricare dintre ele.