Fie $$p$$: «Numărul $$12$$ este divizibil cu $$5$$». Care propoziție este $$\neg p$$?

«$$12$$ nu este divizibil cu $$5$$»

«$$12$$ este divizibil cu $$4$$»

«$$5$$ nu este divizibil cu $$12$$»

«$$12$$ este divizibil cu $$10$$»

Care afirmație despre negație este adevărată?

O propoziție și negația ei au întotdeauna valori de adevăr diferite.

O propoziție și negația ei pot fi amândouă adevărate.

Negația unei propoziții false este tot falsă.

Negația se aplică doar propozițiilor adevărate.

Cum se neagă corect o propoziție?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Negația: non p

Cea mai sigură cale este să respingi enunțul întreg, spunând „nu este adevărat că…”, apoi să îl rescrii firesc în română. Negația, notată $\neg p$ , întoarce valoarea de adevăr: din adevărat face fals și din fals face adevărat. Atenție la inegalități, unde egalul se mută: negația lui $x \geq 5$ este $x < 5$ , nu $x \leq 5$ . O negație aplicată de două ori readuce enunțul de la început.

Negația propoziției $p$ este propoziția care spune exact contrariul. O notăm $non p$ sau $\neg p$ și se citește «non p».

Regula este singura pe care trebuie s-o știi: negația schimbă valoarea de adevăr. Dacă $p$ este adevărată, $\neg p$ este falsă; dacă $p$ este falsă, $\neg p$ este adevărată. Nu există caz în care $p$ și $\neg p$ să fie amândouă adevărate.

$p$	$\neg p$
1	0
0	1

Când negi, ai grijă la cuvintele mici: negația lui «este divizibil» este «nu este divizibil»; negația lui «cel puțin $50$ de lei» ( $\geq 50$ ) este «mai puțin de $50$ de lei» ( $< 50$ ), nu «cel mult $50$ ». Negația lui $=$ este $\neq =$ , negația lui $<$ este $\geq$ .

Și încă ceva util: negând de două ori te întorci de unde ai plecat, $\neg (\neg p) = p$ .

De reținut

$v (\neg p) = 1 - v (p)$
negația lui $x \geq a$ este $x < a$
$\neg (\neg p)$ are aceeași valoare de adevăr ca $p$

Greșeala tipică

Negația lui $a > 0$ este scrisă $a < 0$ , iar cazul $a = 0$ se pierde pe drum. Complementara intervalului $(0, \infty)$ este $(- \infty, 0]$ , deci răspunsul corect este $a \leq 0$ .

Exerciții din această mini-lecție

Fie $p$ : «Numărul $12$ este divizibil cu $5$ ». Care propoziție este $\neg p$ ?
- a) « $12$ nu este divizibil cu $5$ »
- b) « $12$ este divizibil cu $4$ »
- c) « $5$ nu este divizibil cu $12$ »
- d) « $12$ este divizibil cu $10$ »
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) « $12$ nu este divizibil cu $5$ »

Negația păstrează subiectul și adaugă «nu»: « $12$ nu este divizibil cu $5$ ». Variantele b) și d) vorbesc despre alți divizori, iar c) inversează rolurile numerelor — niciuna nu este negația lui $p$ . Observă că $p$ este falsă, deci $\neg p$ este adevărată.
Fie $p$ : « $3 + 4 = 12$ ». Ce valoare de adevăr are $\neg p$ ?
- a) adevărată
- b) falsă
- c) aceeași ca a lui $p$
- d) nu se poate ști
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) adevărată

$3 + 4 = 7$ , deci $p$ este falsă. Negația unei propoziții false este adevărată, așa că $\neg p$ este adevărată.
Care afirmație despre negație este adevărată?
- a) O propoziție și negația ei au întotdeauna valori de adevăr diferite.
- b) O propoziție și negația ei pot fi amândouă adevărate.
- c) Negația unei propoziții false este tot falsă.
- d) Negația se aplică doar propozițiilor adevărate.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) O propoziție și negația ei au întotdeauna valori de adevăr diferite.

Exact asta face negația: schimbă $1$ în $0$ și $0$ în $1$ , deci valorile sunt mereu diferite. b) ar însemna că ceva este și adevărat, și fals; c) contrazice tabelul; d) negația se poate aplica oricărei propoziții.

Întrebări conexe

Care este negația lui «prețul este cel mult 20 de lei»?

„Prețul este mai mare de $20$ de lei”. Formularea „cel mult $20$ ” înseamnă $\leq 20$ , iar complementara ei pe axă este $> 20$ . Un răspuns ca „cel puțin $20$ ” ar fi greșit, fiindcă la exact $20$ de lei ambele enunțuri ar fi adevărate în același timp.

Ce se întâmplă cu valoarea de adevăr după trei negații?

Se schimbă, ca după una singură. Fiecare negație întoarce valoarea, deci un număr impar de negații dă rezultatul opus, iar unul par îl lasă neatins. Dacă $p$ este falsă, atunci $\neg (\neg (\neg p))$ este adevărată.

Cum recunosc dacă două enunțuri sunt negații unul altuia?

Verifici două lucruri: să nu poată fi adevărate în același timp și să nu poată fi false în același timp. „ $x > 3$ ” și „ $x < 3$ ” cad la al doilea test, fiindcă la $x = 3$ sunt amândouă false. Perechea corectă este „ $x > 3$ ” și „ $x \leq 3$ ”.

Care este negația unei egalități?

Semnul $=$ se schimbă în $\neq =$ : negația lui $a = b$ este $a \neq = b$ . Nu se scrie $a < b$ și nici $a > b$ , fiindcă fiecare dintre ele acoperă doar o parte din cazuri. Împreună, cele două formează exact enunțul $a \neq = b$ .

Ce înseamnă că p și non p nu pot fi adevărate deodată?

Că logica nu admite contradicții: din cele două enunțuri, exact unul este adevărat, iar celălalt fals. Conjuncția lor este mereu falsă, iar disjuncția lor mereu adevărată. Pe această idee se sprijină demonstrația prin reducere la absurd.

Cum neg o propoziție scrisă în cuvinte, fără simboluri?

Traduci întâi enunțul într-o relație matematică, negi relația, apoi te întorci la cuvinte. „Are peste $18$ ani” devine $v > 18$ ; negația este $v \leq 18$ , adică „are cel mult $18$ ani”. Ocolind traducerea, se strecoară ușor greșeli de limbaj.

Oamenii mai întreabă și: negația unei propoziții · non p în logică · negația lui mai mare sau egal · cum neg o inegalitate · dubla negație