Numărarea din 2 în 2 și din 3 în 3

Bun venit la o lecție foarte distractivă! Până acum ai învățat să numeri frumos, unul câte unul: 1, 2, 3, 4, 5… Astăzi vei descoperi un secret grozav: putem număra și mai repede, sărind peste numere! Vom număra din 2 în 2 și din 3 în 3, ca și cum am face sărituri de broscuță sau pași mari de uriaș. E ca un joc cu numere, iar tu vei fi campionul săriturilor! Hai să începem!

Ce vei învăța

• Vei ști să numeri din 2 în 2, sărind peste un număr de fiecare dată.
• Vei ști să numeri din 3 în 3, făcând sărituri și mai mari.
• Vei ști să numeri înainte (de la mic la mare) și înapoi (de la mare la mic).
• Vei ști să completezi un șir de numere cărora le lipsesc câteva.
• Vei ști să continui un șir după o regulă de pas constant, dată sau precizată în exercițiu.

Hai să descoperim împreună

Mai întâi, hai să ne aducem aminte cum numărăm înainte, din unu în unu. Numărăm din 1 în 1. Asta înseamnă că de fiecare dată adăugăm încă unul. Spunem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Fiecare număr este cu unul mai mare decât cel dinainte. E ca și cum ai urca o scară, treaptă cu treaptă, fără să sari nicio treaptă.

Putem înainta și cu pași mai mari: adăugăm același număr la fiecare pas. În exemplele de aici rămânem între 0 și 10 și ne oprim înainte de a depăși intervalul.

Numărarea din 2 în 2

Când numărăm înainte din 2 în 2, adăugăm 2 de fiecare dată. Pe șirul 0, 1, 2, …, 10, trecem peste un reper și ajungem la următorul: de pildă, de la 0 trecem peste 1 și ajungem la 2. Înapoi, scădem câte 2.

În modelul cu două mâini sunt 10 degete. Le grupăm în perechi: câte două degete în fiecare contur, fără să folosim același deget în două perechi.

Numărăm degetele, câte două: după prima pereche avem 2 degete, după a doua 4 în total, apoi 6, 8 și 10. Sunt cinci perechi, dar zece degete.

Așa că, dacă numărăm din 2 în 2 pornind de la zero, spunem:

0, 2, 4, 6, 8, 10

Am trecut peste 1, 3, 5, 7 și 9. Numerele 0, 2, 4, 6, 8, 10 sunt pare: atâtea obiecte se pot grupa în perechi, fără rest. La 0 avem zero perechi și niciun obiect rămas singur.

Hai să ne imaginăm o broscuță care sare pe pietre într-un iaz. Pietrele au numere: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Broscuța noastră nu sare pe fiecare piatră. Ea face sărituri mai mari și aterizează numai pe pietrele 0, 2, 4, 6, 8 și 10. „Hop!" de la 0 la 2. „Hop!" de la 2 la 4. „Hop!" de la 4 la 6. Și tot așa. De fiecare dată sare peste exact o piatră.

O pereche de șosete are două șosete. Cu trei perechi numărăm obiectele astfel: după prima pereche avem 2 șosete, după a doua 4 în total, după a treia 6 în total. Fiecare pereche are tot două; cresc totalurile numărate.

Și acum, partea cea mai tare: putem număra din 2 în 2 și înapoi! Asta înseamnă să mergem de la mare la mic. Pornim de la 10 și sărim înapoi: 10, 8, 6, 4, 2, 0. E ca și cum broscuța se întoarce acasă, sărind aceleași pietre, dar în sens invers.

Numărarea din 3 în 3

Când numărăm înainte din 3 în 3, adăugăm 3 la fiecare pas. Pe șirul numerelor naturale consecutive trecem peste două repere. Înapoi, scădem câte 3.

În desen, dalele sunt numerotate 0–10. Pornim de la 0 și, la fiecare pas, trecem peste două dale și ajungem la a treia dală următoare. Astfel parcurgem trei intervale egale.

Hai să numărăm din 3 în 3 pornind de la zero:

0, 3, 6, 9

Vezi cum am sărit? De la 0 am sărit peste 1 și 2 și am ajuns la 3. De la 3 am sărit peste 4 și 5 și am ajuns la 6. De la 6 am sărit peste 7 și 8 și am ajuns la 9. Dacă am mai sări o dată cu 3, am trece de 10, așa că ne oprim aici, fiindcă noi numărăm doar până la 10.

O tricicletă are trei roți. După numărarea primei triciclete avem 3 roți; după două, 6 roți în total; după trei, 9. În desen se văd toate cele trei roți ale fiecăreia.

În desenul următor, fiecare floare schematică are trei petale. Numărăm petalele: 3 la prima floare, 6 în total la două flori, 9 în total la trei. Aceasta este regula modelului desenat.

Și, la fel ca la numărarea din 2 în 2, putem număra din 3 în 3 și înapoi: 9, 6, 3, 0. Pornim de la 9 și facem pași mari de uriaș înapoi, până ajungem la 0.

Ce înseamnă „înainte" și „înapoi"

Hai să fim foarte siguri ce înseamnă aceste cuvinte, pentru că le vom folosi des.

A număra înainte înseamnă să mergem de la numărul mic la numărul mare. Numerele cresc. E ca atunci când urci scările sau crești tu însuți de la an la an. Exemplu: 2, 4, 6, 8, 10. Numerele se fac tot mai mari.

A număra înapoi înseamnă să mergem de la numărul mare la numărul mic. Numerele scad. E ca atunci când cobori scările sau ca o rachetă care numără înainte de decolare: 10… 8… 6… 4… 2… 0… start! Exemplu: 10, 8, 6, 4, 2, 0. Numerele se fac tot mai mici.

Cum completăm un șir de numere căruia îi lipsesc câteva

În exercițiile cu spații goale folosim o regulă de pas constant: adăugăm sau scădem același număr între două poziții consecutive. Completăm astfel încât regula să fie respectată în tot șirul.

Citim întâi regula din cerință. Dacă trebuie să găsim un pas constant, alegem două poziții consecutive, ambele completate, fără căsuță goală între ele, și comparăm numerele. Dacă există goluri între două valori cunoscute, trebuie să ținem cont de toate intervalele dintre pozițiile lor. Verificăm apoi întreaga completare.

Pentru șirul cu pas constant 2, 4, □, 8, 10, primele două poziții sunt consecutive și diferă cu 2. Continuăm cu același pas: după 4 urmează 6, deoarece 4 + 2 = 6. Verificăm și următoarea trecere: 6 + 2 = 8.

Iată trenul nostru cu numere: fiecare vagon are un număr. Dacă lipsește un vagon, ne dăm seama ce număr are după regula săriturilor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Numărăm din 2 în 2 înainte

Sarcina: Numără din 2 în 2 de la 0 până la 10.

Cum rezolvăm: Pornim de la 0. Adăugăm 2 de fiecare dată. 0, apoi 0 + 2 = 2, apoi 2 + 2 = 4, apoi 4 + 2 = 6, apoi 6 + 2 = 8, apoi 8 + 2 = 10.

Răspuns: 0, 2, 4, 6, 8, 10. Am sărit ca o broscuță peste pietre!

Exemplul 2 — Numărăm din 2 în 2 înapoi

Sarcina: Numără din 2 în 2 de la 10 până la 0.

Cum rezolvăm: De data asta mergem înapoi, deci scădem 2 de fiecare dată. Pornim de la 10. 10, apoi 10 − 2 = 8, apoi 8 − 2 = 6, apoi 6 − 2 = 4, apoi 4 − 2 = 2, apoi 2 − 2 = 0.

Răspuns: 10, 8, 6, 4, 2, 0. Ca o rachetă care numără înainte de decolare!

Exemplul 3 — Numărăm din 3 în 3 înainte

Sarcina: Numără din 3 în 3 de la 0, cât poți de departe, dar fără să treci de 10.

Cum rezolvăm: Pornim de la 0 și adăugăm 3 de fiecare dată. 0, apoi 0 + 3 = 3, apoi 3 + 3 = 6, apoi 6 + 3 = 9. Dacă am mai adăuga 3, am ajunge la 12, care e mai mare decât 10. Așa că ne oprim la 9.

Răspuns: 0, 3, 6, 9. Pași mari de uriaș!

Exemplul 4 — Completăm șirul din 2 în 2

Sarcina: Completează șirul care crește cu câte 2: 0, □, 4, □, 8, □.

Cum rezolvăm: Știm din cerință că adăugăm 2 la fiecare pas. Între 0 și 4 sunt două intervale: 0→2 și 2→4. Completăm folosind aceeași regulă.

• Prima căsuță vine după 0: 0 + 2 = 2.
• A doua căsuță vine după 4: 4 + 2 = 6.
• A treia căsuță vine după 8: 8 + 2 = 10.

Răspuns: 0, 2, 4, 6, 8, 10.

Exemplul 5 — Completăm șirul din 3 în 3

Sarcina: Completează șirul care crește cu câte 3: 0, 3, □, □.

Cum rezolvăm: Cerința spune să adăugăm 3 de fiecare dată. Trecerea de la 0 la 3 respectă regula; o folosim și pentru pozițiile următoare.

• Prima căsuță vine după 3: 3 + 3 = 6.
• A doua căsuță vine după 6: 6 + 3 = 9.

Răspuns: 0, 3, 6, 9.

Exemplul 6 — O mică problemă cu perechi

Sarcina: Maria are 4 perechi de cercei pe care vrea să-i dăruiască păpușilor. Câți cercei are în total?

Cum rezolvăm: Fiecare pereche are 2 cercei. Numărăm totalul după fiecare dintre cele patru perechi: 2, 4, 6, 8. După a patra pereche am numărat toți cerceii.

Răspuns: Maria are 8 cercei.

Să exersăm

Ia un creion și hai să ne jucăm cu numerele! Lucrează cu răbdare. Dacă te încurci, numără pe degete sau folosește bobițe (boabe de fasole, nasturi, pietricele).

1. Numără din 2 în 2 și spune cu voce tare: 0, 2, 4, …, …, … . Ce numere lipsesc la sfârșit?

2. Numără înainte din 3 în 3 pornind de la 0, fără să treci de 10. Scrie șirul.

3. Încercuiește numerele pare din șirul: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

4. Completează căsuțele (din 2 în 2): 2, 4, □, 8, □.

5. Completează căsuțele (din 3 în 3): 3, 6, □.

6. Numără din 2 în 2 înapoi: 10, 8, □, □, 2, □.

7. Numără din 3 în 3 înapoi: 9, □, 3, □.

8. O găină are 2 ouă în cuib. Dacă sunt 4 găini, fiecare cu 2 ouă, câte ouă sunt în total? Numără din 2 în 2.

9. Potrivește: leagă cu o linie fiecare șir de săritura potrivită.

• a) 0, 2, 4, 6 → ( ) din 3 în 3
• b) 0, 3, 6, 9 → ( ) din 2 în 2

10. În desen sunt 3 fluturași schematici. Pentru acest exercițiu, numărăm cele două părți colorate ale fiecărui desen, una la stânga și una la dreapta corpului. Câte asemenea părți sunt în total? Numără din 2 în 2.

11. Care număr lipsește din mijloc? 4, □, 8 (numărare din 2 în 2).

12. Continuă șirul din 2 în 2, folosind numai numere de la 0 la 10: 6, 8, □, □. Poți completa ambele căsuțe respectând această limită? Explică.

13. Bunica pune câte 3 prăjituri pe fiecare farfurie. Are 3 farfurii. Câte prăjituri a pus în total? Numără din 3 în 3.

14. Colorează cu roșu numerele la care ajungi numărând din 2 în 2 (pornind de la 0): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

15. Adevărat sau fals? „Când numărăm din 3 în 3, sărim peste două numere de fiecare dată."

16. Mică problemă: La un concurs, o broscuță sare din 2 în 2 de la 0. După 5 sărituri, la ce număr a ajuns?

Răspunsuri și explicații

1. Lipsesc: 6, 8, 10. Continuăm să adăugăm 2: după 4 vine 6, apoi 8, apoi 10.

2. Șirul este: 0, 3, 6, 9. Adăugăm 3 de fiecare dată și ne oprim la 9, pentru că 9 + 3 = 12 ar trece de 10.

3. Încercuim 2, 4, 6, 8, 10. Sunt numerele pare din lista dată. Zero este și el par, dar nu apare în această listă.

4. 2, 4, 6, 8, 10. Căsuța dintre 4 și 8 este 6 (4 + 2). Căsuța de după 8 este 10 (8 + 2).

5. 3, 6, 9. După 6 adăugăm 3 și obținem 9.

6. 10, 8, 6, 4, 2, 0. Mergem înapoi, scădem 2: după 8 vine 6, după 4 vine 2, după 2 vine 0.

7. 9, 6, 3, 0. Mergem înapoi din 3 în 3: după 9 vine 6, după 3 vine 0.

8. 8 ouă. Numărăm din 2 în 2 de patru ori: 2, 4, 6, 8.

9. a) → din 2 în 2 (sărim cu 2: 0, 2, 4, 6). b) → din 3 în 3 (sărim cu 3: 0, 3, 6, 9).

10. 6 părți colorate. Sunt trei desene, fiecare cu două părți de numărat: 2, 4, 6.

11. Lipsește 6. Între 4 și 8, numărând din 2 în 2: 4, 6, 8.

12. Prima căsuță se completează cu 10. Următorul număr ar fi 12, dar el depășește limita cerută, deci a doua căsuță rămâne goală în acest exercițiu. Numărarea din 2 în 2 poate continua dincolo de 10 atunci când nu avem această restricție.

13. 9 prăjituri. Numărăm din 3 în 3: 3, 6, 9.

14. Se colorează cu roșu: 0, 2, 4, 6, 8, 10. Restul (1, 3, 5, 7, 9) rămân necolorate.

15. Adevărat. Când numărăm din 3 în 3, sărim peste exact două numere de fiecare dată (de exemplu, de la 3 sărim peste 4 și 5 și ajungem la 6).

16. Broscuța ajunge la 10. După 5 sărituri din 2 în 2 pornind de la 0: 2 (1), 4 (2), 6 (3), 8 (4), 10 (5).

De reținut

• Pornind de la 0 și adăugând câte 2, obținem 0, 2, 4, 6, 8, 10, numerele pare din acest interval. Între două opriri trecem peste un reper al șirului din unu în unu.
• Pornind de la 0 și adăugând câte 3, fără să depășim 10, obținem 0, 3, 6, 9. Trecem peste două repere la fiecare pas.
• Înainte = de la mic la mare (numerele cresc). Înapoi = de la mare la mic (numerele scad).
• Pentru un șir cu pas constant, citește regula sau determină pasul din pozițiile cunoscute, ținând cont de eventualele goluri. Folosește același pas și verifică toți termenii.
• Când obiectele sunt grupate câte două sau câte trei, putem număra totalurile după fiecare grupă: 2, 4, 6… sau 3, 6, 9…

Greșeli frecvente

• Folosește pasul 1 în loc de pasul cerut 2. De exemplu, spune 2, 3, 4 în loc de 2, 4, 6. Arătați pe șir că un salt cu 2 trece peste un reper și verificați fiecare oprire.
• Confundă înainte cu înapoi. Numără tot crescător chiar dacă i s-a cerut înapoi. Cum eviți: amintește-i de rachetă (10, 9, 8… start!) și folosește gestul mâinii care coboară când mergem înapoi.
• La numărarea din 3 în 3, sare doar cu 2. Spune „3, 5, 7" în loc de „3, 6, 9". Cum eviți: numără cu voce tare numerele peste care sare („sar peste 4 și 5, ajung la 6"), arătându-le pe degete sau pe șirul scris.
• Depășește limita cerută. După 9, un pas de 3 duce corect la 12. În exercițiile limitate la 0–10, ne oprim însă la 9, deoarece 12 este în afara intervalului.

Joc acasă

1. Săriturile broscuței. Așezați reperele 0–10 la distanțe egale. Copilul poate urmări cu un pion traseul sau poate păși pe el. Pornind de la 0, merge din 2 în 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10; apoi din 3 în 3: 0, 3, 6, 9. Pentru traseul invers, porniți de la 10 la pasul 2 și de la 9 la pasul 3.

2. Numărăm jucăriile în perechi. Adunați jucării sau obiecte mici care vin câte două (șosete, mănuși, papuci, cercei de jucărie). Așezați-le în perechi pe masă și numărați împreună din 2 în 2 câte obiecte sunt în total: 2, 4, 6, 8… Întrebați: „Câte au fost cu totul?"

3. Trenul cu numere lipsă. Pentru pasul 2, desenați șase vagoane cu 0, 2, 4, 6, 8, 10. Pentru pasul 3, desenați patru vagoane cu 0, 3, 6, 9. Alegeți o variantă, anunțați pasul și lăsați două locuri necompletate. Copilul găsește numerele lipsă, apoi verifică întregul șir.

Pentru părinți și învățători

Numărarea cu pas constant leagă gruparea obiectelor de adunarea repetată. În această lecție folosim grupe de câte două sau câte trei, numărăm totalul după fiecare grupă și îl reprezentăm apoi printr-un șir. Pornim de la obiecte și păstrăm explicit aceeași mărime a grupelor.

Întrebări utile: „Cu cât am avansat?”, „Care este următorul număr după regula dată?”, „Cum parcurgem șirul înapoi?” și „Câte obiecte am numărat în total după această grupă?”. Copilul poate indica grupa nouă și poate spune totalul cumulativ.

Verificați înțelegerea cerându-i să explice regula cu cuvintele lui („sărim peste unul/peste doi") și să o aplice la un șir nou pe care nu l-a mai văzut. Dacă greșește, nu corectați direct: numărați împreună arătând cu degetul, până se autocorectează. Legați lecția de cele anterioare despre ordonarea numerelor și vecini și despre numerele ordinale, iar mai târziu veți vedea cât de mult ajută la compunerea și descompunerea numerelor și la adunare. Lăudați efortul, nu doar răspunsul corect, și opriți-vă cât timp copilul încă se distrează.

Întrebări frecvente

La ce vârstă învață copilul să numere din 2 în 2 și din 3 în 3? Ritmul de învățare diferă. Porniți de la numărarea din unu în unu și grupați apoi obiectele câte două, respectiv câte trei. Reluați exemplele până când copilul poate explica ce se adaugă la fiecare pas.

Cum îl învăț pe copil să numere din 2 în 2? Așezați obiecte în perechi, fără să folosiți același obiect de două ori. Numărați totalul după fiecare pereche: 2, 4, 6, 8. Puteți folosi șosete, jetoane sau modelul de mâini; pe axă arătați salturile cu pasul 2.

De ce e important să numărăm cu sărituri? Pentru că pregătește copilul pentru lucruri mai grele de mai târziu, cum este înmulțirea, și pentru că îl ajută să numere repede grupuri de obiecte din viața reală (perechi, seturi de câte trei). De asemenea, dezvoltă observarea tiparelor, o abilitate foarte importantă în matematică.

Ce sunt numerele pare? Un număr natural este par dacă o grupă cu atâtea obiecte se poate împărți în perechi fără rest. În intervalul 0–10, numerele pare sunt 0, 2, 4, 6, 8, 10. Zero înseamnă zero perechi, fără rest. Le obținem numărând din 2 în 2 de la 0; dacă am porni de la 1, am obține 1, 3, 5, 7, 9.

Copilul meu confundă „înainte" cu „înapoi". Ce fac? Folosiți imagini și gesturi clare: pentru „înainte", mâna urcă o scară imaginară, numerele cresc; pentru „înapoi", folosiți numărătoarea inversă a rachetei (10, 9, 8… start!), iar mâna coboară. Exersați des numărarea inversă simplă, din 1 în 1, înainte de a trece la sărituri.

Trebuie să numere și înapoi din 2 în 2 și din 3 în 3? Da, este foarte util. Numărarea înapoi întărește înțelegerea ordinii numerelor și pregătește scăderea. Începeți cu pași mici: mai întâi înapoi din 1 în 1, apoi din 2 în 2 (10, 8, 6, 4, 2, 0) și abia la final din 3 în 3 (9, 6, 3, 0).

Cum completăm corect un șir de numere cu spații goale? Folosiți regula cerută. Dacă trebuie găsit un pas constant, diferența dintre două valori cunoscute aflate pe poziții consecutive arată pasul. Dacă între ele sunt căsuțe goale, țineți cont de numărul intervalelor; de exemplu, 0, □, 4 are două intervale, nu unul. Completați și verificați toate trecerile.

Ce fac dacă copilul se plictisește la exerciții? Puteți alterna șirurile scrise cu gruparea jetoanelor, deplasarea unui pion și completarea trenului. Adaptați durata la atenția copilului și reluați mai târziu dacă își pierde interesul.