Ce se poate spune despre șirul $$\left(1+\dfrac1n\right)^n$$, pe măsură ce $$n$$ crește nemărginit?

Este crescător, dar rămâne mărginit, apropiindu-se de $$e$$.

Crește nemărginit, fără nicio limită.

Este descrescător și tinde spre $$1$$.

Oscilează, alternând valori mai mici și mai mari decât $$e$$.

De ce este corect să scriem $$e\approx 2{,}718$$ și nu $$e=2{,}718$$?

Pentru că $$e$$ este irațional: zecimalele lui nu se termină și nu se repetă periodic.

Pentru că $$2{,}718$$ este o aproximare complet greșită.

Pentru că valoarea lui $$e$$ depinde de $$x$$.

Pentru că $$2{,}718$$ este un număr negativ.

Cât este numărul e și ce reprezintă?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Numărul e și funcția e^x

Numărul $e$ este aproximativ $2, 718$ și se obține ca prag spre care urcă puterile $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ pe măsură ce $n$ se mărește oricât de mult. Fiind irațional, se scrie mereu cu semnul de aproximare, niciodată cu egal. Folosit ca bază, dă funcția $f (x) = e^{x}$ , potrivită pentru procese care evoluează fără întrerupere: dobândă capitalizată în fiecare clipă, populații, dezintegrare.

Pornind de la un experiment cu dobândă compusă capitalizată tot mai des, șirul $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ crește, dar rămâne mărginit: pentru $n = 1, 2, 4$ obținem $2$ ; $2, 25 = (\frac{3}{2})^{2}$ ; $2, 44140625 = (\frac{5}{4})^{4}$ . Valorile se apropie oricât de mult, fără să atingă, un plafon numit numărul $e$ : $e = 2, 718281828 \dots$ Cum zecimalele nu se termină și nu se repetă, $e$ este irațional, deci scriem întotdeauna $e \approx 2, 718$ , niciodată cu semnul $=$ .

Folosind $e$ drept bază, obținem funcția exponențială naturală $f : R \to (0, + \infty)$ , $f (x) = e^{x}$ . Domeniul este $R$ , mulțimea valorilor este $(0, + \infty)$ — $e^{x}$ e strict pozitiv pentru orice $x$ — iar graficul trece prin $(0, 1)$ (fiindcă $e^{0} = 1$ ) și prin $(1, e)$ . Funcția este strict crescătoare, pentru că baza $e > 1$ , iar axa $O x$ îi este asimptotă spre stânga: valorile se apropie de $0$ fără să îl atingă niciodată.

Cum $2 < e < 3$ , graficul lui $e^{x}$ se așază între cele ale lui $2^{x}$ și $3^{x}$ ; pentru $x > 0$ ordinea este $2^{x} < e^{x} < 3^{x}$ , iar pentru $x < 0$ ordinea se inversează. Baza $e$ este alegerea naturală pentru procesele care evoluează continuu — dobândă capitalizată în fiecare clipă, creșteri de populații, dezintegrare radioactivă — descrise prin modele de forma $N (t) = N_{0} \cdot e^{k t}$ .

De reținut

$e \approx 2, 718$ , număr irațional
$e$ este plafonul valorilor $(1 + \frac{1}{n})^{n}$
$f (x) = e^{x}$ este strict crescătoare, cu valori în $(0, \infty)$

Greșeala tipică

Se scrie egalitate între $e$ și $2, 718$ , deși zecimalele continuă la nesfârșit; folosește semnul de aproximare, așa cum se procedează și cu $π$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ce se poate spune despre șirul $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ , pe măsură ce $n$ crește nemărginit?
- a) Crește nemărginit, fără nicio limită.
- b) Este crescător, dar rămâne mărginit, apropiindu-se de $e$ .
- c) Este descrescător și tinde spre $1$ .
- d) Oscilează, alternând valori mai mici și mai mari decât $e$ .
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Este crescător, dar rămâne mărginit, apropiindu-se de $e$ .

Valorile calculate — $2$ ; $2, 25$ ; $2, 44140625$ ; ... — cresc mereu, dar rămân sub $e \approx 2, 718$ . Șirul este crescător și mărginit superior de $e$ , spre care se apropie oricât de mult, fără să îl atingă vreodată.
Care este mulțimea valorilor funcției $f : R \to (0, + \infty)$ , $f (x) = e^{x}$ ?
- a) $R$
- b) $(0, + \infty)$
- c) $[0, + \infty)$
- d) ${e^{x} : x \in Z}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(0, + \infty)$

Pentru orice $x$ real, $e^{x} > 0$ : nu există niciun $x$ cu $e^{x} = 0$ sau $e^{x} < 0$ . Funcția ia toate valorile strict pozitive, deci mulțimea valorilor este $(0, + \infty)$ , exact codomeniul din definiție.
De ce este corect să scriem $e \approx 2, 718$ și nu $e = 2, 718$ ?
- a) Pentru că $2, 718$ este o aproximare complet greșită.
- b) Pentru că $e$ este irațional: zecimalele lui nu se termină și nu se repetă periodic.
- c) Pentru că valoarea lui $e$ depinde de $x$ .
- d) Pentru că $2, 718$ este un număr negativ.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Pentru că $e$ este irațional: zecimalele lui nu se termină și nu se repetă periodic.

$e = 2, 718281828459045 \dots$ , cu zecimale ce nu intră niciodată într-o perioadă, deci $e$ nu poate fi scris exact ca fracție sau ca zecimală finită. Scrierea $2, 718$ este doar o aproximare cu trei zecimale, exact ca la $π \approx 3, 14$ .

Întrebări conexe

Este numărul e rațional sau irațional?

Este irațional: zecimalele lui nu se opresc și nu intră într-o perioadă, deci nu poate fi scris ca fracție de numere întregi. De aceea toate calculele folosesc o aproximare, la fel ca la $π$ . Cu trei zecimale se scrie $2, 718$ .

Ce înseamnă notația exp de x?

Este o altă scriere pentru $e^{x}$ , folosită mai ales în programare și în manualele de nivel superior, când exponentul este o expresie lungă. Rezultatul este același, iar toate proprietățile puterilor rămân valabile. Pe calculator îi corespunde tasta pentru puterea lui $e$ .

Cum arată graficul funcției e la x?

Urcă de la stânga la dreapta, trece prin punctul $(0, 1)$ și prin $(1; 2, 718)$ , iar spre stânga coboară oricât de aproape de axa orizontală fără să o atingă. Se așază între graficele puterilor cu baza doi și baza trei, fiindcă $e$ se află între acestea.

Cât este e la puterea zero?

Este $1$ , ca la orice bază pozitivă ridicată la exponentul zero. De aici vine faptul că graficul oricărei funcții exponențiale trece prin punctul de pe axa verticală aflat la înălțimea unu. Tot de aici rezultă și că logaritmul natural din unu este zero.

Care este inversa funcției e la x?

Este logaritmul natural, notat $ln$ . Aplicat unei puteri a lui $e$ , el întoarce exact exponentul, iar ridicarea la putere aplicată unui logaritm natural întoarce numărul de la care ai pornit. Graficele celor două se oglindesc față de dreapta $y = x$ .

Cum aproximez numărul e printr-un calcul simplu?

Calculezi $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ pentru valori tot mai mari ale lui $n$ . La $n = 4$ obții $2, 44140625$ , la $n = 100$ ajungi deja peste $2, 70$ , iar valorile continuă să urce spre plafon. Șirul crește, dar nu depășește niciodată numărul $e$ .

Oamenii mai întreabă și: numărul e în matematică · cât este e cu zecimale · constanta e din analiză · funcția e la puterea x