Este 1, pentru orice bază diferită de zero. Se vede din împărțirea unei puteri la ea însăși: a⁵: a⁵ = a⁰, dar orice număr împărțit la el însuși dă 1. Așadar 7⁰ = 1 și 100⁰ = 1, iar 0⁰ nu are sens.

Cum înmulțesc două puteri cu aceeași bază?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Produsul puterilor cu aceeași bază

Lași baza așa cum e și aduni exponenții: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ . Motivul se vede desfăcând scrierea: pui cap la cap $m$ factori egali cu $a$ și încă $n$ la fel, deci ies împreună $m + n$ factori. Astfel $3^{2} \cdot 3^{4} = 3^{6}$ , iar proba numerică dă $9 \cdot 81 = 729$ . Regula cere neapărat baze identice, iar o bază scrisă fără exponent are în ascuns exponentul 1.

Când înmulțim două puteri cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată, iar exponenții se adună: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ . Regula vine din faptul că o putere e o scriere scurtă a unei înmulțiri de factori egali — dacă lipim $m$ factori de $a$ cu alți $n$ factori de $a$ , obținem în total $m + n$ factori de $a$ .

Regula funcționează doar dacă bazele sunt identice; la baze diferite (de exemplu $2^{3} \cdot 5^{2}$ ) nu putem strânge rezultatul într-o singură putere, ci doar calculăm valoarea numerică. Când o bază apare „goală", fără exponent scris (ca $7$ ), gândește-te că exponentul ei este $1$ , adică $7 = 7^{1}$ .

Exemplu: $3^{2} \cdot 3^{4} = 3^{2 + 4} = 3^{6}$ . Verificare: $9 \cdot 81 = 729 = 3^{6}$ . ✓ Regula merge și pentru mai mult de două puteri, adunând toți exponenții.

De reținut

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
baza rămâne neschimbată, exponenții se adună
$a = a^{1}$ , deci $7 \cdot 7^{4} = 7^{5}$
la baze diferite regula nu se aplică

Greșeala tipică

Se înmulțesc exponenții în loc să fie adunați, așa că $2^{3} \cdot 2^{2}$ ajunge $2^{6}$ . Factorii se pun cap la cap și se numără, deci rezultatul corect este $2^{5}$ , adică 32.

Exerciții din această mini-lecție

Scrie ca o singură putere: $6^{2} \cdot 6^{5}$ .
- a) $6^{7}$
- b) $6^{10}$
- c) $3 6^{7}$
- d) $6^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6^{7}$

Bazele sunt egale ( $6$ ), deci adunăm exponenții: $2 + 5 = 7$ , iar baza rămâne neschimbată. Astfel $6^{2} \cdot 6^{5} = 6^{7}$ . Varianta (b) greșește prin înmulțirea exponenților, iar (c) prin înmulțirea bazei cu ea însăși.
Scrie $4 \cdot 32$ ca o singură putere a lui $2$ .
- a) $2^{6}$
- b) $2^{7}$
- c) $2^{10}$
- d) $12 8^{1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2^{7}$

Ambele numere sunt puteri ale lui $2$ : $4 = 2^{2}$ și $32 = 2^{5}$ . Rescriem produsul cu baza comună și adunăm exponenții: $4 \cdot 32 = 2^{2} \cdot 2^{5} = 2^{2 + 5} = 2^{7}$ . Verificare: $2^{7} = 128$ , iar $4 \cdot 32 = 128$ . ✓
Scrie ca o singură putere: $5^{3} \cdot 5^{4}$ .
- a) $5^{7}$
- b) $5^{12}$
- c) $2 5^{7}$
- d) $5^{1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5^{7}$

Bazele sunt egale ( $5$ ), deci adunăm exponenții: $3 + 4 = 7$ , iar baza rămâne neschimbată. Astfel $5^{3} \cdot 5^{4} = 5^{7}$ . Varianta (b) greșește prin înmulțirea exponenților, (c) prin înmulțirea bazei cu ea însăși, iar (d) prin scăderea exponenților.

Întrebări conexe

Ce putere se obține înmulțind $2^{10}$ cu 2?

Se obține $2^{11}$ , fiindcă numărul singur are exponentul 1 ascuns, iar exponenții se adună. Rezultatul este 2048, dublul lui 1024. Fiecare înmulțire cu baza urcă exponentul cu o unitate, deci puterile lui 2 se dublează din pas în pas.

Ce se întâmplă cu exponentul dacă înmulțesc o putere cu ea însăși?

Se dublează, fiindcă aduni exponentul cu el însuși: $5^{4} \cdot 5^{4} = 5^{8}$ . Nu iese nici $2 5^{8}$ , nici $5^{16}$ : baza rămâne neschimbată, iar numărul de factori se dublează. Este cazul în care cei doi exponenți coincid.

Cum se împart două puteri cu aceeași bază?

Se scad exponenții, baza rămânând neschimbată: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ , cu condiția ca $m$ să nu fie mai mic decât $n$ la clasele gimnaziale mici. De pildă $5^{7} : 5^{3} = 5^{4}$ . Este oglinda regulii de la înmulțire, unde exponenții se adună.

Cât este $a^{0}$ ?

Este 1, pentru orice bază diferită de zero. Se vede din împărțirea unei puteri la ea însăși: $a^{5} : a^{5} = a^{0}$ , dar orice număr împărțit la el însuși dă 1. Așadar $7^{0} = 1$ și $10 0^{0} = 1$ , iar $0^{0}$ nu are sens.

Ce valori au $1^{n}$ și $0^{n}$ ?

Puterile lui 1 rămân mereu 1, oricât de mare ar fi exponentul, fiindcă înmulțind 1 cu el însuși nu se schimbă nimic. Puterile lui 0 sunt 0 pentru orice exponent mai mare decât zero. Aceste două baze scurtează multe calcule lungi.

Cum scriu un număr mare ca putere a lui 10?

Numeri zerourile de după 1: $1000$ are trei, deci este $1 0^{3}$ , iar un milion are șase, deci este $1 0^{6}$ . Regula produsului se vede frumos aici: $100 \cdot 1000 = 1 0^{2} \cdot 1 0^{3} = 1 0^{5}$ , adică o sută de mii.

Oamenii mai întreabă și: produsul puterilor cu aceeași bază · înmulțirea puterilor · cum se adună exponenții · regula a la m ori a la n · înmulțirea a două puteri