Care dintre următoarele egalități este adevărată?

$$(5 \cdot 3)^2 = 5^2 \cdot 3^2$$

$$(5 \cdot 3)^2 = 5 \cdot 3^2$$

Cât este (5 · 2²)²?

Exponentul de afară cade peste amândoi factorii: 5² · (2²)². Puterea unei puteri dă 2⁴, deci rezultatul este 25 · 16 = 400. Verificarea pe drumul scurt: în paranteză 5 · 4 = 20, iar 20² dă tot 400.

(2³)⁴ înseamnă același lucru cu 2^(3⁴)?

Nu. Prima scriere cere înmulțirea exponenților și dă 2¹², adică 4096. A doua ridică întâi 3 la puterea a patra, deci devine 2⁸¹, un număr uriaș. Paranteza schimbă complet ordinea, așa că nu se poate sări peste ea.

Exponenții se înmulțesc, deci iese 10⁶, adică un milion. Se vede și numărând zerourile: 10² înseamnă 100, iar 100 ridicat la a treia dă 100 · 100 · 100. Puterile lui 10 se verifică ușor tocmai fiindcă exponentul arată câte zerouri urmează după 1.

(a^(m))ⁿ este egal cu (aⁿ)^(m)?

Da, fiindcă înmulțirea exponenților nu ține cont de ordine: amândouă duc la a^(m · n). Astfel (2³)⁴ și (2⁴)³ dau ambele 2¹². Alegerea între ele contează doar când unul dintre calcule iese cu numere mai comode.

Ce diferență e între (3 · 4)² și 3 · 4²?

În prima scriere exponentul prinde tot produsul, deci 12² = 144. În a doua el atinge numai factorul 4, așa că rămâne 3 · 16 = 48. Paranteza hotărăște peste cine cade exponentul, iar lipsa ei schimbă rezultatul de trei ori.

Cum ridic o putere la altă putere?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Puterea unei puteri și a unui produs

Păstrezi baza și înmulțești exponenții: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ . Explicația e simplă: puterea din paranteză se repetă de $n$ ori, deci factorii ei se numără de $n$ ori. Astfel $(2^{3})^{4} = 2^{12}$ . Alături merge și regula produsului dintr-o paranteză, unde exponentul cade peste fiecare factor: $(2 \cdot 5)^{3} = 2^{3} \cdot 5^{3} = 1000$ . La sumă însă nu se împrăștie nimic, fiindcă $(2 + 3)^{2}$ dă 25, iar $2^{2} + 3^{2}$ dă 13.

Două reguli scurtează calculele cu puteri.

Puterea unei puteri: când ai o putere ridicată din nou la o putere, păstrezi baza și înmulțești exponenții: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ De exemplu $(2^{3})^{4} = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$ , pentru că $2^{3}$ se repetă de $4$ ori.

Puterea unui produs: exponentul de afară se aplică fiecărui factor dintr-o înmulțire aflată în paranteză: $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ De exemplu $(2 \cdot 5)^{3} = 2^{3} \cdot 5^{3} = 8 \cdot 125 = 1000$ .

Atenție la capcană: regula merge doar la înmulțire, niciodată la adunare — $(a + b)^{n} \neq = a^{n} + b^{n}$ . De exemplu $(2 + 3)^{2} = 25$ , dar $2^{2} + 3^{2} = 13$ .

De reținut

$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$
$(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$
$(a + b)^{n} \neq = a^{n} + b^{n}$
drumul invers: $a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$

Greșeala tipică

Se adună exponenții la puterea unei puteri, deci $(2^{3})^{4}$ ajunge $2^{7}$ . Un caz mic lămurește imediat: $(2^{3})^{2}$ înseamnă $8 \cdot 8 = 64$ , adică $2^{6}$ , nu $2^{5}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Scrie rezultatul lui $(3^{2})^{3}$ ca o singură putere a lui $3$ .
- a) $3^{5}$
- b) $3^{6}$
- c) $3^{8}$
- d) $3^{9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3^{6}$

La puterea unei puteri, exponenții se înmulțesc, nu se adună: $(3^{2})^{3} = 3^{2 \cdot 3} = 3^{6}$ . Varianta a) $3^{5}$ ar veni dintr-o adunare greșită ( $2 + 3$ ), care nu este corectă aici.
Care dintre următoarele egalități este adevărată?
- a) $(5 + 3)^{2} = 5^{2} + 3^{2}$
- b) $(5 \cdot 3)^{2} = 5^{2} + 3^{2}$
- c) $(5 \cdot 3)^{2} = 5^{2} \cdot 3^{2}$
- d) $(5 \cdot 3)^{2} = 5 \cdot 3^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(5 \cdot 3)^{2} = 5^{2} \cdot 3^{2}$

Regula puterii unui produs se aplică doar la înmulțire: $(5 \cdot 3)^{2} = 5^{2} \cdot 3^{2} = 25 \cdot 9 = 225$ , la fel ca $1 5^{2} = 225$ . Variantele a) și b) folosesc greșit adunarea în loc de înmulțire, iar d) ridică la putere doar un singur factor.
Scrie rezultatul lui $(2^{4})^{2}$ ca o singură putere a lui $2$ .
- a) $2^{6}$
- b) $2^{8}$
- c) $2^{16}$
- d) $4^{8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2^{8}$

La puterea unei puteri, exponenții se înmulțesc: $(2^{4})^{2} = 2^{4 \cdot 2} = 2^{8}$ . Varianta (a) ar veni dintr-o adunare greșită ( $4 + 2$ ), (c) ridică greșit exponentul la pătrat ( $4^{2} = 16$ ), iar (d) ridică greșit baza.

Întrebări conexe

Cât este $(5 \cdot 2^{2})^{2}$ ?

Exponentul de afară cade peste amândoi factorii: $5^{2} \cdot (2^{2})^{2}$ . Puterea unei puteri dă $2^{4}$ , deci rezultatul este $25 \cdot 16 = 400$ . Verificarea pe drumul scurt: în paranteză $5 \cdot 4 = 20$ , iar $2 0^{2}$ dă tot 400.

Cum aplic exponentul unei fracții din paranteză?

Se ridică la putere și numărătorul, și numitorul, fiecare separat: $(\frac{2}{3})^{3} = \frac{2 ^{3}}{3 ^{3}} = \frac{8}{27}$ . Regula este aceeași ca la produs, fiindcă împărțirea se comportă la fel ca înmulțirea față de exponent.

$(2^{3})^{4}$ înseamnă același lucru cu $2^{3^{4}}$ ?

Nu. Prima scriere cere înmulțirea exponenților și dă $2^{12}$ , adică 4096. A doua ridică întâi 3 la puterea a patra, deci devine $2^{81}$ , un număr uriaș. Paranteza schimbă complet ordinea, așa că nu se poate sări peste ea.

Cât este $(1 0^{2})^{3}$ ?

Exponenții se înmulțesc, deci iese $1 0^{6}$ , adică un milion. Se vede și numărând zerourile: $1 0^{2}$ înseamnă 100, iar 100 ridicat la a treia dă $100 \cdot 100 \cdot 100$ . Puterile lui 10 se verifică ușor tocmai fiindcă exponentul arată câte zerouri urmează după 1.

$(a^{m})^{n}$ este egal cu $(a^{n})^{m}$ ?

Da, fiindcă înmulțirea exponenților nu ține cont de ordine: amândouă duc la $a^{m \cdot n}$ . Astfel $(2^{3})^{4}$ și $(2^{4})^{3}$ dau ambele $2^{12}$ . Alegerea între ele contează doar când unul dintre calcule iese cu numere mai comode.

Ce diferență e între $(3 \cdot 4)^{2}$ și $3 \cdot 4^{2}$ ?

În prima scriere exponentul prinde tot produsul, deci $1 2^{2} = 144$ . În a doua el atinge numai factorul 4, așa că rămâne $3 \cdot 16 = 48$ . Paranteza hotărăște peste cine cade exponentul, iar lipsa ei schimbă rezultatul de trei ori.

Oamenii mai întreabă și: puterea unei puteri · regula (a la m) la n · puterea unui produs · când se înmulțesc exponenții · exponent la exponent

Cum ridic o putere la altă putere?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât este (5⋅22)2?

Cum aplic exponentul unei fracții din paranteză?

(23)4 înseamnă același lucru cu 234?

Cât este (102)3?

(am)n este egal cu (an)m?

Ce diferență e între (3⋅4)2 și 3⋅42?

Continuă cu

Cât este $(5 \cdot 2^{2})^{2}$ ?

$(2^{3})^{4}$ înseamnă același lucru cu $2^{3^{4}}$ ?

Cât este $(1 0^{2})^{3}$ ?

$(a^{m})^{n}$ este egal cu $(a^{n})^{m}$ ?

Ce diferență e între $(3 \cdot 4)^{2}$ și $3 \cdot 4^{2}$ ?