Unghiul: definiție, notații și elemente

Deschide o foarfecă, privește colțul unei cărți sau urmărește acele unui ceas: peste tot în jurul tău se ascunde aceeași figură geometrică, unghiul. În această lecție vei descoperi exact ce este un unghi, din ce „piese" este alcătuit, cum îl notăm corect cu litere și cum deosebim ce se află înăuntrul lui de ce se află în afara lui. Pornim de la lucruri pe care le știi deja despre semidrepte și construim, pas cu pas, una dintre cele mai importante noțiuni din geometria de gimnaziu.

Ce vei învăța

Vei ști să spui cu cuvintele tale definiția unghiului ca figură formată din două semidrepte cu aceeași origine.
Vei ști să recunoști și să numești elementele unghiului: vârful și cele două laturi.
Vei ști să notezi corect un unghi folosind simbolul ∢ și trei litere, cu vârful scris în mijloc.
Vei ști să deosebești interiorul de exteriorul unui unghi și să așezi corect un punct față de un unghi.
Vei ști să identifici unghiuri în desene, în obiecte din jurul tău și în diferite contexte.

Hai să descoperim împreună

De la semidreaptă la unghi

În lecțiile trecute ai învățat despre semidreaptă. Să ne reamintim pe scurt: o semidreaptă are un punct de început (numit origine) și pleacă de acolo într-o singură direcție, la nesfârșit. Imaginează-ți o rază de lumină care pornește dintr-un bec: are un loc de pornire, dar lumina merge înainte fără să se mai oprească. Aceea este o semidreaptă.

Acum hai să facem un lucru simplu, dar plin de consecințe. Luăm un singur punct și din el pornim două semidrepte, în două direcții diferite. Adică amândouă pleacă din același loc. Ce obținem? Tocmai am desenat un unghi.

Definiția unghiului

Hai să spunem clar și matematic ce am observat:

Definiție. Se numește unghi figura geometrică formată din două semidrepte care au aceeași origine.

Cuvântul cheie aici este „aceeași origine". Cele două semidrepte trebuie să pornească din același punct. Dacă ar porni din puncte diferite, nu am mai avea un unghi, am avea pur și simplu două semidrepte împrăștiate pe foaie.

Gândește-te la o foarfecă. Cele două brațe (lame) se întâlnesc și se prind cu un șurub într-un singur punct. Din acel punct pornesc ambele lame. Când deschizi foarfecă, lamele formează un unghi. Când o închizi, unghiul se micșorează. Punctul cu șurubul rămâne mereu același, el este locul comun de unde pornesc cele două „semidrepte".

Alte exemple din viața de zi cu zi care formează unghiuri:

Acele unui ceas: acul scurt și acul lung pornesc amândouă din centrul ceasului și formează un unghi care se schimbă tot timpul.
Colțul unei cărți sau al unui caiet: două laturi care se întâlnesc într-un colț.
Brațele unui compas când îl deschizi.
Vârful unei felii de pizza: cele două margini drepte ale feliei pornesc din centrul pizzei.
Litera V sau picioarele desfăcute când stai într-un anumit fel.

Elementele unghiului: vârful și laturile

Orice unghi are elemente, adică „piese" din care este construit. Sunt foarte ușor de ținut minte, pentru că sunt doar două feluri:

1. Vârful unghiului. Este punctul comun din care pornesc cele două semidrepte, adică originea lor. Este „colțul" unghiului. La foarfecă, vârful este șurubul; la ceas, vârful este centrul de unde pleacă acele.

2. Laturile unghiului. Sunt cele două semidrepte care formează unghiul. Un unghi are exact două laturi. La foarfecă, laturile sunt cele două lame; la felia de pizza, laturile sunt cele două margini drepte.

Reține imaginea aceasta simplă: un vârf și două laturi. Asta e tot ce trebuie să ai într-un unghi. Vârful este unul singur, laturile sunt două.

Cum notăm un unghi

În matematică ne place să scriem scurt și clar. De aceea avem un simbol special pentru unghi: ∢. Îl citim „unghiul".

Ca să numim un unghi, folosim trei litere mari, câte una pentru fiecare element important:

o literă pentru un punct de pe prima latură,
o literă pentru vârf,
o literă pentru un punct de pe a doua latură.

Iată regula de aur a notării:

Regulă. Când notăm un unghi cu trei litere, litera vârfului se scrie întotdeauna la mijloc.

Deci dacă vârful este O, iar pe laturi avem punctele A și B, unghiul se scrie: $∢ A O B$ și se citește „unghiul A, O, B". Observă: O (vârful) stă fix la mijloc. Putem scrie și $∢ B O A$ — este exact același unghi, doar că am pornit de pe cealaltă latură. Important este ca O să rămână în mijloc.

Atenție la o greșeală frecventă. Dacă scrii $∢ A O B$ , este corect (vârful O la mijloc). Dar dacă ai scrie $∢ O A B$ , ai spune cu totul altceva: ai numi un unghi cu vârful în A, nu în O! Poziția literei din mijloc decide care punct este vârful. De aceea trebuie să fii foarte atent unde pui litera vârfului.

Există și un mod mai scurt de notare: dacă în desen este clar despre ce unghi vorbim și nu există confuzie, putem scrie unghiul folosind doar litera vârfului, de exemplu $∢ O$ . Acest mod îl folosim doar atunci când în acel vârf există un singur unghi, ca să nu ne încurcăm. Dacă din același vârf pornesc mai multe semidrepte și se formează mai multe unghiuri, este obligatoriu să folosim trei litere, ca să știm exact despre care unghi este vorba.

Interiorul și exteriorul unui unghi

Acum că știm să desenăm și să notăm un unghi, hai să privim foaia din jurul lui. Cele două laturi împart suprafața foii în două regiuni: una „dinăuntru" și una „dinafară".

Interiorul unghiului este regiunea cuprinsă între cele două laturi — zona din „gura" deschisă a unghiului.
Exteriorul unghiului este restul foii, adică toate punctele care nu se află nici pe laturi, nici în interior.

O imagine bună este felia de pizza din nou: miezul feliei (partea cu brânză și topping, dintre cele două margini) este interiorul; tot ce este în afara feliei, restul tăvii, este exteriorul. Iar marginile drepte ale feliei sunt laturile unghiului — ele nu fac parte nici din interior, nici din exterior, ele sunt chiar granița.

Cum stabilim unde se află un punct? Avem trei posibilități pentru orice punct din plan, în raport cu un unghi:

Punctul este pe una dintre laturi (deci chiar pe granița unghiului).
Punctul este în interiorul unghiului (între laturi).
Punctul este în exteriorul unghiului (în afara lui).

Un truc simplu: imaginează-ți că stai chiar în vârful unghiului și privești spre deschiderea lui. Tot ce „cuprinzi cu privirea" între cele două laturi este interiorul. Tot ce rămâne în spate sau în lateral, dincolo de laturi, este exteriorul.

O mică poveste ca să ții minte

Imaginează-ți un far așezat pe malul mării, în punctul O. Farul are un reflector care trimite lumină într-un con, între două raze: una spre stânca A și una spre stânca B. Cele două raze de lumină sunt laturile unghiului, iar farul este vârful. Un vapor care plutește în fâșia luminată dintre cele două raze este în interiorul unghiului — căpitanul vede farul și e în siguranță. Un vapor rămas în întuneric, în afara conului de lumină, este în exteriorul unghiului. Iar un vapor care plutește exact pe marginea luminii, pe una dintre cele două raze, se află pe o latură. Data viitoare când te gândești la interior și exterior, gândește-te la farul cu cele două raze de lumină.

Legătura cu ce ai învățat și ce urmează

Unghiul se sprijină direct pe noțiunea de semidreaptă și segment și pe ideile despre punct, dreaptă, plan și semiplan. În lecția următoare vei învăța să măsori un unghi cu raportorul și să afli câte grade are — vezi Măsura unui unghi. Apoi vei învăța să clasifici unghiurile în ascuțite, drepte și obtuze. Dar înainte de toate acestea, trebuie să stăpânești foarte bine ce este un unghi, care sunt elementele lui și cum îl notezi. Hai să exersăm cu exemple complete!

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștem elementele unui unghi

Enunț. În figură, din punctul M pornesc două semidrepte: una trece prin C și una prin D. Numește vârful și laturile unghiului format și scrie unghiul corect.

Rezolvare. Cele două semidrepte pornesc din același punct, M. Conform definiției, ele formează un unghi.

Vârful este punctul comun de unde pornesc semidreptele: vârful este M.
Laturile sunt cele două semidrepte: latura MC și latura MD.

Notăm unghiul punând litera vârfului (M) la mijloc: $∢ C M D (sau echivalent ∢ D M C) .$

Răspuns: vârful M, laturile MC și MD, unghiul ∢CMD.

Exemplul 2 — Notarea corectă, atenție la litera din mijloc

Enunț. Un elev a desenat un unghi cu vârful în P și a notat $∢ T P R$ . Care este vârful unghiului? Ce ar însemna, în schimb, notația $∢ P T R$ ?

Rezolvare. Regula spune că litera vârfului se scrie la mijloc.

În $∢ T P R$ , litera din mijloc este P, deci vârful este P. Corect!
În $∢ P T R$ , litera din mijloc este T, deci această notație ar însemna un unghi cu vârful în T — adică un cu totul alt unghi.

Răspuns: În ∢TPR vârful este P. Notația ∢PTR ar muta vârful în T, deci ar fi greșit pentru unghiul nostru.

Exemplul 3 — Interior, exterior sau pe latură?

Enunț. Se dă unghiul $∢ A O B$ . În figură sunt marcate punctele: G între laturi, H în afara unghiului și K chiar pe latura OA. Stabilește pentru fiecare unde se află față de unghi.

Rezolvare. Folosim cele trei posibilități:

Punctul G este cuprins între cele două laturi → G este în interiorul unghiului.
Punctul H se află în afara deschiderii dintre laturi → H este în exteriorul unghiului.
Punctul K este chiar pe semidreapta OA → K este pe latura OA (nu e nici în interior, nici în exterior).

Răspuns: G în interior, H în exterior, K pe latura OA.

Exemplul 4 — Câte unghiuri se formează?

Enunț. Din vârful O pornesc trei semidrepte: OA, OB și OC, astfel încât OB să fie între OA și OC. Câte unghiuri se formează și care sunt ele?

Rezolvare. Luăm semidreptele câte două, fiindcă un unghi este format din două semidrepte cu aceeași origine. Perechile posibile sunt:

OA și OB → unghiul $∢ A O B$ ;
OB și OC → unghiul $∢ B O C$ ;
OA și OC → unghiul $∢ A O C$ .

Se formează 3 unghiuri: ∢AOB, ∢BOC și ∢AOC. (Observă că ∢AOC este „cel mare", care le cuprinde pe celelalte două.)

Răspuns: 3 unghiuri: ∢AOB, ∢BOC și ∢AOC.

Exemplul 5 — De ce trebuie trei litere?

Enunț. În figura de la Exemplul 4, un elev scrie doar $∢ O$ . Este notația potrivită? Justifică.

Rezolvare. Notația cu o singură literă (doar vârful) se folosește numai când în acel vârf există un singur unghi. Aici, din vârful O pornesc trei semidrepte și se formează trei unghiuri diferite (∢AOB, ∢BOC, ∢AOC). Dacă scriem doar $∢ O$ , nu se înțelege despre care dintre cele trei vorbim.

Răspuns: Nu este potrivită; trebuie folosite trei litere pentru a preciza exact unghiul, deoarece în vârful O sunt mai multe unghiuri.

Exemplul 6 — Unghiuri în jurul nostru

Enunț. La ora 3 fix, acele ceasului pornesc din centrul O: acul orelor spre numărul 3 (punctul T) și acul minutelor spre numărul 12 (punctul D). Identifică vârful și laturile unghiului format de cele două ace.

Rezolvare. Ambele ace pornesc din centrul ceasului, deci au aceeași origine — formează un unghi.

Vârful: centrul ceasului, punctul O.
Laturile: acul orelor (semidreapta OT) și acul minutelor (semidreapta OD).
Notăm unghiul: $∢ T O D$ (sau $∢ D O T$ ), cu O la mijloc.

Răspuns: vârful O (centrul), laturile OT și OD, unghiul ∢TOD.

Să exersăm

1. Completează: Un unghi este figura formată din două ............... care au aceeași ............... .

2. Câte laturi are un unghi? Dar câte vârfuri?

3. Adevărat sau fals: La notarea unui unghi cu trei litere, litera vârfului se scrie la mijloc.

4. Se dă unghiul ∢XYZ. Care este vârful acestui unghi? Care sunt laturile?

5. Încercuiește notația corectă pentru un unghi cu vârful în B, dacă pe laturi avem punctele A și C: $a) ∢ A B C b) ∢ B A C c) ∢ A C B$

6. Scrie în două moduri (cu litera vârfului la mijloc) un unghi cu vârful M și cu punctele E și F pe laturi.

7. Adevărat sau fals: Punctele care se află pe una dintre laturile unghiului fac parte din interiorul unghiului.

8. Pentru unghiul ∢AOB din desenul de mai jos, stabilește unde se află fiecare punct (interior, exterior sau pe o latură): punctul R între laturi, punctul S în afară, punctul T pe latura OB.

unghiul AOB cu punctele R (între laturi), S (în afară) și T (pe latura OB)

9. Potrivește fiecare element din coloana din stânga cu descrierea din dreapta:

a) Vârful unghiului
b) Laturile unghiului
c) Interiorul unghiului
1. cele două semidrepte care formează unghiul
2. punctul comun de unde pornesc semidreptele
3. regiunea cuprinsă între cele două laturi

10. Desenează un unghi cu vârful în A și laturile AB și AC, apoi marchează un punct P în interiorul lui și un punct Q în exteriorul lui.

11. Din vârful O pornesc semidreptele OM, ON și OP. Câte unghiuri se formează? Scrie-le pe toate folosind trei litere.

12. Adevărat sau fals: Notația ∢DEF și notația ∢FED reprezintă același unghi.

13. Un elev scrie ∢KLM pentru un unghi. Fără să vezi desenul, spune care este vârful unghiului.

14. Privește în jurul tău și scrie trei obiecte din clasă sau din casă care formează un unghi. Pentru fiecare, spune ce reprezintă vârful.

15. Adevărat sau fals: Dacă două semidrepte pornesc din puncte diferite, ele formează totuși un unghi.

16. La ora 6:00, acele ceasului pornesc din centrul O, unul spre numărul 12 (punctul A) și unul spre numărul 6 (punctul B). Numește vârful, laturile și notează unghiul format.

17. Desenează unghiul ∢POQ și colorează interiorul lui. Apoi marchează cu un X un punct din exterior.

18. Problemă. Din vârful V pornesc patru semidrepte: VA, VB, VC, VD. Câte unghiuri se formează luând semidreptele câte două? (Indicație: numără toate perechile posibile.)

Răspunsuri și explicații

1. semidrepte / origine. Definiția spune: un unghi este figura formată din două semidrepte care au aceeași origine.

2. Un unghi are două laturi și un singur vârf. Laturile sunt cele două semidrepte, iar vârful este punctul lor comun.

3. Adevărat. Litera vârfului se scrie întotdeauna la mijloc atunci când folosim trei litere.

4. Vârful este Y (litera din mijloc). Laturile sunt semidreptele YX și YZ.

5. Răspuns corect: a) ∢ABC. Vârful trebuie să fie B, deci B se scrie la mijloc. La b) vârful ar fi A, la c) vârful ar fi C — ambele greșite.

6. ∢EMF și ∢FME. În ambele, vârful M este la mijloc; am schimbat doar ordinea punctelor de pe laturi.

7. Fals. Punctele de pe laturi sunt chiar pe granița unghiului; ele nu fac parte nici din interior, nici din exterior.

8. R este în interiorul unghiului; S este în exteriorul unghiului; T este pe latura OB.

9. a → 2 (vârful = punctul comun); b → 1 (laturile = cele două semidrepte); c → 3 (interiorul = regiunea dintre laturi).

10. Desen: din A pornesc două semidrepte spre B și spre C; P se marchează între laturi (interior), Q se marchează în afara deschiderii dintre laturi (exterior). Verifică să fi pus vârful în A.

unghiul cu vârful A, laturile AB și AC, punctul P între laturi și punctul Q în afară

11. Se formează 3 unghiuri: ∢MON, ∢NOP și ∢MOP. Le obținem luând semidreptele câte două: (OM, ON), (ON, OP), (OM, OP).

12. Adevărat. ∢DEF și ∢FED au același vârf E la mijloc și aceleași două laturi; am citit doar laturile în altă ordine.

13. Vârful este L (litera din mijloc a notației ∢KLM).

14. Răspuns deschis. Exemple corecte: colțul cărții (vârful = colțul), foarfeca (vârful = șurubul), brațele compasului (vârful = articulația de sus), litera V scrisă pe caiet (vârful = punctul de jos). Important: vârful este mereu punctul de unde pornesc cele două „laturi".

15. Fals. Pentru a forma un unghi, cele două semidrepte trebuie să aibă aceeași origine (același punct de pornire).

16. Vârful este O (centrul ceasului), laturile sunt semidreptele OA și OB, iar unghiul se notează ∢AOB (sau ∢BOA).

17. Desen: unghiul cu vârful O și laturile OP, OQ; interiorul (zona dintre laturi) colorat; un X plasat în afara deschiderii dintre laturi.

unghiul POQ cu interiorul colorat și un X marcat în exterior

18. Se formează 6 unghiuri. Perechile de semidrepte sunt: (VA,VB), (VA,VC), (VA,VD), (VB,VC), (VB,VD), (VC,VD) — în total 6 perechi, deci 6 unghiuri: ∢AVB, ∢AVC, ∢AVD, ∢BVC, ∢BVD, ∢CVD.

De reținut

Unghiul este figura formată din două semidrepte cu aceeași origine (același punct de pornire).
Un unghi are un vârf (punctul comun) și două laturi (cele două semidrepte).
La notarea cu trei litere, litera vârfului se scrie întotdeauna la mijloc: ∢AOB are vârful O.
Interiorul este regiunea dintre laturi; exteriorul este restul planului; punctele de pe laturi nu sunt nici în interior, nici în exterior.
Folosim simbolul ∢ și putem nota un unghi cu o singură literă doar când în acel vârf există un singur unghi.

Greșeli frecvente

Pui litera vârfului în alt loc decât la mijloc. Dacă scrii ∢OAB pentru un unghi cu vârful O, ai mutat din greșeală vârful în A. Verifică mereu: litera din mijloc trebuie să fie vârful.
Confunzi laturile (semidrepte) cu segmente. Laturile unghiului sunt semidrepte, deci pornesc din vârf și continuă la nesfârșit; nu au capăt în partea cealaltă. Mărimea desenului (cât de lung tragi linia) nu schimbă unghiul.
Crezi că punctele de pe laturi sunt în interior. Laturile sunt granița unghiului. Un punct chiar pe latură nu este nici în interior, nici în exterior — este pe latură.
Folosești o singură literă când sunt mai multe unghiuri în același vârf. Dacă din vârf pornesc trei sau mai multe semidrepte, ∢O este ambiguu. Folosește trei litere ca să spui exact despre care unghi vorbești.

Joc acasă

1. Vânătoarea de unghiuri. Plimbă-te prin casă timp de 5 minute și caută 10 unghiuri „reale": colțul mesei, deschiderea ușii, acele ceasului, brațul lămpii îndoit, o foarfecă deschisă etc. Pentru fiecare, arată cu degetul vârful și cele două laturi și spune cu voce tare: „Aici vârful este..., iar laturile sunt...".

2. Unghiul cu două creioane. Ia două creioane (sau două bețișoare) și lipește-le cu vârfurile (capetele ascuțite) la un capăt, ținându-le împreună cu degetul. Acel capăt comun este vârful, iar creioanele sunt laturile. Deschide-le și închide-le: ai construit un unghi care își schimbă deschiderea. Roagă un membru al familiei să marcheze cu degetul un punct în interiorul și unul în exteriorul unghiului format.

3. Notează corect. Pe o foaie, desenează un punct și pune-i o literă (de exemplu O). Trage din el două semidrepte și pune câte o literă pe fiecare (de exemplu A și B). Provoacă un părinte sau un coleg să scrie corect notația unghiului. Câștigă cine pune litera vârfului la mijloc: ∢AOB. Apoi schimbați literele și jucați din nou.

Pentru părinți și învățători

Această lecție este prima întâlnire formală a copilului cu unghiul, după ce a studiat semidreapta și segmentul. Obiectivul nu este măsurarea (aceea vine în lecția următoare, cu raportorul), ci recunoașterea, denumirea elementelor și notarea corectă.

Cum sprijiniți elevul:

Începeți de la obiecte concrete (foarfecă, ceas, colțul cărții) și cereți copilului să arate cu degetul vârful și cele două laturi. Trecerea de la obiect la desen abstract este pasul-cheie.
Insistați pe ideea că laturile sunt semidrepte (pornesc din vârf și continuă), nu segmente. O confuzie tipică este să creadă că un unghi „mai mare desenat" este un unghi diferit — lungimea liniilor nu contează.
Exersați notația de mai multe ori: scrieți pe o foaie diferite unghiuri și cereți copilului să identifice litera vârfului. Întrebarea de control: „Care literă e la mijloc? Acela e vârful."

Întrebări bune de pus:

„Din ce este format un unghi?" (două semidrepte cu aceeași origine)
„Câte vârfuri și câte laturi are un unghi?" (un vârf, două laturi)
„Dacă scriu ∢MNP, care e vârful?" (N)
„Acest punct e în interior, în exterior sau pe latură? De unde știi?"

Cum verificați înțelegerea: Desenați un unghi cu trei semidrepte din același vârf și cereți copilului să numere și să noteze toate unghiurile. Dacă reușește să scrie corect toate unghiurile cu litera vârfului la mijloc și să distingă interiorul de exterior, lecția este înțeleasă. O dificultate persistentă la notare se rezolvă cu regula simplă, repetată: „vârful la mijloc".

Întrebări frecvente

Ce este un unghi, pe scurt, la clasa a V-a? Un unghi este figura geometrică formată din două semidrepte care pornesc din același punct, adică au aceeași origine. Acel punct comun se numește vârf, iar cele două semidrepte se numesc laturi.

Care sunt elementele unui unghi? Un unghi are două feluri de elemente: vârful (punctul comun de unde pornesc semidreptele) și laturile (cele două semidrepte). Un unghi are întotdeauna un singur vârf și exact două laturi.

Cum se notează corect un unghi? Folosim simbolul ∢ și trei litere mari, câte una pentru un punct de pe fiecare latură și una pentru vârf. Litera vârfului se scrie întotdeauna la mijloc; de exemplu, ∢AOB are vârful în O.

De ce se scrie litera vârfului la mijloc? Pentru ca toată lumea să știe care punct este vârful unghiului. Dacă mutăm litera din mijloc, schimbăm de fapt vârful și numim un cu totul alt unghi. Poziția din mijloc identifică fără greș vârful.

Ce înseamnă interiorul și exteriorul unui unghi? Interiorul este regiunea cuprinsă între cele două laturi, „deschiderea" unghiului. Exteriorul este restul planului, în afara laturilor. Punctele care se află chiar pe laturi nu fac parte nici din interior, nici din exterior.

Pot nota un unghi cu o singură literă? Da, dar numai atunci când în acel vârf există un singur unghi, de exemplu ∢O. Dacă din același vârf pornesc mai multe semidrepte și se formează mai multe unghiuri, este obligatoriu să folosești trei litere, ca să precizezi exact despre ce unghi este vorba.

Care e diferența dintre latura unui unghi și un segment? Latura unui unghi este o semidreaptă: pornește din vârf și continuă la nesfârșit într-o direcție. Un segment are două capete și o lungime fixă. De aceea, cât de lungă desenezi latura nu schimbă unghiul.

Câte unghiuri se formează dacă din același vârf pornesc trei semidrepte? Se formează trei unghiuri, fiindcă le obținem luând semidreptele câte două. De exemplu, din semidreptele OA, OB, OC rezultă unghiurile ∢AOB, ∢BOC și ∢AOC.