Punctele $$P$$, $$O$$, $$P'$$ sunt pe o dreaptă, iar $$P'$$ este simetricul lui $$P$$ față de $$O$$. Care dintre afirmațiile de mai jos este corectă?

$$O$$ este mijlocul segmentului $$[PP']$$, deci $$OP = OP'$$ și $$O$$ este între $$P$$ și $$P'$$

$$OP = OP'$$, dar punctele pot fi pe drepte diferite

$$P$$ este mijlocul segmentului $$[OP']$$

Punctele $$C$$, $$O$$, $$C'$$ sunt coliniare, iar $$O$$ se află între $$C$$ și $$C'$$, dar $$OC = 8$$ cm și $$OC' = 5$$ cm. Este $$C'$$ simetricul lui $$C$$ față de $$O$$?

Nu, pentru că $$OC \neq OC'$$, deci $$O$$ nu este mijlocul lui $$[CC']$$

Da, pentru că $$O$$ se află între $$C$$ și $$C'$$

Da, pentru că punctele sunt coliniare

Nu, pentru că punctele nu sunt coliniare

Punctele $$U$$ și $$U'$$ sunt simetrice față de punctul $$O$$. Care dintre următoarele afirmații nu este întotdeauna adevărată?

$$O$$ este mijlocul segmentului $$[UU']$$

$$U$$, $$O$$, $$U'$$ sunt coliniare

Ce este simetricul unui punct față de un punct?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Simetricul unui punct față de un punct

Punctul $A^{'}$ se numește simetricul lui $A$ în raport cu $O$ atunci când $O$ cade exact la mijlocul segmentului $[A A^{'}]$ . De aici ies trei condiții deodată: cele trei puncte stau pe aceeași dreaptă, $O$ se află între celelalte două, iar distanțele până la el sunt egale, deci $O A = O A^{'}$ . Îl construiești trăgând dreapta prin $A$ și $O$ , apoi ducând aceeași lungime de partea cealaltă. Segmentul întreg măsoară dublul jumătății: $A A^{'} = 2 \cdot O A$ .

Simetricul punctului $A$ față de punctul $O$ este acel punct $A^{'}$ pentru care $O$ este mijlocul segmentului $[A A^{'}]$ . Asta înseamnă trei condiții simultane: $A$ , $O$ , $A^{'}$ sunt coliniare, $O$ se află între $A$ și $A^{'}$ , iar distanțele sunt egale: $O A = O A^{'}$ . Construcția: trasezi dreapta $A O$ , măsori $O A$ , apoi duci aceeași lungime de cealaltă parte a lui $O$ .

De reținut: $A A^{'} = 2 \cdot O A$ (întregul e dublul jumătății), iar relația merge în ambele sensuri — dacă $A^{'}$ e simetricul lui $A$ , atunci $A$ e simetricul lui $A^{'}$ față de același $O$ .

Exemplu. Dacă $O A = 6$ cm, atunci $O A^{'} = 6$ cm și $A A^{'} = 2 \cdot 6 = 12$ cm.

De reținut

$A^{'}$ este simetricul lui $A$ față de $O$ dacă $O$ este mijlocul lui $[A A^{'}]$
trei condiții: coliniare, $O$ între ele, distanțe egale
$A A^{'} = 2 \cdot O A$ și $O A = A A^{'} : 2$
relația merge în ambele sensuri

Greșeala tipică

Se măsoară lungimea în aceeași parte în care se află punctul de plecare, iar simetricul cade peste el. Distanța se duce dincolo de centru, în partea opusă, altfel $O$ nu ajunge la mijloc.

Exerciții din această mini-lecție

Punctele $P$ , $O$ , $P^{'}$ sunt pe o dreaptă, iar $P^{'}$ este simetricul lui $P$ față de $O$ . Care dintre afirmațiile de mai jos este corectă?
- a) $O P = O P^{'}$ , dar punctele pot fi pe drepte diferite
- b) $O$ este mijlocul segmentului $[P P^{'}]$ , deci $O P = O P^{'}$ și $O$ este între $P$ și $P^{'}$
- c) $P$ este mijlocul segmentului $[O P^{'}]$
- d) $P P^{'} = O P$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $O$ este mijlocul segmentului $[P P^{'}]$ , deci $O P = O P^{'}$ și $O$ este între $P$ și $P^{'}$

Din definiție, $O$ trebuie să fie mijlocul lui $[P P^{'}]$ : acest lucru înseamnă atât coliniaritate și poziția lui $O$ între $P$ și $P^{'}$ , cât și egalitatea distanțelor $O P = O P^{'}$ . Varianta a) greșește la coliniaritate, iar c) și d) confundă rolurile punctelor.
Punctele $C$ , $O$ , $C^{'}$ sunt coliniare, iar $O$ se află între $C$ și $C^{'}$ , dar $O C = 8$ cm și $O C^{'} = 5$ cm. Este $C^{'}$ simetricul lui $C$ față de $O$ ?
- a) Da, pentru că $O$ se află între $C$ și $C^{'}$
- b) Da, pentru că punctele sunt coliniare
- c) Nu, pentru că punctele nu sunt coliniare
- d) Nu, pentru că $O C \neq = O C^{'}$ , deci $O$ nu este mijlocul lui $[C C^{'}]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) Nu, pentru că $O C \neq = O C^{'}$ , deci $O$ nu este mijlocul lui $[C C^{'}]$

Definiția simetricului cere trei condiții simultan: $C$ , $O$ , $C^{'}$ coliniare, $O$ între $C$ și $C^{'}$ și $O C = O C^{'}$ . Aici primele două condiții sunt îndeplinite, dar $O C = 8$ cm, iar $O C^{'} = 5$ cm, deci distanțele nu sunt egale și $O$ nu este mijlocul segmentului $[C C^{'}]$ . Prin urmare $C^{'}$ nu este simetricul lui $C$ față de $O$ : simetricul lui $C$ ar fi punctul aflat la $8$ cm de $O$ , de partea cealaltă.
Punctele $U$ și $U^{'}$ sunt simetrice față de punctul $O$ . Care dintre următoarele afirmații nu este întotdeauna adevărată?
- a) $O$ este mijlocul segmentului $[U U^{'}]$
- b) $U O = O U^{'}$
- c) $U$ , $O$ , $U^{'}$ sunt coliniare
- d) $U U^{'} = O U$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $U U^{'} = O U$

Din definiție, $O$ este mijlocul lui $[U U^{'}]$ , deci a), b) și c) sunt adevărate. Însă $U U^{'}$ este întregul segment, adică dublul jumătății: $U U^{'} = 2 \cdot O U$ , nu $O U$ . Afirmația d) este falsă, deci ea este răspunsul căutat.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă dacă $O C$ și $O C^{'}$ nu sunt egale?

Atunci $C^{'}$ nu este simetricul lui $C$ , chiar dacă punctele sunt coliniare și $O$ stă între ele. Cu $O C = 8$ cm și $O C^{'} = 5$ cm, punctul $O$ nu este mijlocul segmentului, deci lipsește tocmai condiția care dă simetria.

Cum se notează simetricul unui punct?

Cu aceeași literă, urmată de un semn mic în dreapta sus, citit prim: simetricul lui $A$ se scrie $A^{'}$ , iar al lui $B$ se scrie $B^{'}$ . Notația arată dintr-o privire care punct provine din care, mai ales când figura are multe puncte.

Care este simetricul unui segment față de un punct?

Tot un segment, de aceeași lungime, obținut luând simetricul fiecărui capăt. Din $[A B]$ iese $[A^{'} B^{'}]$ , iar cele două sunt congruente și paralele. Simetria față de un punct rotește practic figura cu $180°$ în jurul centrului.

Ce figuri au centru de simetrie?

Cercul, pătratul, dreptunghiul, rombul și paralelogramul, printre altele; centrul lor este punctul în care se taie diagonalele, iar la cerc chiar centrul cercului. Triunghiul nu are, oricât de regulat ar fi, fiindcă rotirea cu $180°$ nu îl aduce peste el însuși.

Simetria față de un punct păstrează lungimile?

Da, orice segment ajunge peste unul congruent cu el, iar unghiurile își păstrează măsura. De aceea figura obținută arată la fel ca cea de la început, doar întoarsă. Se schimbă poziția, nu forma și nici mărimea.

Oamenii mai întreabă și: simetricul unui punct · simetricul unui punct față de un punct · ce este simetricul unui punct · simetria față de un punct · simetricul unui punct față de alt punct