Cât este suma unghiurilor unui triunghi?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Suma unghiurilor unui triunghi

În orice triunghi, cele trei unghiuri adună împreună 180 de grade, oricât de mare sau de turtit ar fi desenul. De aici iese cea mai folosită socoteală: dacă știi două dintre ele, al treilea rămâne după ce scazi suma lor din 180. La 48 și 77 de grade obții $180 - 125 = 55$ de grade. Justificarea vine dintr-o paralelă dusă printr-un vârf la latura opusă, care așază cele trei unghiuri alături, într-un unghi alungit.

În orice triunghi, suma măsurilor celor trei unghiuri este mereu $180°$ : $m (∠ A) + m (∠ B) + m (∠ C) = 180°$ . Teorema se justifică ducând, printr-un vârf, o paralelă la latura opusă și folosind unghiurile alterne interne formate cu o secantă. Cea mai folosită aplicație: dacă știi două unghiuri, îl afli pe al treilea scăzând suma lor din $180°$ . Într-un triunghi dreptunghic, unghiul drept ocupă deja $90°$ , deci cele două unghiuri ascuțite sunt complementare (adună $90°$ ). De asemenea, un triunghi nu poate avea două unghiuri drepte sau două obtuze — are mereu cel puțin două unghiuri ascuțite.

Exemplu: dacă $m (∠ A) = 55°$ și $m (∠ B) = 65°$ , atunci $m (∠ C) = 180° - (55° + 65°) = 60°$ . Verificare: $55° + 65° + 60° = 180°$ . ✔

De reținut

$m (∠ A) + m (∠ B) + m (∠ C) = 180°$ în orice triunghi
al treilea unghi = 180 minus suma celorlalte două
în triunghiul dreptunghic, unghiurile ascuțite adună 90 de grade

Greșeala tipică

Se dă drept răspuns chiar suma celor două unghiuri cunoscute. La 63 și 59 de grade, al treilea unghi nu este 122, ci $180 - 122 = 58$ de grade.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un triunghi $X Y Z$ , $m (∠ X) = 48°$ și $m (∠ Y) = 77°$ . Cât măsoară $m (∠ Z)$ ?
- a) $45°$
- b) $55°$
- c) $65°$
- d) $125°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $55°$

Suma unghiurilor unui triunghi este $180°$ . Adunăm unghiurile cunoscute: $48° + 77° = 125°$ . Scădem din $180°$ : $m (∠ Z) = 180° - 125° = 55°$ .
Unghiurile unui triunghi sunt direct proporționale cu numerele $3$ , $5$ și $7$ . Cât măsoară cel mai mare unghi al triunghiului?
- a) $36°$
- b) $60°$
- c) $84°$
- d) $90°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $84°$

Notăm unghiurile $3 k$ , $5 k$ și $7 k$ . Suma lor este $180°$ : $3 k + 5 k + 7 k = 15 k = 180°$ , deci $k = 12°$ . Cel mai mare unghi este $7 k = 7 \cdot 12° = 84°$ .
Într-un triunghi $R S T$ , $m (∠ R) = 63°$ și $m (∠ S) = 59°$ . Cât măsoară $m (∠ T)$ ?
- a) $48°$
- b) $58°$
- c) $68°$
- d) $122°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $58°$

Suma unghiurilor unui triunghi este $180°$ . Adunăm unghiurile cunoscute: $63° + 59° = 122°$ . Scădem din $180°$ : $m (∠ T) = 180° - 122° = 58°$ . (Varianta d) este chiar suma celor două unghiuri date, nu al treilea unghi — o greșeală frecventă.)

Întrebări conexe

De ce nu poate un triunghi să aibă un unghi de 180 de grade?

Fiindcă atunci celelalte două ar fi nule, iar cele trei vârfuri ar cădea pe aceeași dreaptă: nu s-ar mai închide nicio figură. Un unghi al triunghiului rămâne deci întotdeauna strict sub 180 de grade, iar celelalte două umplu restul.

De ce are orice triunghi cel puțin două unghiuri ascuțite?

Dacă două unghiuri ar avea fiecare 90 de grade sau mai mult, ele singure ar strânge cel puțin 180 de grade și nu ar mai rămâne nimic pentru al treilea. Așadar cel mult un unghi poate fi drept sau obtuz, iar celelalte două rămân sub 90 de grade.

Cum aflu unghiurile unui triunghi când unul are cu 20 de grade mai mult?

Notezi cu $x$ unghiul mic, iar celălalt devine $x + 20$ . Aduni tot ce știi și pui suma egală cu 180, apoi rezolvi. La un al treilea unghi de 40 de grade rezultă $2 x + 60 = 180$ , deci $x = 60$ , iar unghiurile sunt 60, 80 și 40 de grade.

Cum apare suma unghiurilor triunghiului la Evaluarea Națională?

Apare ca pas ascuns într-o problemă mai lungă: afli un unghi în triunghi, apoi îl folosești la paralele, la un patrulater sau la un cerc. Rar se cere doar scăderea din 180; de obicei unghiul găsit deschide pasul următor al rezolvării.

Cum se folosește suma de 180 de grade la triunghiul isoscel?

Acolo două unghiuri sunt egale, deci scrii unghiul de la vârf plus de două ori unghiul de la bază egal cu 180. Din una dintre valori le scoți pe celelalte: la un vârf de 44 de grade rămân 136 de grade pentru cele două unghiuri egale, adică 68 de grade fiecare.

Oamenii mai întreabă și: suma unghiurilor unui triunghi · care este suma unghiurilor unui triunghi · câte grade are un triunghi · suma măsurilor unghiurilor triunghiului · de ce 180 de grade la triunghi