Validarea logică a pașilor unui raționament

Un elev rezolvă la tablă ecuația $x + 5 = x - 1$ . Ridică la pătrat, obține $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ , găsește soluțiile $x_{1} = 4$ și $x_{2} = - 1$ și le scrie pe amândouă. Calculele sunt impecabile — nu are nicio greșeală de aritmetică. Și totuși răspunsul este greșit: $x = - 1$ nu este soluție, pentru că $- 1 + 5 = 2$ , iar $- 1 - 1 = - 2$ , și $2 \neq = - 2$ . Unde s-a rupt lucrurile? Nu în calcul, ci în logica pașilor: ridicarea la pătrat este o implicație într-un singur sens, nu o echivalență, iar elevul a tratat-o ca pe o echivalență.

Aceasta este tema lecției: un raționament corect nu înseamnă doar calcule corecte, ci un lanț de pași fiecare dintre ei valid — și, la final, o concluzie care se sprijină cu adevărat pe ipoteze. Vei învăța să te uiți la o rezolvare așa cum se uită un corector de Bacalaureat: pas cu pas, întrebând de fiecare dată „din ce anume rezultă asta?" și „pasul acesta merge și invers?".

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști un raționament ca lanț de propoziții legate prin implicații și să identifici ipotezele, pașii și concluzia.
Vei ști să aplici corect regula de deducție de bază (modus ponens) și forma ei cu negație (modus tollens).
Vei ști să depistezi greșeala reciprocei: din $p \Rightarrow q$ și $q$ adevărat nu rezultă $p$ .
Vei ști să distingi pașii reversibili (echivalențe) de pașii ireversibili (implicații) într-o rezolvare de ecuație sau inecuație.
Vei ști de ce apar soluțiile străine și când este obligatorie verificarea în ecuația inițială.
Vei ști să găsești eroarea într-o „demonstrație" spectaculoasă, de tipul $1 = 2$ , și să numești exact pasul nevalid.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este, de fapt, un raționament

Un raționament este un șir de propoziții în care fiecare propoziție nouă se obține din cele dinainte printr-o regulă logică acceptată. Prima verigă o formează ipotezele (ce ni se dă), ultima este concluzia (ce avem de arătat), iar între ele stau pașii.

Schematic, arată așa:

$ipoteza p_{0} \Rightarrow p_{1} \Rightarrow p_{2} \Rightarrow \dots \Rightarrow concluzia p_{n} .$

Un raționament este valid dacă fiecare săgeată este o implicație adevărată. Atenție la o distincție importantă: validitatea privește legăturile, nu conținutul. Se poate ca un raționament valid să pornească de la o ipoteză falsă și să ajungă la o concluzie falsă — logica garantează doar că dacă ipotezele sunt adevărate, atunci concluzia este adevărată. Din ipoteze adevărate și pași valizi nu poți ajunge niciodată la o concluzie falsă; asta e toată forța metodei.

Din lecția Implicația «dacă…, atunci…» știi tabelul implicației: $p \Rightarrow q$ este falsă numai când $p$ este adevărată și $q$ falsă. Exact acest caz este cel pe care îl căutăm când verificăm un pas: „se poate ca ce am scris înainte să fie adevărat, iar ce am scris după să fie fals?" Dacă răspunsul e da, pasul nu e valid.

2. Regula fundamentală: modus ponens

Cea mai folosită regulă de deducție are un nume latinesc și o formă foarte simplă:

Dacă știm că $p$ este adevărată și că $p \Rightarrow q$ , atunci putem afirma $q$ .

Se numește modus ponens. În viața de zi cu zi o folosești fără să știi: „Dacă am nota 9 la teză, trec cu 8 pe semestru. Am luat 9. Deci trec cu 8."

În matematică, ea stă în spatele fiecărei aplicări de teoremă. Exemplu: teorema spune „dacă un număr se termină în $0$ , atunci el se divide cu $5$ ". Numărul $1230$ se termină în $0$ (ipoteza verificată), deci se divide cu $5$ (concluzia obținută prin modus ponens). Ce trebuie să verifici, de fiecare dată când aplici o teoremă, este că ipoteza ei este într-adevăr îndeplinită — altfel „aplici" un rezultat care nu are ce căuta acolo.

3. Lanțul de implicații: tranzitivitatea

A doua regulă care ține un raționament laolaltă este tranzitivitatea implicației:

$dac \overset{a}{˘} p \Rightarrow q ș i q \Rightarrow r, atunci p \Rightarrow r .$

Ea justifică scrierea în lanț. De exemplu: „ $n$ se divide cu $12$ " $\Rightarrow$ „ $n$ se divide cu $6$ " $\Rightarrow$ „ $n$ este par". Concluzia: orice număr divizibil cu $12$ este par — obținută fără să atingem numerele, doar înlănțuind două implicații adevărate.

Ai grijă la un detaliu: lanțul este atât de tare cât cea mai slabă verigă a lui. Dacă una dintre implicații este falsă — chiar și una singură, undeva la mijloc — concluzia nu mai este garantată. Nu înseamnă automat că e falsă; înseamnă că nu am demonstrat-o. Aceasta e o nuanță pe care mulți elevi o ratează: un raționament greșit nu face concluzia falsă, o lasă nedovedită.

4. Greșeala reciprocei — cea mai frecventă eroare de raționament

Iată tiparul greșit, în forma lui pură:

$p \Rightarrow q$ este adevărată; $q$ este adevărată; deci $p$ este adevărată.

Este nevalid. Un exemplu din viața de afară îl face imediat evident: „Dacă plouă, atunci asfaltul este ud." Asfaltul este ud. Rezultă că a plouat? Nu — poate a trecut mașina de spălat străzile, poate a spart cineva un furtun. Ipoteza $p$ (plouă) este doar una dintre cauzele posibile ale lui $q$ .

În matematică, aceeași eroare arată așa: „Dacă $n$ se divide cu $6$ , atunci $n$ este par." Numărul $4$ este par. Deci $4$ se divide cu $6$ ? Fals: $4 = 6 \cdot 0 + 4$ .

Motivul de fond, pe care l-ai văzut la Echivalența «dacă și numai dacă»: implicația $p \Rightarrow q$ și reciproca ei $q \Rightarrow p$ sunt propoziții diferite, cu valori de adevăr care pot să nu coincidă. Doar când amândouă sunt adevărate avem echivalență, $p \Leftrightarrow q$ .

Cum eviți greșeala? Când vezi o afirmație de tip „dacă…, atunci…", întreabă-te explicit: mă folosesc de ea în sensul în care a fost enunțată, sau în sens invers? Dacă în sens invers, am dreptul? Am demonstrat și reciproca?

5. Regula corectă cu negație: modus tollens

Există totuși un mod perfect valid de a folosi o implicație „de la dreapta la stânga" — dar numai împreună cu negația:

Dacă $p \Rightarrow q$ este adevărată și $q$ este falsă, atunci $p$ este falsă.

Se numește modus tollens. Exemplul cu ploaia devine: „Dacă plouă, asfaltul e ud. Asfaltul nu e ud. Deci nu plouă." Corect, fără fisură.

Această regulă este echivalentă cu faptul că implicația $p \Rightarrow q$ și contrapoziția ei $\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$ au mereu aceeași valoare de adevăr — lucru care se citește imediat în tabelul de adevăr studiat la Tabelul de adevăr al unui enunț compus. Ține minte perechea, pentru că e ușor de confundat:

Din $p \Rightarrow q$ și…	…rezultă	Valid?
$p$ adevărată	$q$ adevărată	da (modus ponens)
$q$ falsă	$p$ falsă	da (modus tollens)
$q$ adevărată	$p$ adevărată	nu (greșeala reciprocei)
$p$ falsă	$q$ falsă	nu (greșeala negării ipotezei)

Ultimul rând merită un exemplu: „Dacă plouă, asfaltul e ud. Nu plouă. Deci asfaltul nu e ud." Fals — poate tocmai a trecut mașina de spălat. Din negarea ipotezei nu urmează nimic despre concluzie.

Modus tollens este, de altfel, motorul metodei pe care o studiezi în lecția Metoda reducerii la absurd: dacă din presupunerea $p$ deducem ceva fals, atunci $p$ trebuie să fie falsă.

6. Pași reversibili și pași ireversibili în rezolvarea ecuațiilor

Aici teoria devine foarte practică. Când rezolvi o ecuație, treci de la o formă la alta. Fiecare trecere este ori o echivalență (mulțimea soluțiilor rămâne aceeași), ori doar o implicație (mulțimea soluțiilor se poate mări sau micșora).

Pași reversibili (echivalențe, în siguranță):

adunarea aceluiași număr sau a aceleiași expresii definite peste tot în ambii membri;
înmulțirea ambilor membri cu un număr nenul;
trecerea termenilor dintr-un membru în celălalt cu semn schimbat.

Pași ireversibili (atenție!):

ridicarea la pătrat: din $a = b$ rezultă $a^{2} = b^{2}$ , dar invers nu — din $a^{2} = b^{2}$ rezultă $a = b$ sau $a = - b$ . Apar astfel soluții străine, care trebuie eliminate prin verificare.
simplificarea printr-o expresie care poate fi zero: din $x^{2} = 4 x$ , dacă „simplifici prin $x$ ", obții doar $x = 4$ și pierzi soluția $x = 0$ . Corect: $x^{2} - 4 x = 0 \Leftrightarrow x (x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ sau $x = 4$ .
înmulțirea unei inegalități cu o expresie de semn necunoscut: din $\frac{1}{x} < 1$ nu rezultă $1 < x$ ; pentru $x = - 2$ avem $\frac{1}{- 2} = - 0, 5 < 1$ , deși $- 2$ nu este mai mare decât $1$ . Înmulțirea cu $x$ schimbă sensul inegalității când $x < 0$ .
ridicarea la pătrat a unei inegalități: din $a > b$ nu rezultă $a^{2} > b^{2}$ ; pentru $a = 1$ și $b = - 2$ avem $1 > - 2$ , dar $1 < 4$ .

Regula practică, pe care merită să o scrii pe prima pagină a caietului: dacă în rezolvare ai făcut măcar un pas ireversibil, verificarea soluțiilor în ecuația inițială nu este opțională — este parte din rezolvare.

7. Studiu de caz: „demonstrația" că $1 = 2$

Iată un raționament celebru, cu calcule corecte de la un capăt la altul, dar cu o concluzie absurdă. Fie $a$ și $b$ numere reale cu $a = b$ .

$a = b \Rightarrow a^{2} = ab \Rightarrow a^{2} - b^{2} = ab - b^{2} \Rightarrow (a - b) (a + b) = b (a - b) \Rightarrow a + b = b \Rightarrow 2 b = b \Rightarrow 2 = 1.$

Verifică fiecare egalitate: înmulțirea cu $a$ , scăderea lui $b^{2}$ , descompunerea $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , factorul comun — toate sunt corecte. Și totuși concluzia e falsă. Unde este eroarea?

La pasul al patrulea, când din $(a - b) (a + b) = b (a - b)$ am „simplificat prin $a - b$ ". Dar din ipoteză $a = b$ , deci $a - b = 0$ : am împărțit la zero. Împărțirea la zero nu este o operație permisă, deci acel pas nu este o implicație validă — este o non-operație deghizată în calcul.

Lecția de metodă: când verifici un raționament, nu te uita doar la aritmetică. Uită-te la condițiile de aplicare ale fiecărei reguli folosite: numitorul nu e zero, expresia de sub radical e pozitivă, funcția la care aplici o proprietate e definită acolo. Cele mai multe „paradoxuri" din matematică se sparg exact la o astfel de condiție ignorată.

8. Fișa de control a unei rezolvări

Când vrei să validezi o rezolvare — a ta sau a altcuiva — parcurge lista:

Ce se dă și ce se cere? Identifică ipotezele și concluzia; multe erori sunt, de fapt, răspunsuri la altă întrebare.
Domeniul. Există condiții de existență (numitor nenul, radical de ordin par cu expresie pozitivă)? Au fost puse înainte de calcule?
Fiecare pas: implicație sau echivalență? Marchează pașii ireversibili; ei cer verificare la final.
Teoremele aplicate: le sunt îndeplinite ipotezele? Nu aplica o teoremă „pentru că seamănă".
Nu cumva folosesc reciproca? Verifică sensul în care e enunțată fiecare implicație.
Concluzia răspunde la întrebare? Dacă se cereau toate soluțiile, sunt toate? Dacă se cerea o demonstrație, s-a demonstrat sau doar s-a verificat pe cazuri?

Punctul 6 are o legătură directă cu lecția Metoda inducției matematice: principiul dominoului: verificarea pe câteva cazuri particulare nu este o demonstrație pentru toate numerele naturale, oricât de multe cazuri ai verifica. Este exact tipul de „pas nevalid" pe care fișa de control îl prinde la punctul 6.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Este valid raționamentul?

„Dacă un număr se divide cu $10$ , atunci ultima lui cifră este $0$ . Numărul $250$ are ultima cifră $0$ . Deci $250$ se divide cu $10$ ." Este raționamentul valid?

Rezolvare. Structura este: $p \Rightarrow q$ , $q$ adevărată, deci $p$ . Acesta este tiparul greșelii reciprocei — raționamentul, ca formă, nu este valid.

Faptul că, întâmplător, concluzia este adevărată ( $250 = 10 \cdot 25$ ) nu salvează raționamentul: adevărul concluziei vine din altă parte, nu din pașii scriși. Corect ar fi fost să folosim implicația reciprocă, „dacă ultima cifră este $0$ , atunci numărul se divide cu $10$ ", care este și ea adevărată — aici cele două afirmații sunt echivalente, dar acest lucru trebuie spus, nu presupus tacit.

Exemplul 2 — Modus tollens în acțiune

„Dacă $n$ este un număr prim mai mare decât $2$ , atunci $n$ este impar. Numărul $n$ este par. Ce putem concluziona despre $n$ ?"

Rezolvare. Avem $p \Rightarrow q$ , cu $p$ : „ $n$ este prim mai mare decât $2$ " și $q$ : „ $n$ este impar". Ni se dă că $q$ este falsă ( $n$ este par). Prin modus tollens rezultă că $p$ este falsă: $n$ nu este un număr prim mai mare decât $2$ .

Atenție la formularea concluziei: nu am dedus „ $n$ nu e prim" (numărul $2$ este prim și par!), ci exact negația lui $p$ , care înseamnă „ $n$ nu e prim sau $n \leq 2$ ". Negația unei conjuncții este o disjuncție — o aplicație directă a legilor lui De Morgan.

Exemplul 3 — Soluții străine la ridicarea la pătrat

Rezolvați ecuația $x + 5 = x - 1$ , validând fiecare pas.

Rezolvare. Condiții: radicalul cere $x + 5 \geq 0$ , deci $x \geq - 5$ ; în plus, membrul stâng este un radical, deci este pozitiv sau nul, prin urmare este necesar ca $x - 1 \geq 0$ , adică $x \geq 1$ .

Pasul ireversibil: ridicăm la pătrat. Din $x + 5 = x - 1$ rezultă $x + 5 = (x - 1)^{2}$ , dar reciproca nu e garantată, deci vom verifica la final.

$x + 5 = x^{2} - 2 x + 1 ⟺ x^{2} - 3 x - 4 = 0.$

Discriminantul este $Δ = 9 + 16 = 25$ , deci $x_{1, 2} = \frac{3 \pm 5}{2}$ , adică $x_{1} = 4$ și $x_{2} = - 1$ .

Verificarea: pentru $x = 4$ : $4 + 5 = 9 = 3$ și $4 - 1 = 3$ ✓. Pentru $x = - 1$ : $- 1 + 5 = 2$ , dar $- 1 - 1 = - 2$ , iar $2 \neq = - 2$ ✗ (de altfel $- 1 < 1$ , deci nu respectă condiția găsită la început).

Concluzia: ecuația are soluția unică $x = 4$ . Soluția $x = - 1$ este străină: ea a apărut din pasul ireversibil, nu din ecuația inițială.

Exemplul 4 — Soluție pierdută prin simplificare

Un elev rezolvă $x^{2} = 4 x$ astfel: „împart ambii membri prin $x$ și obțin $x = 4$ ". Validați raționamentul.

Rezolvare. Pasul „împart prin $x$ " este permis doar dacă $x \neq = 0$ , iar elevul nu a discutat acest caz. Rezolvarea corectă:

$x^{2} = 4 x ⟺ x^{2} - 4 x = 0 ⟺ x (x - 4) = 0 ⟺ x = 0 sau x = 4.$

Verificare: $0^{2} = 0 = 4 \cdot 0$ ✓ și $4^{2} = 16 = 4 \cdot 4$ ✓. Ecuația are două soluții, iar rezolvarea elevului a pierdut-o pe $x = 0$ .

Reține contrastul cu exemplul precedent: ridicarea la pătrat adaugă soluții false (le prinzi prin verificare), simplificarea printr-o expresie care poate fi nulă pierde soluții adevărate (pe acestea verificarea nu ți le mai aduce înapoi — deci aici trebuie prevenție, nu control).

Exemplul 5 — Găsiți eroarea din lanț

Un elev scrie: „Fie $x$ un număr real cu $x > 3$ . Atunci $x^{2} > 9$ , deci $x^{2} - 9 > 0$ , deci $(x - 3) (x + 3) > 0$ , deci $x - 3 > 0$ și $x + 3 > 0$ ." Este ultimul pas valid?

Rezolvare. Primele trei implicații sunt corecte. Ultimul pas nu este valid ca implicație generală: dintr-un produs strict pozitiv nu rezultă că ambii factori sunt pozitivi — ei pot fi și amândoi negativi. Corect ar fi: $(x - 3) (x + 3) > 0$ dacă și numai dacă ( $x - 3 > 0$ și $x + 3 > 0$ ) sau ( $x - 3 < 0$ și $x + 3 < 0$ ), adică $x > 3$ sau $x < - 3$ .

În cazul de față concluzia elevului se întâmplă să fie adevărată, pentru că ipoteza $x > 3$ o dă direct — dar el a obținut-o printr-un pas nevalid, iar la un examen acel pas ar fi depunctat. Regula: dintr-un raționament greșit poate ieși, întâmplător, o afirmație adevărată; asta nu face raționamentul corect.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2 x + 3 = x$ , precizând la fiecare etapă dacă transformarea este echivalență sau doar implicație.

Rezolvare. Condiții de existență și de compatibilitate: $2 x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - \frac{3}{2}$ ; în plus, membrul stâng este nenegativ, deci trebuie $x \geq 0$ . Reținem condiția $x \geq 0$ .

Etapa 1 (implicație, pas ireversibil). Ridicăm la pătrat:

$2 x + 3 = x ⟹ 2 x + 3 = x^{2} .$

Etapa 2 (echivalențe). Trecem totul într-un membru și rezolvăm ecuația de gradul al doilea:

$x^{2} - 2 x - 3 = 0, Δ = 4 + 12 = 16, x_{1, 2} = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow x_{1} = 3, x_{2} = - 1.$

Etapa 3 (verificarea, obligatorie din cauza etapei 1). Pentru $x = 3$ : $2 \cdot 3 + 3 = 9 = 3$ ✓. Pentru $x = - 1$ : nu respectă condiția $x \geq 0$ ; direct, $2 \cdot (- 1) + 3 = 1 = 1 \neq = - 1$ ✗.

Concluzia: $S = {3}$ .

Notă de barem: la Bacalaureat, punctele se acordă separat pentru condițiile de existență, pentru rezolvarea ecuației de gradul al doilea și pentru eliminarea motivată a soluției străine. O rezolvare care dă „ $x \in {3, - 1}$ " pierde puncte chiar dacă toate calculele sunt corecte — pentru că pasul logic final lipsește.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La exercițiile cu raționamente, nu te mulțumi cu „e greșit": spune care pas e greșit și de ce.

1. Identifică ipotezele și concluzia în raționamentul: „Orice pătrat perfect are un număr impar de divizori. Numărul $36$ este pătrat perfect. Deci $36$ are un număr impar de divizori."

2. Este valid raționamentul: „Dacă $x = 2$ , atunci $x^{2} = 4$ . Știm că $x^{2} = 4$ . Deci $x = 2$ "? Justifică.

3. Este valid raționamentul: „Dacă plouă, mă iau umbrela. Nu m-am luat umbrela. Deci nu plouă"? Cum se numește regula folosită?

4. Completează concluzia, dacă se poate: „Dacă $n$ se divide cu $9$ , atunci $n$ se divide cu $3$ . Numărul $n$ nu se divide cu $3$ . Deci …".

5. Completează concluzia, dacă se poate: „Dacă $n$ se divide cu $9$ , atunci $n$ se divide cu $3$ . Numărul $n$ nu se divide cu $9$ . Deci …".

6. Care dintre pașii următori sunt echivalențe și care doar implicații? a) $x - 3 = 5 \to x = 8$ ; b) $x = 5 \to x^{2} = 25$ ; c) $2 x = 10 \to x = 5$ ; d) $x^{2} = 25 \to x = 5$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă toate calculele dintr-o rezolvare sunt corecte, atunci rezolvarea este corectă."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un raționament conține un pas nevalid, atunci concluzia lui este cu siguranță falsă."

9. Rezolvă ecuația $x + 7 = x - 5$ și indică explicit pasul ireversibil, apoi verifică soluțiile.

10. Un elev rezolvă $x^{2} = 9 x$ simplificând prin $x$ și obține $x = 9$ . Ce soluție a pierdut? Rezolvă corect.

11. Găsește eroarea din raționamentul: „Fie $a = b$ . Atunci $a^{2} = ab$ , deci $a^{2} - b^{2} = ab - b^{2}$ , deci $(a - b) (a + b) = b (a - b)$ , deci $a + b = b$ , deci $2 = 1$ ."

12. Un elev afirmă: „din $\frac{1}{x} < 1$ rezultă $x > 1$ ". Dă un contraexemplu și rezolvă corect inecuația pe mulțimea numerelor reale nenule.

13. (Problemă aplicată.) Regulamentul unui concurs spune: „Cine obține peste $90$ de puncte primește diplomă de excelență." Maria are diplomă de excelență. Poate afirma cineva, doar pe baza regulamentului, că Maria a obținut peste $90$ de puncte? Dar dacă Maria are $85$ de puncte, ce putem spune sigur despre diploma ei? Numește regulile logice folosite în fiecare caz.

14. Scrie contrapoziția afirmației „dacă un patrulater este dreptunghi, atunci diagonalele lui sunt congruente" și explică de ce are aceeași valoare de adevăr cu afirmația inițială.

15. Analizează raționamentul: „Dacă $x > 2$ , atunci $x^{2} > 4$ . Am aflat că $x^{2} > 4$ . Deci $x > 2$ ." Este valid? Dacă nu, dă un contraexemplu concret.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3 x + 1 = x - 1$ , precizând condițiile de existență și verificând soluțiile obținute.

17. Un elev demonstrează: „Fie $n$ un număr natural. Dacă $n^{2}$ este par, atunci $n$ este par. Într-adevăr, $n^{2}$ par înseamnă $n^{2} = 2 k$ ; atunci $n = 2 m$ , deci $n$ e par." Este demonstrația completă? Ce lipsește și cum se repară folosind contrapoziția?

18. (Provocare.) „Demonstrăm" că orice triunghi este isoscel: „Fie triunghiul $A B C$ și fie $M$ mijlocul laturii $B C$ . Atunci $B M = M C$ . Cum $A M$ este latură comună în triunghiurile $A B M$ și $A C M$ , cele două triunghiuri au două laturi respectiv congruente, deci sunt congruente, deci $A B = A C$ ." Găsește pasul nevalid și explică de ce criteriul de congruență nu se poate aplica aici.

Răspunsuri și explicații

1. Ipoteze: (i) „orice pătrat perfect are un număr impar de divizori"; (ii) „ $36$ este pătrat perfect" (adevărat, $36 = 6^{2}$ ). Concluzia: „ $36$ are un număr impar de divizori". Raționamentul este valid (modus ponens) și, în plus, concluzia e adevărată: divizorii lui $36$ sunt $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ — nouă divizori.

2. Nu este valid — este greșeala reciprocei. Din $x^{2} = 4$ rezultă $x = 2$ sau $x = - 2$ ; contraexemplu: $x = - 2$ verifică ipoteza a doua, dar nu concluzia.

3. Este valid; regula se numește modus tollens (din $p \Rightarrow q$ și $\overline{q}$ rezultă $\overline{p}$ ).

4. „… $n$ nu se divide cu $9$ ." Modus tollens: negând concluzia, negăm ipoteza.

5. Nu se poate concluziona nimic despre divizibilitatea cu $3$ . Este greșeala negării ipotezei; contraexemplu: $n = 6$ nu se divide cu $9$ , dar se divide cu $3$ ; $n = 7$ nu se divide nici cu $9$ , nici cu $3$ .

6. a) echivalență (adunăm $3$ în ambii membri); b) doar implicație (ridicarea la pătrat merge doar în acest sens: din $x = 5$ rezultă $x^{2} = 25$ , dar nu invers); c) echivalență (împărțire prin $2 \neq = 0$ ); d) nu este nici măcar implicație adevărată: pentru $x = - 5$ ipoteza $x^{2} = 25$ este adevărată, iar concluzia $x = 5$ este falsă. Scrierea corectă este $x^{2} = 25 \Leftrightarrow x = 5$ sau $x = - 5$ .

7. Fals. O rezolvare poate avea toate calculele corecte și totuși un pas logic nevalid: ridicare la pătrat fără verificare, simplificare printr-o expresie nulă, folosirea reciprocei unei implicații. Exemplul 3 al lecției este exact acest caz.

8. Fals. Un pas nevalid nu face concluzia falsă, ci nedemonstrată. Exemplul 5 arată o concluzie adevărată obținută printr-un pas nevalid; și Exemplul 1 duce la o afirmație adevărată printr-un raționament greșit.

9. Condiții: $x + 7 \geq 0$ și $x - 5 \geq 0$ , deci $x \geq 5$ . Pasul ireversibil este ridicarea la pătrat: $x + 7 = x^{2} - 10 x + 25 \Leftrightarrow x^{2} - 11 x + 18 = 0$ , cu $Δ = 121 - 72 = 49$ , deci $x_{1, 2} = \frac{11 \pm 7}{2}$ , adică $x_{1} = 9$ și $x_{2} = 2$ . Verificare: $x = 9$ dă $16 = 4 = 9 - 5$ ✓; $x = 2$ dă $9 = 3$ , dar $2 - 5 = - 3$ ✗ (și $2 < 5$ ). Soluția: $x = 9$ .

10. A pierdut soluția $x = 0$ . Corect: $x^{2} - 9 x = 0 \Leftrightarrow x (x - 9) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ sau $x = 9$ ; ambele verifică ecuația ( $0 = 0$ și $81 = 81$ ).

11. Eroarea este la simplificarea prin $a - b$ : din ipoteza $a = b$ avem $a - b = 0$ , deci s-a împărțit la zero, ceea ce nu este permis. Toate celelalte egalități sunt corecte — de aceea „paradoxul" pare convingător.

12. Contraexemplu: $x = - 2$ dă $\frac{1}{- 2} = - 0, 5 < 1$ , dar $- 2 > 1$ este fals. Rezolvare corectă, pe cazuri: dacă $x > 0$ , înmulțind cu $x$ (pozitiv) obținem $1 < x$ ; dacă $x < 0$ , membrul stâng este negativ, deci inegalitatea este mereu adevărată. Soluția: $x \in (- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ .

13. Din „peste $90$ de puncte $\Rightarrow$ diplomă" și „Maria are diplomă" nu rezultă că a avut peste $90$ (greșeala reciprocei): regulamentul nu spune că diploma se dă numai așa. Dacă Maria are $85$ de puncte, tot nu putem afirma că nu are diplomă (negarea ipotezei nu dă nimic). În schimb, dacă am ști că Maria nu are diplomă, atunci prin modus tollens am deduce sigur că nu a obținut peste $90$ de puncte.

14. Contrapoziția: „dacă diagonalele unui patrulater nu sunt congruente, atunci patrulaterul nu este dreptunghi". Are aceeași valoare de adevăr pentru că $p \Rightarrow q$ și $\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$ au tabele de adevăr identice — ambele sunt false doar în cazul $p$ adevărată și $q$ falsă.

15. Nu este valid (greșeala reciprocei). Contraexemplu: $x = - 3$ dă $x^{2} = 9 > 4$ , dar $- 3 > 2$ este fals. Afirmația corectă obținută din $x^{2} > 4$ este $x > 2$ sau $x < - 2$ .

16. Condiții: $3 x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{3}$ și $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$ ; reținem $x \geq 1$ . Ridicăm la pătrat (pas ireversibil): $3 x + 1 = x^{2} - 2 x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x = 0 \Leftrightarrow x (x - 5) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x = 5$ . Verificare: $x = 0$ nu respectă $x \geq 1$ (direct: $1 = 1 \neq = - 1$ ) ✗; $x = 5$ dă $16 = 4 = 5 - 1$ ✓. Soluția: $S = {5}$ .

17. Demonstrația nu este completă: din $n^{2} = 2 k$ nu rezultă direct că $n = 2 m$ — exact asta era de arătat, deci elevul a presupus concluzia. Repararea corectă folosește contrapoziția: arătăm că „dacă $n$ este impar, atunci $n^{2}$ este impar". Într-adevăr, dacă $n = 2 m + 1$ , atunci $n^{2} = 4 m^{2} + 4 m + 1 = 2 (2 m^{2} + 2 m) + 1$ , număr impar. Cum $p \Rightarrow q$ și $\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$ sunt echivalente, rezultă afirmația cerută.

18. Pasul nevalid este „două laturi respectiv congruente $\Rightarrow$ triunghiuri congruente". Criteriul corect (latură-unghi-latură) cere unghiul cuprins între cele două laturi să fie congruent, iar unghiurile $A M B$ și $A M C$ nu sunt congruente decât dacă $A M ⊥ B C$ — adică tocmai în cazul în care triunghiul chiar este isoscel. Am folosit „ceva care seamănă cu o teoremă" fără să verificăm ipotezele ei: exact eroarea de la punctul 4 al fișei de control.

De reținut

Un raționament valid este un lanț de implicații adevărate: dacă ipotezele sunt adevărate și fiecare pas este valid, concluzia este obligatoriu adevărată.
Modus ponens (din $p$ și $p \Rightarrow q$ deduc $q$ ) și modus tollens (din $\overline{q}$ și $p \Rightarrow q$ deduc $\overline{p}$ ) sunt regulile corecte; greșeala reciprocei (din $q$ și $p \Rightarrow q$ deduc $p$ ) și negarea ipotezei (din $\overline{p}$ deduc $\overline{q}$ ) sunt nevalide.
În rezolvări, distinge pașii reversibili (echivalențe) de cei ireversibili: ridicarea la pătrat poate adăuga soluții străine, simplificarea printr-o expresie nulă poate pierde soluții.
Verificarea în ecuația inițială este obligatorie ori de câte ori ai făcut un pas ireversibil — la Bacalaureat, ea aduce puncte separate în barem.
Un pas nevalid nu face concluzia falsă, ci nedemonstrată; iar un rezultat corect obținut prin pași greșiți rămâne, la corectură, o rezolvare greșită.

Greșeli frecvente

Folosirea reciprocei fără drept. „Dacă $x = 2$ , atunci $x^{2} = 4$ " nu îți dă voie să deduci $x = 2$ din $x^{2} = 4$ . Verifică mereu în ce sens a fost enunțată implicația.
Ridicarea la pătrat fără verificare. Pasul este ireversibil; soluțiile străine intră tăcut în rezolvare și ies doar prin verificarea în ecuația inițială.
Simplificarea printr-o expresie care poate fi zero. Împărțind prin $x$ , prin $a - b$ sau prin orice expresie ce se poate anula, pierzi soluții sau „demonstrezi" absurdități de tipul $1 = 2$ .
Aplicarea unei teoreme fără verificarea ipotezelor. Criteriile de congruență, condițiile de existență ale radicalilor, numitorii nenuli — toate trebuie verificate explicit, nu presupuse.
Confuzia dintre a verifica și a demonstra. Câteva cazuri particulare care ies bine nu demonstrează un enunț general; ele doar sugerează. Pentru „pentru orice $n$ " e nevoie de demonstrație — de exemplu prin inducție.

Aplică acasă

Detectivul de reclame. Găsește o afirmație de tip „dacă…, atunci…" într-o reclamă, într-un regulament sau într-un contract (garanții, abonamente). Scrie reciproca și contrapoziția ei și decide care dintre ele este, de fapt, adevărată. Vei observa că multe reclame se bazează pe faptul că oamenii citesc reciproca.
Corector pentru o zi. Ia un test sau o temă corectată și alege un exercițiu la care ai greșit. Scrie rezolvarea pas cu pas și marchează în dreptul fiecărui pas „echivalență" sau „implicație". Vezi dacă greșeala a fost de calcul sau de logică — statistica ta personală te va surprinde.
Ecuațiile cu capcană. Rezolvă acasă trei ecuații de forma $a x + b = x + c$ inventate de tine, alegând numerele astfel încât discriminantul să fie pătrat perfect. Notează de fiecare dată câte soluții străine au apărut. Vei vedea că ele apar exact când membrul drept devine negativ.

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde direct competenței IX.CS.6.1 din programă — „determinarea, din punct de vedere logic, a corectitudinii pașilor unui raționament" — și este, în practică, lecția care schimbă cel mai mult calitatea rezolvărilor unui elev de liceu. Aici se face trecerea de la „am calculat corect" la „am demonstrat corect", distincție care decide punctajul la Bacalaureat mult mai des decât o eroare de aritmetică.

Cele mai frecvente tipare de eroare pe care le verifică lecția sunt: folosirea reciprocei unei implicații ca și cum ar fi implicația însăși; ridicarea la pătrat fără verificarea soluțiilor; simplificarea printr-o expresie care se poate anula; aplicarea unei teoreme fără ipotezele ei. Întrebări bune de control: „Pasul acesta merge și invers?"; „De unde știi că numitorul nu e zero?"; „Ce ar trebui să fie fals ca acest pas să fie greșit?". Un semn clar că elevul a înțeles: la ecuații cu radicali face verificarea din proprie inițiativă și poate spune de ce este necesară.

La proba de Bacalaureat, validarea pașilor apare implicit peste tot — la ecuații iraționale, la inecuații cu numitor, la probleme de geometrie unde se cere justificarea unui criteriu. Baremele acordă puncte separate pentru condițiile de existență și pentru eliminarea motivată a soluțiilor străine. Un elev care își verifică rezolvarea după cele șase puncte ale fișei de control din lecție pierde foarte rar aceste puncte.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că un raționament este valid? Înseamnă că fiecare pas este o implicație adevărată, deci concluzia rezultă cu necesitate din ipoteze. Validitatea privește legăturile dintre propoziții, nu adevărul lor: dintr-o ipoteză falsă se poate ajunge valid la o concluzie falsă, dar din ipoteze adevărate și pași valizi nu poți ajunge niciodată la o concluzie falsă.

Ce este greșeala reciprocei și cum o recunosc? Este folosirea unei implicații „de la dreapta la stânga": din $p \Rightarrow q$ și din faptul că $q$ e adevărată, se conchide greșit că $p$ e adevărată. O recunoști întrebând: implicația a fost enunțată chiar în sensul în care o folosesc? Exemplul clasic: „dacă plouă, asfaltul e ud; asfaltul e ud, deci plouă" — fals, poate a trecut mașina de spălat.

Ce este modus tollens? Este regula validă care spune: dacă $p \Rightarrow q$ și $q$ este falsă, atunci $p$ este falsă. Practic, negi concluzia și obții negarea ipotezei. Este forma logică folosită în demonstrațiile prin reducere la absurd și în contrapoziție.

De ce apar soluții străine când ridic la pătrat? Pentru că ridicarea la pătrat nu este reversibilă: din $a = b$ rezultă $a^{2} = b^{2}$ , dar din $a^{2} = b^{2}$ rezultă doar că $a = b$ sau $a = - b$ . Ecuația obținută are, deci, cel puțin tot atâtea soluții ca cea inițială, uneori mai multe. De aceea verificarea în ecuația inițială face parte din rezolvare.

Când am voie să simplific o ecuație prin $x$ ? Numai când ai stabilit că $x \neq = 0$ . Altfel pierzi soluția $x = 0$ : din $x^{2} = 4 x$ , simplificând prin $x$ , rămâi cu $x = 4$ și ratezi $x = 0$ . Metoda sigură este să treci totul într-un membru și să dai factor comun.

Dacă rezultatul final e corect, mai contează că un pas a fost greșit? Da. Un raționament cu un pas nevalid nu demonstrează nimic, chiar dacă întâmplător ajunge la un rezultat adevărat, iar la corectură pasul greșit se depunctează. În matematică se evaluează drumul, nu doar destinația.

Cum verific rapid o rezolvare proprie? Parcurge fișa de control: ce se dă și ce se cere; condițiile de existență; fiecare pas — echivalență sau implicație; ipotezele teoremelor folosite; nu cumva folosesc reciproca; răspunde concluzia la întrebarea pusă. Doar câteva minute, dar prind majoritatea erorilor de logică.

Ce legătură are lecția cu demonstrațiile de mai târziu? Este baza lor. Reducerea la absurd folosește modus tollens, inducția matematică este un lanț infinit de implicații corecte, iar demonstrațiile prin contrapoziție se sprijină pe echivalența dintre $p \Rightarrow q$ și $\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$ . Cine validează corect pașii poate citi și scrie orice demonstrație de liceu.