Evaluare sumativă — clasa a XI-a (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Determinantul matricei $A=\left(\begin{array}{cc}9& 4\\ 6& 5\end{array}\right)$ este egal cu: A. $24$; B. $21$; C. $69$; D. $-21$.

b) Valoarea limitei $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x^2-x}{2x^2+7}$ este egală cu: A. $0$; B. $\frac{2}{5}$; C. $\frac{5}{2}$; D. $+\infty$.

c) Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5-4x$, valoarea $f^{\prime }(1)$ este egală cu: A. $-3$; B. $5$; C. $1$; D. $0$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 3& 5\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$. a) Calculează $A+2B$. (2 p) b) Calculează produsul $AB$. (2 p) c) Calculează $\det A$ și precizează dacă matricea $A$ este inversabilă. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Calculează limitele (câte 2 puncte): a) $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x^2-2x-15}{x-5}$; b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+5}}{2x+1}$; c) $\underset{x\to 3,x>3}{\lim }\frac{2x+5}{x-3}$.

Exercițiul 4 (6 puncte)

Calculează derivatele (câte 2 puncte): a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-6x^2+2x$; scrie $f^{\prime }(x)$ și calculează $f^{\prime }(1)$; b) $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x+3}{x^2+2}$; c) $h:\left(-\frac{3}{8},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $h(x)=\sqrt{8x+3}$.

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (30 de puncte)

Exercițiul 5 (6 puncte)

a) Determină numărul real $a$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+a$ pentru $x\le 2$ și $f(x)=x^2+5$ pentru $x>2$, este continuă pe $\mathbb{R}$. (2 p) b) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{8x^3+x}{3x^3-5}$ și scrie ecuația asimptotei orizontale a graficului acestei funcții. (2 p) c) Funcția $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este dată prin $h(x)=\frac{x^2-5x}{x-5}$ pentru $x\ne 5$ și $h(5)=3$. Arată că $h$ nu este continuă în $5$. (2 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

a) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}11& 8\\ 4& 3\end{array}\right)$. Calculează $\det A$ și determină $A^{-1}$. (3 p) b) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,1)$, $B(6,3)$ și $C(4,9)$. Calculează aria triunghiului $ABC$, folosind un determinant. (3 p) c) Arată, tot cu un determinant, că punctele $D(1,-1)$, $E(3,5)$ și $F(5,11)$ sunt coliniare. (2 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-6x^2-18x+20$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=6(x+1)(x-3)$, $x\in \mathbb{R}$. (2 p) b) Determină intervalele de monotonie și punctele de extrem ale graficului funcției $f$. (3 p) c) Determină intervalele de convexitate și punctul de inflexiune al graficului. (3 p)

Exercițiul 8 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-8x+25$. a) Calculează $f^{\prime }(x)$ și scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=8$. (3 p) b) Scrie ecuația normalei la grafic în același punct. (2 p) c) Pentru funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{x^2-8x+25}$, calculează $g^{\prime }(x)$ și $g^{\prime }(8)$. (3 p)

Partea a III-a – Probleme și itemi de tip Bacalaureat M2 (36 de puncte)

Exercițiul 9 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}4x+3y=26\\ 2x+7y=24\end{array}$ a) Calculați determinantul principal al sistemului și arătați că sistemul este de tip Cramer. (2 p) b) Calculați determinanții auxiliari ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$. (2 p) c) Scrieți soluția sistemului și verificați-o în ambele ecuații. (2 p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x^2-x}{x+2}$. a) Calculează limitele laterale ale funcției în $-2$ și scrie ecuația asimptotei verticale. (3 p) b) Arată că $f(x)=3x-7+\frac{14}{x+2}$ și scrie ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$. (3 p) c) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}$. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Consumul orar de combustibil al unei bărci de cercetare, în litri pe oră, depinde de viteză după legea $q(v)=0,5v^2-6v+32$, unde $v$ este viteza în noduri, $v\in [2,14]$. a) Calculează $q^{\prime }(v)$ și determină viteza la care consumul orar este cel mai mic, precizând valoarea lui. (3 p) b) Consumul pe fiecare milă parcursă este $p(v)=\frac{q(v)}{v}$. Arată că $p(v)=0,5v-6+\frac{32}{v}$ și determină viteza la care el este cel mai mic, precizând valoarea lui. (4 p) c) Compară cele două viteze și explică, într-o propoziție, de ce nu coincid. (1 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2\ln x-\frac{1}{2}$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{3x^3+2}{x}$, $x\in (0,+\infty )$, și că funcția $f$ este strict crescătoare. (3 p) b) Arătați că ecuația $f(x)=0$ are exact o soluție reală și că ea se află în intervalul $\left(\frac{1}{2},1\right)$. (3 p) c) Scrieți ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $f$ și justificați-o. (2 p)

Exercițiul 13 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Cerințele de mai jos sunt scurte, în forma cerințelor de examen: fiecare se redactează în câteva rânduri (câte 2 puncte). a) Calculați $\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 0\\ 1& 4& 2\\ 0& 1& 3\end{array}\right|$. b) Determinați punctul de inflexiune al graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-3x^2+7$. c) Determinați ecuațiile asimptotelor graficului funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{7\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{6x+1}{x-7}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B — $\det A=9\cdot 5-4\cdot 6=45-24=21$. Varianta C adună produsele în loc să le scadă. b) C — gradele fiind egale, limita este câtul coeficienților dominanți, $\frac{5}{2}$. Varianta B răstoarnă raportul. c) C — $f^{\prime }(x)=5x^4-4$, deci $f^{\prime }(1)=5-4=1$. Varianta B uită să deriveze termenul $-4x$, iar A este chiar valoarea $f(1)=1-4=-3$, nu a derivatei.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $2B=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ -2& 4\end{array}\right)$ (1 p), deci $A+2B=\left(\begin{array}{cc}12& -1\\ 1& 9\end{array}\right)$ (1 p). b) (2 p) Fiecare element al produsului este suma produselor dintre o linie a lui $A$ și o coloană a lui $B$: $$AB=\left(\begin{array}{cc}16+1& 0-2\\ 12-5& 0+10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}17& -2\\ 7& 10\end{array}\right).$$ c) (2 p) $\det A=4\cdot 5-(-1)\cdot 3=20+3=23\ne 0$ (1 p), deci matricea $A$ este inversabilă (1 p).

Exercițiul 3. (6 p) — câte 2 puncte. a) Numărătorul se descompune: $x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$, deci raportul se simplifică prin $x-5$ și limita este $5+3=8$. b) Scoatem $x$ factor forțat la numărător și la numitor: $\frac{\sqrt{9x^2+5}}{2x+1}=\frac{x\sqrt{9+\frac{5}{x^2}}}{x\left(2+\frac{1}{x}\right)}$, pentru $x>0$; limita este $\frac{\sqrt{9}}{2}=\frac{3}{2}$. c) Numărătorul tinde la $2\cdot 3+5=11>0$, iar numitorul tinde la $0$ prin valori pozitive, deci limita este $+\infty$.

Exercițiul 4. (6 p) — câte 2 puncte. a) $f^{\prime }(x)=4x^3-12x+2$ (1 p), deci $f^{\prime }(1)=4-12+2=-6$ (1 p). b) Cu regula câtului, $g^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \left(x^2+2\right)-(x+3)\cdot 2x}{{\left(x^2+2\right)}^2}=\frac{x^2+2-2x^2-6x}{{\left(x^2+2\right)}^2}=\frac{-x^2-6x+2}{{\left(x^2+2\right)}^2}$. c) Cu regula lanțului, $h^{\prime }(x)=\frac{(8x+3{)}^{\prime }}{2\sqrt{8x+3}}=\frac{8}{2\sqrt{8x+3}}=\frac{4}{\sqrt{8x+3}}$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Pe fiecare ramură funcția este continuă, fiind polinomială; singurul punct de verificat este $2$. Limita la stânga și valoarea funcției sunt $3\cdot 2+a=6+a$, iar limita la dreapta este $2^2+5=9$ (1 p). Continuitatea cere $6+a=9$, deci $a=3$ (1 p). b) (2 p) Gradele fiind egale, limita este câtul coeficienților dominanți, $\frac{8}{3}$ (1 p); dreapta $y=\frac{8}{3}$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ (1 p). c) (2 p) Pentru $x\ne 5$ avem $h(x)=\frac{x(x-5)}{x-5}=x$, deci $\underset{x\to 5}{\lim }h(x)=5$ (1 p). Cum $h(5)=3\ne 5$, limita nu coincide cu valoarea funcției, deci $h$ nu este continuă în $5$ (1 p).

Exercițiul 6. (8 p) a) (3 p) $\det A=11\cdot 3-8\cdot 4=33-32=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă (1 p). Cum determinantul este $1$, inversa este chiar matricea obținută schimbând între ele elementele diagonalei principale și schimbând semnele celeilalte diagonale (1 p): $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -8\\ -4& 11\end{array}\right)$$ (1 p). b) (3 p) Scriem determinantul cu coordonatele vârfurilor și cu o coloană de $1$: $$d=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 6& 3& 1\\ 4& 9& 1\end{array}\right|=(2\cdot 3\cdot 1+1\cdot 1\cdot 4+1\cdot 6\cdot 9)-(4\cdot 3\cdot 1+9\cdot 1\cdot 2+1\cdot 6\cdot 1)=(6+4+54)-(12+18+6)=64-36=28$$ (2 p). Aria este jumătate din modulul lui: $\mathcal{S}=\frac{|28|}{2}=14$ (1 p). c) (2 p) $\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 3& 5& 1\\ 5& 11& 1\end{array}\right|=(1\cdot 5\cdot 1+(-1)\cdot 1\cdot 5+1\cdot 3\cdot 11)-(5\cdot 5\cdot 1+11\cdot 1\cdot 1+1\cdot 3\cdot (-1))=(5-5+33)-(25+11-3)=33-33=0$ (1 p). Determinantul fiind nul, punctele $D$, $E$ și $F$ sunt coliniare (1 p).

Exercițiul 7. (8 p) a) (2 p) $f^{\prime }(x)=6x^2-12x-18=6\left(x^2-2x-3\right)=6(x+1)(x-3)$, ceea ce trebuia arătat. b) (3 p) Derivata se anulează în $-1$ și în $3$, iar semnul ei este plus pe $(-\infty ,-1)$, minus pe $(-1,3)$ și plus pe $(3,+\infty )$ (1 p). Funcția crește pe $(-\infty ,-1)$, scade pe $(-1,3)$ și crește pe $(3,+\infty )$ (1 p). Punctul de maxim local este $(-1,30)$, fiindcă $f(-1)=-2-6+18+20=30$, iar punctul de minim local este $(3,-34)$, fiindcă $f(3)=54-54-54+20=-34$ (1 p). c) (3 p) $f^{\prime \prime }(x)=12x-12$, negativă pe $(-\infty ,1)$ și pozitivă pe $(1,+\infty )$ (1 p), deci funcția este concavă pe $(-\infty ,1)$ și convexă pe $(1,+\infty )$ (1 p). Cum $f(1)=2-6-18+20=-2$, punctul de inflexiune este $(1,-2)$ (1 p).

Exercițiul 8. (8 p) a) (3 p) $f^{\prime }(x)=2x-8$ (1 p). În punctul de abscisă $8$ avem $f(8)=64-64+25=25$ și $f^{\prime }(8)=16-8=8$ (1 p). Tangenta are ecuația $y-25=8(x-8)$, adică $y=8x-39$ (1 p). b) (2 p) Normala trece prin același punct și are panta $-\frac{1}{f^{\prime }(8)}=-\frac{1}{8}$ (1 p), deci ecuația ei este $y-25=-\frac{1}{8}(x-8)$, adică $y=-\frac{1}{8}x+26$ (1 p). c) (3 p) Expresia de sub radical este $x^2-8x+25=(x-4{)}^2+9>0$ pentru orice $x$ real, deci $g$ este definită pe $\mathbb{R}$ (1 p). Cu regula lanțului, $$g^{\prime }(x)=\frac{2x-8}{2\sqrt{x^2-8x+25}}=\frac{x-4}{\sqrt{x^2-8x+25}}$$ (1 p), iar $g^{\prime }(8)=\frac{4}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}$ (1 p).

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) $\Delta =\left|\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 7\end{array}\right|=28-6=22$ (1 p). Sistemul are două ecuații și două necunoscute, iar $\Delta =22\ne 0$, deci este de tip Cramer și are soluție unică (1 p). b) (2 p) Fiecare auxiliar se obține din tabloul lui $\Delta$, înlocuind o singură coloană cu coloana termenilor liberi: $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}26& 3\\ 24& 7\end{array}\right|=182-72=110,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}4& 26\\ 2& 24\end{array}\right|=96-52=44.$$ c) (2 p) $x=\frac{110}{22}=5$ și $y=\frac{44}{22}=2$ (1 p). Verificare în ambele ecuații: $4\cdot 5+3\cdot 2=20+6=26$ și $2\cdot 5+7\cdot 2=10+14=24$ — amândouă se potrivesc, deci soluția este $(5,2)$ (1 p).

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) În $-2$ numărătorul valorează $3\cdot 4+2=14\ne 0$, iar numitorul se anulează (1 p). La stânga lui $-2$ numitorul este negativ, deci $\underset{x\to -2,x<-2}{\lim }f(x)=-\infty$; la dreapta el este pozitiv, deci $\underset{x\to -2,x>-2}{\lim }f(x)=+\infty$ (1 p). Dreapta $x=-2$ este asimptotă verticală, bilaterală (1 p). b) (3 p) Împărțim cu rest: $(x+2)(3x-7)=3x^2-x-14$, deci $3x^2-x=(x+2)(3x-7)+14$ (1 p) și, după împărțirea prin $x+2$, $f(x)=3x-7+\frac{14}{x+2}$ (1 p). Fracția rămasă tinde la $0$ la $+\infty$, deci dreapta $y=3x-7$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ (1 p). c) (2 p) $\frac{f(x)}{x}=\frac{3x^2-x}{x(x+2)}=\frac{x(3x-1)}{x(x+2)}=\frac{3x-1}{x+2}$ pentru $x\ne 0$ (1 p), deci limita în $0$ este $\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$ (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) $q^{\prime }(v)=v-6$ (1 p), negativă pentru $v<6$ și pozitivă pentru $v>6$, deci consumul orar scade până la $6$ noduri și crește după (1 p). Cel mai mic consum orar se atinge la viteza de $6$ noduri și este $q(6)=18-36+32=14$ litri pe oră (1 p). b) (4 p) Împărțim fiecare termen prin $v$: $p(v)=\frac{0,5v^2-6v+32}{v}=0,5v-6+\frac{32}{v}$ (1 p). Derivăm: $p^{\prime }(v)=0,5-\frac{32}{v^2}$ (1 p), care se anulează pentru $v^2=64$, adică $v=8$ noduri, valoare din intervalul dat; derivata este negativă înainte și pozitivă după, deci acolo se află minimul (1 p). Consumul minim pe milă este $p(8)=4-6+4=2$ litri pe milă (1 p). c) (1 p) Vitezele nu coincid: $6$ noduri pentru consumul pe oră, $8$ noduri pentru consumul pe milă. La $6$ noduri barca arde mai puțin în fiecare oră, dar înaintează mai încet, așa că fiecare milă o costă mai mult combustibil decât la $8$ noduri.

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) $f^{\prime }(x)=3x^2+\frac{2}{x}=\frac{3x^3+2}{x}$ (2 p). Pe $(0,+\infty )$ atât numărătorul, cât și numitorul sunt strict pozitivi, deci $f^{\prime }(x)>0$ și funcția este strict crescătoare (1 p). b) (3 p) Funcția este sumă de funcții continue pe $(0,+\infty )$, deci este continuă pe $\left[\frac{1}{2},1\right]$ (1 p). Avem $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{8}-2\ln 2-\frac{1}{2}=-\frac{3}{8}-2\ln 2<0$, fiindcă $\ln 2>0$, și $f(1)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0$ (1 p). Conform proprietății lui Darboux, ecuația are cel puțin o soluție în $\left(\frac{1}{2},1\right)$. Stricta creștere demonstrată la a) arată că funcția nu poate lua valoarea $0$ de două ori, deci soluția este unică pe tot domeniul (1 p). c) (2 p) Când $x\to 0$ prin valori pozitive, $x^3\to 0$ și $\ln x\to -\infty$, deci $f(x)\to -\infty$ (1 p). Prin urmare dreapta $x=0$, adică axa $Oy$, este asimptotă verticală la graficul funcției $f$ (1 p).

Exercițiul 13. (6 p) — câte 2 puncte. a) Cu regula lui Sarrus, $$\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 0\\ 1& 4& 2\\ 0& 1& 3\end{array}\right|=(2\cdot 4\cdot 3+3\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 1)-(0\cdot 4\cdot 0+1\cdot 2\cdot 2+3\cdot 1\cdot 3)=(24+0+0)-(0+4+9)=24-13=11.$$ b) $f^{\prime }(x)=6x^2-6x$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x-6$, care se anulează în $x=\frac{1}{2}$ și își schimbă semnul acolo. Cum $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}+7=\frac{13}{2}$, punctul de inflexiune este $\left(\frac{1}{2},\frac{13}{2}\right)$. c) Numitorul se anulează în $7$, unde numărătorul valorează $43\ne 0$, deci dreapta $x=7$ este asimptotă verticală. Gradele numărătorului și numitorului fiind egale, asimptota spre $\pm \infty$ este orizontala dată de câtul coeficienților dominanți, $y=6$.

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de sfârșit de an a traseului de științe ale naturii (M2) al clasei a XI-a. Ea trece prin toate cele cinci unități ale anului — matricele și determinanții, limitele de funcții și continuitatea, derivabilitatea, aplicațiile derivatelor în studiul funcțiilor — și, la final, prin temele suplimentului pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Nu urmărește exerciții exotice: verifică dacă elevul recunoaște tipul de problemă, alege instrumentul potrivit și își redactează raționamentul. Ultimii itemi sunt scriși în stilul probei de examen, ca elevul să vadă cum arată materia anului atunci când e cerută pe subiecte, nu pe capitole.

Harta materiei acoperite. Punctajele urmează ponderea unităților din traseul clasei ($53$ de pași de parcurs), cu o singură abatere declarată: suplimentul primește $14$ puncte în loc de cele $12$ care i s-ar cuveni după numărul de lecții, fiindcă el este materie de examen pentru generația care dă Bacalaureatul M2 în $2027$–$2029$.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute. Fiind o probă de an întreg, ea cere mai mult decât o oră de curs; orientativ, $20$ de minute pentru Partea I, $35$ pentru Partea a II-a și $35$ pentru Partea a III-a. Dacă orarul nu permite o oră și jumătate, proba se poate da în două reprize — Partea I cu Partea a II-a într-o oră ($54$ de puncte), Partea a III-a în ora următoare ($36$ de puncte) —, iar oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
• Materiale: foaie de matematică, riglă, creion. Fără calculator — toate determinantele, limitele și derivatele au fost alese ca rezultatele să iasă exacte, iar valorile cu $\mathrm{e}$ și $\ln$ se lasă în formă simbolică.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La cerințele de existență a unei soluții se scriu toți cei trei pași: continuitatea justificată, valorile de la capete cu semnul lor, concluzia pe intervalul deschis. Rezultatele aplicative se scriu cu unitatea de măsură.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine, anul e stăpânit integral; 75–89 p = bine, de reluat în vacanță doar capitolul cu cele mai multe puncte pierdute; 60–74 p = satisfăcător, exercițiile standard ies, cele care combină două capitole încă nu; sub 60 p = se reia anul unitate cu unitate, cu câte un test scurt după fiecare.
• Formule de reținut, pe unități: matrice — la $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ determinantul este $ad-bc$, iar inversa, când el e nenul, este $\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$; determinantul de ordinul $3$ se calculează cu regula lui Sarrus; aria triunghiului cu vârfurile $A$, $B$, $C$ este $\mathcal{S}=\frac{|d|}{2}$, unde $d$ este determinantul cu liniile $(x_A,y_A,1)$, $(x_B,y_B,1)$, $(x_C,y_C,1)$, iar trei puncte sunt coliniare când $d=0$; limite — la un raport de polinoame de același grad, limita la infinit este câtul coeficienților dominanți; o funcție definită pe ramuri este continuă în punctul de lipire când cele două limite laterale și valoarea funcției coincid; derivate — ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, ${\left({\mathrm{e}}^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{\mathrm{e}}^u$, $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; tangenta în $x_0$ are ecuația $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, iar normala are panta $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$; studiul funcțiilor — semnul lui $f^{\prime }$ dă monotonia și extremele, semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă convexitatea și inflexiunile; supliment — regula lui Cramer dă $x=\frac{{\Delta }_1}{\Delta }$, $y=\frac{{\Delta }_2}{\Delta }$ când $\Delta \ne 0$, iar proprietatea lui Darboux dă cel puțin o soluție a ecuației $f(x)=0$ în $(a,b)$ când $f$ e continuă pe $[a,b]$ și $f(a)\cdot f(b)<0$.
• Programa și examenul. Evaluarea urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a XI-a din 2028–2029; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) temele ei se împart între domeniul Algebră (matricele, determinanții, sistemele) și domeniul Analiză matematică (limitele, continuitatea, derivatele și studiul funcțiilor). Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde materia clasei a XI-a se evaluează la Subiectul al II-lea, prima problemă, pentru calculul matriceal și sistemele liniare, și la Subiectul al III-lea pentru analiza matematică. Pentru ei, evaluarea cuprinde și temele suplimentului — ecuațiile matriceale, forma matriceală a unui sistem, metoda lui Cramer, proprietatea lui Darboux și reprezentarea grafică a funcțiilor —, cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), dar care nu mai figurează în programa nouă a clasei. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".