Simulare de Bacalaureat M2 — clasa a XII-a (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Pregătire pentru Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Subiectul I

Cele șase cerințe de mai jos sunt independente: fiecare are datele ei complete, iar rezultatul uneia nu intră în rezolvarea alteia.

Exercițiul 1 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră numărul complex $z=7+3i$. Arătați că $z\cdot \overline{z}-z-\overline{z}=44$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+11$, și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=6-x$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=a+g(2)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_5(x+11)=1+{\log }_5(x-1)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $A=\{20,21,22,\dots ,40\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să fie număr prim.

Exercițiul 5 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-4,5)$, $B(1,3)$ și $C(7,-5)$. Arătați că distanța de la punctul $A$ la mijlocul $M$ al segmentului $[BC]$ este egală cu $10$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$, în care $AB=7$, $AC=15$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Arătați că $BC=13$.

Partea a II-a – Subiectul al II-lea

Problema 1. Se consideră sistemul de ecuații liniare $\{\begin{array}{l}x+2y-z=-1\\ 3x-y+2z=9\\ 4x+y+mz=7\end{array}$, unde $m$ este număr real, și matricea $A(m)$ a acestui sistem. Cerințele lui sunt itemii 7, 8 și 9.

Exercițiul 7 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\det (A(0))=7$.

Exercițiul 8 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Rezolvați sistemul pentru $m=0$.

Exercițiul 9 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Determinați numărul real $m$ pentru care matricea $A(m)$ nu este inversabilă.

Problema 2. Pe mulțimea numerelor reale strict pozitive se consideră legea de compoziție $x\ast y=\frac{xy}{3}$. Cerințele ei sunt itemii 10, 11 și 12.

Exercițiul 10 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Arătați că $(x\ast y)\ast z=\frac{xyz}{9}$, pentru orice numere reale strict pozitive $x$, $y$ și $z$.

Exercițiul 11 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Determinați numărul real strict pozitiv $x$ pentru care $x\ast x=27$.

Exercițiul 12 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Demonstrați că $x\ast \frac{9}{x}=3$, pentru orice număr real strict pozitiv $x$.

Partea a III-a – Subiectul al III-lea

Problema 1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2-8\right)e^x$. Cerințele ei sunt itemii 13, 14 și 15.

Exercițiul 13 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2+2x-8\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

Exercițiul 14 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)+8}{x}=-8$.

Exercițiul 15 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Demonstrați că $f(x)\ge -4e^2$, pentru orice număr real $x$.

Problema 2. Se consideră funcția $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{6x+1}$. Cerințele ei sunt itemii 16, 17 și 18.

Exercițiul 16 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\int }_0^4{\left(f(x)\right)}^{2}dx=52$.

Exercițiul 17 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\int }_0^{4}f(x)dx=\frac{124}{9}$.

Exercițiul 18 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Determinați numărul real $a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $f$ este egal cu $\frac{a\pi }{3}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cele 18 cerințe + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (5 p) Conjugatul este $\overline{z}=7-3i$ (1 p). Produsul se calculează cu $i^2=-1$: $z\cdot \overline{z}=(7+3i)(7-3i)=49-(3i{)}^2=49+9=58$ (2 p). Suma este $z+\overline{z}=(7+3i)+(7-3i)=14$ (1 p). Prin urmare $z\cdot \overline{z}-z-\overline{z}=58-14=44$ (1 p). (Control: $z\cdot \overline{z}=|z{|}^2=7^2+3^2=58$, iar $z+\overline{z}=2\cdot 7=14$ — ambele sunt numere reale, cum trebuie.)

Exercițiul 2. (5 p) Se calculează întâi valoarea care lipsește din membrul drept: $g(2)=6-2=4$ (1 p). Membrul stâng este $f(a)=2a+11$ (1 p). Condiția din enunț devine $2a+11=a+4$ (2 p), de unde $a=-7$ (1 p). (Control: $f(-7)=-14+11=-3$, iar $-7+g(2)=-7+4=-3$.)

Exercițiul 3. (5 p) Condițiile de existență se scriu înaintea calculului: $x+11>0$ și $x-1>0$, deci $x>1$ (1 p). Constanta se scrie ca logaritm, $1={\log }_{5}5$, iar suma logaritmilor cu aceeași bază este logaritmul produsului: ${\log }_5(x+11)={\log }_5(5(x-1))$ (1 p). Funcția logaritmică fiind injectivă, $x+11=5x-5$ (1 p), de unde $4x=16$ și $x=4$ (1 p). Valoarea $4$ respectă condiția $x>1$, deci mulțimea soluțiilor este $S=\{4\}$ (1 p). (Control: ${\log }_{5}15=1+{\log }_{5}3$, fiindcă $15=5\cdot 3$.)

Exercițiul 4. (5 p) Cazurile posibile sunt elementele mulțimii $A$: de la $20$ la $40$ sunt $40-20+1=21$ numere (1 p). Un număr este prim dacă are exact doi divizori naturali; din $A$ se elimină numerele pare și cele divizibile cu $3$ sau cu $5$, apoi se verifică ce a rămas (1 p). Rămân $23$, $29$, $31$ și $37$ (2 p), deci cazurile favorabile sunt în număr de $4$ și probabilitatea cerută este $\frac{4}{21}$ (1 p). Răspuns: $\frac{4}{21}$. (Control: $0<\frac{4}{21}<1$, cum trebuie să fie orice probabilitate; $21=3\cdot 7$ nu e prim, $25=5^2$ nu e prim, iar $27$, $33$, $35$ și $39$ au divizori proprii.)

Exercițiul 5. (5 p) Abscisa mijlocului este $x_M=\frac{1+7}{2}=4$ (1 p), iar ordonata lui este $y_M=\frac{3+(-5)}{2}=-1$ (1 p), deci $M(4,-1)$. Distanța dintre două puncte se calculează cu $AM=\sqrt{(x_M-x_A{)}^2+(y_M-y_A{)}^2}$, adică $AM=\sqrt{(4-(-4){)}^2+(-1-5{)}^2}$ (1 p). Se obține $AM=\sqrt{8^2+(-6{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}$ (1 p), deci $AM=10$ (1 p). (Control: triunghiul dreptunghic de catete $8$ și $6$ are ipotenuza $10$.)

Exercițiul 6. (5 p) Se cunosc două laturi și unghiul dintre ele, deci se folosește teorema cosinusului pentru latura opusă unghiului $A$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$ (1 p). Cum $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ (1 p), rezultă $B{C}^2=49+225-2\cdot 7\cdot 15\cdot \frac{1}{2}=274-105$ (2 p), adică $B{C}^2=169$ și $BC=13$ (1 p). (Control: inegalitatea triunghiului se verifică, fiindcă $7+13>15$, $7+15>13$ și $13+15>7$.)

Exercițiul 7. (5 p) Pentru $m=0$, matricea sistemului este $A(0)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -1& 2\\ 4& 1& 0\end{array}\right)$ (1 p). Determinantul se dezvoltă după prima linie: $\det (A(0))=1\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 0\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 0\end{array}\right|+(-1)\cdot \left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 4& 1\end{array}\right|$ (2 p). Minorii sunt $-2$, $-8$ și $7$, deci $\det (A(0))=1\cdot (-2)-2\cdot (-8)-1\cdot 7=-2+16-7$ (1 p), adică $\det (A(0))=7$ (1 p).

Exercițiul 8. (5 p) Din itemul precedent, $\Delta =\det (A(0))=7\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer și are soluție unică (1 p). Determinanții auxiliari sunt ${\Delta }_x=\left|\begin{array}{ccc}-1& 2& -1\\ 9& -1& 2\\ 7& 1& 0\end{array}\right|=14$, ${\Delta }_y=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 3& 9& 2\\ 4& 7& 0\end{array}\right|=-7$ și ${\Delta }_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -1& 9\\ 4& 1& 7\end{array}\right|=7$ (2 p). Formulele lui Cramer dau $x=\frac{14}{7}=2$, $y=\frac{-7}{7}=-1$ și $z=\frac{7}{7}=1$, deci soluția este $(2,-1,1)$ (1 p). Verificarea se face în enunț: $2-2-1=-1$; $6+1+2=9$; $8-1+0=7$ (1 p).

Exercițiul 9. (5 p) Determinantul se calculează cu litera în el; dezvoltarea după linia a treia, $\left(\begin{array}{ccc}4& 1& m\end{array}\right)$, dă $\det (A(m))=4\cdot \left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right|-1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 2\end{array}\right|+m\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right|$ (2 p). Minorii sunt $3$, $5$ și $-7$, deci $\det (A(m))=12-5-7m=7-7m$ (1 p). O matrice pătratică nu este inversabilă exact atunci când determinantul ei se anulează, adică $7-7m=0$ (1 p), de unde $m=1$ (1 p). (Control: pentru $m=0$ formula dă $7$, exact valoarea de la itemul 7.)

Exercițiul 10. (5 p) Se compune de la stânga la dreapta. Mai întâi $x\ast y=\frac{xy}{3}$, număr strict pozitiv, deci compunerea cu $z$ are sens (1 p). Apoi $(x\ast y)\ast z=\frac{(x\ast y)\cdot z}{3}$ (1 p), adică $\frac{\frac{xy}{3}\cdot z}{3}$ (1 p). Fracția etajată se aduce la o singură linie: $\frac{xyz}{3\cdot 3}=\frac{xyz}{9}$ (1 p), deci egalitatea are loc pentru orice numere reale strict pozitive $x$, $y$ și $z$ (1 p).

Exercițiul 11. (5 p) Din definiția legii, $x\ast x=\frac{x\cdot x}{3}=\frac{x^2}{3}$ (1 p). Condiția din enunț se scrie $\frac{x^2}{3}=27$ (1 p), de unde $x^2=81$ (1 p). Ecuația are soluțiile $9$ și $-9$, dar legea este definită numai pe numerele strict pozitive, deci $x=9$ (2 p). (Control, cu formula din enunț: $9\ast 9=\frac{81}{3}=27$.)

Exercițiul 12. (5 p) Pentru $x>0$, numărul $\frac{9}{x}$ este și el strict pozitiv, deci compunerea are sens (1 p). Din definiția legii, $x\ast \frac{9}{x}=\frac{x\cdot \frac{9}{x}}{3}$ (1 p). La numărător, $x$ se simplifică: $x\cdot \frac{9}{x}=9$ (2 p), deci $x\ast \frac{9}{x}=\frac{9}{3}=3$, pentru orice număr real strict pozitiv $x$ (1 p).

Exercițiul 13. (5 p) Funcția este un produs, deci se derivează cu regula produsului: $f^{\prime }(x)={\left(x^2-8\right)}^{\prime }{e}^x+\left(x^2-8\right){\left(e^x\right)}^{\prime }$ (1 p). Derivatele factorilor sunt ${\left(x^2-8\right)}^{\prime }=2x$ și ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ (1 p), deci $f^{\prime }(x)=2x{e}^x+\left(x^2-8\right)e^x$ (2 p). Dând factor comun $e^x$, se obține $f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2+2x-8\right)$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$ (1 p). (Control într-un punct: $f^{\prime }(0)=1\cdot (-8)=-8$, iar din prima formă $0+(-8)\cdot 1=-8$.)

Exercițiul 14. (5 p) Valoarea funcției în $0$ este $f(0)=\left(0-8\right)e^0=-8$ (1 p), deci numărătorul se scrie $f(x)+8=f(x)-f(0)$, iar raportul din enunț este $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ (1 p). Funcția fiind derivabilă pe $\mathbb{R}$, limita acestui raport pentru $x\to 0$ este chiar derivata în punctul $0$ (1 p). Din itemul 13, $f^{\prime }(0)=e^0\left(0^2+2\cdot 0-8\right)$ (1 p), adică $f^{\prime }(0)=-8$, deci $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)+8}{x}=-8$ (1 p). (Control cu regula lui l'Hôspital: cazul este $\frac{0}{0}$, iar raportul derivatelor este $\frac{e^x\left(x^2+2x-8\right)}{1}$, care tinde tot la $-8$.)

Exercițiul 15. (5 p) Trinomul din derivată se descompune: $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$, deci $f^{\prime }(x)=e^x(x+4)(x-2)$, iar $e^x>0$ pentru orice $x$ real (1 p). Semnul derivatei este deci semnul produsului $(x+4)(x-2)$: pozitiv pe $(-\infty ,-4)$, negativ pe $(-4,2)$ și pozitiv pe $(2,+\infty )$; funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,-4]$, strict descrescătoare pe $[-4,2]$ și strict crescătoare pe $[2,+\infty )$ (1 p). Pe intervalul $[-4,+\infty )$ valoarea cea mai mică se atinge în punctul de minim $x=2$ și este $f(2)=\left(2^2-8\right)e^2=-4e^2$, deci $f(x)\ge -4e^2$ pentru orice $x\ge -4$ (2 p). Pentru $x<-4$ avem $x^2>16$, deci $x^2-8>8>0$ și $f(x)=\left(x^2-8\right)e^x>0>-4e^2$; prin urmare inegalitatea are loc pe tot $\mathbb{R}$ (1 p).

Exercițiul 16. (5 p) Pe intervalul $[0,4]$ avem $6x+1>0$, deci ${\left(f(x)\right)}^2={\left(\sqrt{6x+1}\right)}^2=6x+1$ (1 p). O primitivă a funcției $x\mapsto 6x+1$ este $F(x)=3x^2+x$, fiindcă $F^{\prime }(x)=6x+1$ (2 p). Formula Leibniz-Newton dă ${\int }_0^4{\left(f(x)\right)}^{2}dx=F(4)-F(0)=\left(48+4\right)-0$ (1 p), adică $52$ (1 p).

Exercițiul 17. (5 p) Se scrie funcția ca putere: $f(x)=(6x+1{)}^{\frac{1}{2}}$ (1 p). O primitivă este $G(x)=\frac{1}{9}(6x+1)\sqrt{6x+1}$, fiindcă $G^{\prime }(x)=\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{6x+1}=\sqrt{6x+1}$ (2 p). Valorile la capete sunt $G(4)=\frac{25\cdot 5}{9}=\frac{125}{9}$ și $G(0)=\frac{1\cdot 1}{9}=\frac{1}{9}$ (1 p). Formula Leibniz-Newton dă ${\int }_0^{4}f(x)dx=\frac{125}{9}-\frac{1}{9}=\frac{124}{9}$ (1 p). (Control: $\frac{124}{9}\approx 13,78$, iar valorile funcției pe $[0,4]$ sunt cuprinse între $1$ și $5$, deci integrala este între $4$ și $20$.)

Exercițiul 18. (5 p) Funcția $f$ este continuă pe $[0,4]$, fiind compunerea unei funcții polinomiale cu funcția radical, iar valorile ei sunt pozitive, deci formula volumului se poate aplica (1 p). Volumul corpului obținut prin rotația graficului în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^4{\left(f(x)\right)}^{2}dx$ (1 p). Integrala a fost calculată la itemul 16 și este egală cu $52$, deci $\mathcal{V}=52\pi$ (1 p). Condiția din enunț se scrie $52\pi =\frac{a\pi }{3}$ (1 p), de unde $a=3\cdot 52=156$ (1 p).

Pentru părinți și profesori

Aceasta este singura probă de sinteză a clasei a XII-a de la științe ale naturii: o foaie întreagă, în forma probei scrise de matematică M2, care închide unitatea de pregătire (lecțiile Structura probei, Subiectul I, Subiectul al II-lea: matrice și sisteme, Subiectul al II-lea: structuri algebrice, Subiectul al III-lea și Ce se schimbă din 2030: proba MAT_P2). Ea nu verifică o temă, ci formatul: cele $18$ cerințe independente de câte $5$ puncte, enunțul comun al unei probleme cu trei cerințe, cele patru verbe („Arătați că", „Determinați", „Rezolvați", „Demonstrați") și așezarea materiei pe cele trei subiecte. Materia clasei se împarte astfel: Subiectul I recapitulează clasele a IX-a – a XI-a, Subiectul al II-lea ia sistemele liniare și structurile algebrice, iar Subiectul al III-lea ia analiza matematică — derivatele și integrala definită.

• Punctaj total: 100 de puncte ($90$ de puncte din cele 18 cerințe + $10$ puncte din oficiu).
• Timp recomandat: trei ore, ca la proba reală. Planul propus de lecția Structura probei: $45$ de minute pentru Subiectul I, $55$ pentru al II-lea, $65$ pentru al III-lea și $15$ minute de rezervă pentru recitire.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator și fără formular, în trei ore neîntrerupte. Toate subiectele sunt obligatorii; cerințele se pot rezolva în orice ordine, iar una nerezolvată nu blochează nimic la Subiectul I. La cerințele care încep cu „Arătați că", rezultatul e scris în enunț, deci ceea ce se cere este drumul; la cele care încep cu „Determinați", rezultatul se scrie explicit la final.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau, pe rând, temele din „Harta materiei" la care s-au pierdut cele mai multe cerințe.
• Formule de reținut: pentru $z=a+bi$, conjugatul este $\overline{z}=a-bi$, iar $z\cdot \overline{z}=a^2+b^2$; suma logaritmilor cu aceeași bază este logaritmul produsului, iar $1={\log }_{5}5$; probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile; mijlocul segmentului $[BC]$ are coordonatele $\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)$, iar distanța dintre două puncte este $\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$; teorema cosinusului: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$; un sistem pătratic cu $\det A\ne 0$ se rezolvă cu metoda lui Cramer, $x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }$; o matrice pătratică este inversabilă exact atunci când determinantul ei este nenul; ${\left(u\cdot v\right)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ și ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; derivata în punctul $x_0$ este $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$; formula Leibniz–Newton: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$; volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului unei funcții continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{\left(f(x)\right)}^{2}dx$.

Harta materiei — cele două generații

Prima coloană numerică spune de unde vine fiecare cerință în programa de examen din 2014, cu rândul din secțiunea M_șt-nat (fișierul bac_M_st_nat_2027_raw.txt, rândurile 647–1182). A doua coloană spune cât din aceeași foaie rămâne materie de examen pentru generația care va susține proba MAT_P2 în 2030.

Coloana a doua nu scutește pe nimeni de nimic: elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a rezolvă toate cele $18$ cerințe. Ea este materia lecției Ce se schimbă din 2030: proba MAT_P2 și răspunde, cerință cu cerință, la întrebarea „se dă la examenul pe care îl dau eu?".

Programa și examenul. Simularea urmează programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), după care se susțin sesiunile 2027, 2028 și 2029 ale Bacalaureatului M2 (M_șt-nat); fiecare dintre cele $18$ cerințe se sprijină pe un rând al secțiunii M_șt-nat a acelei programe, trecut în tabelul de mai sus. Structura foii — trei subiecte de câte $30$ de puncte, $18$ cerințe de câte $5$ puncte, $10$ puncte din oficiu și trei ore de lucru efectiv — este cea din modelul oficial publicat de Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii; niciun număr, nicio funcție și nicio matrice din acel model nu se reia aici, fiindcă modelul e citat și rezolvat în lecțiile unității. Programa școlară nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) se aplică la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; pentru generația care o parcurge, proba se numește MAT_P2 (programa aprobată prin OMEC 5077/2026, anexa nr. 4.2), iar structura acelei probe nu a fost încă publicată — de aceea coloana a doua spune numai ce materie rămâne, nu cum va arăta foaia. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Notă: în secțiunea de rezolvări, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".