Test: Aplicații ale integralei: arii și volume (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Aplicații ale integralei definite

Exerciții

Partea I – Aria dintre grafic și axa $Ox$

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=5x$, de axa $Ox$ și de dreapta $x=4$. b) Câte integrale scrii pentru aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^2-9$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=5$? c) Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[0,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3$. d) Ce corp obții rotind în jurul axei $Ox$ subgraficul funcției $f:[0,8]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{4}$, și ce dimensiuni are el? e) Determină abscisele punctelor în care se taie graficele funcțiilor $u(x)=x+6$ și $v(x)=x^2+4$. f) Pe ce parte a intervalului $[1,5]$ ia valori negative funcția $f(x)=x^2-6x+8$?

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:[1,8]\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-20$. a) Determină zeroul funcției și spune câte integrale vei scrie pentru aria regiunii mărginite de graficul ei, de axa $Ox$ și de dreptele $x=1$ și $x=8$. (2 p) b) Calculează aria acestei regiuni. (3 p) c) Calculează ${\int }_1^{8}f(x)dx$ și compară numărul obținut cu aria. (1 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-11x+28$. a) Alcătuiește tabelul de semn al lui $f$ pe intervalul $[2,8]$ și spune câte bucăți are calculul. (2 p) b) Calculează aria regiunii mărginite de graficul funcției $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=2$ și $x=8$. (3 p) c) Calculează ${\int }_2^{8}f(x)dx$. (1 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=2x$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=3$ este: A. $9$; B. $6$; C. $18$; D. $3$.

b) Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[0,7]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2$, este: A. $14\pi$; B. $28\pi$; C. $4\pi$; D. $49\pi$.

c) Graficele funcțiilor $f(x)=x+10$ și $g(x)=x^2+4$ se taie în punctele de abscise: A. $-2$ și $3$; B. $-3$ și $2$; C. $2$ și $3$; D. $-2$ și $-3$.

d) Volumul conului circular drept cu raza bazei $3$ și înălțimea $8$ este: A. $24\pi$; B. $72\pi$; C. $8\pi$; D. $\frac{8\pi }{3}$.

Partea a II-a – Aria dintre două curbe

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x-7$ și $g(x)=x^2-4x+14$. a) Determină abscisele punctelor de intersecție a celor două grafice. (2 p) b) Stabilește care dintre cele două grafice este deasupra între abscisele găsite. (1 p) c) Calculează aria suprafeței mărginite de cele două grafice. (3 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-7x+40$ și $g(x)=6x+10$, precum și dreptele $x=0$ și $x=6$. a) Scrie diferența $f-g$, află rădăcinile ei și spune care dintre ele cad în interiorul intervalului $[0,6]$. (2 p) b) Calculează aria suprafeței mărginite de cele două grafice și de cele două drepte. (3 p) c) Calculează ${\int }_0^6(f(x)-g(x))dx$ și spune de ce numărul obținut nu este aria. (1 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^2-4$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=2$ este egală cu ${\int }_0^2\left(x^2-4\right)dx$." b) „Două corpuri de rotație care au același volum provin din profiluri egale, pe intervale egale." c) „Aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x-6$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=2$ și $x=6$ este egală cu opusul numărului ${\int }_2^{6}f(x)dx$." d) „Corpurile obținute prin rotirea subgraficelor funcțiilor $f(x)=x+1$ și $g(x)=3-x$ pe intervalul $[0,2]$ au același volum."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=15x-10$ și $g(x)=4x^2-5x+6$. a) Arată că punctul $A(4,50)$ aparține amândurora graficelor. (1 p) b) Determină abscisele punctelor de intersecție a celor două grafice. (2 p) c) Calculează aria suprafeței mărginite de cele două grafice. (3 p)

Partea a III-a – Volume, lungimi și probleme

Exercițiul 9 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$. a) Arată că $f$ este continuă și pozitivă pe $[0,4]$. (1 p) b) Calculează volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui $f$ în jurul axei $Ox$. (3 p) c) Recunoaște corpul obținut și verifică rezultatul cu formula din gimnaziu. (2 p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

a) Deduce, cu integrala definită, volumul conului circular drept cu raza bazei $5$ și înălțimea $6$. (3 p) b) O bilă de rază $11$, așezată cu centrul în origine, este tăiată de planele perpendiculare pe axa $Ox$ duse prin punctele de abscise $2$ și $5$. Calculează volumul feliei dintre ele. (3 p) c) Calculează volumul jumătății aceleiași bile, integrând pe intervalul potrivit. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $f:[0,45]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{28x}{45}$. a) Calculează lungimea graficului funcției $f$. (2 p) b) Calculează aria învelișului obținut prin rotirea graficului lui $f$ în jurul axei $Ox$. (3 p) c) Precizează ce corp mărginește acest înveliș, dă-i raza, înălțimea și generatoarea, apoi confruntă valoarea de la b) cu aria laterală calculată prin formula $\pi rG$. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Un pahar gradat de laborator are axa așezată pe $Ox$, iar conturul lui este dat de $f(x)=3+\frac{x}{5}$ pe intervalul $[0,10]$, unitatea fiind centimetrul. a) Arată că $f$ este continuă și pozitivă pe $[0,10]$ și precizează razele celor două capete ale paharului. (2 p) b) Calculează volumul paharului în centimetri cubi și spune câți mililitri înseamnă, știind că $1{\text{cm}}^3=1\text{ml}$. (4 p) c) Cât volum de soluție conține paharul dacă este umplut pe primii $5$ centimetri, măsurați de la capătul îngust? (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=m-4x$, cu $m>8$. a) Determină $m$, știind că aria regiunii mărginite de graficul funcției $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=2$ este egală cu $24$. (3 p) b) Pentru valoarea găsită a lui $m$, calculează volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui $f$ în jurul axei $Ox$. (3 p) c) Verifică rezultatul de la b) scriind corpul ca diferență dintre doi coni circulari drepți. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Pe $[0,4]$ funcția este pozitivă, iar suprafața este triunghiul dreptunghic cu catetele $4$ și $f(4)=20$, deci $\mathcal{S}=\frac{4\cdot 20}{2}=40$. b) Rădăcinile lui $x^2-9$ sunt $3$ și $-3$; numai $3$ se află în interiorul intervalului $[0,5]$, deci se scriu două integrale. c) Profilul este constant, deci $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{6}9dx=54\pi$; corpul este cilindrul de rază $3$ și înălțime $6$. d) Profilul pornește din origine și ajunge la $f(8)=2$, deci corpul este un con de rază $2$ și înălțime $8$. e) Din $x^2+4=x+6$ rezultă $x^2-x-2=0$, cu $\Delta =1+8=9$, deci $x_1=-1$ și $x_2=2$. f) Rădăcinile sunt $2$ și $4$, iar coeficientul dominant este pozitiv, deci funcția este negativă între rădăcini, adică pe intervalul $(2,4)$.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) Din $4x-20=0$ rezultă $x=5$, punct strict interior lui $[1,8]$; nu mai există alte zerouri, deci calculul are două bucăți. b) (3 p) Pe $[1,5]$ funcția este negativă, deci ${\int }_1^5(20-4x)dx=\left(20x-2x^2\right){|}_1^5=(100-50)-(20-2)=32$ (1 p). Pe $[5,8]$ ea este pozitivă, deci ${\int }_5^8(4x-20)dx=\left(2x^2-20x\right){|}_5^8=(128-160)-(50-100)=-32+50=18$ (1 p). Aria este $\mathcal{S}=32+18=50$ (1 p). Control: primul triunghi are catetele $4$ și $|f(1)|=16$, deci aria $32$; al doilea are catetele $3$ și $f(8)=12$, deci aria $18$ — amândoi termenii sunt pozitivi. c) (1 p) ${\int }_1^{8}f(x)dx=-32+18=-14$. Numărul este negativ, deci nu poate fi o arie: el este bilanțul cu semn, în care bucata de sub axă se scade, iar aria este $50$.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Ecuația $x^2-11x+28=0$ are $\Delta =121-112=9$, deci rădăcinile $4$ și $7$, amândouă strict interioare lui $[2,8]$. Coeficientul dominant este pozitiv, deci trinomul este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele:

Calculul are trei bucăți. b) (3 p) Cu primitiva $P(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{11x^2}{2}+28x$ avem $P(2)=\frac{8}{3}-22+56=\frac{110}{3}$, $P(4)=\frac{64}{3}-88+112=\frac{136}{3}$, $P(7)=\frac{343}{3}-\frac{539}{2}+196=\frac{245}{6}$ și $P(8)=\frac{512}{3}-352+224=\frac{128}{3}$ (1 p). Bucățile sunt $P(4)-P(2)=\frac{26}{3}$, $-(P(7)-P(4))=\frac{9}{2}$ și $P(8)-P(7)=\frac{11}{6}$ (1 p), toate pozitive. Aria este $\mathcal{S}=\frac{26}{3}+\frac{9}{2}+\frac{11}{6}=\frac{52+27+11}{6}=15$ (1 p). c) (1 p) ${\int }_2^{8}f(x)dx=\frac{26}{3}-\frac{9}{2}+\frac{11}{6}=\frac{52-27+11}{6}=6$, alt număr decât aria.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — triunghiul dreptunghic are catetele $3$ și $f(3)=6$, deci aria $\frac{3\cdot 6}{2}=9$. Varianta B este valoarea funcției în capătul din dreapta, $f(3)=6$, nu o arie; C confundă aria triunghiului cu cea a dreptunghiului de aceleași dimensiuni. b) B — $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{7}4dx=28\pi$, adică $\pi r^{2}h$ cu $r=2$ și $h=7$. Varianta A integrează funcția, nu pătratul ei. c) A — din $x^2+4=x+10$ rezultă $x^2-x-6=0$, cu $\Delta =1+24=25$, deci $x_1=3$ și $x_2=-2$. d) A — $\mathcal{V}=\frac{\pi r^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 9\cdot 8}{3}=24\pi$. Varianta B este volumul cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime.

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Din $6x-7=x^2-4x+14$ rezultă $x^2-10x+21=0$, cu $\Delta =100-84=16$, deci $x_1=3$ și $x_2=7$. Verificare: $f(3)=11$ și $g(3)=9-12+14=11$; $f(7)=35$ și $g(7)=49-28+14=35$. b) (1 p) Diferența este $f(x)-g(x)=-x^2+10x-21$, cu coeficientul dominant negativ și cu rădăcinile $3$ și $7$, deci ea este pozitivă între rădăcini: dreapta este deasupra pe tot intervalul $(3,7)$. Control: în $x=5$ avem $f(5)=23$ și $g(5)=19$. c) (3 p) $\mathcal{S}={\int }_3^7\left(-x^2+10x-21\right)dx=\left(-\frac{x^3}{3}+5x^2-21x\right){|}_3^7$ (1 p) $=\left(-\frac{343}{3}+245-147\right)-\left(-9+45-63\right)$ (1 p) $=-\frac{343}{3}+98+27=\frac{-343+375}{3}=\frac{32}{3}$ (1 p).

Exercițiul 6. (6 p) a) (2 p) $f(x)-g(x)=x^2-7x+40-6x-10=x^2-13x+30$. Ecuația $x^2-13x+30=0$ are $\Delta =169-120=49$, deci rădăcinile $3$ și $10$. Dintre ele, numai $3$ se află în interiorul lui $[0,6]$; rădăcina $10$ rămâne în afară și nu rupe nimic. b) (3 p) Pe $[0,3]$ diferența este pozitivă, deci ${\int }_0^3\left(x^2-13x+30\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{13x^2}{2}+30x\right){|}_0^3=9-\frac{117}{2}+90=\frac{81}{2}$ (1 p). Pe $[3,6]$ ea este negativă, deci se ia diferența în ordine inversă: ${\int }_3^6\left(-x^2+13x-30\right)dx=-\left(18-\frac{81}{2}\right)=\frac{45}{2}$ (1 p). Amândoi termenii sunt pozitivi, iar aria este $\mathcal{S}=\frac{81}{2}+\frac{45}{2}=63$ (1 p). c) (1 p) ${\int }_0^6(f(x)-g(x))dx=\frac{81}{2}-\frac{45}{2}=18$. Numărul nu este aria pentru că pe $[3,6]$ ordinea celor două grafice se răstoarnă, iar o singură integrală scade bucata a doua în loc să o adune.

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Fals. Pe $[0,2)$ avem $x^2-4<0$, deci funcția stă sub axă și aria este opusul integralei. Cu primitiva $\frac{x^3}{3}-4x$ obținem ${\int }_0^2\left(x^2-4\right)dx=\frac{8}{3}-8=-\frac{16}{3}$, un număr negativ, în timp ce aria este $\frac{16}{3}$. b) Fals. Contraexemplu: profilul constant $f(x)=2$ pe $[0,1]$ dă $\pi \cdot 4\cdot 1=4\pi$, iar profilul constant $g(x)=1$ pe $[0,4]$ dă $\pi \cdot 1\cdot 4=4\pi$. Volumele coincid, dar nici profilurile, nici intervalele nu sunt egale. c) Adevărat. Pe $[2,6]$ avem $x-6\le 0$, deci funcția păstrează semnul și $\mathcal{S}=-{\int }_2^{6}f(x)dx$. Prin calcul, ${\int }_2^6(x-6)dx=\left(\frac{x^2}{2}-6x\right){|}_2^6=(18-36)-(2-12)=-8$, iar aria este $8$ — chiar aria triunghiului cu catetele $4$ și $4$. d) Adevărat. $\pi {\int }_0^2(x+1{)}^{2}dx=\pi \cdot \frac{(x+1{)}^3}{3}{|}_0^2=\frac{\pi (27-1)}{3}=\frac{26\pi }{3}$, iar $\pi {\int }_0^2(3-x{)}^{2}dx=-\pi \cdot \frac{(3-x{)}^3}{3}{|}_0^2=\frac{\pi (27-1)}{3}=\frac{26\pi }{3}$. Cele două profiluri sunt oglindite unul față de celălalt, deci dau același trunchi de con, cu razele $1$ și $3$ și înălțimea $2$, doar așezat invers.

Exercițiul 8. (6 p) a) (1 p) $f(4)=60-10=50$ și $g(4)=64-20+6=50$, deci punctul $A(4,50)$ se află pe amândouă graficele; el este chiar unul dintre punctele lor de intersecție. b) (2 p) Din $15x-10=4x^2-5x+6$ rezultă $4x^2-20x+16=0$, adică $x^2-5x+4=0$, cu $\Delta =25-16=9$, deci $x_1=1$ și $x_2=4$. A doua soluție confirmă punctul de la a). c) (3 p) Diferența este $f(x)-g(x)=-4x^2+20x-16$, pozitivă între rădăcini, fiindcă are coeficientul dominant negativ (1 p). Atunci $$\mathcal{S}={\int }_1^4\left(-4x^2+20x-16\right)dx=\left(-\frac{4x^3}{3}+10x^2-16x\right){|}_1^4$$ (1 p) $=\left(-\frac{256}{3}+160-64\right)-\left(-\frac{4}{3}+10-16\right)=-\frac{252}{3}+102=18$ (1 p).

Exercițiul 9. (6 p) a) (1 p) $f$ este funcție de gradul întâi, deci continuă pe $[0,4]$; fiind crescătoare, ia valori între $f(0)=3$ și $f(4)=11$, toate pozitive. b) (3 p) $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^4(2x+3{)}^{2}dx$ (1 p) $=\pi \cdot \frac{(2x+3{)}^3}{6}{|}_0^4$ (1 p) $=\frac{\pi (1331-27)}{6}=\frac{1304\pi }{6}=\frac{652\pi }{3}$ (1 p). c) (2 p) Capetele dau razele $3$ și $11$, iar înălțimea este $4$: corpul este un trunchi de con. Formula din gimnaziu dă $\frac{4\pi }{3}\left(121+33+9\right)=\frac{4\pi \cdot 163}{3}=\frac{652\pi }{3}$ — aceeași valoare, pe un drum independent.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Așezăm conul cu vârful în origine și cu axa pe $Ox$; profilul este segmentul din $(0,0)$ până în $(6,5)$, deci $f:[0,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x}{6}$ (1 p). Atunci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^6\frac{25x^2}{36}dx=\frac{25\pi }{36}\cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^6=\frac{25\pi }{36}\cdot 72=50\pi$$ (1 p). Formula conului confirmă: $\frac{\pi \cdot 25\cdot 6}{3}=50\pi$ (1 p). b) (3 p) Profilul bilei de rază $11$ este $f(x)=\sqrt{121-x^2}$, iar felia cerută corespunde intervalului $[2,5]$ (1 p): $$\mathcal{V}=\pi {\int }_2^5\left(121-x^2\right)dx=\pi \left(121x-\frac{x^3}{3}\right){|}_2^5$$ (1 p) $=\pi \left[\left(605-\frac{125}{3}\right)-\left(242-\frac{8}{3}\right)\right]=\pi \left(363-39\right)=324\pi$ (1 p). Pătratul a desființat radicalul, deci sub integrală a rămas un polinom. c) (2 p) Cu același profil, jumătatea de bilă corespunde intervalului $[0,11]$: $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{11}\left(121-x^2\right)dx=\pi \left(1331-\frac{1331}{3}\right)=\frac{2662\pi }{3}$ — jumătate din $\frac{5324\pi }{3}$, volumul bilei întregi. Pentru o bucată de bilă nu e nevoie de nicio formulă nouă, ci doar de alte limite de integrare.

Exercițiul 11. (8 p) a) (2 p) $f^{\prime }(x)=\frac{28}{45}$, constantă și continuă, deci radicalul este $\sqrt{1+\frac{784}{2025}}=\sqrt{\frac{2809}{2025}}=\frac{53}{45}$, iar $L={\int }_0^{45}\frac{53}{45}dx=\frac{53}{45}\cdot 45=53$. Controlul $L\ge b-a$ se verifică: $53\ge 45$. b) (3 p) ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi {\int }_0^{45}\frac{28x}{45}\cdot \frac{53}{45}dx$ (1 p) $=\frac{2968\pi }{2025}\cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^{45}$ (1 p) $=\frac{2968\pi }{2025}\cdot \frac{2025}{2}=1484\pi$ (1 p). c) (3 p) Profilul pornește din origine și ajunge la $f(45)=28$, deci învelișul mărginește conul de rază $28$ și înălțime $45$ (1 p). Generatoarea lui este $\sqrt{784+2025}=\sqrt{2809}=53$, adică tocmai lungimea găsită la a) (1 p), iar $\pi rG=\pi \cdot 28\cdot 53=1484\pi$ — aceeași valoare (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $f$ este funcție de gradul întâi, deci continuă pe $[0,10]$; fiind crescătoare, ia valori între $f(0)=3$ și $f(10)=5$, amândouă pozitive. Razele celor două capete ale paharului sunt, așadar, de $3$ și de $5$ centimetri. b) (4 p) $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{10}{\left(3+\frac{x}{5}\right)}^{2}dx$ (1 p) $=5\pi \cdot \frac{{\left(3+\frac{x}{5}\right)}^3}{3}{|}_0^{10}$ (1 p) $=\frac{5\pi (125-27)}{3}=\frac{490\pi }{3}$ centimetri cubi (1 p), adică aproximativ $513,1$ centimetri cubi, deci în jur de $513$ de mililitri (1 p). Control cu formula trunchiului de con, cu $R=5$, $r=3$ și $h=10$: $\frac{10\pi }{3}(25+15+9)=\frac{490\pi }{3}$. c) (2 p) Se integrează pe $[0,5]$: $\mathcal{V}=5\pi \cdot \frac{{\left(3+\frac{x}{5}\right)}^3}{3}{|}_0^5=\frac{5\pi (64-27)}{3}=\frac{185\pi }{3}$ centimetri cubi, adică aproximativ $194$ de mililitri. Nu a fost nevoie de nicio formulă nouă, ci doar de alte limite de integrare.

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Cum $m>8$, iar $x\le 2$, avem $f(x)=m-4x\ge m-8>0$ pe tot intervalul $[0,2]$, deci aria coincide cu integrala (1 p): $\mathcal{S}={\int }_0^2(m-4x)dx=\left(mx-2x^2\right){|}_0^2=2m-8$ (1 p). Din $2m-8=24$ rezultă $2m=32$, deci $m=16$ (1 p). b) (3 p) Pentru $m=16$ avem $f(x)=16-4x$, iar $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^2(16-4x{)}^{2}dx$ (1 p) $=-\pi \cdot \frac{(16-4x{)}^3}{12}{|}_0^2$ (1 p) $=\frac{\pi (4096-512)}{12}=\frac{3584\pi }{12}=\frac{896\pi }{3}$ (1 p). c) (2 p) Profilul este o bucată din dreapta care taie axa $Ox$ în $x=4$; prelungit până acolo, corpul devine conul de rază $f(0)=16$ și înălțime $4$, din care lipsește conul de rază $f(2)=8$ și înălțime $2$ (1 p). Volumele celor doi coni sunt $\frac{\pi \cdot 256\cdot 4}{3}=\frac{1024\pi }{3}$ și $\frac{\pi \cdot 64\cdot 2}{3}=\frac{128\pi }{3}$, iar diferența lor, $\frac{1024\pi -128\pi }{3}=\frac{896\pi }{3}$, este chiar valoarea de la b) (1 p).

Pentru părinți și profesori

Testul verifică toată unitatea de aplicații ale integralei definite, adică cele cinci lecții ale ei: Aria subgraficului, cu schimbare de semn (deosebirea dintre arie și integrală, tabelul de semn, zerourile interioare), Aria dintre două curbe (capetele din ecuația de intersecție, ordinea „de sus minus de jos"), Volumul unui corp de rotație (formula cu pătratul funcției, recunoașterea corpului), Volumele sferei, cilindrului și conului (profilul fiecărui corp, bucățile de bilă) și Lungimea unei curbe și aria laterală (radicalul, generatoarea). Calculul integralelor propriu-zise a fost verificat în testele unității anterioare; aici se verifică ce integrală scrii, nu cât de repede o calculezi.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La orice cerință de arie se cere tabelul de semn înaintea primei integrale, iar la final controlul că fiecare termen al sumei a ieșit pozitiv; la orice volum se cere propoziția despre continuitate și pozitivitate, iar rezultatul se scrie cu factorul $\pi$ o singură dată și în unități cubice.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele cinci lecții, în special numărarea zerourilor interioare și pătratul de sub integrala volumului.
• Formule de reținut: aria regiunii dintre graficul unei funcții continue și axa $Ox$ pe $[a,b]$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b|f(x)|dx$, iar ea coincide cu ${\int }_a^{b}f(x)dx$ numai când funcția păstrează semnul; aria dintre două grafice cu $g\le f$ pe $[a,b]$ este $\mathcal{S}={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$, cu capetele luate din enunț sau din ecuația $f(x)=g(x)$; volumul corpului de rotație al subgraficului unei funcții continue și pozitive este $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$; un profil constant dă un cilindru, unul de gradul întâi care nu atinge axa dă un trunchi de con cu razele $f(a)$ și $f(b)$ și înălțimea $b-a$, iar unul pornit din origine dă un con; formulele deduse sunt $\pi r^{2}h$, $\frac{\pi r^{2}h}{3}$, $\frac{4\pi r^3}{3}$ și, pentru trunchiul de con, $\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$; lungimea graficului este $L={\int }_a^b\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$, iar aria învelișului este ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$, cu $L\ge b-a$ întotdeauna.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) temele lui apar în domeniul Analiză matematică, la unitatea XII.4. Integrala definită, cu rândul „aplicații ale integralei definite: aria delimitată de graficul unei funcții continue și axa $Ox$; aria suprafeței delimitate de două curbe; lungimea unei curbe; volumul unui corp de rotație; aria laterală a unui corp de rotație". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, la capitolul „Aplicații ale integralei definite", numai două rânduri: „aria unei suprafețe plane" și „volumul unui corp de rotație". Lungimea unei curbe și aria laterală nu apar acolo la niciun capitol, deci pentru generația de azi ele rămân lectură utilă, nu materie de examen; itemul 11 poartă de aceea marcajul MAT_P2 2030, iar ceilalți itemi marcați poartă forma simplă. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de analiză matematică se află la Subiectul al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".