Test: Asimptote și continuitate (M2, științe ale naturii)

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Limite de funcții și continuitate

Exerciții

Partea I – Asimptote

Exercițiul 1 (6 puncte)

Răspunde scurt, cu justificare de o propoziție (câte 1 punct): a) Scrie ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției $f(x)=\frac{8x-3}{2x+7}$. b) Scrie ecuația asimptotei verticale la graficul aceleiași funcții. c) Câte asimptote verticale are graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x+1}{x^2+16}$? d) Scrie ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=4^{-x}-6$, și precizează capătul spre care este asimptotă. e) Scrie mulțimea punctelor de continuitate a funcției $u(x)=\frac{x-1}{x+13}$. f) Adevărat sau fals: „Graficul funcției $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $u(x)=\frac{3x}{\sqrt{4x^2+1}}$, are asimptota orizontală $y=\frac{3}{2}$ spre $+\infty$ și asimptota orizontală $y=-\frac{3}{2}$ spre $-\infty$."

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{4\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{6x+5}{x-4}$. a) Determină asimptota verticală a graficului, scriind cele două limite laterale și felul asimptotei. (3 p) b) Determină asimptota orizontală a graficului, precizând capetele spre care este asimptotă. (3 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{5\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+2x-4}{x-5}$. a) Arată, prin împărțire cu rest, că $f(x)=x+7+\frac{31}{x-5}$, pentru orice $x\ne 5$. (2 p) b) Scrie ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $f$. (2 p) c) Precizează de care parte a asimptotei se află graficul, pentru $x>5$. (2 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Graficul funcției $f(x)=\frac{3x-1}{x^2-x-20}$ are asimptote verticale dreptele: A. $x=-4$ și $x=5$; B. $x=4$ și $x=-5$; C. numai $x=5$; D. niciuna.

b) Asimptota orizontală a graficului funcției $g(x)=\frac{2x^2-9}{5x^2+1}$ este dreapta: A. $y=0$; B. $y=\frac{2}{5}$; C. $y=-9$; D. nu există.

c) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+6$ pentru $x\le 2$ și $f(x)=3x+m$ pentru $x>2$, este continuă în punctul $2$ pentru: A. $m=2$; B. $m=8$; C. $m=-6$; D. $m=14$.

d) Mulțimea punctelor de continuitate a funcției $f(x)={\log }_3(5-x)$ este: A. $(-\infty ,5)$; B. $(5,+\infty )$; C. $\mathbb{R}\setminus \{5\}$; D. $[5,+\infty )$.

Partea a II-a – Continuitate

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-17x$ pentru $x\le 5$ și $f(x)=3x-75$ pentru $x>5$. a) Scrie cele trei numere care decid continuitatea în punctul $5$. (3 p) b) Precizează dacă funcția este continuă în $5$ și dacă este continuă pe $\mathbb{R}$, justificând. (3 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-3x-40}{x-8}$ pentru $x<8$ și $f(x)=2x+m$ pentru $x\ge 8$, unde $m$ este un număr real. a) Arată că limita la stânga în punctul $8$ este $13$. (3 p) b) Determină numărul real $m$ pentru care funcția $f$ este continuă în $8$ și fă proba. (3 p)

Exercițiul 7 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt, printr-un argument sau printr-un contraexemplu (câte 2 puncte): a) „Graficul unei funcții poate avea în același timp o asimptotă verticală și o asimptotă oblică." b) „Dacă funcția $f$ este continuă pe intervalul $[2,9]$ și $f(2)\cdot f(9)>0$, atunci $f$ nu se anulează în niciun punct din $[2,9]$." c) „Dacă o funcție continuă pe $\mathbb{R}$ are exact două zerouri, atunci ea își schimbă semnul în fiecare dintre ele." d) „Graficul funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+11}{x}$, nu are asimptotă orizontală."

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-6\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{9x+2}{x+6}$. a) Arătați că $f(x)=9-\frac{52}{x+6}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{-6\}$. (2 p) b) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $f$. (2 p) c) Arătați că graficul funcției $f$ nu intersectează asimptota lui orizontală. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Într-o cameră de germinare, diferența dintre umiditatea măsurată și pragul optim, în puncte procentuale la $t$ ore de la pornirea instalației, se potrivește cu legea $d(t)=-t^2+16t-55$, pentru $t\in [0,16]$. a) Arată că $d(t)=-(t-5)(t-11)$, pentru orice număr real $t$. (2 p) b) Determină intervalul de timp în care umiditatea este peste pragul optim. (2 p) c) Arată că $-55\le d(t)\le 9$, pentru orice $t\in [0,16]$. (2 p)

Partea a III-a – Studiu complet și semn

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră funcția $f(x)=\frac{2x^2-5x-12}{x^2-16}$. a) Scrie domeniul maxim de definiție și arată că $f(x)=\frac{2x+3}{x+4}$ pentru orice $x$ din domeniu. (3 p) b) Determină asimptotele verticale și orizontale ale graficului, precizând ce se întâmplă în punctul $4$. (3 p) c) Arată că funcția $f$ se poate prelungi prin continuitate în punctul $4$ și scrie valoarea pe care trebuie să o ia prelungirea în acest punct. (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{a{x}^2+x-6}{x-3}$, unde $a$ este un număr real nenul. a) Arătați că panta asimptotei oblice la graficul funcției $f$ este $m=a$ și determinați $a$ pentru care $m=4$. (3 p) b) Pentru $a=4$, determinați ordonata la origine și scrieți ecuația asimptotei oblice. (3 p) c) Verificați rezultatul de la b) prin împărțire cu rest. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+7$ pentru $x\le -2$, $f(x)=mx+n$ pentru $-2<x<3$ și $f(x)=x^2+5$ pentru $x\ge 3$, unde $m$ și $n$ sunt numere reale. a) Scrie cele două ecuații date de condiția de continuitate în punctele de racord. (3 p) b) Determină numerele $m$ și $n$. (3 p) c) Fă proba, arătând că amândouă racordurile se închid. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2x^2-9x-18$. a) Arătați că $f(x)=(x+2)(x-3)(x+3)$, pentru orice număr real $x$. (3 p) b) Determinați semnul funcției $f$. (3 p) c) Rezolvați inecuația $f(x)>0$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) Gradele numărătorului și numitorului sunt egale, deci limita la ambele capete este raportul coeficienților dominanți, $\frac{8}{2}=4$: asimptota orizontală este dreapta $\mathbf{y}=4$. b) Numitorul se anulează pentru $2x+7=0$, adică $x=-\frac{7}{2}$, iar numărătorul acolo face $-28-3=-31\ne 0$: asimptota verticală este dreapta $\mathbf{x}=-\frac{7}{2}$. c) Niciuna. Numitorul $x^2+16$ este strict pozitiv pentru orice $x$ real, deci domeniul este $\mathbb{R}$ și nu există niciun candidat. d) Spre $+\infty$ avem $4^{-x}\to 0$, deci limita funcției este $-6$: dreapta $\mathbf{y}=-6$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$. (Spre $-\infty$, $4^{-x}\to +\infty$, deci acolo nu există asimptotă orizontală.) e) Funcția este rațională, deci continuă în fiecare punct al domeniului ei: mulțimea cerută este $(-\infty ,-13)\cup (-13,+\infty )$. În $-13$ funcția nu este definită. f) Adevărat. Pentru $x\ne 0$ avem $u(x)=\frac{3x}{|x|\sqrt{4+1/x^2}}$. La $+\infty$, $x/|x|=1$, deci limita este $\frac{3}{2}$; la $-\infty$, $x/|x|=-1$, deci limita este $-\frac{3}{2}$. Cele două drepte din afirmație sunt asimptotele orizontale ale graficului.

Exercițiul 2. (6 p) a) (3 p) Domeniul este $(-\infty ,4)\cup (4,+\infty )$, cu un singur candidat, $4$. Numărătorul tinde acolo la $6\cdot 4+5=29>0$, iar numitorul la zero (1 p). Pentru $x<4$ numitorul este negativ, iar pentru $x>4$ pozitiv, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x<4\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x>4\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$$ (1 p). Amândouă fiind infinite, dreapta $\mathbf{x}=4$ este asimptotă verticală bilaterală (1 p). b) (3 p) Gradele sunt egale, amândouă $1$, iar coeficienții dominanți sunt $6$ și $1$ (1,5 p), deci $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=6$ și dreapta $\mathbf{y}=6$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ și spre $+\infty$ (1,5 p).

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Împărțim cu rest: $(x-5)(x+7)=x^2+7x-5x-35=x^2+2x-35$, iar $x^2+2x-4=\left(x^2+2x-35\right)+31$ (1 p). Împărțind la $x-5$ se obține $f(x)=x+7+\frac{31}{x-5}$, pentru orice $x\ne 5$ (1 p). Proba împărțirii: $(x-5)(x+7)+31=x^2+2x-35+31=x^2+2x-4$. b) (2 p) Fracția $\frac{31}{x-5}$ tinde la zero la ambele capete, deci diferența $f(x)-(x+7)$ se stinge: asimptota oblică este dreapta $\mathbf{y}=\mathbf{x}+7$, spre $-\infty$ și spre $+\infty$. c) (2 p) Pentru $x>5$ avem $x-5>0$, deci $\frac{31}{x-5}>0$ și $f(x)>x+7$: graficul se află deasupra asimptotei oblice.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A — $x^2-x-20=(x-5)(x+4)$, deci domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{-4,5\}$; numărătorul face $14$ în $5$ și $-13$ în $-4$, deci nu se anulează în niciunul, iar fracția nu se simplifică: ambele drepte sunt asimptote verticale. b) B — grade egale, amândouă $2$, cu coeficienții dominanți $2$ și $5$. c) A — limita la stânga și valoarea în punct se citesc de pe prima ramură: $2+6=8$; limita la dreapta este $6+m$. Din $6+m=8$ rezultă $m=2$. d) A — condiția de existență a logaritmului este $5-x>0$, adică $x<5$; funcția logaritmică este continuă pe tot domeniul ei, deci mulțimea cerută este $(-\infty ,5)$.

Exercițiul 5. (6 p) a) (3 p) Limita la stânga, cu prima ramură: $\underset{\begin{array}{c}x\to 5\\ x<5\end{array}}{\lim }\left(x^2-17x\right)=25-85=-60$ (1 p). Valoarea funcției, citită tot de pe prima ramură, fiindcă ea conține condiția $x\le 5$: $f(5)=25-85=-60$ (1 p). Limita la dreapta, cu a doua ramură: $\underset{\begin{array}{c}x\to 5\\ x>5\end{array}}{\lim }(3x-75)=15-75=-60$ (1 p). b) (3 p) Cele trei numere sunt egale, deci funcția este continuă în $5$ (1,5 p). Pe intervalul $(-\infty ,5)$ funcția este polinomială, deci continuă, la fel și pe $(5,+\infty )$; singurul punct rămas este $5$, iar acolo continuitatea tocmai a fost arătată. Prin urmare $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ (1,5 p).

Exercițiul 6. (6 p) a) (3 p) În $8$ numărătorul face $64-24-40=0$, iar numitorul $0$, deci apare cazul exceptat $\frac{0}{0}$ (1 p). Numărătorul are rădăcinile $8$ și $-5$, deci, pentru orice $x\ne 8$, $$\frac{x^2-3x-40}{x-8}=\frac{(x-8)(x+5)}{x-8}=x+5$$ (1 p), iar expresia rămasă se apropie de $8+5=13$, ceea ce trebuia arătat (1 p). b) (3 p) Punctul $8$ aparține ramurii a doua, fiindcă ea poartă condiția $x\ge 8$, deci $f(8)=16+m$, iar limita la dreapta este tot $16+m$ (1 p). Condiția de continuitate cere $16+m=13$, adică $m=-3$ (1 p). Proba: cu $m=-3$, ramura a doua este $2x-3$, iar $f(8)=16-3=13$; cele trei numere sunt $13$, $13$ și $13$, deci lanțul se închide (1 p).

Exercițiul 7. (8 p) — câte 2 puncte (1 p verdictul, 1 p justificarea). a) Adevărat. Cele două asimptote răspund la întrebări diferite: una privește un punct finit, cealaltă un capăt al axei. Exemplu: la funcția $\frac{x^2+2x-4}{x-5}$ dreapta $x=5$ este asimptotă verticală, iar $y=x+7$ este asimptotă oblică. Se exclud reciproc, spre același capăt, doar asimptota orizontală și cea oblică. b) Fals. Condiția de semn la capete nu spune nimic despre interior. Contraexemplu: $f(x)=(x-4)(x-6)$ este continuă pe $[2,9]$, cu $f(2)=8>0$ și $f(9)=15>0$, deci produsul lor este pozitiv, și totuși $f(4)=0$. (Proprietatea din lecție merge în sens invers: dacă funcția nu se anulează pe interval, atunci semnul rămâne constant.) c) Fals. Peste un zerou dublu semnul trece neschimbat. Contraexemplu: $f(x)=(x+4)(x-6{)}^2$ are exact două zerouri, $-4$ și $6$, dar în $6$ factorul $(x-6{)}^2$ este pozitiv de amândouă părțile, deci funcția rămâne pozitivă și la stânga, și la dreapta lui $6$. d) Adevărat. Gradul numărătorului este cu unu mai mare decât al numitorului, deci limitele la capete sunt infinite și nu există nicio dreaptă orizontală de care graficul să se apropie. (Din $\frac{x^2+11}{x}=x+\frac{11}{x}$ se vede că graficul are, în schimb, asimptota oblică $y=x$.)

Exercițiul 8. (6 p) a) (2 p) Aducem membrul drept la același numitor: $9-\frac{52}{x+6}=\frac{9(x+6)-52}{x+6}=\frac{9x+54-52}{x+6}=\frac{9x+2}{x+6}=f(x)$, pentru orice $x\ne -6$. b) (2 p) Singurul candidat la asimptotă verticală este $-6$; numărătorul tinde acolo la $-52\ne 0$, iar din forma de la a) se citesc semnele: pentru $x<-6$ fracția $\frac{52}{x+6}$ scade sub orice prag, deci $f(x)\to +\infty$, iar pentru $x>-6$ ea crește peste orice prag, deci $f(x)\to -\infty$. Dreapta $\mathbf{x}=-6$ este asimptotă verticală bilaterală (1 p). La capete fracția se stinge, deci $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=9$ și dreapta $\mathbf{y}=9$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ și spre $+\infty$ (1 p). c) (2 p) Un punct comun ar cere $f(x)=9$, adică $\frac{52}{x+6}=0$, imposibil, fiindcă o fracție cu numărătorul $52\ne 0$ nu se anulează niciodată. Graficul nu atinge dreapta $y=9$, deși se apropie oricât de mult de ea.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Desfacem produsul: $-(t-5)(t-11)=-\left(t^2-11t-5t+55\right)=-\left(t^2-16t+55\right)=-t^2+16t-55$, adică exact $d(t)$. (Se acceptă și calculul rădăcinilor lui $t^2-16t+55$: suma lor este $16$, produsul $55$, deci ele sunt $5$ și $11$.) b) (2 p) Funcția $d$ este polinomială, deci continuă pe $[0,16]$; zerourile ei sunt $5$ și $11$, amândouă în intervalul de lucru. Probele: $d(0)=-55$; $d(8)=-64+128-55=9$; $d(16)=-256+256-55=-55$ (1 p). Umiditatea este peste pragul optim exact acolo unde $d(t)>0$, adică pentru $t\in (5,11)$ — între a cincea și a unsprezecea oră de la pornire (1 p). c) (2 p) Forma canonică: $-t^2+16t-55=-(t-8{)}^2+9$. Cum $(t-8{)}^2\ge 0$, rezultă $d(t)\le 9$, cu egalitate la $t=8$ (1 p). Pe de altă parte, pentru $t\in [0,16]$ avem $-8\le t-8\le 8$, deci $(t-8{)}^2\le 64$ și $d(t)\ge -64+9=-55$, cu egalitate la capete (1 p). Prin urmare $-55\le d(t)\le 9$ pe tot intervalul.

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Numitorul se anulează pentru $x\in \{-4,4\}$, deci domeniul maxim este $(-\infty ,-4)\cup (-4,4)\cup (4,+\infty )$ (1 p). Numărătorul are rădăcina $4$, iar descompunerea lui este $2x^2-5x-12=(x-4)(2x+3)$, ceea ce se verifică desfăcând produsul: $2x^2+3x-8x-12=2x^2-5x-12$ (1 p). Cum $x^2-16=(x-4)(x+4)$, pentru orice $x$ din domeniu se poate simplifica prin $x-4$, factor nenul acolo: $$f(x)=\frac{(x-4)(2x+3)}{(x-4)(x+4)}=\frac{2x+3}{x+4}$$ (1 p). b) (3 p) În $-4$ numărătorul formei simplificate face $-5\ne 0$, iar numitorul tinde la zero: pentru $x<-4$ raportul este pozitiv și crește peste orice prag, iar pentru $x>-4$ este negativ și scade sub orice prag, deci dreapta $\mathbf{x}=-4$ este asimptotă verticală bilaterală (1 p). În $4$ limita este finită, $\frac{2\cdot 4+3}{4+4}=\frac{11}{8}$, deci acolo graficul are doar o gaură, nu o asimptotă: punctul lipsă din domeniu este numai un candidat, iar verdictul îl dă limita (1 p). La capete gradele formei simplificate sunt egale, cu coeficienții dominanți $2$ și $1$, deci dreapta $\mathbf{y}=2$ este asimptotă orizontală spre ambele capete (1 p). c) (2 p) Din forma simplificată, $\underset{x\to 4}{\lim }f(x)=\frac{11}{8}$, număr real, deci există o prelungire continuă în $4$ (1 p). Definim $F$ pe $\mathbb{R}\setminus \{-4\}$ prin $F(x)=f(x)$ pentru $x\notin \{-4,4\}$ și $F(4)=\frac{11}{8}$. Atunci $\underset{x\to 4}{\lim }F(x)=F(4)$, deci $F$ este continuă în $4$; orice altă valoare ar încălca această egalitate (1 p).

Exercițiul 11. (8 p) a) (3 p) Panta se obține din prima limită a algoritmului: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a{x}^2+x-6}{x(x-3)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a{x}^2+x-6}{x^2-3x}=a,$$ pentru că gradele sunt egale, iar coeficienții dominanți sunt $a$ și $1$ (2 p). Condiția $m=4$ dă $a=4$ (1 p). b) (3 p) Ordonata se obține din a doua limită, cu scăderea făcută sub aceeași linie de fracție: $$f(x)-4x=\frac{4x^2+x-6-4x(x-3)}{x-3}=\frac{13x-6}{x-3}$$ (2 p). Gradele sunt egale, cu coeficienții dominanți $13$ și $1$, deci $n=13$; amândouă limitele fiind finite și $m\ne 0$, dreapta $\mathbf{y}=4x+13$ este asimptotă oblică, spre $-\infty$ și spre $+\infty$ (1 p). c) (2 p) Împărțim $4x^2+x-6$ la $x-3$: $(x-3)(4x+13)=4x^2+13x-12x-39=4x^2+x-39$, iar $4x^2+x-6=\left(4x^2+x-39\right)+33$ (1 p). Deci $f(x)=4x+13+\frac{33}{x-3}$, iar câtul împărțirii, $4x+13$, este chiar ecuația găsită la b) (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) În punctul de racord $-2$: valoarea și limita la stânga se citesc de pe prima ramură, care poartă condiția $x\le -2$, deci $f(-2)=-8+7=-1$, iar limita la dreapta este $-2m+n$; condiția de continuitate dă $-2m+\mathbf{n}=-1$ (1,5 p). În punctul de racord $3$: valoarea și limita la dreapta se citesc de pe a treia ramură, care poartă condiția $x\ge 3$, deci $f(3)=9+5=14$, iar limita la stânga este $3m+n$; condiția dă $3m+\mathbf{n}=14$ (1,5 p). b) (3 p) Scăzând prima ecuație din a doua, necunoscuta $n$ dispare: $5m=15$, deci $m=3$ (2 p); înlocuind în prima, $-6+n=-1$, deci $n=5$ (1 p). c) (2 p) Ramura din mijloc devine $3x+5$. În $-2$ ea dă $-6+5=-1$, cât $f(-2)$; în $3$ ea dă $9+5=14$, cât $f(3)$. Amândouă racordurile se închid, deci funcția este continuă pe $\mathbb{R}$ — pe fiecare dintre cele trei bucăți expresiile sunt polinomiale, deci continue.

Exercițiul 13. (8 p) a) (3 p) Grupăm termenii: $x^3+2x^2-9x-18=x^2(x+2)-9(x+2)=(x+2)\left(x^2-9\right)$ (2 p), iar $x^2-9=(x-3)(x+3)$, deci $f(x)=(x+2)(x-3)(x+3)$, ceea ce trebuia arătat (1 p). b) (3 p) Funcția este polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$. Zerourile, citite din forma factorizată, sunt $-3$, $-2$ și $3$ (1 p). Probele, câte una pe fiecare interval: $f(-4)=-64+32+36-18=-14$; $f(-2,5)=(-0,5)(-5,5)(0,5)=1,375$; $f(0)=-18$; $f(4)=6\cdot 1\cdot 7=42$ (1 p).

Tabelul de semn al funcției $f(x)=x^3+2x^2-9x-18$ este:

(1 p) c) (2 p) Citim din tabel intervalele cu semnul $+$; inegalitatea fiind strictă, zerourile nu intră în răspuns: $x\in (-3,-2)\cup (3,+\infty )$.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică al treilea strat al unității, cel în care limitele devin unelte. Sunt acoperite cinci lecții — Asimptote verticale și orizontale (candidații citiți din domeniu, verdictul dat de limite, răspunsul scris ca ecuație de dreaptă), Asimptota oblică (panta și ordonata, scurtătura prin împărțire cu rest, cele trei situații în care dreapta nu există), Continuitatea într-un punct și pe interval (cele trei numere de comparat, mulțimea punctelor de continuitate), Parametrul care face continuă o funcție pe ramuri (racordul, ecuația, proba) și Funcții continue: operații și semn pe interval (metoda intervalelor, tabelul de semn, inecuațiile). Noțiunea de limită și limitele laterale au fost verificate în primul test al unității, iar rețetele pe familii de funcții în al doilea; ele se folosesc aici ca unelte, nu se mai cer separat.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să se facă în minte sau în scris. La orice cerință despre asimptote se cere domeniul scris înaintea calculelor, iar răspunsul se dă ca ecuație de dreaptă, cu felul ei; la orice studiu de continuitate se cer cele trei numere scrise unul sub altul.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reiau cele cinci lecții, în special deosebirea dintre o gaură în grafic și o asimptotă verticală și deosebirea dintre „nu este continuă" și „nu este definită".
• Formule de reținut: asimptota verticală are ecuația $x=a$ și există când măcar una dintre limitele laterale în $a$ este infinită; asimptota orizontală are ecuația $y=\ell$, cu $\ell$ număr real, și se decide din limita la un capăt al axei, fiecare capăt separat; asimptota oblică este dreapta $y=mx+n$, cu $m=\lim \frac{f(x)}{x}$ finită și nenulă și $n=\lim \left(f(x)-mx\right)$ finită, iar la o funcție rațională cu numărătorul de un grad peste numitor ecuația ei este câtul împărțirii cu rest; continuitatea în $x_0$ înseamnă egalitatea a trei numere finite — limita la stânga, $f(x_0)$ și limita la dreapta —, iar toate funcțiile studiate la acest profil sunt continue pe tot domeniul lor; semnul unei funcții continue nu se schimbă între două zerouri consecutive, deci o singură valoare de probă pe fiecare interval hotărăște tot rândul din tabel, unde se scrie $0$ în zerouri și bară acolo unde funcția nu există.
• Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la unitatea XI.2 „Limite de funcții și continuitate", prin conținuturile „studiul algebric și grafic al asimptotelor", „studiul continuității într-un punct și pe intervale de pe dreapta reală" și „operații cu funcții continue și proprietăți fundamentale ale continuității: semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere „asimptotele graficului funcțiilor studiate: asimptote verticale, orizontale și oblice", „continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuității unei funcții, operații cu funcții continue" și „semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale"; conținutul de analiză matematică al clasei a XI-a se dă la Subiectul al III-lea. În modelul oficial publicat al probei M_șt-nat, prima problemă a Subiectului al III-lea cere o derivată, o limită și o inegalitate, fără nicio cerință despre asimptote sau continuitate. Itemii de mai jos sunt construiți pe tema din programă, în formatul probei, fără să fie o prezicere a subiectului. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".